mạng wireless2 tin học 6 bùi thị minh nguyệt thư viện tư liệu giáo dục

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (312.67 KB, 13 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

. Ôn tập bất đẳng thức

1. Khái niệm bất đẳng thức

Các mệnh đề dạng " " hoặc " " được gọi là bất đẳng thức.

2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương

Nếu mệnh đề đúng thì ta nói bất đẳng thức là bất đẳng thức hệ quả 
của bất đẳng thức .

Ta cũng viết là .

Chẳng hạn, ta đã biết

và (tính chất bắc cầu) .

tùy ý (tính chất cộng hai vế bất đẳng thức với một số).
Nếu bất đẳng thức là hệ quả của bất đẳng thức và ngược lại thì ta nói hai bất 
đẳng thức tương đương với nhau.

Ta viết là .

3. Tính chất của bất đẳng thức

Như vậy để chứng minh bất đẳng thức ta chỉ cần chứng minh .

Tổng quát hơn, khi so sánh hai số, hai biểu thức hoặc chứng minh một bất đẳng thức, ta
có thể sử dụng các tính chất của bất đẳng thức được tóm tắt trong bảng sau.

Chú ý

Ta còn gặp các mệnh đề dạng hoặc . Các mệnh đề dạng này cũng được gọi là
bất đẳng thức. Để phân biệt ta gọi là các bất đẳng thức không ngặt và gọi các bất đẳng
thức dạng hoặc là các bất đẳng thức ngặt. Các tính chất nêu trong bảng trên
cũng đúng cho bất đẳng thức không ngặt.

II. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (bất đẳng thức

cơ-si)

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Định lí

Trung bình nhân của hai số khơng âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng.
 , . (1)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .

Chứng minh

Ta có .

Vậy .

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi , tức là khi và chỉ khi .

2. Các hệ quả

Hệ quả 1

Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2.

Hệ quả 2

Nếu x, y cùng dương và có tổng khơng đổi thì tích lớn nhất khi và chỉ khi .

Chứng minh. Đặt . Áp dụng bất đẳng thứcCơ-si ta có

, trong đó .

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .

Vậy tích đạt giá trị lớn nhất bằng khi và chỉ khi .

Ý NGHĨA HÌNH HỌC

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Hệ quả 3

Nếu cùng dương và có tích khơng đổi thì tổng nhỏ nhất khi và chỉ khi

.

Ý NGHĨA HÌNH HỌC

Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích hình vng có chu vi nhỏ nhất 
(h.27).

III. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đốiTừ định nghĩa

giá trị tuyệt đối, ta có
các tính chất cho trong bảng sau

Ví dụ. Cho . Chứng minh rằng

Chuyên đề bổ sung:

Chuyên đề hệ thức và bất đẳng thức lượng giác trong tam giác
Kĩ thuật Cô-Si ngược dấu

Phương pháp tam thức bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức
MỘT KĨ THUẬT CHỨNG MINH BĐT CÓ ĐIỀU KIỆN

bất đẳng thức Schur

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

bất đẳng thức becnuli

Chọn điểm rơi trong Bất Đẳng Thức Cô-Si
BẤT ĐẲNG THỨC SVACXƠ VÀ ỨNG DỤNG
Các phương pháp biến đổi trong chứng minh BĐT

Kỹ thuật chọn điểm rơi trong các bài toán BĐT và cực trị

bất đẳng thức becnuli

Tác giả: ngoduykhanh đưa lên lúc: 21:03:25 Ngày 01-02-2008

bất đẳng thức Bernoulli là một bất đẳng thức cho phép tính gần đúng các lũy thừa
của 1 + x.

Bất đẳng thức này được phát biểu như sau:

với mọi số nguyên r ≥ 0 và với mọi số thực x > −1. Nếu số mũ r là chẵn, thì bất
đẳng thức này đúng với mọi số thực x. Bất đẳng thức này trở thành bất đẳng thức
nghiêm ngặt như sau:

với mọi số nguyên r ≥ 2 và với mọi số thực x ≥ −1 với x ≠ 0.

Bất đẳng thức Bernoulli thường được dùng trong việc chứng minh các bất đẳng
thức khác. Bản thân nó có thể được chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán
học:

Chứng minh:

Khi r=0, bất đẳng thức trở thành tức là mà rõ ràng
đúng.

Bây giờ giả sử bất đẳng thức đúng với r=k:
Cần chứng minh:

Thật vậy, (vì theo giả

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

(vì
)

=> Bất đẳng thức đúng với r=k+1.

Theo nguyên lý quy nạp, chúng ta suy ra bất đẳng thức đúng với mọi
Số mũ r có thể tổng qt hố thành số thực bất kỳ như sau: nếu x > −1, thì

với r ≤ 0 or r ≥ 1, và

với 0 ≤ r ≤ 1.

Có thể chứng minh bất đẳng thức tổng quát hố nói trên bằng cách so sánh các đạo
hàm.

Một lần nữa, bất đẳng thức này trở thành bất đẳng thức nghiêm ngặt nếu x ≥ -1 và 1
≤ r thuộc tập số tự nhiên.

Các bất đẳng thức liên quan

Bất đẳng thức dưới đây ước lượng lũy thừa bậc r của 1 + x theo chiều khác. Với số
thực x bất kỳ, r > 0, chúng ta có

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

I.Các hệ thức lượng giác:

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

III.Bất đẳng thức cơ sở:

Định nghĩa

Nhị thức có giá trị cùng dấu với hệ số khi lấy giá trị trong khoảng

trái dấu với hệ số khi lấy các giá trị trong khoảng .
Chứng minh. Ta có

Với thì nên cùng dấu với hệ số .

Với thì nên trái dấu với hệ số .
Các kết quả trên được thể hiện qua bảng sau

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Khi nhị thức có giá trị bằng khơng ta nói số là
nghiệm của nhị thức .

Nghiệm của nhị thức chia trục số thành hai khoảng (h.28).
Minh họa bằng đồ thị

3. Áp dụng

Ví dụ 1. Xét dấu nhị thức với là một tham số đã cho .

Giải. Nếu thì .

Nếu thì là một nhị thức bậc nhất có nghiệm

Ta có bảng xét dấu nhị thức trong hai trường hợp và như sau

II. Xét dấu tích, thương các nhị thức bậc nhất

Giả sử là một tích của những nhị thức bậc nhất. Áp dụng định lý về dấu của nhị
thức bậc nhất có thể xét dấu từng nhân tử. Lập bảng xét dấu chung cho tất cả các nhị thức
bậc nhât có mặt trong ta suy ra được dấu của . Trường hợp là một
thương cũng được xét tương tự.

Ví dụ 2. Xét dấu biểu thức

Giải

không xác định khi Các nhị thức có các nghiệm viết
theo thứ tự tăng là Các nghiệm này chia khoảng thành bốn
khoảng, trong mỗi khoảng các nhị thức đang xét có dấu hoàn toàn xác định.

Từ bảng xét dấu ta thấy

khi hoặc

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

khi hoặc

không xác định khi (trong bảng ký hiệu bởi ||).

III. Áp dụng vào giải bất phương trình

Giải bất phương trình thực chất là xét xem biểu thức nhận giá trị dương
với những giá trị nào của (do đó cũng biết nhận giá trị âm với những giá trị nào
của , làm như vậy ta nói đã xét dấu biểu thức .

1. Bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu thức

Ví dụ 3. Giải bất phương trình

Giải. Ta biến đổi tương đươngbất phương trình đã cho

Xét biểu thức

Ta suy ra nghiệm của bất phương trình đã cho là

2. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Một trong những cách giải bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối là sử dụng
định nghĩa để khử dấu giá trị tuyệt đối. Ta thường phải xét bất phương trình trong nhiều
khoảng (nửa khoảng, đoạn) khác nhau trên đó các biểu thức nằm trong dấu giá trị tuyệt
đối đều có dấu xác định.

Ví dụ 4. Giải bất phương trình

Giải

Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối ta có

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Do đó ta xét bất phương trình trong hai khoảng

a) Với ta có hệ bất phương trình

hay

Hệ này có nghiệm

b) Với ta có hệ bất phương trình

hay

Hệ này có nghiệm

Tổng hợp lại tập nghiệm của bất phương trình đã cho là tập của hai khoảng

và

Kết luận. Bất phương trình đã cho có nghiệm là

Bằng cách áp dụng tính chất giá trị tuyệt đối ta có thể dễ dàng giải các bất phương trình

dạng và với đã cho.

Ta có

(a > 0)

Tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai đối với là biểu thức có dạng , 
trong đó là những hệ số .

2. Dấu của tam thức bậc hai

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Định lí

Cho

Nếu thì ln cùng dấu với hệ số .

Nếu thì luôn cùng dấu với hệ số , trừ khi .

Nếu thì cùng dấu với hệ số khi hoặc , trái dấu với hệ số khi
trong đó là 2 nghiệm của .

Chú ý. Trong định lí trên, có thể thay biệt thức bằng biệt thức thu gọn

Minh họa hình học

3. Áp dụng

Ví dụ 1.

a) Xét dấu tam thức .

b) Lập bảng xét dấutam thức .
Giải

a) có và hệ số nên .

b) có hai nghiệm phân biệt .

Ta có bảng xét dấu sau:

Tương tự như tích, thương của những nhị thức bậc nhất, ta có thể xét dấu tích, thương
của các tam thức bậc hai.

Ví dụ 2 Xét dấu biểu thức

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

1. Bất phương trình bậc 2

Bất phương trình bậc 2 ẩn là bất phương trình dạng (hoặc

), trong đó là những số thực đã 
cho, .

2. Giải

bất phương trình bậc hai

Giải bất phương trình bậc hai thực chất là tìm các khoảng mà trong đó
cùng dấu với hệ số (khi ) hay trái dấu với hệ số (khi ).

Ví dụ 3. Giải các bất phương trình sau:
a) ;
b) ;
c) ;
d)

Giảia) Tam thức có

Do đó tập nghiệm của bất phương trình là .
b) Tam thức có 2 nghiệm là

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là khoảng .
c) Tam thức có 2 nghiệm là

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

d) Tam thức có hệ số

có nghiệm kép và với .

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Ví dụ 4Tìm các giá trị của tham số để phương trình sau có 2 nghiệm trái dấu

Giải. Phương trình bậc 2 có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi các hệ số và trái dấu, tức
là phải thỏa mãn điều kiện sau

Vì tam thức có 2 nghiệm là và hệ số của
dương nên

</div>

mạng wireless2 tin học 6 bùi thị minh nguyệt thư viện tư liệu giáo dục

<b>. Ôn tập bất đẳng thức</b>

<b>1. Khái niệm bất đẳng thức</b>

<b>2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương</b>

<b>3. Tính chất của bất đẳng thức</b>

<b>II. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (bất đẳng thức </b>

<b>cơ-si)</b>

2. Các hệ quả

<b>III. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đốiTừ định nghĩa </b>

<b>bất đẳng thức becnuli</b>

<b>3. Áp dụng</b>

<b>II. Xét dấu tích, thương các nhị thức bậc nhất</b>

<b>III. Áp dụng vào giải bất phương trình</b>

<b>1. Bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu thức</b>

<b>2. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối</b>

<b>Tam thức bậc hai</b>

<b>2. Dấu của tam thức bậc hai</b>

<b>3. Áp dụng</b>

<b>1. Bất phương trình bậc 2</b>

2. Giải

bất phương trình bậc hai

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về