phuong phap giai toan dong du va cac chuc nang trong may tinh casio

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (461.34 KB, 27 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

một số minh họa sử dụng máy tính điện tử

trong đổi mới phơng pháp dạy và học toỏn

Tạ Duy Phợng

Viện Toán học

1. Mở đầu

Cựng vi vic trin khai sách giáo khoa mới cho lớp 1 và lớp 6, năm học 2002- 2003
đợc nhiều nhà quản lý giáo dục gọi là năm đổi mới phơng pháp giảng dạy (xem, thí dụ, [1]).
Trong những năm gần đây, nhiều Hội nghị, Hội thảo về đổi mới ph ơng pháp giảng dạy đã
đợc tổ chức (xem, thí dụ, [2]-[3]). Nhiều phơng pháp giảng dạy mới đã đợc giới thiệu, trong
đó có phơng pháp giảng dạy với sự hỗ trợ của cơng nghệ thơng tin (xem, thí dụ, [4]-[5]). Cơ
sở lý luận và ý nghĩa thực tiễn của dạy học có sử dụng máy tính điện tử đã đ ợc trình bày
trong nhiều bài báo hoặc luận văn Cao học (xem, thí dụ, [6]-[15]).

Bài này có mục đích đa ra một số minh họa cụ thể về sử dụng máy tính điện tử trong
dạy và học tốn, nhằm làm sáng tỏ hơn nữa tính khả thi của việc sử dụng cơng nghệ thơng
tin trong dạy và học nói chung, trong đổi mới phơng pháp dạy và học tốn nói riêng.

Ngay từ khi cha có tốn, lồi ngời đã biết sử dụng công cụ thô sơ (những viên sỏi, sợi
dây,...) để làm tính. Qua từng thời kỳ, mặc dù đợc coi là "làm việc chỉ với cây bút chì và tờ
giấy", phơng pháp giảng dạy và nghiên cứu toán học bao giờ cũng kèm theo sự hỗ trợ của
công cụ (hình vẽ, bàn tính,...). Tuy nhiên, chỉ với máy tính, các cơng cụ hỗ trợ giảng dạy mới
có tính năng động: khác với bảng số là bảng tính cố định, máy tính có khả năng tính với độ
chính xác cao với dữ kiện ban đầu tùy ý; hình vẽ trớc kia chỉ là các hình chết, ngày nay, với
các phần mềm cơ hoạt nh Sketchpad, Capri,…hình học trở nên sống động (di chuyển và thay
đổi đợc), gần với thực tế và gần với q trình phát minh tốn học hơn. Để nâng cao chất l ợng
dạy và học, thày và trò bắt buộc phải đổi mới phơng pháp dạy và học theo hớng tích cực,
năng động và sử dụng triệt để các thành tựu cơng nghệ mới.

Với máy tính điện tử và mạng Internet, tốn học phổ thơng có khả năng tiếp cận tốt
hơn tới toán học hiện đại. Vì vậy, đã đến lúc nên đặt vấn đề: làm thế nào để học sinh phổ
thơng có thể tiếp cận đợc với những thành tựu mới, thậm chí mới nhất, của tốn học hiện
đại?- Trớc đây, điều này có lẽ là không thể. Ngày nay, với sự trợ giúp của cơng nghệ thơng
tin, điều này là có thể. Từ đây, phải chăng, sẽ hình thành một phong cách học tập mới mang
đậm tính chủ động, ham mê khám phá và sáng tạo?

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Nếu biết khai thác, máy tính điện tử bỏ túi có thể trợ giúp rất đắc lực cho quá trình
học và mở rộng kiến thức tốn, nó khơng chỉ là cơng cụ tính tốn thuần túy. Rất nhiều bài
tốn khó và thú vị có thể giải trên máy tính điện tử bỏ túi (xem, thí dụ, [16]-[19]). Dới đây là
những ví dụ minh họa.

2.1. Giải gần đúng phơng trình

Vì khơng đợc học nên học sinh phổ thông thờng lúng túng khi gặp những bài tốn
dẫn đến các phơng trình khơng giải đợc bằng các phép biến đổi đại số (đặt ẩn phụ, nhóm số
hạng, sử dụng các hằng đẳng thức,…). Thực ra, số lợng phơng trình giải đợc bằng các phơng
pháp đại số là không nhiều. Mặt khác, phơng pháp gần đúng giải phơng trình là phơng pháp
cơ bản và phổ dụng, có ý nghĩa thực tiễn cao (phần lớn những phơng trình gặp trong thực tế
có hệ số chỉ là những số gần đúng, ít khi giải đợc bằng những biến đổi đại số hoặc mẹo mực).
Có thể dễ dàng dạy tính gần đúng nghiệm của phơng trình (phi tuyến) kết hợp với thực
hành khi có máy tính. Dạy cho học sinh phổ thơng giải gần đúng phơng trình khơng chỉ giúp
các em sử dụng có hiệu quả máy tính vào việc giải quyết các khó khăn trong chơng trình phổ
thơng mà cịn giúp các em có tầm nhìn rộng hơn về giải phơng trình, đồng thời bớc đầu tiếp
cận với Phơng pháp số và Tốn học tính tốn.

Thực chất của giải gần đúng phơng trình là thực hiện một quá trình lặp. Nói chung
các q trình lặp xn1g x( )n đều có thể thực hiện trên máy tính điện tử bỏ túi Casio fx

500A, Casio fx 500 MS và Casio fx 570 MS (dùng phổ biến trong trờng phổ thông hiện nay)
một cách đơn giản, thí dụ, trên Casio fx 500 MS, nh sau:

Trớc tiên khai báo giá trị ban đầu x0 và bấm phím , máy sẽ hiện x0 trên màn hình
và lu x0 vào ổ kết quả (ổ Ans ). Sau đó khai báo cơng thức tính xn1g x( )n bằng cách khai
báo biểu thức g với xn đợc gán trị số của kết quả trong ổ Ans . Lặp lại quá trình bằng cách
liên tiếp bấm phím .

Thí dụ 1: Tìm một nghiệm gần đúng của phơng trình x5 2 sin(3x x1) 2 0  .

Phơng trình này khó có thể giải đợc bằng các phép biến đổi đại số. Để giải gần đúng ta
đa nó về dạng tơng đơng: x52 sin(3x x1) 2 g x( ). Nghiệm x g x ( ) của phơng

trình thực chất là điểm bất động của ánh xạ g x( ) (tức là điểm nghiệm của phơng trình
( )

x g x và đợc tính gần đúng theo cơng thức lặp xn1g x( )n nh sau:
Vào MODE 2 để tính theo radian: MODE MODE MODE 2
Khai báo giá trị ban đầu x0 1: ( ) 1 

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Tính xn1g x( )n bằng cách liên tiếp bấm phím  cho tới khi số trên màn hình khơng thay
đổi nữa (đợc điểm bất động của ánh xạ g x( ) hay nghiệm gần đúng của phơng trình x g x ( )
chính xác đến 10 chữ số), ta đợc nghiệm x1,353622703.

Thí dụ 2: Tìm nghiệm âm gần đúng của phơng trình x10 5x32x 3 0 .

Ta sẽ tìm nghiệm âm gần đúng của phơng trình x10 5x32x 3 0 bằng phơng pháp tiếp
tuyến (phơng pháp lặp Newton-Rapson). Quá trình lặp đợc mô tả bởi công thức

( )

( )
'( )

n

n n n

n

f x

x x g x

f x

  

Để tìm nghiệm trong khoảng ( 1;0) ta xuất phát từ xấp xỉ thứ nhất x0 1 và thực hiện quá
trình lặp theo công thức trên nh sau:

Khai b¸o x01: ( ) 1 

Khai b¸o biĨu thøc g x( )n : Ans  ( Ans ^ 10  5 Ans ^ 3  2 Ans  3 ) 
(

10 Ans ^ 9  15 Ans ^ 2  2 )

Tính xn1g x( )n bằng cách liên tiếp bấm phím  cho tới khi số trên màn hình khơng thay
đổi nữa, ta đợc nghiệm gần đúng là x0,950804901.

Lời bình 1: Cả bốn phơng pháp số cơ bản giải gần đúng phơng trình đều có thể thực hiện
đ-ợc trên máy tính bỏ túi (xem, thí dụ, [18], [19]). Học sinh dễ dàng hiểu đđ-ợc cả cơ sở lý thuyết
lẫn thực hành tính tốn trên máy các phơng pháp giải gần đúng phơng trình. Các phơng
pháp này đem lại nhiều ích lợi thiết thực trong nâng cao kiến thức toán học (những hiểu biết
rộng hơn về nghiệm của phơng trình, về tính gần đúng,...) cũng nh trong giải quyết những
khó khăn gặp phải ngay trong chơng trình phổ thơng (tìm nghiệm của phơng trình, tỡm giao
im ca hai ng cong,..).

2.2. Phơng trình sai ph©n

Những kiến thức ban đầu của phơng trình sai phân khá đơn giản, thao tác trên máy khá
dễ dàng, nhng rất có ích trong giải các dạng tốn khác nhau (giải gần đúng phơng trình,
ph-ơng trình nghiệm nguyên,…). Phơng trình sai phân thực chất là cơng thức truy hồi (công
thức lặp), mà thực hiện thao tác lặp với tốc độ nhanh và chính xác là một điểm mạnh của
máy tính điện tử. Bản thân phơng trình sai phân cũng chứa khá nhiều bài toán thực tế và
nhiều dạng toán (toán kinh tế, dãy truy hồi, các bài toán số học,…). Các dãy số Fibonacci,
Lucas, Pandovan,... là những ví dụ sinh động mơ tả khả năng sử dụng máy tính trong nghiên
cứu tốn học ở trờng phổ thơng.

2.2.1. D·y Fibonacci

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

vàng,...) và nhiều bài toán của thực tế (số cánh hoa trên một bơng hoa, bài tốn cây đâm
nhánh, mạch điện,...), của kiến trúc (mặt tiền của cung điện Pathénon), hội họa (bức tranh
"Rừng thông") và âm nhạc,... liên quan đến dãy Fibonacci.

Quy tr×nh tÝnh sè Fibonacci trên máy tính điện tử

Có nhiều qui trình tính số Fibonacci trên các máy tính bỏ túi (xem, [19]). Thí dụ Quy trình
tính số Fibonacci trên máy Calculator trong Windows):

BÊm phÝm 1 M+ Và lặp lại dÃy phím:  MR  M+

Ta sẽ đợc 159 số Fibonacci đầu tiên trên máy Calculator (hiển thị đợc 33 chữ số trên màn
hình).

Quy tr×nh tÝnh sè Fibonacci trên Maple:

Để tính số Fibonacci un trên Maple trớc tiên ta vào gói combinat (kÕt hỵp):

> with(combinat,fibonacci):

Sau đó dùng lệnh fibonacci(n) để tìm un. Thí dụ, để tìm u1000 ta dùng lệnh fibonacci(1000),

ngay lập tức máy sẽ cho giá trị của u1000.

> fibonacci(1000);

434665576869374564356885276750406258025646605173717804024817290895365\
554179490518904038798400792551692959225930803226347752096896232398\
733224711616429964409065331879382989696499285160037044761377951668\
49228875

Để tìm các số hạng trong dãy Fibonacci từ số thứ

n

1 đến số thứ

n

2 ta dùng lệnh

seq(fibonacci(i), i=n[1]..n[2]). ThÝ dơ, dïng lƯnh

seq(fibonacci(i), i=1..10),ngay lập tức máy sẽ cho số Fibonacci từ 1 đến 10.

seq(fibonacci(i), i=1..10);

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55

ThËm chÝ chosè Fibonacci víi chØ sè ©m (víi u0 0):

> seq(fibonacci(i), i=-10..0);

, , , , , , , , , ,

-55 34 -21 13 -8 5 -3 2 -1 1 0

Lời bình 5: Cơng cụ mạnh (Máy tính cá nhân và Maple) cho ta kết quả mạnh (máy dễ dàng
tính giúp ta ngay lập tức số Fibonacci cần thiết, hoặc cả dãy số Fibonacci trong một khoảng
nào đó). Điều này vợt quá khả năng của máy tính điện tử bỏ túi.

2.2.2. D·y Lucas

D·y Lucas là dÃy số tổng quát của dÃy Fibonacci: các số hạng của nó tuân theo quy luật:
1

L a, L2b, Ln1LnLn1 với mọi n2, trong đó a và b là hai số nào đó.
Với a b 1 thì dãy Lucas trở thành dãy Fibonacci.

Ta cũng có thể tính số hạng của dãy Lucas rất đơn giản nhờ máy tính điện tử nh sau.
Quy trình tính số Lucas trên Casio 500 MS:

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Vµ lặp lại dÃy phím

ALPHA A SHIFT STO A  ALPHA M SHIFT STO M

Cho u1a, u2b các giá trị số nào đó, sau khi thực hiện các bớc lặp ta đợc dãy Lucas.

ThÝ dơ. Víi L11 vµ L23:

1, 3, 4, 7, 11, 18, 29,47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778, 9349,15127,
24476, 39603, 64079, 103682, 167761, 271443, 439204, 710647, 1149851, 1860498, 3010349,
4870847, 781196, 12752043, 20633239, ...

2.2.3. D·y Fibonacci tỉng qu¸t 1 1

( )

k

n i i

i

u F u






với mọi n k , trong đó u1, u2, ..., uk cho trc,

( )

i

F x , i1,...,n là các biểu thức to¸n häc cđa biÕn sè x.

Khi k3 ta khó có thể sử dụng Casio fx- 500A đợc vì chỉ có 1 ơ nhớ + màn hình. Tuy nhiên,
có thể sử dụng Casio fx-500 MS để tính dãy truy hồi tổng qt trên (với k10) vì Casio

fx-500 MS có đến 9 ô nhớ.

D·y Fibonacci bËc ba u1u2 1,u32, un1unun1un2 với n3.

Quy trình tính số hạng của dÃy Fibonacci bạc ba trên Casio fx-500 MS:
Đa u2 vào A : 1SHIFT STO A Đa u3 vµo B : 2SHIFT STO B

TÝnh u4: ALPHA B  ALPHA A  1SHIFT STO C (u4)
Và lặp lại dÃy phím nhờ phím  :

 ALPHA B  ALPHA A SHIFT STO A
(u5)
 ALPHA C  ALPHA B SHIFT STO B (u6)
 ALPHA A  ALPHA C SHIFT STO C

(u7)
Ta đợc dãy: 1,1,1,3,5,9,17,31,57,105,193,355,653,...

D·y Padovan P11,P2 1, P32, Pn2PnPn1 víi n2.

Quy tr×nh tÝnh sè h¹ng cđa d·y Padovan trên máy tính điện tử Casio fx-500 MS: Đa
1 1

P vào A : 1SHIFT STO A Đa P21 vào B : 1SHIFT STO B
Đa P32 vào C : 2SHIFT STO C

Tính P4: ALPHA B  ALPHA A SHIFT STO A (P4)
Và lặp lại dÃy phím nhờ phím :

ALPHA C  ALPHA B SHIFT STO B

(P5,…, )
ALPHA A  ALPHA C SHIFT STO C

(P6,…)
ALPHA B  ALPHA A SHIFT STO A (P7,…)

Tính theo quy trình trên ta đợc dãy 20 số Padovan đầu tiên:
1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86, 114, 151, 200.

C¸c tÝnh chÊt cđa d·y Fibonacci, Lucas, Padovan

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

3. Số học và thuật toán

Trc õy, mặc dù đợc mệnh danh là "Bà chúa của Toán học", Số học thờng đợc coi là
một ngành toán học mang đậm tính lý thuyết và xa rời thực tiễn. Với sự phát triển của công
nghệ thông tin, quan niệm trên đã hồn tồn thay đổi. Ngày nay, có lẽ hơn nhiều các ngành
toán học khác, Số học lại có những ứng dụng bất ngờ nhất vào nhiều lĩnh vực của thực tế:
mật mã, thông tin, kỹ thuật máy tính,...

Dới đây, chúng tơi nêu một số ví dụ minh họa rằng, với sự trợ giúp của các phần mềm
tính tốn cùng với mạng Intenet, học sinh phổ thơng bình thờng cũng có thể mở rộng tầm

hiểu biết và bổ sung những thơng tin mới, thậm chí hiện đại nhất vào những kiến thức cơ
bản về số học trong chơng trình phổ thơng.

Minh häa 1: Thuật toán tìm số nguyên tố

Thut toỏn tỡm s nguyờn tố đã đợc biết từ thời Euclid: Về nguyên tắc, ta có thể dùng
sàng eratosthenes để tìm tất cả các ớc số của một số tự nhiên bất kỳ, từ đó có thể khẳng định
một số có phải là số nguyên tố hay không. Tuy nhiên, với những số nguyên tố lớn, phân tích
ra thừa số nguyên tố theo sàng eratosthenes là rất vất vả.

ThÝ dơ: Ph©n tÝch c¸c sè A83.5.7.11.13.17.19 - 2; 
9 3.5.7.11.13.17.19.23 - 2

A 

vµ A10 3.5.7.11.13.17.19.23.29 - 2 ra thõa sè nguyªn tè.

Thí dụ này liên quan đến giả thuyết: Hiệu của tích các số nguyên tố liên tiếp, bắt đầu từ 3 và
2: An p p2 3...pn2 2, trong đó pk là nguyên tố thứ k ( p12, p23,..) là số nguyên tố với
mọi n.

Tuyển tập 30 năm tạp chí Tốn học và Tuổi trẻ, (NXB Giáo dục, 1997, trang 343) viết:
"Bằng cách thử, ta thấy rằng các số

A

3,

A

4,

A

5,

A

6,

A

7 đều là số nguyên tố. Có lẽ thử với một
vài giá trị nữa của

n

ta sẽ tìm đợc một hợp số. Tuy nhiên muốn kiểm tra

A

8 cần làm 300
phép chia và kiểm tra

A

9 cần 1300 phép chia, tức là mất vài buổi làm tính".

Râ ràng, phải cần công cụ máy tính. Với Maple, chỉ cÇn mét lƯnh ifactor, chØ mÊt mét phót, ta
cã thĨ phân tích các số trên ra thừa số nguyên tố:

> ifactor(3*5*7*11*13*17*19-2);

(4849843)

> ifactor(3*5*7*11*13*17*19*23-2);

(111546433)

> ifactor(3*5*7*11*13*17*19*23*29-2);

(43) (167) (450473)

Dïng Maple, nh trªn ta thấy

A

8,

A

9 là số nguyên tố, nhng

A

10 là hợp số. Hơn nữa, chỉ mất
vài phút ta có thể kiểm tra: trong 21 số đầu thì

A

11,

A

13,

A

16,

A

20 là
các số nguyên tố, các

A

n còn lại là hỵp sè.

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Tuy nhiên, với những số lớn (cỡ 100 chữ số), thì việc phân tích ra thừa số nguyên tố
theo cách dùng sàng eratosthenes trên thực tế là khơng khả thi vì để làm điều này phải cần

3,6 10 năm (trên máy tính thực hiện 1 triệu phép tính trong một giây, xem [20], trang 19).
Mặt khác, số nguyên tố và phân tích một số ra thừa số nguyên tố lại là cơ sở để xây dựng mật
mã khóa cơng khai, một ứng dụng tuyệt vời của lý thuyết số, do đó việc phân tích một số ra
thừa số nguyên tố mang ý nghĩa thực tiễn rất cao (xem [20], chơng 5). Nh vậy, từ một khái
niệm và kiến thức rất cơ bản của Số học phổ thơng, chúng ta có thể giúp học sinh nhìn lại
vấn đề cũ dới các khía cạnh mới, từ đó xuất hiện những bài tốn mới, hớng học sinh không
chỉ đi đến những hiểu biết và kiến thức sâu sắc của toán học hiện đại và gợi ý học sinh tham
gia giải các bài tốn có tính chất thời sự, mà còn tiếp cận với những ứng dụng thực tế của lý
thuyết số nữa.

Minh häa 2: Số nguyên tố Mersenne

Số Mersenne là số có d¹ng 2 1
p
p

M  

, trong đó p là số nguyên tố. Nếu Mp cũng là
số nguyên tố thì ta nói nó là số nguyên tố Mersenne. Các số nguyên tố Mersenne nhỏ nhất là:

2 1, 231, 251, 271, 213 1, 2171, 2191, 2311, 2611, 2891, 21071, 21271, 25211,
607

2 1, 212791, 222031, 222811,...

Năm 1953 lần đầu tiên máy tính giúp giải quyết một số giả thuyết số học: bằng máy tính,
ngời ta đã tìm ra đợc các số nguyên tố Mersenne với p521, 607,1279, 2203, 2281. Việc tìm ra
số ngun tố Mersenne đợc coi là rất khó trớc đây. Ngày nay, bằng máy tính, ngời ta đã thử
tất cả các trờng hợp p400000. Số nguyên tố Mersenne lớn nhất hiện nay là số Mersenne
thứ 39 với p13466917 (tìm ra năm 2001) gồm 4053496 chữ số. Giả thuyết tồn vô số các số
nguyên tố Mersenne dạng 2p1 cho tới nay vẫn cha đợc chứng minh hay bác bỏ.

Để tìm ra số Mersenne lớn, tất nhiên phải dùng các máy tính mạnh với những phần
mềm chuyên dụng. Tuy nhiên, ngay cả với máy tính bỏ túi hoặc máy tính cá nhân, ta cũng có
thể kiểm tra đợc số nguyên tố Mersenne. Để tìm số nguyên tố Mersenne, ta có thể dùng định
lý Lucas - Lehmer và thuật toỏn Slowinski di õy.

Định lý Lucas - Lehmer:Số Mersenne 2p1 là số nguyên tố khi và chỉ khi 2 1
p
p

M  

chia
hết S p(  2),trong đó S n( 1)S n2( ) 2 và S(1) 4 .

Từ định lý này ta có thuật tốn Slowinsky tính số Mersenne 2 1
p
p

M  

trªn m¸y tÝnh

Calculator cài đặt trên Window nh sau (Calculator có phím Mod để tính phần d):

Bớc 1: Xuất phát từ 4, tính 42 2 và lấy phần d (bấm phím Mod ) khi chia cho Mp (ghi 
nhớ Mp bằng cách bấm phím MS để sau này gọi ra bằng cách bấm phím MR để dùng
lại cho tiện): 4 x2  2  Mod Mp MS (R)

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Sau p 2 bíc nÕu R0 th× 2 1
p
p

M

là số nguyên tố, còn nếu R0 thì 2 1

p
p

M
là
hợp số.

Thí dụ 1: p5,

5 2 1 31

M   

(p 2 3 )

4 x2  2 (14) Mod 31 MS (14); x2  2 (194) Mod MR (8);
2

x  2 (62) Mod Mod (0).

Sau 3 bớc ta đợc phần d bằng 0. Vậy 251 là số nguyên tố.
Thí dụ 2: p7, M 27 1 127 (p 2 5 )

4 x2  2 (14) Mod 127 MS (14); x2  2 (194) Mod MR (67);

x  2 (4487) Mod MR (42); x2  2 (1762) Mod MR (111);

111 x2  2 (12319) Mod MR (0);

Sau 5 bớc đợc d bằng 0, vậy 27 1 là số nguyên tố.

ThÝ dô 3: p11, M 2047 (p 2 9 )

Sau 9 bớc còn d 1736, vậy 2111 không phải là số nguyên tố.
Thí dụ 4: p13, M 8191

Sau 11 bớc không còn d. Vậy 2131 là số nguyên tố.
Thí dụ 5: p17, M131071

Sau 15 bớc không còn d. Vậy 217 1 là số nguyên tố.

Li bỡnh: Với mỗi p ta cần làm p 2 bớc trên Calculator. Nh vậy, một học sinh trung học
cơ sở, sau khi học khái niệm số nguyên tố, cũng có thể không mất nhiều công lắm để kiểm
tra số nguyên tố Mersenne khá lớn trên máy tính điện tử bỏ túi hoặc trên Calculator. Thí dụ,
để kiểm tra

17 2 1 131071

M   

(có 6 chữ số) là số ngun tố cần 15 bớc. Vì Calculator có
đến 32 chữ số nên ta có thể kiểm tra 11 số nguyên tố Mersenne đầu tiên. (Số Mersenne thứ
11 gồm 29 chữ số là

107

107 2 1 16225927682921339158010288127

M   

.
Sè Mesenne thø 12 lµ:

127

127 2 1 170141183460469231731687303715884105727

M   

vợt quá 32 chữ số nên khơng thể tính đợc trên Calculator mà phải lập trình hoặc dùng các
phần mềm chun dụng hơn, thí dụ, Maple).

Có thể dạy cho học sinh lớp 10 (khi đã học tin học) lập trình để tính số Mersenne theo định lý
Lucas -Lehmer theo pseudocode sau:

Lucas_Lehmer_Test (p):
s:=4;

for i from 3 to p do s:=s2 2 mod 2p1;
if s==0 then

1
2p

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

else
1
2p

is composite;

Với Maple, có thể tìm các số Mersenne lớn nhờ các lệnh sau:
Vào gói "lý thuyết sè":

> with(numtheory):

TÝnh sè nguyªn tè Mersenne thø 12 theo thø tù (

127

127 2 1

M  

):
> mersenne([12]);

170141183460469231731687303715884105727

Lời bình: Thuật tốn Slowinski trình bày ở trên tuy đơn giản nhng nó là cơ sở để xây

dựng các phần mềm hiệu quả tính các số Mersenne lớn. Nhờ cơng nghệ thơng tin, ta có thể
dẫn dắt học sinh đi từ sử dụng thuật tốn tính số Mersenne trên máy tính bỏ túi đến sử dụng

Maple hoặc lập trình, rồi vào các trang Web để khơng những tìm hiểu nhiều điều thú vị về
số Mersenne mà còn biết đợc những thành tựu mới nhất của Tốn học về số Mersenne. Thí
dụ, học sinh sẽ đợc biết số Mersenne thứ 23 đã đợc in trên con tem lu hành khắp nớc Mỹ,
hay có thể dowload chơng trình tính số Mersenne để sử dụng, thử nghiệm và tìm ra các số
nguyên tố Mersenne mới.

Minh häa 3: Sè Fermat

2
2 n 1
n

F 
Các số dạng 22 1

n

( s Fermat) có một lịch sử khá thú vị. Fermat khẳng định rằng: 22n 1
đều là số nguyên tố với mọi n. Điều này đúng với n0,1, 2, 3, 4. Tuy nhiên, năm 1732, Euler
đã chỉ ra với n5 thì số Fermat là hợp số.

Dïng mét lÖnh ifactor trong Maple, ta thấy ngay điều này:
[> ifactor(2^(2^5)+1);

(641) (6700417)

Ta còn thấy ngay là với n6 thì số Fermat cũng là hợp số:
[> ifactor(2^(2^6)+1);

(67280421310721) (274177)

ít học sinh biết cách chứng minh

5
2

5 2 1

F  

là hợp số. Chắc Euler đã chứng minh nh sau:
Vì (1ab b a 4) 4  1 (1 ab a) 4(1 a b4 4)

4 2 2 2 2 4 2 2

(1 ab a) (1 a b )(1 a b ) (1 ab a)[ (1 ab)(1 a b )]

         

nªn (1ab b a 4) 41 chia hÕt cho 1ab.

Víi a2 ,7 b5 ta cã: (1ab b a 4) 4 1 2321 vµ 1ab641.
VËy 232+1 chia hÕt cho 641.

Nhê Maple, sau khi biÕt

5
2

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

32 4 28 28 28 28 4 28

28 4 7 4 28 4 28 4

28 2 2 28 2

28 2

2 1 2 2 1 16 2 1 (641 625) 2 1 641 2 5 2 1
641 2 5 (2 ) 1 641 2 1 (5 128) 641 2 (1 640 )
641 2 (1 640 )(1 640 ) 641 2 641 639 (1 640 )

641 (2 639 (1 640 )) 641 6700417

                

              

           

      

Lời bình: Thí dụ này cho thấy, nhờ công cụ mới, khoảng cách giữa học tập và nghiên cứu có
thể đợc rút ngắn một cách đáng kể. Ngồi ra, cơng cụ mới cịn kích thích sáng tạo tốn học
của học sinh (tìm ra cách chứng minh mới).

Maple cịn giúp học sinh tìm ra những bí ẩn thú vị về các số Fecmat cũng nh những
nghiên cứu gần đây nhất về các số này. Maple có riêng một mục giúp ta nghiên cứu về số
Fermat. Mọi học sinh (khơng nhất thiết phải biết nhiều về tốn và tin học) đều có thể vào

Maple để thỏm him s Fermat.

Trớc tiên phải vào gói công cơ “Lý thut sè”:
[> with(numtheory):

Sau đó, muốn tính giá trị của số Fermat thứ n ta chỉ cần gõ lệnh:
[> fermat(n);

ThÝ dơ: TÝnh sè Fermat víi n6 (

6
2

6 2 1

F
):
[> fermat(6);

18446744073709551617

Và phân tích sè trªn ra thõa sè nguyªn tè:
[> ifactor(fermat(6));

(67280421310721) (274177)

Tuy nhiên, bắt đầu từ n7, viƯc ph©n tÝch sè Fermat ra thõa sè nguyên tố mất rất nhiều
thời gian, ngay cả với Maple. Ta có thể khai thác các thông tin về số Fermat nh sau:

TÝnh sè Fermat víi n7:
[> fermat(7,a);

340282366920938463463374607431768211457

Với mọi số tự nhiên n và biến rút gọn a, hàm fermat(n,a) cho ta mọi thông tin đợc biết cho
đến nay về số Fermat thứ n. Những thơng tin này gồm: tính chất của số Fermat thứ n
(nguyên tố, hợp số hay cha biết), và, nếu nó là hợp số, thì fermat(n) cho biết mọi thừa số
nguyên tố hiện đã biết của nó. Muốn biết các thơng tin này ta chỉ cần gõ lệnh:

[> a;

it is completely factored, ((2)7(5)+1)((2)7(3)(17449)+1)

(Trả lời: nó hồn tồn đợc phân tích ra thừa số, (2 .5 1)(2 .3.17449 1)7  7  ).

Nhận xét: Mọi thừa số nguyên tố của số Fermat đều có dạng 2n2k1,k2.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

2000) các tác giả R.P.Brent, R.E.Crandall, K. Dilcher và C. Van Halewyn đã thơng báo tìm ra
các thừa số mới của số Fermat thứ 13, 15 và 16.

4. ThuËt to¸n chia đa thức và chứng minh hình học

Thut toỏn chia đa thức nhiều biến và cơ sở Grobner, là một thành tựu đáng kể của
đại số hiện đại, nhng lại là sự phát triển của thuật toán của Euclid chia đa thức một biến (mà
học sinh lớp 8 nào cũng biết). Dựa trên cơ sở Grobner, ta có thể tính toán các hệ số trong
phép chia đa thức nhiều biến và áp dụng vào các bài toán khác nhau nh chứng minh các định
lý hình học (xem,thí dụ, [12]) hoặc tính các hệ số trong cơng thức xấp xỉ nghiệm của phơng
trình vi phân bằng phơng pháp Runge-Kutta.

Dới đây chúng tôi minh họa cách sử dụng cơ sở Grobner trong Maple để chứng minh định lý
Euler về ba im thng hng.

Minh họa 1: Đờng thẳng Euler

nh lớ: Trc tâm H, tâm đờng tròn ngoại tiếp O và trọng tâm G của tam giác ABC thẳng
hàng và HG = 2GO.

Cách dạy truyền thống: Chứng minh định lí trên bằng cách xét các tam giác đồng dạng.
Ta có thể nhờ máy minh họa định lí trên nh sau:

Xác định tam giác T đi qua ba điểm A(0,0); B(2,4); C(7,0):

[> triangle(T,[point(A,0,0),point(B,2,4),point(C,7,0)]):

Khai báo đờng tròn (ký hiệu là D) ngoại tiếp (circumcircle) tam giác T có tâm là O:

[> circumcircle (D,T,'centername'=O):

Tìm trọng tâm (centroid) G và trực tâm H (orthocenter) cđa T:

[> centroid(G,T): orthocenter(H,T):

Khai b¸o c¸c trung tun AM1, BM2, CM3 cña T:

[> median(AM1,A,T,M1): [> median(BM2,B,T,M2): [> median(CM3,C,T,M3):

Khai báo đoạn thẳng (dsegment) OH:

[> dsegment(OH,O,H):

Hỏi O, H, G thẳng hàng (Collinear) hay không:

[> AreCollinear(O,H,G);

true

Kiểm tra (testeq) khoảng cách (distance) HG bằng 2 lần GO hay không:

[> testeq(distance(H,G) = 2*distance(G,O));

true

Máy trả lời: true (đúng), nghĩa là ba điểm O, H, G thẳng hàng và HG2GO.

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Sau nhiều lần thay tọa độ của A; B; C bằng các số khác và thực hiện lại các lệnh trên (khơng
mất nhiều cơng lắm), ta vẫn đợc hình vẽ và trả lời true (đúng) nh trên. Vì vậy có thể tin đợc
định lý Euler là đúng.

Gói hình học (geometry) của Maple cũng đã chứa khá nhiều định lý tơng tự. Sử dụng phần
mềm tính tốn Maple hoặc phần mềm hình học Sketchpad (xem, [5], [6], [9]), ta khơng
những có thể kiểm tra nhiều định lý hình học đã biết, mà cịn có thể kiểm tra các giả thuyết
mới. Thí dụ dới đây sẽ minh họa rõ điều đó.

Minh họa 2: Mở rộng định lý Torricelli

Trong Toán học và Tuổi trẻ số 253 (7/1998), Nguyễn Văn Ban đặt giả thuyết (mở rộng định
lý Torricelli): Vẽ bên ngoài tam giác ABC những tam giác cân ABD BCE ACF, , sao cho:

AD BD BE CE CF    AF. Khi ấy AE BF CD, , đồng quy. Tác giả đã mất khá nhiều thời

gian để thử chứng minh theo các phơng pháp truyền thống. Cuối cùng, tác giả đã chỉ ra giả

thuyết trên là sai nhờ phản chứng bằng phơng pháp toạ độ: chọn đỉnh A(1; 2), B(0;0), C(3;0)
và các đoạn AD BD BE CE CF    AF  10. Ta tìm đợc tọa độ các điểm

1 2 7 2 7

( ; )

2 2

D  

;

31
(1.5; )

E 

vµ F(4;3). Giao ®iĨm S cđa BF vµ AE lµ:
(1.1211502;0.8408626)

S ; giao điểm T của BF và CD là T(1.1272102...;0.8454076...); giao
điểm R của AE và CD là R(1.1203513...;0.848507...). Vì S T R nên ba đờng thẳng

, ,

AE BF CD không đồng quy! Tọa độ các điểm R S T, , chỉ sai khác nhau phần nghìn đơn vị
nên mắt thờng không phân biệt đợc (cảm giác chúng đồng quy, xem hình vẽ).

Thùc ra, nÕu sư dơng phÇn mỊm tÝnh to¸n Maple hc sư dơng phần mềm hình học

Sketchpad thì ta dễ dàng kiểm tra giả thuyết trên nói riêng cũng nh nhiều giả thuyết hình
học khác.

Ta cú thể sử dụng chơng trình Maple để kiểm tra giả thuyết trên nh sau:
Vào gói cơng cụ Hình học (geometry):

[> with(geometry):

Khai báo các đỉnh A, B, C của tam giác (triangle) ABC nh là các điểm (point) với các tọa độ
tơng ứng:

[>triangle(ABC,[point(A,1,2),point(B,0,0),point(C,3,0)]);

ABC

Khai báo tọa độ điểm E(1.5,
31
2



</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

[> point(E,1.5,-sqrt(31)/2; line(AE,[A,E]);

E; AE

Khai báo tọa độ điểm F(4,3) và kẻ đờng thẳng BF:

[> point(F,4,3); line(BF,[B,F]);

F; BF

Khai báo tọa độ điểm D(

1 2 7 2 7
;

2 2

 

) và kẻ đờng thẳng CD:

[>point(D,(1-2*sqrt(7))/2,(2+sqrt(7))/2);line(CD,[C,D]);
D; CD

Khai báo tam giác DEF có các đỉnh là D, E, F:

[> triangle(DEF,[D,E,F]);

DEF

Vẽ các tam giác ABC (màu xanh), DEF
màu đỏ và các đoạn AE, BF, CD:

[>draw([ABC(color=blue),DEF(color=red),AE,BF,CD]);

Để kiểm tra giả thyết đúng hay sai ta chỉ cần hỏi máy xem các đờng thẳng AE, BF, CD có

đồng quy (Concurrent) hay khơng bằng một lệnh:

[> AreConcurrent(AE,BF,CD);

false

Máy trả lời: false (sai). Nh vậy, ba đờng thẳng AE, BF, CD khơng đồng quy.
Thao tác lại tồn bộ các lệnh trên nhng thay tọa độ các điểm khác, thí dụ :
1) A(0,0); B(0,4); C(2,0); D( 21, 2); E(5,4); F(1,2 6) hoặc

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Hai hình vẽ trên cho ta thấy ba đờng thẳng AE, BF, CD khơng đồng quy.

Tuy nhiên, có thể nghi ngờ do hình vẽ có sai số. Nếu ta hỏi chúng có đồng quy hay khơng
thì đều đợc trả lời là: false (sai) và do đó ta có thể tin chúng thật sự khơng đồng quy:

[> AreConcurrent(AE,BF,CD);

false

Lời bình: Nhờ Maple hoặc Sketchpad, khơng khó khăn lắm, ta có thể kiểm tra và tin đợc giả
thuyết hình học (nh minh họa trên) là sai. Nh vậy, máy tính cịn có thể đợc coi là một dụng
cụ thí nghiệm để thể hiện phơng pháp vật lý chứng minh hình học: nhờ thí nghiệm (vẽ hình,
thay đổi hình và đặt câu hỏi cho máy) nhiều lần (dễ dàng thực hiện bằng cách thay các bộ số
trong giả thiết (trong Maple) hoặc sử dụng con trỏ (trong Sketchpad)), chúng ta có thể bác
bỏ hoặc tin đợc tính đúng đắn của định lí. Từ đây mới bắt tay vào chứng minh định lí bằng
các phép suy luận toán học.

Kết luận: Trên đây chỉ là một vài ví dụ minh họa khả năng sử dụng máy tính điện tử nhằm
cải tiến phơng pháp dạy và học, góp phần nâng cao chất lợng dạy và học trong trờng phổ

thơng. Có thể nói, mỗi bài học trong chơng trình đều có thể thiết kế chơng trình điện tử đi
kèm. Hy vọng rằng bài viết này là một gợi ý để các thày giáo và học sinh quan tâm đến sử
dụng máy tính trong dạy và học nói chung, trong dạy và học tốn nói riêng.

Tµi liƯu dÉn

1. Báo Giáo dục và Thời đại, ngày 5.9.2002.

2. Hội thảo Đổi mới phơng pháp giảng dạy môn Toán, Bộ GD & ĐT, 2000.
3. Hội thảo Đổi mới phơng pháp giảng dạy, Công đoàn Bộ GD & ĐT, Huế, 2002.

4. Tuyển tập báo cáo Hội thảo Phát triển công cụ tin học trợ giúp cho giảng dạy, nghiên cứu
và ứng dụng toán học, Hà Nội, 1999; Thái Nguyên, 2003.

5. Trần Vui: Hội nghị Toán học Toàn quốc lần thø 6, HuÕ, 7-10/9/2002.

6. TrÇn Vui: Investigating Geometry with the Geometer's Sketchpad: A Conjecturing
Approach.

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

8. Phạm Huy Điển, Tạ Duy Phợng:Sách giáo khoa điện tử - Một công cụ dạy và học tốn
trong thời đại tin học. Tạp chí Giáo viên và nhà trờng, No13, trang 16-17, 1998.

9. Nguyễn Văn Thắng: Sử dụng máy tính điện tử với phần mềm Sketchpad để trợ giúp dạy
học tốn hình học ở các lớp cuối cấp bậc Phổ thông Trung học Cơ sở. Luận văn Cao học,
ĐHSP Huế, 2001.

10. Mai C«ng M·n: Sư dụng Maple trong giảng dạy môn hình học phẳng, Luận văn Cao học,
Viện Toán học, 2000.

11. Nguyễn Tiến Trờng: Sách giáo khoa điện tử hình học phẳng, Luận văn Cao học, Viện

Toán học, 1999.

12. Đỗ Đức Bình: Chứng minh hình học bằng máy tính, Luận văn Cao học, Viện To¸n häc,
2000.

13. Tạ Duy Phợng, Nguyễn Tiến Trờng, Nguyễn Xuân Dơng: Ngoại khóa tốn trong thời
đại tin học. Tạp chíGiáo dục Phổ thông (Khoa học Tự nhiên), No31, trang 18-21, 2000.

14. Tạ Duy Phợng, Nguyễn Tiến Trờng, Nguyễn Xuân Dơng: Sử dụng máy tính điện tử
trong dạy và học bài căn thức. Tạp chíGiáo dục Phổ thông (Khoa häc Tù nhiªn), No27, trang
27-31, 1999.

15. Nguyễn Xuân Dơng: Sử dụng máy tính điện tử trong giảng dạy môn đại số bậc phổ
thông trung học, Luận văn Cao hc, Vin Toỏn hc, 1999.

16. Phạm Huy Điển, Phan Huy Khải, Tạ Duy Phợng: Giải tích phổ thông. Nhà xuất bản
Khoa học và Kỹ thuật, Hà Néi, 2002.

17. Tạ Duy Phợng: Các dạng toán trên máy tính điện tử. Chun đề 1-Phơng trình sai phân.
Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội, 2005 (Sẽ ra).

18. Tạ Duy Phợng-Nguyễn Thế Thạch: Các đề thi Giải toán trên máy tính điện tử Casio, Nhà
xuất bản Giáo dục, Hà Nội, 2004.

19. Tạ Duy Phợng: Giải toán trên máy tính điện tử Casio fx-500A và Casio fx-570MS. Nhà
xuất bản Giáo dục, Hà Nội, 2003.

20. Hà Huy Khoái: Nhập môn Số học Thuật toán. Nhà xuất bản Khoa học, 1996.
Tng hp cỏc phương pháp giải tốn trên máy tính casio

Nguồn : casio.phpbb3.com ; diendan3t.net
I. Thuật tốn để tính dãy số:

(tác giả fx)

Ví dụ: Cho dãy số được xác định bởi:

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

CALC
E? ấn 3==
B? ấn 3=
C? ấn 2=
D? ấn 1=
= = = ...

Cách 2: Hay hơn cách 1 vì sử dụng ít biến, xử lý vấn đề nhanh nhưng thuật tốn dài dịng:
Nhập thuật toán:

D=D+1:A=2B+C-3A: D=D+1:C=2A+B-3C: D=D+1:B=2C+A-3B
CALC

D? ấn 3==
B? ấn 3=
C? ấn 2=
A? ấn 1=

Cách 3 (Dùng cho 500MS)
1 |shift| |sto| |C|

2 |shift| |sto| |B|
3 |shift| |sto| |A|

2 |alpha| |A|+|alpha| |B|-|alpha| |C| |shift| |sto| |C| U4
2 |alpha| |C|+|alpha| |A|-|alpha| |B| |shift| |sto| |B| U5
2 |alpha| |B|+|alpha| |C|-|alpha| |A| |shift| |sto| |A| U6

replay(tam giác phía trên) hai lần |shift| |replay|= /= /...
thuật toán tuy dài nhưng số dấu bằng ít hơn

II. Cơng dụng của phím SOLVE

Nếu sử dụng máy fx570MS các bạn đều biết nó có phím SOLVE là đặc tính hơn hẳn so với máy fx500MS, vậy
cơng dụng của nó là gì?

Đó chính là lệnh để máy tính tìm 1 nghiệm gần đúng của một phương trình 1 ẩn bât kỳ nào đó dựa vào số đầu
mà ta nhập vào.

Nhập vào phương trình ta có thể dùng phím dấu = màu đỏ hoặc khơng cần thì máy sẽ tự hiểu là bằng 0
Ví dụ: có thể nhập

hoặc nhập

đều được rồi ấn SHIFT SOLVE , máy sẽ hỏi giá trị đầu cần nhập là bao nhiêu, sau khi nhập vào giá trị đầu, ta
ấn SHIFT SOLVE lần nữa thì máy sẽ tìm nghiệm dựa vào số đầu đó.

Đặc điểm hơn hẳn của MS so với ES trong phím SOLVE:

Máy MS ta có thể sử dụng bất kỳ biến số nào trong máy để làm ẩn số (A,B,C,D,...,X,Y,M) trong khi đó máy ES
chỉ có thể dùng biến X, các biến khác xem như là hằng số cho trước.

Lệnh SOLVE thực sự ưu việt trong giải phương trình bậc nhất 1 ẩn.

Đối với những phương trình như X+3=0 ta có thể nhẩm nghiệm ngay tức khắc, nhưng sử dụng hiệu quả trong
trường hợp phương trình bậc nhất phức tạp.

Ví dụ: phuơng trình

Để giải phương trình này bằng giấy nhám và tính nhẩm bạn sẽ mất khá nhiều thời gian cho nó, bạn phải phân
tích ra, chuyển vế đổi dấu, đưa X về một bên, số về một bên rồi ra nghiệm, nhưng đối với máy tính bạn chỉ
việc nhập y chang biểu thức ấy vào và sử dụng lệnh SOLVE thì chỉ vài giây máy sẽ cho ra kết quả.

Đối với phương trình trên khi giải xong máy sẽ cho ra kết quả là

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Lưu ý: khi giải ra số đúng này các bạn muốn sử dụng kết quả đó tiếp phải ấn lại hoặc ghi ra nháp sử dụng số
đúng đó, khơng được sử dụng trực tiếp kết quả được lưu lại.

Ví dụ đối với phương trình trên sau khi giải xong, kết quả sẽ tự động gán vào X, nếu các bạn ấn tiếp
sau đó ấn tiếp SHIFT SOLVE thì máy sẽ khơng đổi ra được dạng phân số nữa.

Vì vậy sau khi giải ra, các bạn phải gán lại số vừa tìm bằng dạng đúng bằng cách:
Ấn -113/129 SHIFT STO X

Sau đó nếu ấn tiếp X+1= thì máy sẽ cho ra dạng phân số.

Loại giải phương trình này áp dụng tốt cho những tính tốn trong mơn Hóa học, ví dụ bạn có rất nhiều phương
trình Hóa học, mỗi phương trình cho ra một chất khí nào đó, và tổng số mol những chất khí đó đều tính theo
một ẩn số, đề lại cho số mol của chất khí rồi, thế thì chỉ việc nhập vào phương trình, dùng SOLVE và cho ra kết

quả nhanh gọn.

Những biến dạng của phương trình bậc nhất 1 ẩn:
Đó là những dạng phân thức chứa biến.

Ví dụ: Giải phương trình

Nếu để nguyên phương trình như vậy nhập vào máy thì máy sẽ giải khó và lâu, đơi khi khơng ra nghiệm (Can't
Solve), vì vậy trong khi nhập hãy ngầm chuyển mẫu thức sang một vế, nhập như sau:

Rồi mới SOLVE thì máy sẽ giải dễ dàng ra kết quả 47/37
Sử dụng SOLVE để giải phương trình bậc cao một ẩn bậc cao.

Lưu ý đối với phương trình bậc cao chỉ giải được một số phương trình ra dạng căn thức đối với MTBT.
Phương pháp này chủ yếu áp dụng cho phương trình bậc 4 phân tích ra được 2 biểu thức bậc 2. Có thể dùng
phương pháp Ferrari để giải phương trình bậc 4 nhưng phương pháp có thể lâu hơn dùng MTBT.

Đối với những phương trình bậc 4 đơn giản, tức là dùng lệnh SOLVE ta tìm ra được nghiệm dạng số nguyên
hay hữu tỉ thì thật dễ dàng cho bước tiếp theo, vì chỉ cần tách ra ta sẽ được phương trình bậc 3 rồi dùng
chương trình cài sẵn trong máy giải tiếp.

Đối với những phương trình máy tính chỉ tìm ra được dạng vơ tỉ thì ta sử dụng định lý Viet đảo để tìm cách
phân tích của nó.

Ví dụ: giải phương trình:

Dùng máy tính ta nhập vào phương trình, sau đó dùng SOLVE để giải, điều quan trọn của phương pháp này là
ta phải biết đổi số đầu cho phù hợp để tìm ra càng nhiều ngiệm càng tốt.

Như phương trình trên, ta ấn CALC rồi nhập các số đầu sau đây để xem sự biến thiên của hàm số ra sao sau

đó mới dùng lệnh SOLVE:

giả sử ban đầu nhập 0, kết quả 10
tiếp theo nhập 1, kết quả -6

như vậy có một nghiệm nằm trong (0;1)
ta chia đôi và thử với 0,5, kết quả 5,75>0
vậy nghiệm nằm trong (0,5;1)

tiếp tục chia đôi, ta nhập 0,75, kết quả 0,7421875

khi kết quả đã xuất hiện số 0 ngay phần nguyên thì chứng tỏ số đầu của ta khá gần nghiệm, và đến lúc này có
thể cho máy tự giải.

Dùng số đầu đó ta sử dụng SOLVE để giải.
kết quả tìm được một nghiệm 0,780776406

Nhập số đó vào A để sử dụng sau và tiếp tục tiềm nghiệm khác.

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Sau đó ta tính tổng và tích từng đơi một thì thấy:

Như vậy ta có:
tương đương

từ đây ta có thể giải phương trình ra dạng căn thức dễ dàng.

III> Thuật tốn tìm số chữ số của luỹ thừa:

Ví dụ tìm xem có bao nhiêu chữ số.

Ta có làm trịn thành .

Như vậy gồm số.

Lưu ý: ở đây là logarit cơ số 10 của 2

IV. Thuật tốn tìm ƯCLN, BCNN:

Giả sử cần tìm UCLN và BCNN của 2 số A,B

Cách đơn giản ai cũng biết đó là ấn A/B rồi tối giản nó

Trong một số trường hợp vì A,B khá lớn và dạng tối giản của A/B khơng đủ màn hình để chứa thì sẽ ra dạng số
thập phân. Với trường hợp này các bạn nên dùng phương pháp phân tích ra thừa số nguyên tố bằng cách kiểm
tra số nguyên tố để phân tích A,B ra dạng cơ sở.

Trường hợp tìm UCLN,BCNN của A,B,C thì sao?
Rất đơn giản (A,B,C)= ((A,B),C) và [A,B,C]=[[A,B],C]

Tuy nhiên có một số trường hợp tìm BCNN bằng cách trên sẽ khó khăn vì số tràn màn hình, để xử lý thì nên
dùng cơng thức

[A,B,C]=ABC(A,B,C)/{(A,B).(B,C).(C,A)}

VD: tìm ƯCLN( ) ta làm như sau
(khơng ra phân số)

bạn bấm vào phím replay thì con trỏ xuất hiện trên màn hình sửa thành
ta lại lập PS

lại làm lại
thì

ta có thể gán các số vào trong máy sau đó kết quả phép tính thưc ba lại gán vơ cho số lớn trong hai
số cần tìm

ta dùng kiến thức này là với
(Tác giả:vanhoa )

Nếu dùng mà ko được:
--- Đối với loại máy ms :
số A [shift] [sto] A [=]

số B [shift] [sto] B [=]
[mode]...fix 0

a[=]

nhập vào biểu thức:

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

rồi thực hiện dãy lặp: [shift][rnd][=]... đến khi có lỗi...
---Đối với máy ES:

số A [shift] [sto] A [=]
số B [shift] [sto] B [=]
[mode]...fix 0

a[=]

nhập vào biểu thức:

10^(log Ans)-0.5:[shift][rnd]Ans/b[=] : 10^(log Ans) -0.5: [shift][rnd]b/Ans[shift][sto] B
rồi thực hiện dãy lặp: [=][=]...

Hình như vậy là tính được UCLN cịn BCNN thi lấy tích A và B chia cho UCLN là xong.

V. Chuyển số thập phân tuần hồn và khơng tuần hồn ra phân số:
Chuyển số thập phân tuần hồn sang phân số

Cơng thức tổng qt đây:
* Dạng 1/ Ví dụ

Ta có: (123 gồm 3 số)

*Dạng 2/
Ví dụ

Ta có: gồm 4 số), (36 gồm 2 số)

Chuyển số thập phân khơng tuần hồn sang phân số

VD 1: A=0.152647975...
1/A=6.551020412 gán A
A-6=0.551020412 gán A
1/A=1.814814804 gán A
A*999=1812.999989 gán A
Làm tròn A=1813

A/999=1813/999=49/27 gán A
1/A=27/49 gán A

A+6=321/49 gán A (hồi nãy trừ 6 thì bây giờ cộng 6)
1/A=49/321 gán A

Kết quả A=0.152647975...=49/321
VD 2:

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

gán A

gán A (hồi nãy trừ 2 thì bây giờ cộng 2)
gán A

gán A (hồi nãy trừ 5 thì bây giờ cộng 5)
gán A

gán A (hồi nãy trừ 1 thì bây giờ cộng 1)
Kết quả

VI. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố:

Giả sử muốn kiểm tra a là số nguyên tố hay không ?
Sử dụng máy 570MS

Cách 1: nhiều người biết nhưng thời gian kiểm tra lâu:
|a| |shift| |sto| |A| {gán a vào biến A trong máy}
|1| |shift| |sto| |B|

B=B+2:A/B
CALC = = = ....

nếu là số nguyên thì B là 1 ước của A

Kiểm tra cho đến khi hạ xuống dưới căn A thì ngưng
{chú ý: với cách này xem A có chia hết cho 2 khơng?}

Cách 2: ít người biết, thời gian kiểm tra chỉ rút ngắn còn một nửa so với cách 1:
|a| |shift| |sto| |A|

xem A có chia hết cho 2, cho 3 hay không? (chuyện này đơn giản)
lấy A chia cho 3: A/3 =

Ấn tiếp: A/(A/Ans+2)

Sau đó ấn = = = ... để kiểm tra, khi số trên màn hình hạ xuống dưới căn A thì ngưng.

VII. Tìm chu kì của phép chia có dư:

(daisunhantan)
Thí dụ

Ta nói phép chia có chu kì là . Nhận xét rằng, với phép chia trên, chu kì có thể dễ dàng tìm ra
bằng mtbt. Tuy nhiên với những số lớn ví dụ ; việc tìm ra chu kỳ khó khăn hơn nhiều. Phương pháp
chung, có lẽ ai cũng biết, là bấm 1*(10^8)/57 để tìm chu kì( là phần nguyên), rồi lấy 1*10^8-phần nguyên
vừa tìm được*57; lấy kết quả đó thế vào số 1.... cứ thế ta sẽ tìm ra chi kỳ.

Tuy nhiên cứ tìm 1 lượt như vậy phải bấm ko dưới 20 phím, để tiết kiệm sức, mình xin nêu 1 cách bấm, sau 1
giải thuật ban đầu, cứ bấm 2 dấu = ta sẽ tìm được khoảng 8 số trong chu kỳ.

cách bấm như sau:
A=1

B=57

(((A*10^8)/B)+9.5)*10^-11+1-1)*10^11-10{ĐỌC CHU KÌ}:A=A*10^8-ANS*B
(littlestar_monica)

C2:

nhấn MODE MODE 3 (BASE), rồi nhấn fím x^2( chữ DEC màu xanh đó)
Chẳng hạn như tìm chu kì của

1 |shift| |sto| |A|

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Lưu ý: cứ mỗi phép chia luôn cho ta 7 chữ số thập fân, nếu chỉ hiện 6 hay 5 chữ số, ta hiểu ngầm có 1 hay 2
chữ số 0 ở trước!!!!!

VIII. Tìm n chữ số tận cùng của một luỹ thừa:

Để tìm n chữ số tận cùng của 1 luỹ thừa , ta tìm dư của luỹ thừa đó với 10^n
Heheh , có phải rất hay không nào .

Tuy nhiên . Nếu người ta kiu tìm từ 1 đến 3 chữ số tận cùng của một luỹ thừa mà ta làm theo bài học trên thì
thật là , q oải . Chính vì thế , tui xin post một bài như sau :

_ Tìm 1 chữ số tận cùng của :

* Nếu a có chữ số tận cùng là 0 , 1 , 5 hoặc 6 thì lần lượt có chữ số tận cùng là 0 , 1 , 5 hoặc 6 .
* Nếu a có chữ số tận cùng là 2 , 3 hoặc 7 , ta có nhận xét sau với k thuộc tập hợp số tự nhiên khác 0 :
2^4k đồng dư 6 ( mod 10 )

3^4k đồng dư 1 ( mod 10 )
7^4k đồng dư 1 ( mod 10 )

Do đó để tìm 1 chữ số tận cùng của a^n với a có số tận cùng là 2 , 3 , 7 ta lấy n chia cho 4 . Giả sử n = 4k + r
với r thuộc { 0 , 1 , 2 , 3 }

Nếu a đồng dư 2 ( mod 10 ) thì a^2 dồng dư 2^n = 2^(4k+r) đồng dư 6.2^r ( mod 10 )
Nếu a đồng dư 3 ( mod 10 ) thì a^n = a^(4k+r) đồng dư a^r ( mod 10 )

_ Tìm 2 chữ số tận cùng của a^n
Ta có nhận xét sau :

2^20 đồng dư 76 ( mod 100 )
3^20 đồng dư 1 ( mod 100 )
6^5 đồng dư 76 ( mod 100 )
7^4 đồng dư 01 ( mod 100 )

Mà 76^n đồng dư 76 ( mod 100 ) với n >= 1
và 5^n đồng dư 25 ( mod 100 ) với n >= 2

Suy ra kết quả sau với k là các số tự nhiên khác 0 :

a^20k đồng dư 00 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 0 ( mod 10 )

a^20k đồng dư 01 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 1 ; 3 ; 7 ; 9 ( mod 10 )

a^20k đồng dư 25 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 5 ( mod 10 )

a^20k đồng dư 76 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 2 ; 4 ; 6 ; 8 ( mod 10 )
Vậy túm lại , để tìm 2 chữ số tận cùng của a^n ta lấy số mũ 2 chia cho 20
_ Ta có :

a^100k đồng dư 000 ( mod 10^3 ) nếu a đồng dư 0 ( mod 10 )

a^100k đồng dư 001 ( mod 10^3 ) nếu a đồng dư 1 ; 3 ; 7 ; 9 ( mod 10 )
a^100k đồng dư 625 ( mod 10^3 ) nếu a đồng dư 5 ( mod 10 )

a^100k đồng dư 376 ( mod 10^3 ) nếu a đồng dư 2 ; 4 ; 6 ; 8 ( mod 10 )

Túm lại , để tìm 3 chữ số tận cùng của 1 luỹ thừa , ta tìm 2 chữ số tận cùng của số mũ .
Nhưng dù sao đi chăng nữa thì cái nguyên tắc

Để tìm n chữ số tận cùng của a^b thì ta tìm số dư của a^b với 10^n

IX: Một bài tốn tìm hệ số:

TQ:

Tổng các hệ số trong khai triển là (đề nghị các bạn chứng minh- đề thi APMO)
Do đó xét một bài tốn cụ thể sau:

Tìm tổng các hệ số của
Lời giải (kinhbac_edu):

Đặt thì khai triển được

Khi đó tổng các hệ số bằng

X. Tìm số dư trong phép chia:

Các dạng thường gặp:

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Ví dụ:

Lấy từng số nhỏ chia cho số chia, sau khi có kết quả dư nhớ nhân với lũy thừa cơ số 10 đi cùng với nó
2) Chia một số là một lũy thừa bậc cao cho số khác:

Phương pháp: quan sát xem có nằm trong dạng Fermat không?
Nếu không, hãy quan sát chu kỳ số dư

Nếu khơng có chu kỳ số dư hãy làm từng bước: lấy cơ số lũy thừa lên vài bậc (khơng tràn máy), tìm số dư rồi
tiếp tục lũy thừa lên cho đến khi số mũ nhỏ dần. Chú ý sử dụng tính chất: phép chia cho b và phép

cho b có cùng số dư với để làm nhỏ a lại, tạo điều kiện tính nhanh hơn.

XII. Giải pt dạng

Nghiệm của PT là x*ln(x)=ln(a) và a>0.
Suy ra x=ln(a)/ln(x)

Giải trên máy Casio FX-500/570/991 MS/ES, các máy có phím Ans.
- Nhập a bất kỳ.

- Nhập ln(a)/ln(Ans), nhấn = liên tục cho đến khi hội tụ nghiệm.

Trích:

Posted by Nguyen Van Linh on diendan3t.net

Finished by QuangMinh

Bài viết này đã ghi rõ nguồn ở đầu !

XIII : Các bài tốn tính lãi suất

Có 2 loại thường gặp

1) Lãi suất từ 1 giá trị không đổi qua thời gian

Công thức áp dụng trực tiếp với các bài toán về tiền gửi ngân hàng
Số tiền sau n tháng

2) Lãi suất từ giá trị thêm vào vào theo quãng thời gian đều
Công thức áp dụng trực tiếp với các bài toán về tiền gửi ngân hàng
Cuối tháng thứ n-1

Đầu thàng thứ n

Với a là số tiền gửi vào hàng tháng ; x là lãi suất

Sau đây là 1 số dạng cơ bản khác....

1. Tính tổng n số hạng đầu tiên của dãy số
Ví dụ: Cho dãy số xác định bởi:

Tính và tổng của 20 số hạng đầu tiên.

Thuật tốn:

Nhập biểu thức sau vào màn hình máy tính (fx 570MS, fx 570ES):
X=X+1:B=5A-2X:C=C+B:X=X+1:A=5B-2X:C=C+A

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

X? Bấm 1=
A? Bấm 1=
C? Bấm 1=
=== ...

Trong đó X là số hạng thứ X; A, B là các giá trị của ; C là tổng của X số hạng đầu tiên -
của dãy.

2. Tính tích của n số hạng đầu tiên của dãy số
Ví dụ: Cho dãy số xác định bởi:

Tính tích của 10 số hạng đầu của dãy.
Thuật tốn:

Nhập biểu thức sau vào màn hình máy tính ( fx570MS, fx570ES):

X=X+1:C=B+2A: D=DC:X=X+1:A=C+2B: D=DA:X=X+1:B=A+2C: D=DB
Bấm CALC máy hỏi:

X? Bấm 2=
B? Bấm 1=
A? Bấm 1=
D? Bấm 1=
=== ...

Trong đó X là số hạng thứ X; A, B, C là các giá trị của ; D là tích của X số hạng đầu tiên - của dãy.

Chú ý: Trên đây ta chỉ xét các ví dụ minh họa đơn giản! (^_^)

3. Một số dạng bài tập liên quan đến dãy số
Bài 1: Cho dãy số được xác định bởi:

Tính ?

Bài 2: Cho dãy số được xác định bởi:

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Bài 4: Cho dãy số được xác định như sau:

Tính , tổng 26 số hạng đầu tiên và tích 24 số hạng đầu tiên của dãy số.

4. Một số bài tốn liên quan đến tính tổng
Ví dụ: Cho

Tính ?

Thuật tốn:

Cách 1: Dùng chức năng có sẵn ,bấm quy trình sau (fx 570ES):

|shift| |log_□| |ALPHA| |X^| |Replay| |→| |1| |Replay| |→| |30| |=|

Đọc kết quả

Cách 2: Nhập biểu thức sau vào màn hình máy tính ( fx570MS, fx570ES):
X=X+1:A=A+X^3

Bấm CALC máy hỏi:
X? Bấm 0=

A? Bấm 0=

===……

Trong đó X là tổng thứ X; A là giá trị của tổng thứ X.

5. Một số dạng tốn tính tích

Ví dụ: Cho (n là số lẻ).

Tính ?

Thuật tốn:

Nhập biểu thức sau vào màn hình máy tính ( fx570MS, fx570ES):
X=X+1:A=AX^2

Bấm CALC máy hỏi
X? Bấm 0=
A? Bấm 1=
=== ……..

Trong đó X là tích thứ X; A là giá trị của tích thứ X.

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Thuật tốn:

Cách 1: Nhập biểu thức sau vào màn hình máy tính ( fx570ES):

Bấm CALC máy hỏi:
X? Bấm 0=

Bấm = = = … nhiều lần đến khi nào kết quả gần là thì dừng.

Cách 2: Nhập biểu thức sau vào màn hình máy tính ( fx570MS, fx570ES):
X=X+1:B=B+

Bấm CALC máy hỏi
X? Bấm 0=
B? Bấm 0=

Bấm = = = … nhiều lần cho đến khi nào kết quả gần là thì dừng.

7. Một số bài tốn liên quan đến tổng và tích
Bài 1: Cho

Tính ?

Bài 2: Cho

Tính ?

Bài 3: Cho

Tính ?

Bài 4: Cho

Tính ?

Bài 5: Tìm giá trị gần đúng của x thỏa:
a)

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

8. Tìm số dư của phép chia dạng lũy thừa bậc cao

Ví dụ: Tìm số dư của phép chia cho

Ta có:

(mod )

Suy ra (mod )

Vậy số dư của phép chia cho là .

Ví dụ 2: Tìm số dư của phép chia cho

Vì là số nguyên tố. Theo định lý Fermat ta có:

(mod )

Suy ra:

(mod )

(mod 2003)

Vậy số dư của phép chia cho là .

Chú ý: Phương pháp trên được trình bày dưới dạng các ví dụ cơ bản (^_^)!

9. Phương pháp tìm giới hạn hàm số

Ví dụ: Tìm lim khi n dần đến

Ghi vào màn hình:

Bấm CALC máy hỏi

A? Bấm máy hiện

Bấm CALC máy hỏi

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Bấm CALC máy hỏi

A? Bấm máy hiện

Bấm CALC máy hỏi

A? Bấm máy hiện

Bấm CALC máy hỏi

A? Bấm máy hiện

Bấm CALC máy hỏi

A? Bấm máy hiện ...

</div>

phuong phap giai toan dong du va cac chuc nang trong may tinh casio

<b>một số minh họa sử dụng máy tính điện tử</b>

<b>trong đổi mới phơng pháp dạy và học toỏn</b>

<b>Tạ Duy Phợng</b>

<b>1. Mở đầu</b>

<i>n</i>

<i>n</i>

<sub></sub>

<b>3. Số học và thuật toán</b>

<i>A</i>

<i>A</i>

<i>A</i>

<i>A</i>

<i>A</i>

<i>n</i>

<i>A</i>

<i>A</i>

<i>A</i>

<i>A</i>

<i>A</i>

<i>A</i>

<i>A</i>

<i>A</i>

<i>A</i>

<i>A</i>

<i>A</i>

<i>A</i>

<i>A</i>

<i>A</i>

<i>A</i>

<i>A</i>

<i>A</i>

<b>4. ThuËt to¸n chia đa thức và chứng minh hình học </b>

<b>Tµi liƯu dÉn</b>

Trích:

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về