Xác suất thống kê b

MỤC LỤC
CHƯƠNG 1: BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT --------------------------------------------------- 1
1.1. Phép thử và biến cố ------------------------------------------------------------------ 1
1.1.1. Phép thử và không gian mẫu ------------------------------------------------- 1
1.1.2. Biến cố --------------------------------------------------------------------------- 2
1.1.3. Các loại biến cố ---------------------------------------------------------------- 2
1.1.4. Các phép toán giữa các biến cố ---------------------------------------------- 3
1.2. Xác suất ------------------------------------------------------------------------------------- 5
1.2.1. Định nghĩa xác suất (cổ điển) ------------------------------------------------ 6
1.2.2. Định nghĩa xác suất theo thống kê ------------------------------------------- 7
1.2.3 Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học ------------------------------ 7
1.2.5. Các tính chất của xác suất ---------------------------------------------------- 8
1.3. Các cơng thức tính xác suất -------------------------------------------------------- 9
1.3.1. Công thức cộng xác suất ------------------------------------------------------ 9
1.3.2. Xác suất điều kiện ------------------------------------------------------------- 10
1.3.3. Công thức nhân xác suất ----------------------------------------------------- 11
1.3.4. Công thức xác suất đầy đủ --------------------------------------------------- 19
1.3.5. Cơng thức Bayes --------------------------------------------------------------- 20
1.4. Qúa trình Bernoulli ----------------------------------------------------------------- 24
1.4.1. Dãy phép thử Bernoulli ------------------------------------------------------- 24
1.4.2. Xác suất k lần thành công ---------------------------------------------------- 24
1.4.3. Số lần thành công nhiều khả năng nhất ------------------------------------ 26
BÀI TẬP ------------------------------------------------------------------------------------ 28
CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN ------------------------------------------------------- 34
2.1. Biến ngẫu nhiên --------------------------------------------------------------------- 34
2.1.1. Khái niệm biến ngẫu nhiên--------------------------------------------------- 34
2.1.2. Hàm phân phối xác suất ------------------------------------------------------ 36
2.1.3. Bảng phân phối xác suất ----------------------------------------------------- 38
2.1.4. Hàm mật độ xác suất ---------------------------------------------------------- 39
2.2. Các số đặc trưng của một biến ngẫu nhiên-------------------------------------- 42
2.2.1. Kỳ vọng ------------------------------------------------------------------------- 42

2.2.2. Tính chất kỳ vọng -------------------------------------------------------------- 44
2.2.3. Phương sai – độ lệch chuẩn ------------------------------------------------- 46
2.2.4. Tính chất của phương sai ---------------------------------------------------- 47
2.2.5. Các số đặc trưng khác của biến ngẫu nhiên------------------------------- 49
2.3. Biến ngẫu nhiên hai chiều --------------------------------------------------------- 50
2.3.1. Biến ngẫu nhiên hai chiều và phân phối xác suất của nó --------------- 50
2.3.2. Phân phối đồng thời rời rạc ------------------------------------------------- 50
2.3.3. Hàm mật độ biên duyên ------------------------------------------------------ 51
iii


2.3.4. Mật độ điều kiện--------------------------------------------------------------- 52
2.3.5. Covarian – Hệ số tương quan ----------------------------------------------- 54
BÀI TẬP ----------------------------------------------------------------------------------- 57
CHƯƠNG 3: MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG DÙNG --------------- 61
3.1. Phân phối nhị thức ------------------------------------------------------------------ 61
3.1.1. Biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức ------------------------------------ 61
3.1.2. Kỳ vọng, phương sai và mode ----------------------------------------------- 62
3.2. Phân phối siêu bội ------------------------------------------------------------------ 64
3.2.1. Biến ngẫu nhiên có phân phối siêu bội ------------------------------------ 64
3.2.2. Kỳ vọng và phương sai ------------------------------------------------------- 65
3.3. Phân phối Poisson ------------------------------------------------------------------ 66
3.3.1. Biến ngẫn nhiên có phân phối Poisson ------------------------------------ 66
3.3.2. Kỳ vọng và phương sai ------------------------------------------------------- 67
3.3.3. Mơ hình ------------------------------------------------------------------------- 67
3.3.5. Các cơng thức tính xác suất và ví dụ --------------------------------------- 68
3.4. Phân phối chuẩn -------------------------------------------------------------------- 70
3.4.1. Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn -------------------------------------- 70
3.4.2. Kỳ vọng và phương sai ------------------------------------------------------- 70
3.4.3. Tính xác suất phân phối chuẩn---------------------------------------------- 71

3.4.4. Quy tắc 3 xích ma ------------------------------------------------------------- 73
3.4.5. Bách phân vị phân phối chuẩn ---------------------------------------------- 73
3.5. Một số luật phân phối khác -------------------------------------------------------- 74
3.5.1. Phân phối Khi – bình phương ----------------------------------------------- 74
3.5.2. Phân phối Student ------------------------------------------------------------- 76
3.5.3. Phân phối Fisher -------------------------------------------------------------- 77
BÀI TẬP ----------------------------------------------------------------------------------- 79
CHƯƠNG 4: LÝ THUYẾT MẪU VÀ ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ -------------------- 84
4.1. Lí thuyết mẫu ------------------------------------------------------------------------ 84
4.1.1. Mẫu và tổng thể --------------------------------------------------------------- 84
4.1.2. Mẫu lí thuyết và mẫu cụ thể ------------------------------------------------- 85
4.1.3. Thống kê ------------------------------------------------------------------------ 85
4.1.4. Định lý giới hạn trung tâm--------------------------------------------------- 86
4.2. Trình bày dữ liệu thống kê --------------------------------------------------------- 87
4.2.1. Bảng phân bố tần số tần suất------------------------------------------------ 87
4.2.2. Dữ liệu được phân lớp-------------------------------------------------------- 88
4.2.3. bảng phân phối tần số hai chiều -------------------------------------------- 89
4.2.4. Biểu đồ -------------------------------------------------------------------------- 90
4.3. Ước lượng tham số thống kê ------------------------------------------------------ 94
4.3.1. Ước lượng điểm --------------------------------------------------------------- 94
4.3.2. Ước lượng không chệch ------------------------------------------------------ 95
4.3.3. Ước lượng hiệu quả ----------------------------------------------------------- 95
iv


4.3.4. Ước lượng vững --------------------------------------------------------------- 95
4.3.5. Phương pháp ước lượng hợp lý cực đại------------------------------------ 95
4.4. Ước lượng khoảng ------------------------------------------------------------------ 97
4.4.1. Khoảng tin cậy cho trung bình tổng thể ------------------------------------ 97
4.4.2. Khoảng tin cậy cho tỉ lệ tổng thể (mẫu lớn) ------------------------------- 99

4.4.3. Khoảng tin cậy cho hiệu hai trung bình ---------------------------------- 100
4.4.4. Khoảng tin cậy cho phương sai tổng thể --------------------------------- 102
4.5. Các bài toán liên quan đến khoảng tin cậy ------------------------------------ 104
4.5.1. Bài toán xác định độ tin cậy ----------------------------------------------- 104
4.5.2. Bài tốn xác định kích thước mẫu ---------------------------------------- 106
BÀI TẬP ---------------------------------------------------------------------------------- 108
CHƯƠNG 5: KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT THỐNG KÊ ------------------------------- 118
5.1. Các khái niệm ---------------------------------------------------------------------- 118
5.1.1. Giả thiết thống kê------------------------------------------------------------ 118
5.1.2. Mức ý nghĩa, miền bác bỏ -------------------------------------------------- 119
5.1.3. Sai lầm loại 1 và sai lầm loại 2 ------------------------------------------- 119
5.2. Các tiêu chuẩn kiểm định giả thiết thống kê ---------------------------------- 120
5.2.1. Kiểm định giả thiết về trung bình ----------------------------------------- 120
5.2.2. Kiểm định giả thiết về tỉ lệ tổng thể (mẫu lớn) -------------------------- 123
5.2.3. Kiểm định giả thiết về phương sai ---------------------------------------- 124
5.2.4. So sánh hai trung bình với hai mẫu độc lập ----------------------------- 126
5.2.5. So sánh hai trung bình với dãy số liệu từng cặp ------------------------ 129
5.2.6. So sánh hai tỉ lệ với hai mẫu lớn độc lập -------------------------------- 131
BÀI TẬP ---------------------------------------------------------------------------------- 133
CHƯƠNG 6: TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUY ------------------------------------------ 140
6.1. Tương quan ------------------------------------------------------------------------ 140
6.1.1. Hệ số tương quan mẫu ------------------------------------------------------ 140
6.1.2. Kiểm định giả thiết về sự tương quan ------------------------------------ 141
6.2. Hồi quy ----------------------------------------------------------------------------- 143
6.2.1. Hàm hồi quy ------------------------------------------------------------------ 143
6.2.2. Hàm hồi quy tuyến tính mẫu ----------------------------------------------- 146
BÀI TẬP ---------------------------------------------------------------------------------- 148
PHỤ LỤC: CÁC BẢNG XÁC SUẤT ---------------------------------------------------- 152

BẢNG 1: Giá trị hàm phân phối của phân phối chuẩn N 0, 1 ---------------- 152

BẢNG 2: Giá trị tới hạn của phân phối Student ----------------------------------- 153
BẢNG 3: Giá trị tới hạn mức của phân phối  2 ---------------------------------- 155

BẢNG 4: Giá trị tới hạn mức theo phân phối chuẩn N 0, 1 ------------------- 156
TÀI LIỆU THAM KHẢO ------------------------------------------------------------------ 157

v


CHƯƠNG 1

BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT
1.1. Phép thử và biến cố
1.1.1. Phép thử và không gian mẫu
Trong các lĩnh vực nơng nghiệp, sinh học hay y học, … có những thí nghiệm
hay quan sát ở cùng một điều kiện như nhau nhưng cho kết quả khác nhau. Trong các
thí nghiệm hay quan sát đó mặc dù chúng ta khơng thể biết chắc kết quả nào sẽ xảy
ra nhưng chúng ta có thể mơ tả tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra. Chẳng hạn
khi gieo một hạt đậu ta không biết chắc kết quả nào sẽ xảy ra: nảy mầm hay khơng
nảy mầm nhưng ta có thể mơ tả tất cả các kết quả có thể xảy ra là: “hạt nảy mầm”,
“hạt không nảy mầm”. Ta gọi những thí nghiệm hay quan sát đó là phép thử ngẫu
nhiên hay gọi tắt là phép thử.
Định nghĩa 1.1. Phép thử ngẫu nhiên hay phép thử là một thí nghiệm hay quan
sát nào đó mà trước khi tiến hành ta không biết chắc kết quả nào sẽ xảy ra nhưng ta
có thể mơ tả tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra. Tập hợp tất cả các kết quả có
thể xảy ra của phép thử được gọi là khơng gian mẫu của phép thử, được kí hiệu là
 . Mỗi phần tử của không gian mẫu là một kết quả đơn giản nhất có thể xảy ra trong
một phép thử được gọi là một biến cố sơ cấp và kí hiệu là  . Do đó, khơng gian
mẫu  cịn được gọi là khơng gian các biến cố sơ cấp.
Ví dụ 1.1. Gieo một đồng xu là một phép thử, không gian mẫu bao gồm hai biến cố

sơ cấp: S: “mặt sấp xuất hiện” và N: “mặt ngửa xuất hiện”,   S , N  .
Ví dụ 1.2. Gieo một con súc sắc, đó là một phép thử. Kí hiệu k là kết quả “xuất hiện
mặt k chấm”, k  1, 2,3, 4, 5, 6 . Khi đó khơng gian mẫu là   1; 2;3;4;5;6 . Mỗi
kết quả k là một biến cố sơ cấp.
Ví dụ 1.3. Gieo một hạt đậu là một phép thử có hai biến cố sơ cấp là:    N , K 
vơi N là kí hiệu chỉ “hạt nảy mầm được” và K là kí hiệu chỉ hạt “khơng nảy mầm
được”.
Ví dụ 1.4. Quan sát nhiệt độ thích hợp mà cá rơ phi có thể sinh trưởng tốt người ta
thấy nhiệt độ đó rơi vào khoảng 25oC đến 30oC. Như vậy, không gian mẫu của phép
thử này là:    25, 32 .
Ví dụ 1.5. Đo chiều cao của một cậy bạch đàn được chọn ngẫu nhiên trong nơng
trường. Đó là một phép thử. Kết quả của phép thử này là: “Cây được chọn có chiều
cao t m”, t là một số thực nằm trong khoảng từ 6m đến 10m. Như vậy, không gian
mẫu của phép thử này là    6;10  .

1


1.1.2. Biến cố
Một biến cố là một kết quả nào đó có thể xảy ra hoặc khơng xảy ra trong một
phép thử tùy theo một số biến cố sơ cấp nào đó có xảy ra hay khơng. Ta kí hiệu biến
cố bằng chữ cái in hoa như A, B ,C ,...
Một biến cố là một tập con của không gian mẫu và do đó nó bao gồm một số
biến cố sơ cấp nào đó. Nếu một biến cố sơ cấp  nằm trong biến cố A thì ta nói 
là biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A .
Đối với một biến cố ta có thể mơ tả bằng lời như một mệnh đề cũng có thể
biểu diễn nó như một tập con của khơng gian mẫu.
1.1.3. Các loại biến cố
 Biến cố không là biến cố không bao giờ xảy ra trong một phép thử, được
kí hiệu là  . Nó chính là tập rỗng.

 Biến cố chắc chắn là biến cố luôn xảy ra trong một phép thử, được kí hiệu
là  . Nó chính là không gian mẫu của phép thử.
 Biến cố con hay biến cố kéo theo: Một biến cố A được gọi là con hay kéo
theo biến cố B nếu A xảy ra thì B cũng xảy ra, khi đó ta viết A  B
(hay A  B ).
 Biến cố bằng nhau hay biến cố tương đương: Hai biến cố A và B được
gọi là tương đương hay bằng nhau nếu A xảy ra khi và chỉ khi B xảy ra,
ta viết A  B (hay A  B ).
Ví dụ 1.6. Xét ví dụ gieo một con súc sắc, biến cố A được mô tả là “Mặt chẵn xuất
hiện” hoặc được biểu diễn A  2, 4, 6 . (Hình 1.1)

Hình 1. 1 – Biến cố “Mặt chẵn xuất hiện”.
Ví dụ 1.7. Một hộp có 12 quả cầu trong đó có 4 quả đỏ đánh số 1,2,3; 4 quả cầu
xanh được đánh số 4, 5, 6, 7 và 5 quả cầu màu vàng được đánh số là 8, 9, 10, 11, 12.

Từ hộp đó lấy ngẫu nhiên ra 1 quả cầu. Khi đó khơng gian mẫu   1, 2,..., 12 và
các biến cố A, B, C được mô tả tương ứng là: lấy được quả cầu màu đỏ, xanh, vàng
2


được

biểu

diễn

dạng

tập

hợp

là

A  1, 2,3 ; B  4,5, 6, 7

và

C  8,9,10,11,12 . (Hình 1.2)

Hình 1. 2 – Ba biến cố trên một khơng gian mẫu
Ví dụ 1.8. Gieo một con súc sắc, xét biến cố A : “Con súc sắc xuất hiện mặt chẵn”;
biến cố B : “Con súc sắc xuất hiện mặt 4 hoặc 6”; biến cố C : “Con súc sắc xuất hiện
mặt chẵn lớn hơn 3”. Khi đó, nếu biến cố B xảy ra thì biến cố A cũng xảy ra tức là
B  A . Còn B và C là hai biến cố tương đương.
1.1.4. Các phép toán giữa các biến cố
Định nghĩa 1.2. Cho biến cố A , biến cố đối lập (gọi tắt là biến cố đối) của A kí
hiệu là A là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra.

Về mặt tập hợp A chính là phần bù của A trong không gian mẫu  , tức là

A   \A.

Hình 1. 3 – Biến cố đối lập
Ví dụ 1.9. Xét phép thử gieo 3 hạt đậu tương xét A là biến cố “Có ít nhất một hạt
nảy mầm”. Khi đó biến cố đối của biến cố A là A : “Khơng có hạt nào nảy mầm”.

Định nghĩa 1.3. Giao (cịn gọi là tích) của hai biến cố A và B là một biến cố kí
hiệu là A  B (hay AB ) là một biến cố xảy ra khi cả hai biến cố A và B cùng xảy
ra.

3


Hình 1. 4 – Giao hai biến cố
Về mặt mơ tả ta nói biến cố tích AB là biến cố “ A và B cùng xảy ra”. Về
mặt tập hợp AB chính là tập giao của A và B . Nó chính là tập hợp tất cả các biến
cố sơ cấp thuận lợi cho cả A và B .
Định nghĩa 1.4. Khi A và B không bao giờ cùng xảy ra tức là AB   ta nói A
và B là hai biến cố xung khắc.
Định nghĩa 1.5. Giao (hay tích) của n biến cố A1 , A2 ,..., An là một biến cố xảy ra
khi cả n biến cố A1 , A2 ,..., An cùng xảy ra. Kí hiệu là AA
1 2 ...An .
Nếu trong hệ A1 , A2 ,..., An có hai biến cố bất kỳ ln xung khắc thì ta nói hệ
đó là từng đơi xung khắc. Hiển nhiên hệ A1 , A2 ,..., An là từng đơi xung khắc thì
AA
1 2 ...An   nhưng nếu AA
1 2 ...An   thì chưa chắc A1 , A2 ,..., An là từng đôi xung

khắc.
Định nghĩa 1.6. Giao của biến cố A với biến cố đối của biến cố B được gọi là hiệu
của A và B , kí hiệu là A \ B hay AB . Biến cố A \ B có nghĩa là “ A xảy ra nhưng
B không xảy ra” hay “ A và B cùng xảy ra”.

B

AB

A\B

Hình 1. 5 – Hiệu hai biến cố
Định nghĩa 1.7. Hợp (tổng) hai biến cố A và B là một biến cố kí hiệu là A  B xảy
ra khi ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra.
Chú ý. Khi hai biến cố A và B xung khắc ta viết A  B thay cho A  B .
4


Về mặt mơ tả ta có thể nói A  B là biến cố “có từ một biến cố trong hai biến
cố A và B xảy ra” hay “có ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra” hay “ A
hoặc B xảy ra”. Về mặt tập hợp, A  B là hợp của hai tập hợp A và B . Nó chứa
các biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A hoặc B .

Hình 1. 6 – Hợp hai biến cố
Định nghĩa 1.8. Cho n biến cố A1 , A2 ,..., An , hợp của A1 , A2 ,..., An là một biến cố,
kí hiệu là

n

A
i 1

i



(hay

n
i 1

Ai ), xảy ra khi có ít nhất một trong n biến cố

A1 , A2 ,..., An xảy ra.

Định nghĩa 1.9. Hệ A1 , A2 ,..., An được gọi là hệ đầy đủ các biến cố nếu hệ đó là
xung khắc từng đơi và

n

A   .
i 1

i

Nói cách khác một hệ đầy đủ các biến cố là một hệ biến cố trong đó khơng có
hai biến cố nào cùng xảy ra nhưng chắc chắn phải có một biến cố nào đó xảy ra. Một
hệ đầy đủ các biến cố còn được gọi là một sự phân hoạch khơng gian mẫu.




thì hệ AB , AB , AB , AB là hệ đầy đủ các biến

Dễ thấy rằng với A là một biến cố bất kỳ thì hệ A, A cũng là hệ đầy đủ các
biến cố. Nếu có hai biến cố A và B
cố.

1.2. Xác suất
Đối với một biến cố chúng ta khơng thể biết chắc là nó có xảy ra hay khơng
như chúng ta có thể đánh giá khả năng xảy ra của nó bằng một số xác định được gọi

là xác suất của nó. Như vậy, xác suất của một biến cố là số đo khả năng xuất hiện
của một biến cố. Xác suất của một biến cố A được kí hiệu là P  A . Người ta có các
cách định nghĩa xác suất của biến cố như sau:

5


1.2.1. Định nghĩa xác suất (cổ điển)
Định nghĩa 1.10. Giả sử không gian mẫu  của một phép thử là hữu hạn và mỗi
biến cố sơ cấp có cùng khả năng xuất hiện. Khi đó xác suất của một biến cố A là tỉ
số giữa số phần tử của A và số phần tử của không gian mẫu  . Tức là:
P A 

n A 
n 

(1.1)

với n  A  là số biến cố sơ cấp thuận lợi cho A và n    là số phần tử của khơng
gian mẫu  .
Ví dụ 1.10. Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất, tính xác suất các biến cố sau:
A : “Con súc sắc xuất hiện mặt chẵn”.
B : “Con súc sắc xuất hiện mặt lớn hơn 3”.

Giải.
Không gian mẫu của phép thử là   1, 2,3, 4,5,6 , n     6 . Vì con súc sắc
cân đối đồng chất nên mỗi kết quả xuất hiện là đồng khả năng. Ta có A  2, 4, 6 ,

n  A  3 và B  4,5, 6 , n  B   3 . Do đó P  A  

3 1
1
 và P  B   .
6 2
2

Ví dụ 1.11. Một lớp học có 10 bạn nam và 20 bạn nữ. Chọn ngẫu nhiên 4 bạn làm
Ban cán bộ lớp. Tính xác suất:
a) Ban cán bộ lớp có 1 bạn nam 3 bạn nữ.
b) Ban cán bộ lớp có 2 nam hai nữ.
c) Ban cán bộ lớp có ít nhất một bạn nam.
Giải.
Chọn ngẫu nhiên 4 bạn từ 30 bạn, khơng gian mẫu có n     C 304
Gọi Ak : “Ban cán bộ có k bạn nam”, k  0,1, 2, 3, 4
Ta có số biến cố sơ cấp thuận lợi cho Ak là: n  Ak   C 10k .C 204k , k  0,1, 2,3, 4 .
a) Xác suất cần tính là P  A1  
b) P  A2  

3
C 101 .C 20
760

 0, 4160
4
C 30
1827

C 102 .C 202 190

 0,3120

C 304
609

c) Gọi C: “Ban cán bộ có ít nhất một bạn nam”.
Ta có n C   n     n  A0   C 304 C104
6


Suy ra P C   1 

C 104
259
 1  P  A0  
 0,9923 .
4
C 30
261

1.2.2. Định nghĩa xác suất theo thống kê
Định nghĩa 1.11. Giả sử trong một phép thử T biến cố A xuất hiện với xác suất là

P  A . Tiến hành phép thử T lặp đi lặp lại n lần gọi nA là số lần biến cố A xuất

hiện. Đặt fA 

nA
và gọi là tần suất xuất hiện biến cố A trong n lần thử. Khi đó:
n

P A   lim fA

(1.2)

n 

Nói cách khác, khi số phép thử càng tăng lên thì tần suất xuất hiện biến cố A
là fA có giá trị xấp xỉ xác suất biến cố đó. Trong thực tế khi n khá lớn ta dùng fA để
chỉ P  A .
Ví dụ 1.12. Để kết luận xác suất bắn trúng bia của một xạ thủ là 80% người ta ghi
nhận rất nhiều lần bắn của xạ thủ đó và tính tần suất bắn trúng bia của xạ thủ. Tần
suất này có giá trị xấp xỉ 0,8.
Các nhà toán học Buffon và K. Pearson đã tiến hành các thí nghiệm gieo
đồng tiền và thấy kết quả sự hội tụ của tần suất về xác suất của biến cố “mặt sấp xuất
hiện”. Về mặt lý thuyết (giống như định nghĩa cổ điển về xác suất) xác suất xuất hiện
mặt sấp khi gieo một đồng tiền là 0,5. Thí nghiệm cho ta thấy rõ khi số lần gieo tăng
lên thì tần suất xuất hiện mặt sấp càng xấp xỉ tốt hơn cho xác suất của biến cố.
Người thí nghiệm

Số lần gieo

Số lần sấp

Tần suất

Buffon

4040

2048

0,5080

Pearson

12000

6019

0,5016

Pearson

24000

12012

0,5005

Trong thực tế, người ta dùng tần suất xuất hiện của biến cố A khi số phép thử
khá lớn để chỉ xác suất của biến cố đó.
1.2.3 Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học
Có những phép thử khơng gian mẫu là một miền hình học có vơ hạn khơng
đếm được các biến cố sơ cấp. Chẳng hạn, quan sát tuổi thọ của một bóng đèn, đo
khoảng cách từ điểm chạm của viên đạn đến tâm bia, vị trí rơi của viên đạn trên một
một khu vực, vị trí của một phân tử trong chất lỏng; … Những trường hợp như thế
không thể dùng định cổ điển để tính xác suất được mà dựa vào định nghĩa hình học
về xác suất.
Định nghĩa 1.12. Giả sử khơng gian mẫu của phép thử là một miền hình học  đo
được, một biến cố A bất kỳ là một miền con của  . Khi đó xác suất của biến cố A
sẽ là:

7


P  A 

S  A
S 

(1.3)

trong đó S  A là số đo miền A và S    là số đo của  với cùng một đơn vị đo.
Số đo miền A có thể là độ dài, diện tích, hay thể tích tùy theo miền hình học  là
đoạn thẳng, hình phẳng hay khối khơng gian.
Ví dụ 1.13. Hai người hẹn gặp nhau vào khoảng từ 11 giờ đến 12 giờ. Họ quy ước
rằng người đến trước sẽ chỉ phải chờ 20 phút, nếu không gặp sẽ đi. Giả sử việc đến
điểm hẹn của mỗi người là ngẫu nhiên. Tìm xác suất để hai người gặp nhau.
Giải.
Gọi x , y là thời điểm đến điểm hẹn của mỗi người. Ta biểu x , y lên mặt

phẳng tọa độ Oxy . Tập các kết cục có thể xảy ra nằm trong hình vng cạnh 60 (ta
lấy phúc là đơn vị)
0  x  60
0  y  60

Tập các điểm thuận lợi để hai người gặp nhau là

x , y  : x  y

 20 . Gọi A

là sự kiện “Hai người gặp nhau”
Theo công thức xác suất theo hình học ta có

P  A 

S A 602  402 5


SB
602
9

Hình 1. 7 – Biến cố A là miền được gạch chéo
1.2.5. Các tính chất của xác suất
Mặc dù có nhiều cách định nghĩa xác suất khác nhau nhưng xác suất biến cố
đều có các tính chất sau:
-

8

P   0 và P   1 .

(1.4)


-

Với mọi biến cố A , 0  P  A  1

-

P A  1  P A

-

Đối với hai biến cố A và B bất kỳ ta có

(1.5)

 

(1.6)

 

P  B \ A   P BA  P B   P  AB 

(1.7)

-

Nếu A  B thì P  A  P B 

(1.8)

-

Đối với hệ các biến cố xung khắc A1 , A2 ,..., An , ta có

P A1  A2  ...  An   P A1   P A2   ...  P An 

(1.9)

1.3. Các công thức tính xác suất
1.3.1. Cơng thức cộng xác suất
Xét một ví dụ đơn giản như sau: Gieo con súc sắc cân đối đồng chất. Xét các
biến cố: A : “Con súc sắc xuất hiện mặt chẵn” và B : “Con súc sắc xuất hiện mặt
lớn hơn 3”. Khi đó, biến cố AB : “Con súc sắc xuất hiện mặt chẵn lớn hơn 3” và
A  B : “con súc sắc xuất hiện mặt chẵn hoặc mặt lớn hơn 3”.



B  4; 5; 6 , AB  4; 6 và A  B  2; 4; 5; 6 .





Không gian mẫu của phép thử   1; 2; 3; 4; 5; 6 , biến cố A  2; 4; 6 ,





 

 





Dễ thấy 4  n A  B  n A  n B  n AB  3  3  2 . Do đó,

P A  B   P A  P B   P AB  .

Trong trường hợp tổng quát, biến cố A  B bao gồm 3 phần: A \ B , B \ A và

AB . Các biến cố này đôi một xung khắc. Do đó,



P A  B   P A \ B   P B \ A  P AB 



 









 



Nhưng, P A \ B  P A  P AB và P B \ A  P B  P AB



Nên:

P  A  B   P  A  P  B   P A  B 

9

(1.10)


A
B

AB

P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)

Hình 1. 8 – Cơng thức cộng xác suất
Ví dụ 1.14. Trong một đội tuyển có hai vận động viên A và B thi đấu. Biết xác suất
để A thắng trận là 0,8; xác suất B thắng là 0,54 và xác suất cả hai người cùng thắng
trận là 0, 48 . Tính xác suất đội tuyển thắng ít nhất một trận.
Giải
Đặt A : “Vận động viên A thắng trận” và B : “Vận động viên B thắng trận”.

Theo đề bài ta có P  A  0,8; P  B   0,54 và P  AB   0, 48 .
Xác suất đội thắng ít nhất một trận:

P  A  B   P  A  P  B   P  AB   0,8  0,54  0, 48  0,86
1.3.2. Xác suất điều kiện
Định nghĩa 1.13. Trong không gian mẫu  , cho biến cố B có P  B   0 và biến cố
A bất kỳ. Xác suất của A với điều kiện B , kí hiệu là P  A / B  , là khả năng xảy ra
của biến cố A khi biến cố B đã xảy ra. Xác suất được tính bằng tỉ số:
P A / B  

P  AB 
P B 

Tính chất:
i.

P B / B   1

ii. P   / B   1
iii. P  A / B   1  P  A / B 
iv. P  A  B /C   P  A / C   P  B /C   P  AB /C 

10

(1.11)


Chú ý 1.1. Thường thì P  A / B  có thể suy ra trực tiếp từ yêu cầu của bài tốn chứ
khơng cần phải tính qua cơng thức trên.
Ví dụ 1.15. Gieo hai con súc sắc cân đối đồng chất giống nhau. Tính xác suất để
tổng số chấm thu được bằng 6, biết rằng tổng số đó là số chẵn.
Giải.
Thí nghiệm có 36 kết cục đồng khả năng. Gọi A là biến cố “Tổng số chấm

thu được bằng 6”. B là biến cố “Tổng số chấm thu được là số chẵn”.
Các kết quả thuận lợi cho A là 1, 5 ,  2, 4  ,  3,3 ,  4, 2  ,  5,1 và dễ thấy
A  B do đó P  A / B  

P AB  P  A 5 / 36
5


 .
P B 
P  B  18 / 36 18

Ví dụ 1.16. Một lớp chia làm 3 nhóm thực tập. Nhóm 1 có 7 nam và 5 nữ. Nhóm 2
có 6 nam và 6 nữ. Nhóm 3 có 5 nam và 6 nữ. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên trong
lớp. Tính xác suất sinh viên được chọn là nữ và thuộc nhóm 3.
Giải.
3”.

Đặt A : “Sinh viên được chọn là nữ”. B : “Sinh viên được chọn thuộc nhóm
Xác suất sinh viên được chọn là nữ và thuộc nhóm 3 là: P  AB 
Ta có P  A / B  
P A / B  

6
11
; P  B   . Theo công thức xác suất điều kiện ta có:
11
35

P AB 

11 6
6
 P  AB   P  B  .P  A / B   .  .
P B 
35 11 35

1.3.3. Công thức nhân xác suất
a) Công thức nhân xác suất hai biến cố
Cho hai biến cố A và B . Khi đó

P  AB   P  A P  B / A
hoặc P  AB   P  B  P  A / B 

(1.12)

Các công thức trên được gọi là công thức nhân xác suất.
Chú ý 1.2. Trong hai cơng thức nhân xác suất, ta có thể tính P  AB  dựa vào

P  A / B  hoặc P  B / A . Tuy nhiên ta cần xem các biến cố A và B biến cố nào
xảy ra trước. Nếu A xảy ra trước thì ta tính theo cơng thức trên. Cịn nếu B xảy ra
trước thì ta tính theo cơng thức dưới.

11


Ví dụ 1.17. Một hộp có 3 quả cầu trắng và 4 quả cầu đỏ. Lấy ngẫu nhiên liên tiếp
không hoàn lại 2 quả cầu. Để hai quả cầu lấy ra đều màu đỏ.
Giải.
Gọi A, B lần lượt là các biến cố “quả cầu lấy ra lần thứ nhất, lần thứ hai màu
4

. Nếu A xảy ra, tức là lấy ra một quả màu
7
3 1
đỏ thì trong hộp cịn 6 quả cầu trong đó có 3 trắng 3 đỏ. Do đó, P  B / A    .
6 2

đỏ”. Ta cần tính P  AB  . Ta có P  A  

Theo cơng thức nhân xác suất ta có:
4 3 2
P  AB   P  A  .P  B / A   .  .
7 6 7

Ví dụ 1.18. Một chuồng có 5 con gà trống và 7 con gà mái. Người ta bắt ngẫu nhiên
lần lượt hai lần, mỗi lần một con để bán. Tính xác suất:
a) Cả hai con đều là gà mái.
b) Con bắt lần thứ hai là gà mái.
Giải.
Đặt A : “Con gà bắt lần đầu là gà mái”. Ta có P  A  
B : “Con gà bắt lần thứ hai là gà mái” và P  B / A  

7
và
12

6
.
11

a) Theo công thức nhân xác suất ta có:

P  AB   P A  .P  B / A 

7 6
7
.
. 
12 11 22

b) Xác suất con thứ hai là gà mái.
Ta có B  B A  A   AB  AB

  



Suy ra P  B   P A  P  B / A  P A P B / A 

7 6 5 7
7
.  .  .
12 11 12 11 12

b) Công thức nhân xác suất tổng quát
Cho n biến cố A1 , A2 ,..., An , khi đó

P  AA
1 2 ...An   P  A1  P  A2 / A1  P  A3 / AA
1 2  ...P  An / AA
1 2 ...An 1 

(1.13)

Ví dụ 1.19. (Sơ đồ hộp Polya) Một hộp lúc đầu có chứa a quả cầu trắng, b cầu đỏ.
Sau mỗi lần chọn ngẫu nhiên một cầu ta trả quả cầu đó cùng c quả cầu cùng màu với
nó vào hộp. Tìm xác suất để các quả cầu được chọn ở ba lần đầu màu trắng.
12


Giải.
Đặt Ai : “quả cầu được chọn ở lần thứ i màu trắng”, ( i  1, 2,3 ).
a
. Nếu A1 xảy ra thì ta trả vào
a b
hộp quả cầu trắng vừa lấy ra và c quả cầu trắng nữa, tức là trong hộp sẽ có a  c quả
a c
cầu trắng trong tổng số a  b  c quả cầu. Do đó, P  A2 / A1  
. Tương tự
a b c
nếu A1 , A2 xảy ra, tức là ta đã lấy ra lần lượt hai quả cầu màu trắng xong hồn lại

Vậy ta cần tính P  AA
1 2A3  . Ta có P  A1  

chúng và 2c quả màu trắng nữa. Như vậy, trong hộp sẽ có a  2c quả cầu trắng
a  2c
trong tổng số a  b  2c quả cầu. Do đó, P  A3 / AA
.
1 2 
a  b  2c
Theo công thức nhân xác suất:

P  AA
1 2A2   P  A1  P  A2 / A1  P  A3 / A1A2  

a
a c
a  2c
.
.
.
a  b a  b  c a  b  2c

Ví dụ 1.20. Một lơ hàng có 9 sản phẩm giống nhau. Mỗi lần kiểm tra, người ta chọn
ngẫu nhiên 3 sản phẩm; kiểm tra xong trả sản phẩm lại lơ hàng. Tính xác suất để sau
3 lần kiểm tra, 9 sản phẩm đều được kiểm tra.
Giải.
Đặt Ai : “Lần kiểm tra thứ i gặp toàn sản phẩm chưa được kiểm tra”,

i  1, 2, 3 .

Xác suất cần tính là P  AA
1 2A3  ?
Ta có P  A1   1 vì trong lơ hàng tồn sản phẩm chưa được kiểm tra.
Sau khi A1 đã xảy ra, tức là lơ hàng có 6 sản phẩm chưa được kiểm tra và 3
sản phẩm đã được kiểm tra, nên xác suất để lần thứ hai kiểm được 3 sản phẩm chưa
được kiểm tra là: P  A2 / A1  

C 63 5

.
C 93 21

Nếu A1 , A2 xảy ra, tức là ta đã kiểm tra được 6 sản phẩm và còn lại 3 sản
phẩm chưa được kiểm tra. Do đó, xác suất để lần thứ 3 chọn đúng 3 sản phẩm chưa
được kiểm tra là P  A3 / AA
1 2 

C 33 1

.
C 93 84

Theo cơng thức nhân xác suất ta có:
P  AA
1 2A3   P  A1  P  A2 / A1  P  A3 / A1A2   1.

13

5 1
5
. 
21 84 1764


Ví dụ 1.21. Để chọn ứng cử viên cho chức tổng giám đốc điều hành cơng ty tuyển
chọn thí sinh qua ba vịng. Vịng thứ nhất lấy 70% thí sinh; vịng thứ hai lấy 50% thí
sinh đã qua vịng thứ nhất và vịng thứ ba lấy 20% thí sinh đã qua vịng thứ hai. Để
trở thành ứng cử viên, thí sinh phải vượt qua được cả 3 vịng thi. Tính xác suất để
một thí sinh bất kỳ
a) Được trở thành ứng cử viên chức tổng giám đốc.
b) Bị loại ở vịng thứ hai, biết rằng thí sinh này bị loại.

Giải.
a) Gọi Ai là biến cố “Thí sinh qua vịng thứ i ”, i  1, 2,3 , A là biến cố “Thí
sinh được trở thành ứng cử viên chức tổng giám đốc”. Ta có: P  A1   0, 7 ,

P  A2 / A1   0,5 và P  A3 / AA
1 2   0, 2 . Theo cơng thức nhân xác suất ta có:
P  A  P  AA
1 2A3   P  A1  P  A2 / A1  .P  A3 / AA
1 2
 0, 7.0,5.0, 2  0, 07



.

b) Xác suất thí sinh bị loại ở vịng thứ hai, biết rằng thí sinh này bị loại là



P A2 / A . Trong đó A là biến cố thí sinh bị loại. Xác suất thí sinh bị loại là:

 

P A  1  P  A   0,93

Theo cơng thức xác suất điều kiện ta có:





P A2 / A 



P A2A

 

P A

  P A A   P A  P A / A   0,7.0,5  0,3763
2

1

1

0,93

2

1

0,93

0,93

Ví dụ 1.22. Để dập tắt nạn dịch sâu hại lúa người ta tiến hành phun thuốc 3 lần liên
tiếp trong 1 tuần. Xác suất sâu bị chết ở lần đầu là 0,5. Nếu sâu sống sót thì khả năng

chết của sâu ở lần thứ hai là 0,7. Cịn nếu sâu chưa chết ở lần thứ hai thì sâu sẽ chết ở
lần thứ ba với xác suất là 0,9. Tính xác suất sâu chết sau đợt phun thuốc.
Giải.
Gọi Ai : “Sâu chết ở lần phun thuốc thứ i ”, i  1, 2, 3 . A : “Sâu chết trong đợt
phun thuốc”. Ta có:

P  A1   0,5 ,









P A2 / A1  0,8 ; P A3 / A1A2  0,9

và

A  A1  A1A2  A1A2A3 .

Suy ra:

  



  

 

P  A   P  A1   P A1 P A2 / A1  P A1 P A2 / A1 P A3 / A1A2



 0,5  0,5.0, 7  0,5. 1  0, 7  .0,9  0,5  0,35  0,135  0,985

14


Cách 2: Ta có:

 





  

 



P A  P A1A2A3  P A1 P A2 / A1 P A3 / A1A2  0, 5.0, 3.0,1  0, 015

 

Suy ra: P  A   1  P A  0,985 .

c) Hai biến cố độc lập
Định nghĩa 1.14. Hai biến cố A và B trong một không gian mẫu được gọi là độc lập
nếu

P  AB   P  A P  B 

(1.14)

Ta hiểu hai biến cố A và B độc lập nếu như việc xảy ra của biến cố này
không ảnh hưởng đến biến cố kia và ngược lại. Như vậy, A, B độc lập nếu

P  A / B   P  A hoặc P  B / A  P  B  .

Ví dụ 1.23. Có hai hộp đựng các quả cầu. Hộp 1 đựng 5 quả cầu xanh và 3 quả đỏ.
Hộp 2 đựng 2 quả cầu xanh và 6 quả cầu màu đỏ. Từ mỗi hộp lấy ra một quả cầu.
Tính xác suất để:
a) Hai quả cầu lấy ra cùng màu xanh.
b) Hai quả cầu lấy ra cùng màu.
Giải.
Đặt Ai : “Quả cầu lấy từ hộp thứ i màu xanh”, i  1, 2
5
2
Ta có P  A1   ; P  A2   và A1 , A2 độc lập nhau.
8
8

a) Xác suất hai quả cầu lấy ra cùng màu xanh là:
5 2 5
P  AA
. 

1 2   P  A1  P  A2  
8 8 32

b) Xác suất hai quả cầu lấy ra cùng màu:







P A1A2  A1A2  P  A1A2   P A1A2





5
5 3 6 14 7
 P A1 P A2 
 . 

32
32 8 8 32 16

   

Khái niệm độc lập cũng được mở rộng cho n (n > 2) biến cố.
d) Định nghĩa n biến cố độc lập
Định nghĩa 1.15. Các biến cố A1 , A2 ,..., An được gọi là độc lập nếu với mọi số

nguyên

m

từ

2

đến

n

và

( 1  k1  k 2  ...  km  n ), chúng ta có:
15

với

mọi

nhóm

biến

cố

Ak1 , Ak2 ,..., Akm

P (Ak1 .Ak2 ...Akm )  P (Ak1 ).P (Ak2 )...P (Akm )

Từ đó suy ra cơng thức nhân xác suất cho n biến cố độc lập là:

P  AA
1 2 ...An   P  A1  P  A2  ....P  An 

(1.15)

Ta hiểu các biến cố được gọi là độc lập nếu việc xảy ra của một hay một số
biến cố trong đó khơng ảnh hưởng đến các biến cố cịn lại. Thơng thường, dựa vào
bản chất của phép thử, chúng ta mặc nhiên công nhận rằng các biến cố độc lập mà
không phải chứng minh. Chẳng hạn, xét việc lấy 2 sản phẩm xem gặp phế phẩm hay
chính phẩm. Nếu lấy lần lượt hai sản phẩm của một kiện hàng thì các biến cố “sản
phẩm thứ nhất là phế phẩm” và “sản phẩm thứ hai là phế phẩm” là khơng độc lập.
Cịn nếu lấy hai sản phẩm từ hai kiện khác nhau thì hai biến cố đó là độc lập nhau.
Bắn n viên đạn độc lập vào bia thì các biến cố Ai : “Viên thứ i trúng bia”,
i  1, 2,..., n là độc lập nhau; lấy lần lượt có hồn lại từng sản phẩm ở cùng một hộp

thì các biến cố “Sản phẩm lấy ra lần thứ i là phế phẩm”, i  1, 2,3,... là các biến cố
độc lập nhau…
Ví dụ 1.24. Trong một đội tuyển có 3 vận động viên A, B và C thi đấu với xác suất
thắng trận lần lượt là 0,6; 0,7 và 0,8. Giả sử mỗi người thi đấu một trận độc lập nhau.
Tính xác suất để:
a) Đội tuyển thắng ít nhất một trận.
b) A thua trong trường hợp đội tuyển thắng 2 trận.
Giải.
Đặt:
A : “vận động viên A thắng trận”,
B : “vận động viên B thắng trận”,

C : “vận động viên C thắng trận”

Ta có P  A  0, 6 ; P  B   0, 7 ; P C   0,8 và A, B ,C độc lập nhau.
a) Gọi D : “Đội tuyển thắng ít nhất 1 trận”. Khi đó D : “Đội tuyển không

thắng trận nào”, D xảy ra khi cả A, B và C đều không xảy ra. Tức là D  ABC .
Áp dụng công thức biến cố đối và cơng thức nhân độc lập ta có:





P (D )  1  P A.BC
.  1  P (A)P (B )P (C )  1  0, 4.0,3.0, 2  0,976
b) Gọi E : “đội tuyển thắng 2 trận”



 

 

P (E )  P ABC  P ABC  P ABC


 

 P  A P  B  P C   P  A  P  B  P C   P A P  B  P C 

16

 0, 6.0, 7.0, 2  0, 6.0,3.0,8  0, 4.0, 7.0,8  0, 452

Xác suất A thua trong trường hợp đội tuyển thắng 2 trận:





P A/E 

P (AE
. ) P (ABC )
56


 0, 4956 (Công thức xác suất điều
P (E )
P (E )
113

kiện)
Ví dụ 1.25. Hai vận động viên cùng bắn vào mục tiêu một cách độc lập nhau. Xác
suất trúng đích của vận động viên A là 0,8 cịn của vận động viên B là 0,7. Tính xác
suất:
a) Vận động viên A bắn trúng đích trong 3 phát đầu.
b) Vận động viên B bắn trúng ngay từ phát thứ ba.
c) Hai người bắn trúng đích khi mỗi người đều bắn 1 phát.
d) Ít nhất một người bắn trúng đích khi mỗi người chỉ bắn 1 phát.

Giải.
Đặt Ai : “Vận động viên A bắn trúng đích ở phát bắn thứ i ”, i  1, 2, 3
B j : “Vận động viên B bắn trúng đích ở phát thứ j ”, j  1, 2,3 . Theo đề bài ta

có Ai , B j là độc lập nhau, A1 , A2 , A3 độc lập nhau, B1 , B2 , B3 cũng độc lập nhau.
động

 

a) Đặt A : “Vận động viên A bắn trúng đích trong 3 phát đầu”. Ta có A : “vận
viên A khơng bắn trúng đích trong ba phát đầu”. Ta có





     

P A  P A1A2A3  P A1 P A2 P A3  0, 23

Theo công thức xác suất biến cố đối ta có:

 

P  A   1  P A  1  0, 23  0, 992

b) Xác suất vận động viên B bắn trúng đích ngay phát thứ 3:
P  B1B2B3   P B1  P  B 2  P  B3   0, 3.0, 3.0, 7  0, 063

c) Xác suất “Hai người bắn trúng đích khi mỗi người đều bắn 1 phát”:

P  AB
1 1   P  A1  P  B1   0,8.0, 7  0,56
d) Đặt D : “Ít nhất một người bắn trúng đích khi mỗi người chỉ bắn 1 phát”.
Ta có D : “khơng có người nào bắn trúng đích khi mỗi người chỉ bắn 1 phát”.





 

P  D   P A1B1  P A1 P  B1   0, 2.0,3  0, 06

Suy ra: P  D   1  P  D   1  0, 06  0,94 .

17


Ví dụ 1.26. Bắn liên tiếp vào một mục tiêu cho đến khi có viên đạn trúng mục tiêu
thì dừng. Tính xác suất việc bắn dừng ở lần thứ tư, biết xác suất trúng của mỗi lần
bắn là như nhau và bằng 0,3.
Giải.
Đặt Ai : “Viên thứ i trúng mục tiêu”, i  1, 2,... Vì xác suất mỗi lần bắn như
nhau và bằng 0,3 nên có thể xem các Ai là độc lập nhau.
Xác suất việc bắn dừng ở lần thứ tư là:





     

P AA
1 2A3A4  P A1 P A2 P A3 P  A4   1  0, 3 .0, 3  0,1029
3

Ví dụ 1.27. Tại một trại chăn ni lợn, lợn có thể mắc bệnh A với xác suất 0,7 và
mắc bệnh B với xác suất 0,5. Biết rằng việc mắc bệnh A hay B là độc lập nhau.
Người ta dùng hai loại thuốc đặc hiệu có thể chữa khỏi hai loại bệnh nói trên. Với
thuốc T1 , khả năng chữa khỏi bệnh A, bệnh B và cả hai bệnh A, B lần lượt là 0,8; 0,6
và 0,3. Còn đối với thuốc T2 các khả năng đó lần lượt là 0,6; 0,7 và 0,4.
a) Tính xác suất lợn bị mắc bệnh.
b) Tính xác suất lợn khỏi bệnh bằng thuốc T1 , T2 . Nên dùng loại thuốc nào
để hiệu quả chữa bệnh cao nhất?
Giải.
Đặt A : “Lợn bị mắc bệnh A”; B “Lợn bị mắc bệnh B”. Ta có

P  A  0, 7; P B   0,5 ; A và B là hai biến cố độc lập.
a) Xác suất lợn bị mắc cả hai loại bệnh A và B là

P  AB   P  A .P  B   0, 7.0,5  0, 35 .
Xác suất lợn bị mắc bệnh là:

P  A  B   P  A  P  B   P  AB   0, 7  0, 5  0,35  0,85
b) Đặt Ki : “Lợn mắc bệnh được chữa khỏi bằng thuốc Ti ”, i  1, 2 .
Xác suất lợn bệnh được chữa khỏi bằng thuốc T1 là:

P   A  B  K1   P  AK1  BK1   P AK1   P  AK1   P  ABK1 
 P  A P  K1 / A  P  B  P  K1 / B   P  AB  P  K1 / AB 

 0, 7.0,8  0,5.0, 6  0,35.0,3  0, 755
Xác suất lợn bệnh được chữa khỏi bằng thuốc T2 là:

18


P   A  B  K 2   P  AK 2  BK 2   P  AK 2   P  AK 2   P ABK 2 
 P  A P K 2 / A  P  B  P K 2 / B   P AB  P  K 2 / AB 
 0, 7.0, 6  0,5.0,7  0, 35.0, 4  0, 63
Vậy, khả năng lợn bệnh được chữa khỏi bằng thuốc T1 cao hơn thuốc T2 .
1.3.4. Công thức xác suất đầy đủ
Cho A biến cố bất kỳ và B1 , B2 ,..., Bn  là hệ đầy đủ các biến cố. Khi đó:

P (A) 

n

 P (B ).P (A / B )
i

i 1

i

(1.16)

được gọi là cơng thức xác suất đầy đủ.

Bn
B1

A

B2
B3

Hình 1. 9 – Hệ đầy đủ các biến cố
Chứng minh.

 n
 n
Ta có A  A  A   Bi    ABi , do B1 , B2 ,..., Bn  là hệ đầy đủ các biến
 i 1  i 1
cố nên AB1 , AB2 ,..., ABn  là hệ từng đơi xung khắc.
Do đó:
n
 n
 n
P  A   P   ABi    P  ABi    P  Bi  P  A / Bi 
 i 1
 i 1
i 1

Chú ý 1.4. Cơng thức xác suất đầy đủ cịn được gọi là cơng thức xác suất tồn phần
hay cơng thức xác suất theo giả thiết.
Các xác suất P  Bi  và P  A / Bi  thường được biết trước khi thực hiện phép
thử và được gọi là các xác suất tiền nghiệm, còn các xác suất P (Bi / A) , cho biết
khả năng tham gia của Bi vào việc xảy ra biến cố A, được gọi là xác suất hậu
nghiệm. Chúng ta có thể tính xác suất hậu nghiệm từ các xác suất tiền nghiệm.

19


1.3.5. Công thức Bayes
Định lý Bayes. Cho A là một biến cố bất kỳ có xác suất dương, B1 , B2 ,..., Bn  là
hệ đầy đủ các biến cố. Khi đó với mỗi j  1, 2,..., n  ta có:

P  B j / A 

P Bj  P A / Bj 

(1.17)

n

 P  Bi  P A / Bi 
i 1

Ví dụ 1.28. Ba người cùng vào một cửa hàng. Mỗi người muốn mua một cái Tivi,
nhưng cửa hàng chỉ còn hai cái Tivi. Người bán hàng làm 3 lá thăm, trong đó có hai
lá được đánh dấu. Mỗi người lần lượt rút một lá thăm. Nếu ai rút được lá có đánh dấu
thì được mua Tivi. Chứng minh rằng cách làm trên là công bằng cho cả 3 người mua
hàng.
Giải.
Đặt Ai : “Người thứ i rút được thăm có đánh dấu”.
Ta có P  A1  

2
.
3

Vì A1 , A1 là hệ đầy đủ các biến cố nên
2 1 1
2
P  A2   P  A1  P  A2 / A1   P A1 P A2 / A1  .  .1  .
3 2 3
3

  



Khi người thứ nhất và thứ hai đã rút thăm thì hệ A1A2 , A1A2 , A1A2  là hệ đầy
đủ các biến cố,
2 1 1
P  AA
.  ; P  A3 / AA
1 2   P  A1  P  A2 / A1  
1 20
3 2 3
2 1 1
P AA
.  ; P A3 / A1A2  1
1 2  P  A1  P A2 / A1 
3 2 3













1
1
P AA
.1  ; P A3 / A1A2  1
1 2  P A1 P A2 / A1 
3
3





  







 



Do đó:





 

P  A3   P  AA
1 2  P  A3 / AA
1 2   P AA
1 2 P A3 / AA
1 2  P AA
1 2 P A3 / AA
1 2



1
1
1
2
 .0  .1  .1 
3
3
3
3
Như vậy, P  A1   P  A2   P  A3  nên cách làm trên là công bằng cho cả ba

người.

20


Chú ý 1.5. Để tính P  A3  ta có thể dựa vào hệ A1A2 ; A1 vì A3 xảy ra khi hai
người đầu có một người khơng được thăm có đánh dấu, tức là A3  AA
1 2  A1 . Từ đó
2 1 1 2
P  A3   P  A1  P A2 / A1  P A1  .   . Cách tính này đơn giản tuy nhiên
3 2 3 3
chỉ áp dụng riêng cho ví dụ này. Trong trường hợp tổng quát, chẳng hạn có 10 là
thăm trong đó có 3 thăm được đánh dấu thì cơng thức đó khơng đúng nữa. Vì hệ trên
khơng phải là hệ đầy đủ các biến cố.





 

Ví dụ 1.29. Một hộp có 10 là thăm trong đó có 3 lá thăm được đánh dấu. Ba người
mỗi người lần lượt rút một thăm. Tính xác suất rút trúng thăm đánh dấu của mỗi
người.
Giải.
Đặt Ai : “Người thứ i rút được thăm có đánh dấu”.
Ta có P  A1  

3
. Khi người thứ nhất đã rút thăm thì A1 , A1 là hệ đầy đủ

10





các biến cố nên

  



P  A2   P  A1  P  A2 / A1   P A1 P A2 / A1 

3 2 7 3 1 7
3
.  .  
 .
10 9 10 9 15 30 10

Khi người thứ nhất và thứ hai đã rút thăm thì hệ A1A2 , A1A2 , A1A2 ; A1A2  là hệ
đầy đủ các biến cố,
P  AA
1 2   P  A1  P  A2 / A1  

3 2 1
1
.  ; P  A3 / A1A2  
10 9 15
8









3 7 7
2
.  ; P A3 / A1A2 
10 9 30
8





  



7 3 7
2
.  ; P A3 / A1A2 
10 9 30
8





  



7 6 7
3
.  ; P A3 / AA
1 2 
10 9 15
8

P AA
1 2  P  A1  P A2 / A1 
P AA
1 2  P A1 P A2 / A1 
P AA
1 2  P A1 P A2 / A1 













Do đó:



 

 P  AA  P  A / AA   P  AA  P  A / AA 

P  A3   P  AA
1 2  P  A3 / AA
1 2   P AA
1 2 P A3 / AA
1 2
1



2

3

1

2

1

2

3

1

2

1 1 7 2 7 2 7 3 3
.  .  .  .  .
15 8 30 8 30 8 15 8 10





Chú ý 1.6. Ở ví dụ này, ta tính P  A3  dựa vào hệ A1A2 , A1A2 , A1A2 ; A1A2 , tuy nhiên
nếu đặt Bi : “Hai người đầu có i người được thăm có đánh dấu”, i  0,1, 2 . Khi đó,
21


B0 , B1 , B2 
P  A3 / Bi  

là

hệ

đầy

đủ

các

biến

cố;

P  Bi  

3i
. Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có:
8
2

C 3iC 72 i
, i  0,1, 2
C 102

và

C 3i .C 72i 3  i 3
.

C 102
8
10
i 0
2

P  A3    P  Bi  P  A3 / Bi   
i 0

So sánh hai cách làm, cách sau trình bày gọn hơn do biến cố
B1  A1A2  A1A2 .

Ví dụ 1.30. Một lô hạt giống gồm làm 3 loại để lẫn lộn. Loại 1 chiếm 2/3 số hạt, loại
2 chiếm 1/4, còn lại là loại 3. Tỉ lệ nẩy mầm của loại 1, loại 2 và loại 3, theo thứ tự,
là 80%, 70% và 50%. Lấy ngẫu nhiên một hạt từ lơ hạt giống.
a) Tính xác suất để hạt giống lấy ra là nẩy mầm được. Ý nghĩa của xác suất
này đối với lơ hạt giống là gì?
b) Giả sử hạt giống lấy ra là nẩy mầm được. Tính xác suất để hạt giống đó
thuộc loại 2.
c) Giả sử hạt giống lấy ra là không nẩy mầm được. Nhiều khả năng nhất là
hạt giống đó thuộc loại nào? Tại sao?
Giải.
a) Gọi A : “Hạt giống lấy ra là hạt nẩy mầm được”.
và Bi : “hạt giống lấy ra thuộc loại i " ( i  1, 2,3 ). Ta có
2
1
2 1 1
P  B1   ; P  B2   và P  B3   1      .
3
4
 3 4  12

Các xác suất điều kiện: P  A / B1   0,8; P  A / B2   0, 7 và P  A / B3   0,5 .
Áp dụng cơng thức xác suất đầy đủ ta có:
3
2

1
1
P  A   P  Bi  P  A / Bi   .0,8  .0,7  .0,5  0,75
3
4
12
i 1

Xác suất P(A) chính là tỉ lệ nẩy mầm chung của lô hạt giống.
b) Giả sử hạt giống lấy ra là nẩy mầm được.
Xác suất phải tính là P  B2 / A . Theo Định lý Bayes, ta có

1
 0,7
P (B2 ). P (A / B2 ) 4
7
P (B2 / A) 


P (A)
0,75
30
c) Giả sử hạt giống lấy ra là khơng nẩy mầm được. Ta có
22