SKKN một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6 dạng chia hết

A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Luật giáo dục quy định: “Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực,
tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng cho người học năng lực
tự học, khả năng thực hành, lịng say mê học tập và ý chí vươn lên”;
Mục đích của việc đổi mới phương pháp dạy học ở trường phổ thông là thay
đổi lối dạy truyền thụ một chiều sang dạy theo “Phương pháp dạy học tích cực”
nhằm giúp học sinh:
- Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo, rèn luyện thói quen và
khả năng tự học, tinh thần hợp tác, kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn;
- Tạo niềm tin, niềm vui, hứng thú trong học tập; làm cho “việc học” là q
trình kiến tạo, tìm tịi, khám phá, luyện tập, khai thác và xử lí thơng tin, … Học sinh
tự hình thành hiểu biết, năng lực và phẩm chất;
- Tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh, dạy học sinh cách tìm ra chân lí.
Chú trọng hình thành các năng lực (tự học, sáng tạo, hợp tác, …) dạy phương pháp
và kỹ thuật lao động khoa học, dạy cách học.
Vậy làm thế nào để đạt được các mục đích trên?
Để trả lời được câu hỏi này, trước tiên người giáo viên phải khơng ngừng tìm
tịi khám phá, khai thác, xây dựng hoạt động, vận dụng, sử dụng phối hợp các
phương pháp dạy học trong các giờ học sao cho phù hợp với từng kiểu bài, từng đối
tượng học sinh, xây dựng cho học sinh một hướng chủ động, sáng tạo.
Vấn đề nêu trên cũng khó khăn với khơng ít giáo viên nhưng ngược lại, giải
quyết được điều này là góp phần xây dựng trong bản thân mỗi giáo viên một phong
cách và phương pháp dạy học hiện đại giúp cho học sinh có hướng tư duy mới trong
việc lĩnh hội kiến thức các môn học.
Trong thời đại hiện nay, nền giáo dục của nước ta đã tiếp cận được với khoa
học hiện đại. Các mơn học đều địi hỏi tư duy sáng tạo, đặc biệt là mơn tốn, nó địi
hỏi tư duy rất tích cực của học sinh, địi hỏi học sinh tiếp thu kiến thức một cách
chính xác, khoa học và hiện đại. Vì thế, để giúp các em học tập mơn tốn có kết quả
tốt, giáo viên khơng chỉ có kiến thức vững vàng, một tâm hồn đầy nhiệt huyết, mà
điều cần thiết là phải biết vận dụng các phương pháp giảng dạy một cách linh hoạt,
sáng tạo truyền thụ kiến thức cho học sinh một cách dễ hiểu nhất;

Trong giáo dục, mơn tốn có một vị trí quan trọng. Trong nhà trường, các tri
thức toán giúp học sinh học tốt các môn học khác. Trong đời sống hàng ngày thì có
được các kĩ năng tính tốn, vẽ hình, đọc, vẽ biểu đồ, đo đạc, ước lượng, ... từ đó
giúp con người có điều kiện thuận lợi để tiến hành hoạt động lao động trong thời kỳ
công nghiệp hóa và hiện đại hóa đất nước;
Trong q trình giảng dạy, bản thân tôi cũng dự rất nhiều tiết dạy của đồng
nghiệp, đã tham gia trực tiếp dạy đại trà, bồi dưỡng học sinh khá, giỏi song tôi nhận
thấy rằng việc phát huy trí lực cho học sinh cịn có nhiều hạn chế. Nhiều bài toán
trong các kỳ thi khảo sát chất lượng, kỳ thi học sinh giỏi, đặc biệt các bài tập trong
sách giáo khoa, sách bài tập không đến nỗi khó lắm. Thế nhưng, nhiều học sinh vẫn
1


không làm được mặc dù học sinh đã được làm quen tiếp cận các dạng toán, qua bài
giảng của giáo viên, qua sách vở, tài liệu;
Để đáp ứng được yêu cầu của sự nghiệp giáo dục và nhu cầu của học sinh,
trong giảng dạy chúng ta phải biết chọn lọc nội dung kiến thức, phải đi từ dễ đến
khó, từ cụ thể đến trừu tượng và phát triển thành tổng qt giúp học sinh có thể phát
triển tư duy tốn học. Trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi nhận
thấy phép chia hết là một dạng tốn đặc biệt quan trọng và khơng thể thiếu ở lớp 6;
Các bài toán về phép chia hết rất phong phú và đa dạng, nó tương đối khó đối
với học sinh lớp 6. Để giải các bài toán về chia hết học sinh phải nắm được định
nghĩa phép chia hết, các dấu hiệu chia hết, tính chất về chia hết, ... phải tổng hợp các
kiến thức và kỹ năng tính toán, tư duy sáng tạo;
Vậy làm thế nào để học sinh có thể định hướng được hướng đi, hay hơn thế là
hình thành được một “kỹ năng” nào đó mà mỗi khi gặp một bài tốn chia hết thì có
thể giải được một cách dễ dàng;
Là người trực tiếp giảng dạy tốn trong trường THCS, trong q trình giảng
dạy, đặc biệt là bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi luôn luôn trăn trở, tìm tịi, chọn lọc
những phương pháp hợp lý nhất để để dẫn dắt, hình thành cho học sinh một cách suy

nghĩ mới làm quen với dạng toán này để dần dần các em có được một số phương
pháp giải cơ bản nhất. Trong khuôn khổ nhỏ hẹp này tôi xin nêu ra "Một số kinh
nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn 6 dạng chia hết".
Trong q trình bồi dưỡng học sinh giỏi, qua trao đổi kinh nghiệm và qua một
số tài liệu tham khảo tôi thấy rằng đề tài này cũng đã được nghiên cứu rồi, tuy nhiên
phạm vi nghiên cứu là học sinh của bậc trung học cơ sở. Cái mới của đề tài mà tôi
chọn là tìm ra các kỹ năng giải tốn mới hoặc các kỹ năng giải tốn cũ song có cách
vận dụng mới trong việc giải bài toán chia hết cho học sinh lớp 6;
B. NỘI DUNG
I. THỰC TRẠNG
Từ tiểu học chuyển lên THCS, học sinh còn rất bỡ ngỡ với cách học mới, cách
học đòi hỏi học sinh chủ động, tư duy sáng tạo, … trong lúc các em đang quen với
tính toán các số tự nhiên đơn giản, và các dấu hiệu cụ thể. Do vậy, học sinh áp dụng
lý thuyết thuần tuý vào việc giải bài tập là một điều khó khăn, lúng túng khơng biết
cách làm và thực hiện phép tốn như thế nào. Chỉ có học sinh khá, giỏi mới có thể
biết hướng làm, và giải quyết được vấn đề của bài tốn. Tính chất chia hết là phần
kiến thức quan trọng trong số học 6 nói riêng và chương trình tốn THCS nói chung.
Nhưng nhiều khi học sinh nắm chắc lý thuyết vẫn chưa biết cách vận dụng vào làm
bài tập, các em chưa có khả năng tư duy sáng tạo, tư duy tổng hợp;
Vì vậy, để giải quyết được vấn đề trên giáo viên cần có phương pháp để làm
cho học sinh vận dụng lý thuyết vào giải bài tập một cách thành thạo và ngược lại,
phải tạo cho học sinh hứng thú trong giải bài tập, và u thích mơn học.
Dạng tốn chia hết các em đã được làm quen ở chương trình Tiểu học, tính
chất chia hết của tổng là cơ sở để giải thích các dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9.
2


Ngồi ra cịn là một kiến thức quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến
vấn đề chia hết;
Do vậy học sinh phải nắm vững kiến thức, phân loại được các dạng tốn, …

qua đó học sinh có thể phát triển được tư duy, sáng tạo, chủ động trong việc giải
tốn. Trong chương trình tốn THCS có rất nhiều dạng bài tập khi giải phải vận
dụng tính chất chia hết để giải quyết, đặc biệt được mở rộng trong tập hợp số
ngun. Vì vậy, để tránh gặp khó khăn cho sau này các em phải nắm chắc tính chất,
dấu hiệu chia hết trong tập hợp số tự nhiên;
Trước khi thực hiện chuyên đề này, tôi đã tiến hành khảo sát đối với đội tuyển
học sinh giỏi mơn Tốn lớp 6 của trường bằng bài tập: Cho số 23 x7 y . Tìm x và y để
số 23 x7 y chia hết cho cả 2, 3 và 5;
Kết quả: đa số học sinh chỉ biết nhẩm rồi đưa ra đáp án nhưng đáp án vẫn
chưa đủ, các em không biết lập luận, khơng biết cách trình bày lời giải. Nhiều em
nắm lý thuyết rất chắc chắn nhưng khi áp dụng giải bài tập thì lại khơng làm được.
Do vậy, việc hướng dẫn giúp các em có kỹ năng giải tốn chia hết, ngồi việc nắm lý
thuyết, thì các em phải biết vận dụng định nghĩa, tính chất hoặc dấu hiệu chia hết, từ
đó phát triển khả năng tư duy, đồng thời tạo hứng thú cho học sinh khi học nhằm
nâng cao chất lượng học tập;
Qua thực tiễn và tham khảo tài liệu tôi đã hệ thống lại kiến thức từ lý thuyết
đến bài tập, từ đơn giản đến phức tạp của phần chia hết trong số học 6. Ngoài ra, tơi
cịn mở rộng thêm các bài tập nâng cao khác nhau có sử dụng tính chất chia hết, mỗi
dạng đều có bài tập minh hoạ và các bài tốn cùng dạng.
II. PHƯƠNG PHÁP
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu SGK, sách tham khảo;
- Phương pháp kiểm tra, thực hành;
- Phương pháp vấn đáp, đàm thoại;
- Tổng kết kinh nghiệm của bản thân và của đồng nghiệp khi dạy phần “phép chia
hết”.
III. BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Để đạt được hiệu quả khi giải các bài tốn nói chung và giải các bài tốn về
chia hết nói riêng, tơi đã rèn cho học sinh ghi nhớ khái niệm, công thức, định nghĩa,
dấu hiệu chia hết để áp dụng giải một số bài toán dạng này.
TRƯỚC TIÊN HỌC SINH PHẢI NẮM VỮNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH

CHẤT, DẤU HIỆU CHIA HẾT
1. Định nghĩa
Cho hai số tự nhiên a và b (b ≠ 0), ta nói a chia hết cho b (kí hiệu a Mb) nếu
tìm được số tự nhiên q sao cho a = bq. Khi đó, a là bội của b và b là ước của a.
2. Các tính chất chia hết
- Bất kỳ số nào khác 0 cũng chia hết cho chính nó.
- Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c.
- Số 0 chia hết cho mọi số b khác 0.
- Bất cứ số nào cũng chia hết cho 1.
- a Ma với mọi a � N*.
3


- a Mb và b Ma � a = b.
- a Mm, b Mm � (a + b) Mm, (a – b) Mm.
- a Mm, b Mm � (a + b) Mm, (a – b) Mm.
- a Mb và a Mc mà (b; c) = 1 � a M(b.c).
- a.b Mc và (b; c) = 1 thì a Mc.
- a Mm � k.a Mm, với k �N .
- a Mm, b Mn � a.b Mm.n
- a.b Mm và m là số nguyên tố � a Mm hoặc b Mm.
-a Mm � an Mm, với n �N .
- a Mb � an Mbn, với n �N .
- a1 Mm, a2 Mm, a3 Mm, …, an Mm � (a1 + a2 + a3 + ... + an) Mm
- a1 Mm, a2 Mm, a3 Mm, …, an Mm � (a1 + a2 + a3+ ... + an) Mm
- a Mm, b Mm � k1a + k2b Mm
- a Mm, b Mm; (a + b + c) Mm � c Mm
- a Mm, b Mm; (a + b + c) Mm � c Mm
3. Các dấu hiệu chia hết
a M2 � a có chữ số tận cùng bằng 0; 2; 4; 6; 8.

a M5 � a có chữ số tận cùng bằng 0; 5.
a M3 (hoặc 9) � a có tổng các chữ số chia hết cho 3 (hoặc 9).
a M4 (hoặc 25) � hai chữ số tận cùng của nó tạo thành một số chia hết cho 4
(hoặc 25).
Lấy chữ số đầu tiên nhân với 3 råi cộng thêm chữ số tiếp theo, được bao
nhiêu nhân với 3 rồi cộng thêm chữ số tiếp theo; ... Cứ làm như vậy cho đến chữ số cuối
cùng. Nếu kết quả cuối cùng này chia hết cho 7 thì số đó chia hết cho 7.
a M8 (hoặc 125) � ba chữ số tận cùng của nó tạo thành một số chia hết cho 8
(hoặc 125).
a M 11 � tổng các chữ số hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số hàng chẵn (hoặc
ngược lại) chia hết cho 11.
PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ CHIA HẾT
1. Phương pháp 1: Dựa vào tính chất của quan hệ chia hết
1.1. Dùng tính chất chia hết của một tổng, hiệu
Để chứng minh a chia hết cho b (b # 0), ta biểu diễn số a dưới dạng một tổng của
nhiều số hạng rồi chứng minh tất cả các số hạng đó đều chia hết cho b;
Để chứng minh a không chia hết cho b (b # 0), ta biểu diễn số a dưới dạng một
tổng của nhiều số hạng rồi chứng minh có một số hạng khơng chia hết cho b còn tất
cả các số hạng còn lại đều chia hết cho b.
Bài tập 1: Chứng minh rằng:
a) 450 + 990 + 180 chia hết cho 9
b) 5125 + 1350 + 2350 chia hết cho 5
c) 5116 - 524 chia hết cho 4
Giải:
a) 450 M9, 990 M9, 180 M9 nên (450 + 990 + 180) M9 (tính chất chia hết của
tổng)
4


b) 5125 M5, 1350 M5, 2350 M5 nên (5125 + 1350 + 2350) M5 (tính chất chia

hết của tổng).
c) 5116 M4, 524 M4 nên (5116 - 524) M4 (tính chất chia hết của một tổng).
Bài tập 2: Chứng minh rằng với n �N thì 80n + 45 chia hết cho 5 nhưng
không chia hết cho 6.
Giải:
80 M5  80n M5; 45 M5  (80n + 45) M5
80 M6  80n M6; 45 M6  (80n + 45) M6
(theo tính chất chia hết của một tổng)
Bài tập 3: Chứng minh rằng tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3
Giải:
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a, a + 1, a + 2
Tổng ba số tự nhiên liên tiếp là: a + a + 1 + a + 2 = (a + a + a) + (1 + 2)
= (3a + 3) M3 (tính chất chia hết của tổng)
Vậy tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3.
Từ bài tập này giáo viên có thể đưa ra tình huống: Có phải tổng của n số
tự nhiên liên tiếp chia hết cho n không? Giáo viên gợi ý cho học sinh qua bài tập
sau:
Bài tập 4: Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 4 hay không?
Giải:
Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là: n; n + 1; n + 2; n + 3
Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp đó là: n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3)
= (n + n + n + n) + (1 + 2 + 3) = 4n + 6
Ta có: 4n chia hết cho 4
6 khơng chia hết cho 4
suy ra (4n + 6) không chia hết cho 4
Vậy tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4.
Dự đoán: tổng của n số tự nhiên liên tiếp chưa chắc chia hết cho n.
1. 2. Dùng tính chất chia hết của một tích
Để chứng minh số a chia hết cho số b (b �0) ta có thể biểu diễn số b dưới
dạng 1 tích b = m.n;

Nếu (m, n) = 1 thì tìm cách chứng minh a Mm và a Mn, lúc đó a M(m.n) tức là
a Mb;
Nếu (m, n) � 1 thì ta biểu diễn số a thành tích a = a 1 a 2 rồi chứng minh a 1 Mm;
a 2 Mn thì a 1 a 2 Mm.n, tức là a Mb.
Bài tập 5: Chứng minh (585.a + 7515.b) chia hết cho 45 với mọi a, b �N
Giải:
vì 585 chia hết cho 9 nên 585.a chia hết cho 9 với mọi a
vì 7515 chia hết cho 9 nên 7515.b chia hết cho 9 với mọi b
 (585.a + 7515.b) chia hết cho 9 với mọi a, b
Chứng minh tương tự, ta có (585.a + 7515.b) chia hết cho 5 với mọi a, b
mà (9, 5) = 1
 (585.a + 7515.b) chia hết cho 45 với mọi a, b �N
5


Bài tập 6: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khác 1, sao cho khi chia số đó cho 2; 3;
4; 5 và 7 đều dư 1.
Giải
Gọi a là số tự nhiên khác 1 nhỏ nhất mà khi chia a cho 2; 3; 4; 5 và 7 đều dư
1. Khi đó a – 1 = b đồng thời chia hết cho 2; 3; 4; 5 và 7.
Vì b chia hết cho 7 nên b = 7c, suy ra c chia hết cho 2; 3; 4; 5.
Với c chia hết cho 5 thì c = 5d. Suy ra d chia hết cho 2; 3; 4.
Giả sử d = 4e thi e chia hết cho 3.
Số tự nhiên khác 0 nhỏ nhất chia hết cho 3 là 3 ta chọn e = 3.
Suy ngược lại ta được số tự nhiên nhỏ nhất b = 420.
Do đó số cần tìm là a = 420 + 1= 421.
(b = BCNN (2,3,4,5,7) = 3.4.5.7 = 420).
Bài tập 7: Tìm các số tự nhiên có 2 chữ số gấp 9 lần chữ số hàng đơn vị của
nó
Giải:

Gọi số phải tìm là ab = 10a + b (1 �a, b �9)
Theo đề bài, ta có: 10a + b = 9b hay 10a = 8b
suy ra 5a = 4b (1)
suy ra 4b M5 mà (4, 5) = 1 nên b M5
vì (1 �b �9) nên b = 5
thay b = 5 vào (1) ta được a = 4
Vậy số phải tìm là 45.
Bài tập 8: Chứng minh rằng tích của 2 số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8
Giải:
Gọi 2 số chẵn liên tiếp là: 2n, 2n + 2
Tích của 2 số chẵn liên tiếp là: 2n.(2n + 2) = 4n.(n + 1)
vì n và n + 1 khơng cùng tính chẵn lẻ nên n.(n+ 1) M2
mà 4 chia hết cho 4 nên 4n.(n + 1) M(4.2)
hay 4n.(n + 1) M8 suy ra 2n.(2n + 2) M8.
Vậy tích của 2 số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8.
1.3. Vận dụng dấu hiệu chia hết liên quan đến các số nguyên tố, các số
nguyên tố cùng nhau
+ Nếu tích ab Mm mà (b, m) = 1 thì a Mm
+ Nếu a Mm; a Mn và (m, n) = 1 thì a Mmn
+ Nếu a n Mp (p là số nguyên tố) thì a Mp
Bài tập 9: Cho a, b là các số tự nhiên, n � 0, biết a n M7
Chứng minh rằng: (a 2 + 98b) M49
Giải:
Ta có a n M7
mà 7 là số nguyên tố nên a M7 suy ra a 2 M7 2 hay a 2 M49
Mặt khác: 98b M49 nên (a 2 + 98b) M49 (tính chất chia hết của một tổng).
Bài tập 10: Tìm các số tự nhiên x để:
a) (x + 4) Mx (x ≠ 0)
6

b) [(x – 1)2 + 7] M(x – 1)
c) [(x + 2)2 – 4] M(x + 1)
Giải:
a) (x + 4) Mx (x ≠ 0)
x Mx, suy ra 4 Mx. Vậy x � {1; 2; 4}
b) [(x – 1)2 + 7] M(x – 1)
mà (x – 1)2 M(x – 1)
Suy ra 7 M(x – 1) hay (x – 1) � Ư(7)
Vậy x � {2; 8}
c) [(x + 2)2 – 4] M(x + 1)
mà (x + 2)2 M(x + 2)
Suy ra 4 M(x + 2) hay (x + 2) � Ư(4)
Vậy x � {0; 2}
Bài tập 11: Cho A = 2.4.6.8.10.12 + 40
Hỏi A có chia hết cho 6, cho 8, cho 5 khơng?
Giải: Dùng tính chất
a Mm, b Mm � (a + b) Mm hoặc a Mm, b Mm � (a – b) Mm
Cho A = 2.4.6.8.10.12 + 40
Ta có: 2.4.6.8.10.12 M6; 40 M6 � A M6
Tương tự, ta được A M8 và A M5
Bài tập 12: Cho a + 5b M7 (a, b �N ). Chứng minh rằng (10a + b) M7. Điều
ngược lại có đúng hay khơng?
Giải:
Xét tổng:
(a + 5b) + 2(10a + b) = (21a + 7b) M7 mà (a + 5b) M7 nên 2(10a + b) M7
vì (2, 7) = 1 nên (10a + b) M7
Ngược lại: Nếu (10a + b) M7 thì (a + 5b) M7
Xét tổng:
(a + 5b) + 2(10a + b) = (21a + 7b) M7 mà 2(10a + b) M7 nên (a + 5b) M7

Vậy điều ngược lại vẫn đúng.
Bài tập 13: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho chia nó cho 17 thì dư 5; chia nó
cho 19 thì dư 12.
Giải: Gọi số phải tìm là a. Ta có:
a = 17m + 5 = 19n +12 (m, n �N )
Suy ra 17m = 19n + 7 hay 17m = 17n + (2n + 7)
Ta có 17m M17, 17n M17 nên (2n + 7) M17
vì a phải nhỏ nhất nên ta chọn n nhỏ nhất sao cho (2n + 7) M7, ta chọn n = 5
Vậy a = 107
2. Phương pháp 2: Dựa vào định nghĩa chia hết
Để chứng minh a chia hết cho b (b ≠ 0) ta biểu diễn số a dưới dạng một tích
các thừa số, trong đó có một thừa số bằng b (hoặc chia hết cho b).
Bài tập 1: Không thực hiện phép chia, hãy chứng tỏ rằng:
a) 26.2015 chia hết cho 13
7


b) 2009.2010 chia hết cho 3
c) 1411.2002 chia hết cho 17
Giải:
a) Ta có: 26.2015 = 13.2.2015 M13 (vì 13 M13, theo định nghĩa)
39
b) Ta có: 2015.2013 = 3.671.2015 M3 (vì 3 M3, theo định nghĩa)
2013
c) Ta có: 1428.2000 = 17.84.2000 M17 (vì 17 M17, theo định nghĩa)
1428
Bài tập 2: Chứng minh rằng (6n)1992 chia hết cho 36 n �N
Giải:
Ta có (6n)1992 = 61992. n1992 = 62.6996.n1992 = 36.6996.n1992
Vì 36 M36 nên 36.6996.n1992 chia hết cho 36

 (6n)1992 chia hết cho 36 n �N
Bài tập 3: Chứng minh rằng:
C = 3 + 32 + 33 + 34 + … + 3100 chia hết cho 40.
Giải:
C = 3 + 32 + 33 + 34 + … + 3100
= (3 + 32 + 33 + 34) + (35 + 36 + 37 + 38) + … + (397 + 398
+ 399 + 3100)
= 3(1 + 3 + 32 + 33) + 35(1 + 3 + 32 + 33) + … + 397(1 +
3 + 32 + 33)
= 3.40 + 35.40 + … 397.40 = 40(3 + 35 + … +397)
Vì 40 M40 nên 40(3 + 35 + … +397) M40
Vậy C = 3 + 32 + 33 + 34 + … + 3100 M40
* Nhận xét cách giải ba bài tập trên:
Chúng ta vận dụng các tính chất, quy tắc, các phép biến đổi phân tích một số,
hoặc một tổng, hiệu xuất hiện thừa số chia hết cho số cần chia, tức là vận dụng định
nghĩa để chứng minh.
3. Phương pháp 3: Dùng dấu hiệu chia hết
Bài tập 1: Điền chữ số vào dấu * để:
a) 4*6 chia hết cho 3
b) 3*6 chia hết cho 9
Giải:
a) 4*6 M3 � (4 + * + 6) M3 � (10 + *) M3 � * � {2; 5; 8}
b) 3*6 M9 � (3 + * + 6) M9 � (9 + *) M9 � * � {0; 9}
Bài tập 2: Tìm chữ số a và b để số a54b chia hết cho cả 2, 3, 5, 9
Gợi ý: Đầu tiên phải đề cập đến chia hết cho 2 và 5 vì nó liên quan đến chữ số
tận cùng;
8


Sau đó, khi đã có chữ số tận cùng, ta xét tổng các chữ số vì nó liên quan đến

chia hết cho 9. Ở đây ta không cần quan tâm đến chia hết cho 3, vì số chia hết cho 9
thì đương nhiên chia hết cho 3.
Giải:
Để số a54b chia hết cho cả 2 và 5 thì b = 0
Thay b = 0 vào số a54b , ta được số a540
a540 chia hết 3 và 9 thì (a + 5 + 4 + 0) hay (a + 9) phải chia hết cho 9
� a = 9 và b = 0
Vậy số cần tìm là 9540.
Bài tập 3: Chứng minh rằng: (10156 + 8) chia hết cho 72
Giải :
Ta thấy 72 = 8.9
mà số (10156 + 8) M9 vì tổng các chữ số bằng 9
và số (10156 + 8) M8 vì tận cùng bằng 008
mà (8, 9) = 1 nên (10156 + 8) M8.9 = 72
Bài tập 4: Tìm các chữ số a, b sao cho: a – b = 4 và 7a5b1 chia hết cho 3
Giải:
Số 7a5b1 M3 � (7 + a + 5 + b + 1) M3 � (13 + a + b) M3 � (a + b) chia 3
dư 2 (1)
Ta có: a – b = 4 nên 4 �a �9 , 0 �b �5
suy ra 4 �a  b �14 (2)
mặt khác: a – b là số chẵn, nên a + b là số chẵn (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra (a + b) � 8;14
- Với a + b = 8; a – b = 4 � a = 6, b = 2
- Với a + b = 14; a – b = 4 � a = 9, b = 5.
* Nhận xét cách giải ba bài tập trên:
Các bài tập trên khi giải chúng ta đều vận dụng vào dấu hiệu chia hết một
cách trực tiếp hoặc một cách gián tiếp như dấu hiệu chia hết cho 3, 5, 9, 8, 25, 125.
Trên đây là một số dạng toán về chia hết thường gặp trong chương trình số
học 6. Mỗi dạng tốn tơi mới chọn một số bài tốn mang tính điển hình để giới thiệu
về cách phân loại và phương pháp giải mỗi dạng tốn đó để học sinh có thể nhận

dạng được các bài tốn mới thuộc dạng tốn nào từ đó mà có cách giải hợp lý và
nhanh, chính xác.
IV. HƯỚNG PHỔ BIẾN ÁP DỤNG ĐỀ TÀI
Qua kết quả nghiên cứu trên tôi nhận thấy "Một số kinh nghiệm bồi dưỡng
học sinh giỏi Tốn 6 dạng chia hết" có thể áp dụng được cho việc bồi dưỡng học sinh
giỏi mơn Tốn lớp 6 của trường THCS Tân Thạnh cũng như trong phạm vi cả Thị
xã. Bởi vấn đề tôi nghiên cứu và thực hiện khơng q khó, giáo viên nào cũng có thể
thực hiện được trong q trình bồi dưỡng học sinh giỏi.
C. KẾT LUẬN
1. Kết quả của việc ứng dụng đề tài
9


Sau khi áp dụng chuyên đề này, tôi tiến hành khảo sát lại đối với đội tuyển
học sinh giỏi lớp 6. Kết quả cụ thể như sau:
Số lượng
7

Giỏi
SL %
4 57.1
4

Khá
SL
2

%
28.5
7

TB
SL
1

%
14.2
9

Yếu
SL
%
0
0.00

Kém
SL
%
0 0.00

Kết quả trên là một sự bất ngờ đối với bản thân tôi. Tôi không dám chắc chắn
rằng những biện pháp mà tôi đã đưa ra là tối ưu nhất, hiệt quả nhất, nhưng kết quả
mà học sinh đạt được qua q trình tơi giảng dạy thật sự là niềm vui, niềm hứng thú
đối với tôi trong công tác;
Qua kết quả khảo sát đó, tơi đã cố gắng giảng dạy cho các em và dần dần tôi
đã thấy được sự tiến bộ của học sinh qua việc giải bài tập. Tơi nhận thấy hầu hết các
em đã biết trình bày bài tốn dạng này. Phần lớn học sinh đã có hứng thú giải những
bài toán về chia hết, các em khơng cịn lúng túng khi gặp dạng tốn này nữa. Các em
đã biết nhận dạng bài toán và vận dụng các kiến thức đã học để giải bài toán một
cách chính xác, ... Nhiều em khá, giỏi đã tìm ra được cách giải hay và ngắn gọn phù

hợp. Tuy vậy, bên cạnh những kết quả đạt được thì vẫn cịn một số ít học sinh chưa
có khả năng tự mình giải được những bài toán chia hết. Đối với các học sinh này,
đây là một dạng tốn thực sự khó khăn. Một phần cũng là do khả năng học toán của
các em cịn hạn chế, mặt khác dạng tốn này lại rất khó, địi hỏi sự tư duy nhiều ở
các em.
2. Kết luận
Các bài toán chia hết chiếm một số lượng khơng nhỏ trong chương trình tốn
bậc trung học cơ sở. Việc xây dựng một hệ thống kiến thức cơ bản, dựa vào đó để
tìm ra các phương pháp giải bài toán chia hết, giúp các em học sinh, nhất là học sinh
giỏi có kỹ năng thành thạo, linh hoạt, sáng tạo khi học dạng tốn này khơng chỉ là
mong muốn của riêng bản thân tơi mà cịn là điều trăn trở của rất nhiều đồng nghiệp
đang bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn;
Trong khn khổ và thời gian có hạn, trên đây tôi chỉ mới dừng lại các
phương phương pháp giải toán chia hết đối với học sinh lớp 6. Các phương pháp đó
sẽ được mở rộng, hồn thiện khi các em được trang bị thêm một số kiến thức ở lớp
7, lớp 8, ... Khi đó, các em sẽ gặp và giải được những bài tốn khó hơn, phức tạp
hơn.
Tân Thạnh, ngày 15 tháng 5 năm 2018
Người viết

Lê Nguyên Khang

10


Mẫu 02
HỘI ĐỒNG KHOA HỌC
TRƯỜNG THCS TÂN THẠNH

PHẦN NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
(Trang cuối của SKKN)
1. Kết quả chấm điểm: . . . . . . /100 điểm
a) Về nội dung:
- Tính mới: ............................................./30 điểm
- Tính hiệu quả: ...................................../35 điểm
- Tính ứng dụng thực tiễn: ...................../20 điểm
- Tính khoa học: ...................................../10 điểm
b) Về hình thức: ...................................../05 điểm
2. Xếp loại: ..........................................................
Tân Thạnh, ngày ...... tháng ...... năm 2018
CHỦ TỊCH HĐKH

11


Mẫu 02
HỘI ĐỒNG KHOA HỌC
PHÒNG GD-ĐT TX GIÁ RAI

PHẦN NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
(Trang cuối của SKKN)
1. Kết quả chấm điểm: . . . . . . /100 điểm
a) Về nội dung:
- Tính mới: ............................................./30 điểm
- Tính hiệu quả: ...................................../35 điểm
- Tính ứng dụng thực tiễn: ...................../20 điểm
- Tính khoa học: ...................................../10 điểm
b) Về hình thức: ...................................../05 điểm

2. Xếp loại: ..........................................................
Giá Rai, ngày ..... tháng ..... năm 2018
CHỦ TỊCH HĐKH

12


Mẫu 02
HỘI ĐỒNG KHOA HỌC
SỞ GD-ĐT BẠC LIÊU

PHẦN NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
(Trang cuối của SKKN)
1. Kết quả chấm điểm: . . . . . . /100 điểm
a) Về nội dung:
- Tính mới: ............................................./30 điểm
- Tính hiệu quả: ...................................../35 điểm
- Tính ứng dụng thực tiễn: ...................../20 điểm
- Tính khoa học: ...................................../10 điểm
b) Về hình thức: ...................................../05 điểm
2. Xếp loại: ..........................................................
Bạc Liêu, ngày ..... tháng ..... năm 2018
CHỦ TỊCH HĐKH

13