Chiến lược đầu tư tối ưu cực tiểu hóa phương sai với thời gian rời rạc

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (434.93 KB, 55 trang )

..

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Đỗ Quốc Hoàn

CHIẾN LƯỢC ĐẦU TƯ TỐI ƯU CỰC TIỂU HÓA
PHƯƠNG SAI VỚI THỜI GIAN RỜI RẠC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2013

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Đỗ Quốc Hoàn

CHIẾN LƯỢC ĐẦU TƯ TỐI ƯU CỰC TIỂU HÓA
PHƯƠNG SAI VỚI THỜI GIAN RỜI RẠC

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 60.46.15

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. Nguyễn Thịnh

Hà Nội - 2013

Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1. Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2. Không gian L2 (P ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3. Kỳ vọng điều kiện và Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3.1. Không gian xác suất được lọc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3.2. Kỳ vọng điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3.3. Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Chương 2. Sự tồn tại và cấu trúc của một chiến lược tối ưu . . . .

11

2.1. Vấn đề cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.2. Sự tồn tại của chiến lược tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.3. Cấu trúc của chiến lược tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.4. Cấu trúc của chiến lược tối ưu với độ đo dấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

Chương 3. Sự lựa chọn chiến lược và vốn ban đầu . . . . . . . . . . . . .

34

3.1. Sự lựa chọn tối ưu của chiến lược và vốn ban đầu . . . . . . . . . . . . . . . .

34

3.2. Chiến lược cực tiểu hóa phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

3.3. Biên trung bình phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

Chương 4. Những trường hợp đặc biệt và các ví dụ . . . . . . . . . . . .

39

4.1. Những trường hợp đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

4.1.1. Trường hợp martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

4.1.2. Trường hợp H có thể đạt tới được (theo nghĩa LH
T = 0 P - h.c.c) .

40

1

4.1.3. Trường hợp X có một q trình cân bằng trung bình phương sai xác
định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

4.2. Các ví dụ tường minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

2

LỜI NĨI ĐẦU
Thị trường tài chính là nơi diễn ra các hoạt động trao đổi, mua bán quyền
sử dụng các nguồn tài chính thơng qua những phương thức giao dịch và cơng cụ
tài chính nhất định. Thị trường tài chính là tổng hòa các quan hệ cung cầu về
vốn trong nền kinh tế. Nói một cách đơn giản , thị trường tài chính là nơi diễn
ra các hoạt động mua bán các loại giấy tờ có giá, nơi gặp gỡ của các nguồn cung
về vốn và cầu, qua đó hình thành nên giá mua và giá bán các loại cổ phiếu, trái
phiếu. . . hình thành các loại vốn đầu tư bao gồm: lãi suất đi vay, lãi suất cho

vay, lãi suất ngắn hạn, lãi suất trung và dài hạn.
Trong thị trường tài chính, giá của một số tài sản rủi ro ( ví dụ, cổ phiếu,
trái phiếu. . . ) là các yếu tố ngẫu nhiên, tức là giá của chúng ta khơng thể đốn
trước được. Khi đầu tư vào thị trường tài chính với số vốn ban đầu là c, chúng
ta luôn mong muốn lựa chọn một chiến lược tối ưu nhất, tức là mua vào hoặc
bán ra như thế nào để chúng ta có lời hoặc ít ra chúng ta cũng phải đạt được
lỗ ròng thấp nhất. Trong phạm vi đề tài này chúng tôi đề cập đến điều kiện để
tồn tại một chiến lược tối ưu, nghiên cứu cấu trúc của một chiến lược tối ưu.
Bên cạnh đó chúng tơi cũng đề cập đến việc lựa chọn chiến lược tối ưu và vốn
ban đầu cho phù hợp với chiến lược tối ưu đó.
Luận văn chia làm bốn chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Trình bày những khái niệm cơ bản như
q trình ngẫu nhiên, khơng gian L2 (P ), kì vọng điều kiện và Martingale. . .
làm cơ sở cho các chương sau.
Chương 2. Sự tồn tại và cấu trúc của một chiến lược tối ưu Trình
bày vấn đề cơ bản của luận văn, sự tồn tại và cấu trúc của chiến lược tối ưu.
Chương 3. Sự lựa chọn chiến lược và vốn ban đầu Trình bày về sự
lựa chọn chiến lược tối ưu và vốn ban đầu.
Chương 4. Những trường hợp đặc biệt và các ví dụ Đưa ra một số
trường hợp đặc biệt và một số ví dụ tường minh.
Qua đây, tơi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy, người hướng
dẫn luận văn của mình, TS. Nguyễn Thịnh, người đã đưa ra đề tài và tận tình
hướng dẫn trong suốt q trình làm luận văn của tác giả. Tơi cũng xin cảm ơn
các thầy cơ trong khoa Tốn - Cơ - Tin học, đặc biệt là các thầy cô trong bộ
3

môn Xác suất và Thống kê đã truyền đạt cho tôi nhiều kiến thức quý báu. Cuối
cùng tôi xin cảm ơn các thành viên trong lớp cao học chuyên ngành Lý thuyết
xác suất và thống kê tốn học khóa 2009-2011 đã ln động viên, giúp đỡ tơi

trong q trình hồn thành luận văn.
Do thời gian và trình độ cịn hạn chế, chắc chắn bản luận văn không thể
tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo tận tình của
các thầy cơ và các bạn, tác giả xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Học viên
Đỗ Quốc Hoàn

4

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
1.1.

Quá trình ngẫu nhiên

Giả sử T là một tập vơ hạn nào đó. Nếu với mỗi t ∈ T , Xt là biến ngẫu
nhiên thì ta ký hiệu X = {Xt , t ∈ T }, và gọi X là hàm biến ngẫu nhiên (với
tham biến t ∈ T ).
• Nếu T là tập đếm được thì ta gọi X = {Xt , t ∈ T } là q trình ngẫu nhiên
với tham số rời rạc.
• Nếu T = N thì ta gọi X = {Xn , n ∈ N} là dãy các biến ngẫu nhiên một
phía.
• Nếu T = Z thì ta gọi X = {Xn , n ∈ Z} là dãy các biến ngẫu nhiên hai
phía.
• Nếu T là một khoảng của đường thẳng thực thì ta gọi X = {Xt , t ∈ T } là
quá trình ngẫu nhiên với tham số liên tục.

1.2.

Không gian L2 (P )

Ký hiệu L2 (P ) = L2 (Ω, F, P ) là tập hợp các biến ngẫu nhiên X (xác định
trên (Ω, F, P )) sao cho
E|X|2 < ∞.

5

Khi đó, X ∈ L2 (P ), ta ký hiệu
1

||X||2 = (E|X|2 ) 2
được gọi là chuẩn bậc 2 của X.

Hai biến ngẫu nhiên X, Y ∈ L2 (P ) được gọi là trực giao nếu E(XY ) = 0.

1.3.

Kỳ vọng điều kiện và Martingale

Kỳ vọng có điều kiện và martingale là những khái niệm đặc biệt quan trọng
trong lý thuyết xác suất. Chúng có nhiều ứng dụng trong lĩnh vực tốn tài
chính. Ở đây chúng tơi nhắc lại khái niệm và các kết quả cơ bản nhằm mục đích
sử dụng trong các tính tốn ở các chương cịn lại.

1.3.1.

Khơng gian xác suất được lọc

Cho (Ω, F, P ) là một không gian xác suất. Một họ σ - trường con Ft ⊂ F
được gọi là bộ lọc nếu nó thỏa mãn
i) Nó là một họ tăng, tức là Fs ⊂ Ft (s < t).
ii) Họ đó liên tục phải tức là Ft = ∩ Ft+ε .
ε>0

iii) Mọi tập P - bỏ qua được A ∈ F đều chứa trong F0 .
Một không gian xác suất (Ω, F, P ) được gắn thêm bộ lọc Ft ⊂ F gọi là không
gian xác suất được lọc.

1.3.2.

Kỳ vọng điều kiện

1.3.2.1.

Khái niệm

Giả sử (Ω, F, P ) là không gian xác suất, G ⊂ F là σ - trường con và X là
biến ngẫu nhiên khả tích. Kỳ vọng điều kiện của X với biến ngẫu nhiên ký hiệu
là E(X|G) thỏa mãn
i) E(X|G) là G ⊂ F đo được.
ii)

XdP với mọi A ∈ G.

E(X|G)dP =
A

A

Ta định nghĩa E(X|Y ) là kỳ vọng điều kiện của X theo σ - trường σ(Y ).
6

1.3.2.2.

Tính chất của kỳ vọng điều kiện

Các tính chất sau được hiểu là hầu chắc chắn (h.c.c).
1) Nếu C là hằng số thì E(C|G) = C.
2) Tính tuyến tính:
E(aX + bY |G) = aE(X|G) + bE(Y |G).
3) Nếu G là σ - trường tầm thường {∅, Ω} thì
E(X|G) = X.
4) E(E(X|G)) = EX.
5) Nếu X độc lập với G tức là σ(X) độc lập với G thì E(X|G) = EX.
6) Nếu Y là G - đo được, E|Y | < ∞, E|XY | < ∞ thì
E(XY |G) = Y E(X|G).
7) Nếu G1 ⊂ G2 thì
E(E(X|G2 )|G1 ) = E(E(X|G1 )|G2 )
= E(X|G1 ).
8) Nếu X ≤ Y h.c.c thì
E(X|G) ≤ E(Y |G).
9) |E(X|G)| ≤ E(|X||G).
10) Bất đẳng thức Jensen: Giả sử φ : R → R lồi dưới, φX khả tích. Khi đó
φ(E(X|G)) ≤ E(φ(X)|G).
11) Hội tụ đơn điệu Beppo - Levy: Nếu X ≥ 0, Xn ↑ X và E|X| < ∞ thì

E(Xn |G) ↑ E(X|G).

7

12) Bổ đề Fatou: Nếu Xn ≥ 0 thì
E(limXn |G) ≤ limE(Xn |G).
13) Định lý hội tụ bị chặn Lebesgue: Giả sử Y là biến ngẫu nhiên khả tích và
|Xn | ≤ Y (h.c.c). Nếu Xn → X (h.c.c) thì
E(lim Xn |G) = lim E(Xn |G).

1.3.3.

Martingale

Các khái niệm và định lý dưới đây được hiểu là martingale với thời gian rời
rạc.
1.3.3.1.

Định nghĩa

Cho một quá trình ngẫu nhiên X = (Xt )t≥0 thích nghi với bộ lọc Ft và khả
tích E|Xt | < ∞ với mỗi t. Với s, t là hai số không âm và s ≤ t:
i) Xt là martingale trên nếu E(Xt |Fs ) ≤ Xs .
ii) Xt là martingale dưới nếu E(Xt |Fs ) ≥ Xs .
iii) Xt là martingale nếu nó vừa là martingale trên vừa là martingale dưới tức
là
E(Xt |Fs ) = Xs .
Khi không nói rõ bộ lọc nào thì ta hiểu đó là bộ lọc tự nhiên sinh ra từ lịch
sử của X nghĩa là Ft = σ(Xs )s≤t .

Theo lý thuyết trò chơi nếu coi Xt là số vốn ở thời điểm t, Ft = σ(Xs )s≤t
là thơng tin tích lũy đến thời điểm t thì trị chơi thiệt hại nếu nó là martingale
trên, trị chơi có lợi nếu nó là martingale dưới và cơng bằng nếu nó là martingale.
Các kết quả chính của martingale là các bất đẳng thức và định lý hội tụ, nhất
là khai triển Doob.
1.3.3.2.

Hiệu martingale

Dãy tương thích (ξt ; Ft ) là hiệu martingale nếu E|ξt | < ∞ và E(ξt+1 |Ft ) = 0.
8

Nhận xét 1.1. +) Nếu (Xt ; Ft ) là martingale thì (ξt ; Ft ) là hiệu martingale
trong đó ξ0 = X0 , ξt = ∆Xt = Xt − Xt−1 . Thật vậy
E(ξt+1 |Ft ) = E(Xt+1 − Xt |Ft )
= E(Xt+1 |Ft ) − Xt = 0.
+) Ngược lại, nếu (ξt ; Ft ) là hiệu martingale thì ta có thể tạo ra martingale
t

(Xt ; Ft ), ở đó ξ0 = X0 , Xt =

ξk . Thật vậy, dễ thấy Xt là Ft - đo được và

k=1

E|Xt | < ∞. Hơn nữa,
E(Xt+1 |Ft ) = E(ξt+1 + Xt |Ft )
= E(ξt+1 |Ft ) + Xt
= Xt .

1.3.3.3.

Khai triển Doob

Kết quả chính là một martingale dưới được phân tích duy nhất qua một
martingale và một dãy tăng dự báo được. Kết quả này được chứng minh khơng
q khó khăn nên chúng tơi khơng trình bày ở đây.
Định lý 1.2. Định lý Doob
Giả sử X = (Xt ; Ft ) là martingale dưới, khi đó tồn tại martingale M =
(Mt ; Ft ) và dãy tăng dự báo được A = (At ; Ft−1 ):
0 ≤ A0 ≤ A1 ≤ ... ≤ At ≤ ...
sao cho
Xt = Mt + At .
Khai triển Doob là duy nhất.
Trong định lý này, dãy (At ), (Mt ) được xác định bởi:
A0 = 0,
t−1

[E(Xj+1 |Fj ) − Xj ],

At =
j=0

M0 = X0 ,
9

t−1

[Xj+1 − E(Xj+1 |Fj )].

Mt = X0 +
j=0

Bây giờ ta sẽ đề cập đến martingale bình phương khả tích. Giả sử M =
(Mt ; Ft ) là martingale bình phương khả tích, tức là M = (Mt ; Ft ) là martingale
và E|Xt |2 < ∞.
Do M = (Mt ; Ft ) là martingale và áp dụng bất đẳng thức Jensen kỳ vọng
điều kiện với hàm lồi g(x) = x2 suy ra quá trình M 2 = (Mt2 ; Ft ) là martingale
dưới. Theo khai triển Doob, ta có:
Mt2 = mt + < Mt >t ,
trong đó m = (mt ; Ft ) là martingale và < M >= (< Mt >t ; Ft−1 ) là dãy tăng
dự báo được. Ta gọi < M >= (< Mt >t ; Ft ) là đặc trưng bình phương của
martingale.
t−1
2
[E(Mj+1
|Fj ) − Mj2 ]

< Mt >t =
j=0
t−1

E[(∆Mj )2 |Fj−1 ]

=
j=1

∆Mj = Mj − Mj−1 .
Đặc biệt nếu M0 = 0 thì

EMk2 = E < M >k .
Nhận xét 1.3. Giả sử (ξt ) là các biến ngẫu nhiên độc lập sao cho Eξt = 0,
Eξt2 < ∞. Đặt M0 = 0, Mt =

t

ξk . Khi đó
k=1
t

< M >t =

EMt2

=

(E|ξk |2 ).
k=1

10

Chương 2

Sự tồn tại và cấu trúc của
một chiến lược tối ưu
2.1.

Vấn đề cơ bản

Cho (Ω, F, P ) là không gian xác suất. T > 0 là một số tự nhiên cố định.
F = (Fk )k=0,1,...,T là bộ lọc, tức là một họ các σ - đại số con của F. Giả sử
F = FT . Cho X = (Xk )k=0,1,...,T là quá trình giá trị thực, F - đo được, bình
phương khả tích, tức là Xk là Fk - đo được và trong L2 (P ). Ta định nghĩa
∆Xk := Xk − Xk−1

với k = 1, 2, ..., T

được gọi là số gia của X. Một quá trình ϑ = (ϑk )k=1,...,T được gọi là khả đoán
nếu ϑk là Fk−1 - đo được với mỗi k.
Định nghĩa 2.1. Tập Θ là tập tất cả các quá trình ϑ sao cho ϑk ∆Xk ∈ L2 (P )
với k = 1, ..., T . Với ϑ ∈ Θ, G(ϑ) là quá trình được xác định bởi
k

Gk (ϑ) :=

ϑj ∆Xj

với k = 0, 1, ..., T.

j=1

Quy ước: +) Tổng trên một tập rỗng bằng 0.
+) Tích trên một tập rỗng bằng 1.
0
+) = 1.
0
11

Vấn đề cơ bản trong bài này là:
Cho H ∈ L2 (P ) và c ∈ R

(2.1)

Tìm min E[(H − c − GT (ϑ))2 ] với mọi ϑ ∈ Θ.
Giải thích. Coi Xk là giá trị thời điểm k của một vài tài sản rủi ro (ví dụ, cổ
phiếu) trong một thị trường tài chính. Q trình ϑ mơ tả một chiến lược kinh
doanh của một nhà đầu tư trong thị trường này. Vì vậy, biến ngẫu nhiên ϑk
được hiểu là số lượng cổ phần nắm giữ được trong khoảng thời gian (k − 1, k],
và sự khả đoán được áp dụng để quyết định việc chọn lựa ϑk tại thời điểm k − 1
phải được thực hiện mà không có kiến thức chính xác về sự phát triển của X
trong khoảng thời gian tiếp theo. G(ϑ) mô tả quá trình tổng lợi nhuận từ việc
đầu tư trên. Nếu chúng ta coi “bồi khoản ngẫu nhiên H” (contingent claim) là
một sự thua lỗ ngẫu nhiên có thể chấp nhận được tại thời điểm T bởi một tác
nhân nhỏ trong thị trường này, thì H − c − GT (ϑ) là lỗ ròng của nhà đầu tư
nếu anh ta khởi đầu với vốn ban đầu c và đầu tư theo chiến lược ϑ.
Định nghĩa 2.2. Ta nói X thỏa mãn “điều kiện không suy biến” (ND) nếu tồn
tại hằng số δ ∈ (0, 1) sao cho
(E[∆Xk |Fk−1 ])2 ≤ δE[∆Xk2 |Fk−1 ]

P - hầu chắc chắn với k = 1, ..., T .

Bây giờ để thu được những công thức khác của (ND), ta xét khai triển Doob
của X:
X = X0 + M + A,
trong đó M = (Mk )k=0,1,...,T là (P, F) - martingale bình phương khả tích với
M0 = 0 và A = (Ak )k=0,1,...,T là quá trình khả đốn, bình phương khả tích với
A0 = 0. Phân tích trên là duy nhất và
∆Ak := E[∆Xk |Fk−1 ],

∆Mk := ∆Xk − ∆Ak .
Quá trình λ = (λk )k=1,...,T được cho bởi:
λk :=

∆Ak
E[∆Xk2 |Fk−1 ]
12

(k = 1, ..., T ).

(2.2)

Định nghĩa 2.3. Quá trình K = (Kj )j=0,1,...,T được cho bởi
j

Kj :=
l=1

(E[∆Xk |Fk−1 ])2
Var [∆Xk |Fk−1 ]

với j = 0, 1, ..., T

được gọi là quá trình cân bằng trung bình - phương sai của X (mean - variance
tradeoff process of X).
Mệnh đề 2.4. (ND) tương đương với mỗi điều kiện sau:
λk ∆Ak ≤ δ P - h.c.c, với k = 1, ..., T , với một hằng số δ ∈ (0, 1).

(2.3)

l=1

(E[∆Xl |Fl−1 ])2
≤
Var [∆Xl |Fl−1 ]

j

l=1

δ
jδ
Tδ
=
≤
1−δ
1−δ
1−δ

P − h.c.c.

Do đó ta có (2.4).
“⇐” Ngược lại nếu ta có (2.4), tức là
j

l=1

(E[∆Xl |Fl−1 ])2
≤ M (M > 0)
Var [∆Xl |Fl−1 ]

• (2.6) ⇔ (N D): X thỏa mãn điều kiện (ND), ta sẽ chứng minh được rằng:
(E[∆Xk |Fk−1 ])2
δ
≤
Var [∆Xk |Fk−1 ]
1−δ

P − h.c.c, k = 0, 1, ..., T.

Do đó, ta có (2.6).

14

Thuật ngữ “khơng suy biến” được giải thích bằng một công thức tương đương
với (ND) là:
E[∆Mk2 |Fk−1 ] ≥ L∆A2k ,

P − h.c.c, k = 1, ..., T, với hằng số L < ∞.

Ví dụ 2.5. Giả sử X là một cây sự kiện (event tree) theo nghĩa X0 là hằng
số, mỗi một Xk chỉ nhận hữu hạn giá trị, F là bộ lọc được tạo ra bởi X (tức
là Fk = σ(X0 , X1 , ..., Xk ), k = 0, 1, ..., T ). Điều này tương ứng với tình huống
mà ở mỗi thời điểm cho một mức giá, chỉ có hữu hạn giá trị có thể gán cho giá
tiếp theo. Bằng trực giác, một cây sự kiện có thể được hình dung như là một
đồ thị có các nút được cho bởi các cặp ngày - giá (k, Xk (ω)). X gọi là không
suy biến nếu cho mỗi k, phân phối của Xk với điều kiện Fk−1 không tập trung
tại một điểm P - h.c.c. Điều này có nghĩa là từ mỗi nút, có ít nhất hai nhánh ở
bên phải. Khi đó, dễ dàng thấy rằng X thỏa mãn điều kiện (ND). Trong thực
tế, chúng ta có thể đưa ra Ω hữu hạn mà không làm mất tính tổng qt, và vì

sự khơng suy biến của X kéo theo
Var [∆Xk |Fk−1 ](ω) > 0,
do đó
(E[∆Xk |Fk−1 ](ω))2 < E[∆Xk2 |Fk−1 ](ω)
với mỗi ω và k, ta có thể chọn δ ∈ (δ , 1) với
δ := sup
k, ω

(E[∆Xk |Fk−1 ](ω))2
< 1,
E[∆Xk2 |Fk−1 ](ω)

vì k và ω chỉ chạy trong tập hữu hạn.

2.2.

Sự tồn tại của chiến lược tối ưu

Định lý 2.6. Nếu X thỏa mãn (ND), thì GT (Θ) đóng trong L2 (P ).
Chứng minh. Cho (ϑn )n∈N là dãy bất kỳ trong Θ sao cho (GT (ϑn ))n∈N là dãy
Cauchy trong L2 (P ), Y là giới hạn trong L2 (P ) của (GT (ϑn )).
Với ϑ ∈ Θ bất kỳ, ta có:
GT (ϑ) = (GT −1 (ϑ) + ϑT ∆AT ) + ϑT ∆MT ,
15

(2.1)

vì ϑ, A là các q trình khả đốn và M là martingale, (GT −1 (ϑ) + ϑT ∆AT ) và
ϑT ∆MT trực giao với nhau trong L2 (P ). Do đó

E[(GT (ϑ))2 ] = E (GT −1 (ϑ) + ϑT ∆AT )2 + E (ϑT )2 ∆MT2
= E[(GT −1 (ϑ) + ϑT ∆AT )2 ] + E (ϑT )2 E[∆MT2 |FT −1 ]
Điều này dẫn đến dãy biến ngẫu nhiên FT −1 - đo được
ψTn := ϑnT

E[∆MT2 |FT −1 ]

cũng là dãy Cauchy trong L2 (P ). Do đó nó hội tụ trong L2 (P ) tới ψT∞ cũng là
FT −1 - đo được. Đặt
2
ϑ∞
T := I{ E[∆MT |FT −1 ] > 0}

ψT∞
E[∆MT2 |FT −1 ]

.

Vì X thỏa mãn điều kiện (ND), theo (2.5) ta có
n
2
n 2
2
E (ϑ∞
= E (ϑ∞
T ∆XT − ϑT ∆XT )
T − ϑT ) E[∆XT |FT −1 ]

≤

1
n 2
2
E (ϑ∞
T − ϑT ) E[∆MT |FT −1 ] .
1−δ

Do định nghĩa của ϑ∞
T suy ra
n 2
2
E (ϑ∞
T − ϑT ) E[∆MT |FT −1 ] → 0 khi n → ∞.
2
n
n
∞
2
Suy ra ϑ∞
T ∆XT ∈ L (P ). Do ϑ ∈ Θ và ϑT ∆XT → ϑT ∆XT trong L (P )
2
khi n → ∞. Do vậy GT −1 (ϑn ) hội tụ tới Y − ϑ∞
T ∆XT trong L (P ) khi n → ∞.

Bằng cách lặp lại những lập luận trước, ta kết luận
T

ϑ∞
k ∆Xk

Y =

P − h.c.c

k=1

với ϑ∞ ∈ Θ. Vậy GT (Θ) đóng trong L2 (P ).
Định lý 2.7. Giả sử X thỏa mãn (ND). Với bất kỳ H ∈ L2 (P ) và bất kỳ c ∈ R,
tồn tại một chiến lược ξ (c) ∈ Θ là nghiệm của bài toán (2.1).
Chứng minh. Theo Định lý 2.6, GT (Θ) là không gian tuyến tính đóng của khơng
gian Hilbert L2 (P ), do đó ta có thể chiếu H − c lên GT (θ).
16

2.3.

Cấu trúc của chiến lược tối ưu

Để mô tả cấu trúc của chiến lược tối ưu ξ (c) cụ thể hơn, đầu tiên chúng ta
định nghĩa quá trình điều chỉnh liên quan đến X. Đó chính là q trình khả
đốn β = (βk )k=1,...,T được xác định bởi
T

(1 − βj ∆Xj )|Fk−1

E ∆Xk

j=k+1

βk :=

E ∆Xk2

.

(2.2)

T

(1 − βj ∆Xj )2 |Fk−1
j=k+1

Hệ quả 2.8. β được định nghĩa tốt bởi (2.2) và có các tính chất sau với k =
1, ..., T
T

(1 − βj ∆Xj ) ∈ L2 (P ),

(2.3)

j=k
T

(1 − βj ∆Xj ) ∈ L2 (P ),

∆Xk

(2.4)

j=k+1

T

(1 − βj ∆Xj ) ∈ L2 (P ),

βk ∆Xk

(2.5)

j=k+1

và




T

E



(1 − βj ∆Xj )2 |Fk−1  = E 

j=k



T

(1 − βj ∆Xj )|Fk−1  ≤ 1, P − h.c.c.

j=k

(2.6)
Đặc biệt, biến ngẫu nhiên
T
0

Z :=

(1 − βj ∆Xj )

(2.7)

j=1

thuộc L2 (P ) và thỏa mãn
0 ≤ E[Z 0 ] = E[(Z 0 )2 ] ≤ 1.

(2.8)

Hơn nữa, Z 0 có tính chất
E[Z 0 GT (ϑ)] = 0

với mọi ϑ ∈ Θ
17

(2.9)

hoặc tương đương
E Z 0 ∆Xk |Fk−1 = 0

P − h.c.c, với k = 1, ..., T

(2.10)

Chứng minh. Ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp lùi. Với k = T ta
có
βT =

E[∆T |FT −1 ]
.
E[∆XT2 |FT −1 ]

βT được định nghĩa tốt bởi bất đẳng thức Jensen.
Đặt
Yn :=

(E[∆XT |FT −1 ])2
∆XT2
1 .
·
·I
2
E[∆XT2 |FT −1 ]
E[∆XT2 |FT −1 ] {E[∆XT |FT −1 ]≥ n }

Ta thấy
Yn ≥ 0,

Yn ↑ βT2 ∆XT2 (n → ∞),
Yn ≤ n∆XT2 ,
∆XT2 và Yn đều khả tích.
E[βT2 ∆XT2 |FT −1 ] = lim E[Yn |FT −1 ]
n→∞

(E[∆XT |FT −1 ])2
· I{E[∆XT2 |FT −1 ]≥ n1 } ≤ 1 P − h.c.c.
= lim
n→∞ E[∆X 2 |FT −1 ]
T
Suy ra E[βT2 ∆XT2 ] ≤ 1. Do đó ta có (2.3) và (2.5) kéo theo (2.4) trong trường
hợp k = T . Vì βT ∆XT và ∆XT đều bình phương khả tích, theo định nghĩa của
βT ta có
E[βT ∆XT |FT −1 ] = βT E[∆XT |FT −1 ] ≥ 0

P − h.c.c

và
E[βT2 ∆XT2 |FT −1 ] = βT2 E[∆XT2 |FT −1 ] = βT E[∆XT |FT −1 ] P − h.c.c.
Do đó ta có (2.6) trong trường hợp k = T .

18

Với k < T , đặt
2

T

(1 − βj ∆Xj ) Fk−1

E ∆Xk
j=k+1

Yn :=

∆Xk2

E
·I

∆Xk2

{E[∆Xk2

T

T

·
(1 − βj ∆Xj ) Fk−1

E

j=k+1

1
(1−βj ∆Xj )2 |Fk−1 ]≥ n
}

∆Xk2

T

(1 − βj ∆Xj )2

j=k+1
T

(1 − βj ∆Xj )2 Fk−1

j=k+1

.

j=k+1

Dễ thấy Yn ≥ 0 và Yn tăng tới βk2 ∆Xk2
đó như ở trên


T

(1 − βj ∆Xj )2 P - h.c.c và do

j=k+1



T

(1 − βj ∆Xj )2 Fk−1  ≤ 1

E βk2 ∆Xk2

P − h.c.c.

j=k+1

Điều này kéo theo (2.5). Mặt khác ta có
T

T

T

(1 − βj ∆Xj ) =
j=k

(1 − βj ∆Xj ) − βk ∆Xk
j=k+1

(1 − βj ∆Xj )
j=k+1

suy ra (2.3). Do đó ta suy ra (2.4).
Để chứng minh (2.6) ta có







(1 − βj ∆Xj )2 Fk−1  = E 

(1 − βj ∆Xj )2 · (1 − βT ∆XT )2 Fk−1 

T

E=
j=k

T −1

j=k

 



T −1



(1 − βj ∆Xj )2 · (1 − βT ∆XT )2 FT −1  Fk−1 

= E E 
j=k





=E

(1 − βj ∆Xj )2 E (1 − βT ∆XT )2 FT −1 Fk−1 

T −1

j=k





T −1

(1 − βj ∆Xj )2 Fk−1 

= E (1 − βT ∆XT )
j=k

= ...


T

=E


(1 − βj ∆Xj )Fk−1  ≤ 1

P − h.c.c.

j=k

19

Do đó ta có (2.6).
Tiếp theo ta chứng minh (2.7) đến (2.10). Theo (2.3) dễ dàng chứng minh
được
T

(1 − βj ∆Xj ) ∈ L2 (P ) với k = 1.

0

Z :=

j=1

Theo (2.6) ta suy ra 0 ≤ E[Z 0 ] = E[(Z 0 )2 ] ≤ 1.
Để chứng minh (2.10), trước tiên ta chú ý rằng
E Z 0 ∆Xk |Fk−1 =

E (∆Xk −



T

k−1

(1 − βj ∆Xj ) Fk−1  ·

βk ∆Xk2 )

(1 − βj ∆Xj ).

(*)

j=1

j=k+1

Xét
T

U :=

βk ∆Xk2

(1 − βj ∆Xj )
j=k+1

T

= ∆Xk

T

(1 − βj ∆Xj ) − ∆Xk
j=k+1

(1 − βj ∆Xj )
j=k

là khả tích do các kết quả trên. Hơn nữa




T

(1 − βj ∆Xj ) Fk 

V :=E βk ∆Xk2

j=k+1





T

(1 − βj ∆Xj )2 Fk 

= βk ∆Xk2 E 

j=k+1





T

(1 − βj ∆Xj ) Fk 

= βk E ∆Xk2

j=k+1

:= βk W.
Vì vậy ta thu được

T

E βk ∆Xk2





(1 − βj ∆Xj ) Fk−1  = βk E ∆Xk2
j=k+1



T

(1 − βj ∆Xj )2 Fk−1 
j=k+1

20





T

(1 − βj ∆Xj ) Fk−1  .

= E ∆Xk

j=k+1

Thay vào (*) ta thu được
E[Z 0 ∆Xk |Fk−1 ] = 0.
Chứng minh (2.9). Ta có




T

E[Z 0 GT (ϑ)] = E Z 0

ϑj ∆Xj 
j=1
T

E[Z 0 ϑj ∆Xj ].

=
j=1

Do
E[Z 0 ϑj ∆Xj ] = E E Z 0 ϑj ∆Xj Fj−1
= E ϑj E Z 0 ∆Xj Fj−1
= 0 với j = 1, 2, ..., T .
Vậy E[Z 0 GT (ϑ)] = 0.
Để làm sáng tỏ cấu trúc của chiến lược tối ưu ξ (c) , chúng ta đưa ra quá trình
=(

k )k=1,...,T

được định nghĩa bởi
T

(1 − βj ∆Xj ) Fk−1

E H∆Xk
k

j=k+1

:=
E ∆Xk2

Ta có


T

,

(1 − βj ∆Xj )2 Fk−1


(1 − βj ∆Xj ) Fk−1 

(2.12)

j=k+1


= βk E H∆Xk

(2.11)

j=k+1

T

E Hβk ∆Xk

k = 1, 2, ..., T.



T

(1 − βj ∆Xj ) Fk−1 
j=k+1

21

T

(1 − βj ∆Xj ) Fk−1

E ∆Xk

j=k+1

=
E ∆Xk2

T

kE



T

(1 − βj ∆Xj ) Fk−1 

· E H∆Xk

(1 − βj ∆Xj )2 Fk−1

j=k+1

j=k+1


=





T

(1 − βj ∆Xj ) Fk−1 

∆Xk

j=k+1



=E



T

(1 − βj ∆Xj ) Fk−1 

k ∆Xk

P − h.c.c với mỗi k.

j=k+1

Định lý 2.9. Với k = 1, ..., T ta có P - h.c.c
H − c − GT (ξ (c) )
T

=H−

(2.13)
T

T

(1 − βl ∆Xl ) − (c + Gk−1 (ξ

j ∆Xj
j=k

(c)

(1 − βl ∆Xl )

))

l=j+1

l=k

và
(c)

ξk =

k

− βk (c + Gk−1 (ξ (c) )).

(2.14)

Chứng minh. Ta sẽ chứng minh (2.13) và (2.14) bằng phương pháp quy nạp
lùi. Theo định lý chiếu (Luenberger (1969), định lý 3.31) một chiến lược ξ ∈ Θ
là nghiệm của bài toán (2.1) nếu và chỉ nếu
E[(H − c − GT (ξ))GT (ϑ)] = 0,

∀ϑ ∈ Θ

hoặc tương đương
E[(H − c − GT (ξ))∆Xk Fk−1 ] = 0,

P − h.c.c, k = 1, ..., T.

(2.15)

Do ξ (c) là chiến lược tối ưu, thuộc Θ, nên ta có với k = T
0 = E[(H − c − GT (ξ (c) ))∆XT FT −1 ]
= E[H∆XT − ξ (c) ∆XT2 − (c + GT −1 (ξ (c) ))∆XT |FT −1 ]
(c)

= E[H∆XT |FT −1 ] − ξT E[∆XT2 |FT −1 ] − (c + GT −1 (ξ (c) ))E[∆XT |FT −1 ]
(c)

⇒ ξT =

E[H∆XT |FT −1 ]
E[∆XT |FT −1 ]
− (c + GT −1 (ξ (c) ))
2
E[∆XT |FT −1 ]
E[∆XT2 |FT −1 ]
22

(c)

ξT =

T

− βT (c + GT −1 (ξ (c) )).

Đó là (2.14) trong trường hợp k = T .
Lại có:
(c)

H − c − GT (ξ (c) ) = H − ξT ∆XT − (c + GT −1 (ξ (c) ))
H − c − GT (ξ (c) ) = H −

T ∆XT

− (c + GT −1 (ξ (c) ))(1 − βT ∆XT ).

Đó là (2.13) trong trường hợp k = T .
Bây giờ ta giả sử (2.13) và (2.14) đúng với j = k + 1, ..., T . Theo (2.15) ta
có
0 = E (H − c − GT (ξ (c) ))∆Xk Fk−1


T



T

= E ∆Xk (H −

(1 − βl ∆Xl )) Fk−1 

j ∆Xj

j=k+1

l=j+1
T

− E ∆Xk (c + Gk (ξ

(c)

(1 − βl ∆Xl ) Fk−1

))

l=k+1



T

= E [H∆Xk |Fk−1 ] −



T

E ∆Xk

j ∆Xj

j=k+1

(1 − βl ∆Xl ) Fk−1 
l=j+1

T

−

(c)
ξk E

(1 − βl ∆Xl ) Fk−1

∆Xk2
l=k+1

T

− (c + Gk−1 (ξ

(c)

(1 − βl ∆Xl ) Fk−1 .

))E ∆Xk

l=k+1

Do Fj−1 ⊇ Fk , ta có


E ∆Xk



T

(1 − βl ∆Xl ) Fk−1 

j ∆Xj

l=j+1

 
= E E ∆Xk



T



(1 − βl ∆Xl ) Fj−1  Fk−1 

j ∆Xj

l=j+1







T



(1 − βl ∆Xl ) Fj−1  Fk−1 

= E ∆Xk E  j ∆Xj

l=j+1

23

Chiến lược đầu tư tối ưu cực tiểu hóa phương sai với thời gian rời rạc

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về