Khảo sát ổn định thanh thẳng thành mỏng tiết diện hở theo phương pháp dải hữu hạn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
----------oOo----------

NGUYỄN TRẦN THIỆN TÂM

KHẢO SÁT ỔN ĐỊNH THANH THẲNG
THÀNH MỎNG TIẾT DIỆN HỞ
THEO PHƯƠNG PHÁP DẢI HỮU HẠN

CHUYÊN NGÀNH : XÂY DỰNG DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP
MÃ SỐ NGÀNH : 23.04.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ
(PHẦN THUYẾT MINH)

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH, THÁNG 12 NĂM 2005


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
PHÒNG ĐÀO TẠO SĐH
------------

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
-----------Tp. Hồ Chí Minh, ngày ..... tháng ..... năm ........

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ tên học viên
: NGUYỄN TRẦN THIỆN TÂM
Phái

: nam
Ngày, tháng, năm sinh : 23-12-1976
Nơi sinh : An Giang
Chuyên ngành: Xây dựng Dân dụng và Công nghiệp
MSHV: XDDD13.026
I- TÊN ĐỀ TÀI: KHẢO SÁT ỔN ĐỊNH THANH THẲNG THÀNH MỎNG
TIẾT DIỆN HỞ THEO PHƯƠNG PHÁP DẢI HỮU HẠN
II- NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:
- Nghiên cứu cơ sở lý thuyết phương pháp dải hữu hạn.
- Nghiên cứu các phương pháp phân tích ổn định đàn hồi thanh thành mỏng.
- Xây dựng phần mềm phân tích ổn định đàn hồi thanh thành mỏng bằng
phương pháp dải hữu hạn.
- Khảo sát ổn định đàn hồi của các kết cấu cụ thể thông qua những ví dụ
tính toán.
- So sánh các phương pháp chuỗi Fourier (cổ điển), phương pháp phần tử
hữu hạn và phương pháp dải hữu hạn trong bài toán ổn định.
- Khảo sát ảnh hưởng của việc tăng bề dày hoặc cấu tạo thêm các thành
phần cấu tạo gia cường đối với ứng xử ổn định của thanh thành mỏng.
III- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ
: 07-07-2005
IV- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : 07-12-2005
V- CÁN BỘ HƯỚNG DẪN
: PGS. PHAN NGỌC CHÂU
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

CN BỘ MÔN
QL CHUYÊN NGÀNH

PGS. PHAN NGỌC CHÂU
Nội dung và đề cương luận văn thạc só đã được Hội đồng chuyên ngành thông qua.

TRƯỞNG PHÒNG ĐT - SĐH

Ngày ..... tháng ..... năm ........
TRƯỞNG KHOA QL NGÀNH


CÔNG TRÌNH ĐƯC HOÀN THÀNH TẠI
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS. PHAN NGỌC CHÂU

Cán bộ chấm nhận xét 1:

Cán bộ chấm nhận xét 1:

Luận văn thạc só được bảo vệ tại:
HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày ..... tháng ..... naêm ........


Lời cảm ơn
Chân thành cảm ơn Thầy Phan Ngọc Châu đã
gợi mở đề tài và hướng dẫn tận tình cho tôi hoàn thành
luận văn tốt nghiệp này.
Chân thành cảm ơn trường Đại học Bách Khoa
Tp. HCM. và các thầy cô đã tận tình truyền đạt kiến
thức cho tôi trong suốt thời gian qua.
Xin cảm ơn cha mẹ tôi, hai người thân thương
nhất của tôi đã sinh thành và nuôi dưỡng tôi đến ngày

hôm nay.
Xin cảm ơn gia đình, người thân và các bạn bè
đã động viên và giúp đỡ tôi trong công việc cũng như
trong quá trình học tập nghiên cứu.
Xin cảm ơn người luôn kề vai sát cánh và chia sẻ
mọi khó khăn với tôi.
Chân thành cảm ơn các tác giả của những tài
liệu mà tôi đã tham khảo để thực hiện luận văn này.
Nguyễn Trần Thiện Tâm


MỤC LỤC
Lời cảm ơn................................................................................................................
Mục lục .....................................................................................................................
Chương 1. TỔNG QUAN........................................................................................1
1.1. Hình thành đề tài .............................................................................................1
1.2. Tổng quan về phương pháp dải hữu hạn..........................................................2
1.3. Lịch sử phát triển nghiên cứu ổn định thanh thành mỏng................................4
Chương 2. PHƯƠNG PHÁP DẢI HỮU HẠN ......................................................9
2.1. Giới thiệu .........................................................................................................9
2.2. Hàm chuyển vị...............................................................................................13
2.2.1. Thành phần chuỗi hàm điều hòa ........................................................14
2.2.2. Thành phần hàm đa thức ....................................................................17
2.3. Thiết lập các phương trình cơ bản của phương pháp dải hữu hạn .................20
2.4. FSM với dải chịu uốn hình chữ nhật ..............................................................24
2.5. FSM với dải ứng suất phẳng hình chữ nhật ...................................................31
2.6. FSM với dải LO2 chịu lực phức tạp ...............................................................38
Chương 3. PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH ĐÀN HỒI THANH THÀNH MỎNG......49
3.1. Giới thiệu .......................................................................................................49
3.2. Lời giải cổ điển: phương pháp chuỗi Fourier cho tấm tựa đơn......................50

3.3. Phương pháp phần tử hữu hạn........................................................................61
3.4. Phương pháp dải hữu hạn ..............................................................................63
3.5. So sánh phương pháp chuỗi Fourier, phương pháp phần tử hữu hạn và
phương pháp dải hữu hạn ...............................................................................79
Chương 4. VÍ DỤ TÍNH TOÁN ...........................................................................81
4.1. Ví dụ 1 ...........................................................................................................81
Tấm chữ nhật bốn cạnh tựa đơn, chịu nén thuần túy. Khảo sát ổn định
tấm theo ba phương pháp chuỗi Fourier, FEM và FSM. Nhận xét, so
sánh các phương pháp. Phân tích lời giải FSM: số hạng chuỗi m, các
mode, chiều dài a, hệ số tải trọng.
4.2. Ví dụ 2 ...........................................................................................................92
Tấm chữ nhật một cạnh ngàm, một cạnh tự do, chịu nén thuần túy. Khảo
sát ổn định tấm theo ba phương pháp chuỗi Fourier, FEM vaø FSM.


4.3. Ví dụ 3 ...........................................................................................................96
Thanh thành mỏng tiết diện chữ C, chịu nén thuần túy. Khảo sát ổn định
theo hai phương pháp FEM và FSM. Phân tích ba dạng mất ổn định cục
bộ, vênh và tổng thể. So sánh các mode. Ứng suất và lực ổn định đàn
hồi tới hạn.
4.4. Ví dụ 4 .........................................................................................................107
Thanh thành mỏng tiết diện chữ Z, chịu uốn thuần túy. Khảo sát ổn định
theo hai phương pháp FEM và FSM. Phân tích ba dạng mất ổn định cục
bộ, vênh và tổng thể. Ứng suất và moment ổn định đàn hồi tới hạn.
4.5. Ví dụ 5 .........................................................................................................114
Thanh thành mỏng tiết diện chữ C, chịu uốn thuần túy. Khảo sát ổn định
theo hai phương pháp FEM và FSM.
4.6. Ví dụ 6 .........................................................................................................117
Thanh thành mỏng tiết diện chữ I, chịu uốn thuần túy. Khảo sát ổn định
theo hai phương pháp FEM và FSM.

4.7. Ví dụ 7 .........................................................................................................120
Thanh thành mỏng tiết diện chữ C, chịu nén thuần túy. Khảo sát ảnh
hưởng tăng cứng của gờ mép trên cánh tiết diện và các rãnh tăng cứng
trên bụng tiết diện.
4.8. Ví dụ 8 .........................................................................................................125
Thanh thành mỏng tiết diện chữ C, chịu nén thuần túy. Khảo sát ổn định
thanh khi bề dày thay đổi.
Chương 5. CHƯƠNG TRÌNH TÍNH TOÁN .....................................................131
5.1. Khả năng, phạm vi ứng dụng VNFS............................................................131
5.2. Thuật toán ....................................................................................................132
5.2.1. Khối nhập dữ liệu .............................................................................132
5.2.2. Khối tính toán ...................................................................................133
5.2.3. Khối xuất kết quả .............................................................................134
Chương 6. KẾT LUẬN VÀ PHƯƠNG HƯỚNG PHÁT TRIỂN ....................135
6.1. Kết luận .......................................................................................................135
6.2. Phương hướng phát triển ..............................................................................137
Tài liệu tham khaûo..............................................................................................139


1

Chương 1. TỔNG QUAN
1.1. Hình thành đề tài
Ngày nay, kết cấu thanh thành mỏng được sử dụng rộng rãi trong nhiều
ngành như ngành chế tạo máy bay, ngành cơ khí chế tạo máy, ngành công nghiệp
đóng tàu, ngành cầu đường và ngành xây dựng dân dụng và công nghiệp.
Thanh thành mỏng là loại kết cấu thanh có đặc trưng là bề dày thanh rất
bé so với chu tuyến của mặt cắt ngang, và chu tuyến mặt cắt ngang lại rất bé so
với chiều dài thanh.
Trong ngành xây dựng hiện nay, kết cấu thanh thành mỏng chiếm tỷ lệ

rất lớn trong công trình vì ưu điểm dễ chế tạo, nhẹ nhàng, cường độ cao và kinh
tế trong vận chuyển lắp đặt. Trong thép xây dựng, có hai loại thép thành mỏng
chủ yếu là thép cuốn nóng (hot-rolled steel) và thép dập nguội (cold-formed
steel). Hai loại thép này rất dễ chế tạo với nhiều hình dạng khác nhau, đáp ứng
tốt cho cả yêu cầu về kỹ thuật cũng như mỹ thuật.
Kết cấu thanh thành mỏng thông thường là rất mảnh. Điều này dẫn đến
việc ứng suất mất ổn định đàn hồi nhỏ hơn nhiều so với ứng suất chảy dẻo của
vật liệu. Do đó, ứng xử mất ổn định thường là vượt trội hơn trong kết cấu thanh
thành mỏng. Nói cách khác, đối với thanh thành mỏng thì tải trọng cho phép được
quyết định theo điều kiện ổn định hơn là điều kiện bài toán tónh. Vì vậy, việc
khảo sát cẩn thận mất ổn định đàn hồi là hết sức cần thiết phải đặt ra.
Hiện nay, khi tính toán ổn định kết cấu thanh thành mỏng, các kỹ sư
thường tính toán ổn định tổng thể (Euler) của kết cấu, sau đó kiểm tra điều kiện
ổn định cục bộ của các bản cánh và bản bụng. Cách làm này chủ yếu là tra bảng
và thường tốn rất nhiều công sức, mà lại không thấy rõ được các dạng mất ổn
định của kết cấu (cục bộ, vênh và tổng thể). Mặt khác, phương pháp này được áp
dụng chung cho tất cả các loại thanh, điều này là không hợp lý vì kết cấu thanh
thành mỏng có ứng xử rất khác so với các loại thanh thông thường.
Kết cấu thanh thành mỏng thường có dạng hình học phức tạp trên mặt cắt
ngang nhưng lại đơn giản theo hướng dọc, do đó một phương pháp rất hiệu quả có
thể được áp dụng trong bài toán này là phương pháp dải hữu hạn.
Chương 1: Tổng quan


2
Trong phạm vi luận văn này sẽ tập trung khảo sát ổn định của kết cấu
thanh thành mỏng bằng phương pháp dải hữu hạn. Cụ thể là xác định trực tiếp
các hệ số tải trọng ổn định tới hạn, đồng thời xác định dạng mất ổn định tương
ứng (cục bộ, vênh và tổng thể). Và bước đầu nghiên cứu một phương pháp nhanh
chóng và hiệu quả để phân tích ổn định cho kết cấu thanh thành mỏng trong công

tác thiết kế thực tiễn. Ngoài ra, luận văn cũng tập trung khảo sát ổn định thanh
thành mỏng với nhiều tiết diện khác nhau, chịu tải trọng khác nhau; Nghiên cứu
khảo sát ảnh hưởng của việc gia cường tiết diện (bằng cách thay đổi bề dày tiết
diện hoặc cấu tạo thêm các rãnh tăng cứng) đến ứng xử ổn định của kết cấu.
Một số luận văn thạc só có liên quan đến vấn đề này nhưng chưa nghiên
cứu đến bài toán ổn định của thanh thành mỏng cũng được tác giả chú ý theo dõi
nhằm hình thành một hướng đi tiếp nối các nghiên cứu đi trước. Các nghiên cứu
này được thể hiện qua các luận văn thạc só đã được bảo vệ thành công tại trường
Đại học Bách Khoa Tp. HCM của Trần Minh Phương (Khảo sát dầm thành
mỏng với mô hình độ vênh Prokié, 2004); Lê Văn Bình (Sử dụng dải hữu hạn bậc
cao trong bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi, 2003); Phạm Sanh (Phân tích một
số kết cấu cầu bằng phương pháp dải hữu hạn, 2003); Lê Hiền Anh (Nghiên cứu
phương pháp dải hữu hạn và ứng dụng để khảo sát dao động của tấm có sườn,
2003).

1.2. Tổng quan về phương pháp dải hữu hạn
Phương pháp dải hữu hạn (Finite Strip Method – gọi tắt là FSM) được đề
xuất đầu tiên bởi Y. K. Cheung (1968) và được đúc kết trong quyển sách cùng
tên nổi tiếng của ông (Y. K. Cheung, 1976). Từ đó đến nay, rất nhiều nhà khoa
học đã tiếp tục nghiên cứu phát triển làm cho phương pháp dải hữu hạn càng lúc
càng hoàn thiện trở thành phương pháp cực kỳ hữu dụng để phân tích kết cấu.
Phương pháp dải hữu hạn kết hợp ý tưởng giữa phương pháp giải tích của
Vlassov và phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method – gọi tắt là
FEM). Phương pháp dải hữu hạn có thể được xem là một trường hợp đặc biệt của
phương pháp phần tử hữu hạn. Phương pháp cơ bản và lý thuyết của hai phương
pháp này là giống hệt nhau.
Điểm khác nhau duy nhất giữa phương pháp phần tử hữu hạn và phương
pháp dải hữu hạn là ở cách rời rạc hóa kết cấu. Trong phương pháp dải hữu hạn,
chỉ có một phần tử dải được sử dụng để rời rạc hóa kết cấu theo hướng dọc, chiều
dài của dải bằng với chiều dài của kết cấu.

Chương 1: Tổng quan


3
Cách thức rời rạc hóa này đặc biệt hữu hiệu trong trường hợp kết cấu có
kích thước hình học theo chiều dọc đơn giản nhưng có thể có mặt cắt ngang bất
kỳ. Về bản chất, phương pháp dải hữu hạn làm giảm số chiều của bài toán, từ bài
toán 2D trở thành bài toán 1D. Trong một vài trường hợp, việc tính toán có thể
giảm đi đến 10 lần hay hơn nữa nếu so sánh với phương pháp phần tử hữu hạn
(Cheung and Tham, 1998).
Phương pháp phần tử hữu hạn thông thường sử dụng một hàm chuyển vị
đa thức để mô tả trường chuyển vị trên tất cả các chiều của kết cấu. Trong khi đó
phương pháp dải hữu hạn sử dụng hai hàm khác nhau kết hợp để mô tả chuyển vị
theo hướng ngang và hước dọc của kết cấu. Dạng tổng quát của hàm chuyển vị
trong phương pháp dải hữu hạn là:
r

w ( x, y ) = ∑ f m ( x )Ym ( y ) trong đó, fm(x) là hàm mô tả chuyển vị theo hướng
m =1

ngang và Ym(y) là chuỗi hàm mô tả chuyển vị theo hướng dọc với điều kiện phải
thỏa mãn điều kiện biên ở hai đầu kết cấu.
Sự thuận lợi và độ chính xác của phương pháp dải hữu hạn phụ thuộc vào
sự lựa chọn sáng suốt hàm chuyển vị. Dựa trên cách chọn hàm chuyển vị theo
hướng ngang và hướng dọc, ba phương pháp cơ bản của FSM được phát triển:
Phương pháp dải hữu hạn giải tích – Analytical FSM (AFSM): sử dụng lời
giải chính xác từ phương trình vi phân chủ đạo của tấm với giả thiết theo hướng
dọc dao động của kết cấu theo dạng hình sin, không đưa ra dạng tường minh của
hàm chuyển vị.
Phương pháp dải hữu hạn nửa giải tích – Semi-analytical FSM (SFSM):

sử dụng hàm đa thức để mô tả chuyển vị theo hướng ngang và chuỗi hàm lượng
giác để mô tả chuyển vị theo hướng dọc.
Phương pháp dải hữu hạn số – Numerical FSM (NFSM): sử dụng hàm đa
thức để mô tả chuyển vị theo hướng ngang và chuỗi hàm B3-Spline để mô tả
chuyển vị theo hướng dọc. Trong phương pháp này, một số chuỗi hàm Spline đa
thức bậc 3 được phân bố theo các khoảng cách bằng nhau theo hướng dọc để mô
tả chuyển vị.
Hiện nay phương pháp dải hữu hạn là một kỹ thuật mạnh mẽ và hiện đại
để phân tích bài toán tónh, động, và ổn định. Phương pháp dải hữu hạn được ứng
dụng để phân tích nhiều loại kết cấu như: thanh thành mỏng (thẳng hoặc cong,
Chương 1: Tổng quan


4
một nhịp hoặc nhiều nhịp), kết cấu cầu, mái, sàn, hồ, máng, tấm vỏ, nhà cao
tầng, tường, hầm, đường ngầm, …

1.3. Lịch sử phát triển nghiên cứu ổn định thanh thành mỏng
Việc nghiên cứu ổn định của thanh thành mỏng đã được tiếp nối và phát
triển liên tục từ thập niên 1940 đến nay. Kết cấu thanh thành mỏng có ba dạng
mất ổn định cơ bản là cục bộ, vênh và tổng thể. Trong suốt lịch sử phát triển, các
tác giả thường đặt trọng tâm vào nghiên cứu mất ổn định vênh của cấu kiện cột
thép dập nguội, đây là dạng mất ổn định phức tạp và nguy hiểm.
Bảng tóm tắt lịch sử phát triển nghiên cứu ổn định thanh thành mỏng
Thập
niên
1940
1950
Thập
niên

1960
Thập
niên
1970

Thập
niên
1980
Thập
niên
1990
đến
nay

Nghiên cứu chung về ổn định
- Thiết lập ổn định đàn hồi tấm
- Bắt đầu các thực nghiệm
- Phương pháp bề rộng hiệu dụng
xác định cường độ tới hạn
- Phương pháp thiết kế trước (early)
- Đặc trưng vật liệu thép dập nguội
- Dự báo mất ổn định tổng thể
- nh hưởng giữa mất ổn định cục
bộ và tổng thể
- Phương pháp thiết kế cho phần tử
có và không có cấu kiện tăng cứng
- Phương pháp phần tử hữu hạn
- ng suất không hoàn hảo và ứng
suất dư
- Phương pháp bề rộng hiệu dụng

- Phương pháp dải hữu hạn
- Tương tác và điều kiện biên khác
nhau của kết cấu
- Lý thuyết dầm suy rộng

Chương 1: Tổng quan

Ổn định vênh
- Nhận ra hiện tượng bất thường:
hiện tượng vênh
- Dự báo hiện tượng bằng phương
pháp giải tích là quá phức tạp
- Phương pháp giải tích gần đúng từ
các nghiên cứu vật liệu nhôm
- Lý thuyết tấm oằn (folded plate)
- Thực nghiệm, nhưng thường là mất
ổn định vênh bị hạn chế
- Nhận ra tiêu chuẩn mất ổn định
đàn hồi là không chính xác để dự
báo mode phá hủy
- Phương pháp thiết kế thực hành
- Thực nghiệm với mất ổn định
vênh không hạn chế
- Khám phá sự duy trì sau ổn định
- Kiểm tra ảnh hưởng giữa mất ổn
định vênh với các mode khác
- Đường cong mất ổn định
- Phương pháp thiết kế thực hành
- Tổng kết tiêu chuẩn thiết kế

5
™ Thập niên 1940 và 1950
Nghiên cứu cột thép dập nguội bắt đầu vào những năn 1940 với các thực
nghiệm tại Mỹ (Winter 1940). Sau đó Winter đã tổng kết các nghiên cứu trong
thập niên 1940 (Winter 1949). Chilver (1951) và Harvey (1953) đã tổng kết các
thực nghiệm và lý thuyết cột thành mỏng tại Anh. Sau rất nhiều năm phát triển,
đến nay các nghiên cứu hiện đại vẫn có chung mục tiêu như công trình của
Chilver: lời giải ổn định đàn hồi và tải trọng tới hạn.
Lời giải ổn định đàn hồi của tấm dựa trên lý thuyết của Timoshenko and
Gere (1936) mà sau đó đã được Lundquist and Stowell (1943) mở rộng bằng việc
cung cấp phương pháp thực hành để tính ổn định đàn hồi của tấm liên kết.
Phương pháp bề rộng hiệu dụng dựa theo Von Kármán (1932) và được chỉnh sửa
thực nghiệm bởi Winter (1947). Đáng chú ý là Chilver và Harvey đã chỉ ra đúng
đắn tương tác của các phần tử trong việc xác định ứng suất mất ổn định cục bộ.
Đối với tiết diện chữ C có gờ mép, Chilver chỉ ra rằng việc cấu tạo gờ mép nên
đảm bảo đủ cứng để có thể tránh được mất ổn định vênh, nhưng không xác định
được tiêu chuẩn cho vấn đề này.
™ Thập niên 1960
Tại Mỹ, nghiên cứu về cột thép dập nguội trong những năm 1960 chủ yếu
là lờ đi mất ổn định vênh mà chỉ tập trung vào đặc trưng vật liệu (Karren 1965,
Uribe and Winter 1969), và mất ổn định tổng thể của cột (Chajes 1966, Pekưz
1969). Phương pháp thực nghiệm được Karren sử dụng là nén kiểm tra thử mẫu
liên kết đối lưng, về sau phương pháp này cũng được Cornell sử dụng để nghiên
cứu. Cũng trong thời gian này, tại Canada có nghiên cứu kiểm tra tối ưu hóa hình
dạng của cột thép dập nguội và các cạnh tăng cứng (Divakaran 1964,
Venkataramaiah 1971).
Nghiên cứu về nhôm trong thập niên 1960 nghiên cứu tỉ mỉ về tiết diện
chữ C có gờ mép và vành bằng thực nghiệm (Dwight 1963) và bằng giải tích
(Sharp 1966). Sharp giới thiệu một lý thuyết nhận biết trước (early) mất ổn định

vênh. Bằng việc đơn giản hóa liên kết xoay tại vị trí tiếp giáp giữa bản cánh và
bản bụng, ứng suất mất ổn định vênh của tiết diện chữ C có gờ mép được tính
toán xấp xỉ. Thực nghiệm của Dwight được dùng để kiểm tra.
Phương pháp tấm oằn (folded plate method) được phát triển bởi
Goldberg, Bogdanoff and Glauz (1964) để dự báo mất ổn định một phía và xoắn
của dầm thành mỏng bao gồm sự vặn xoắn tiết diện. Phương pháp chứng minh
Chương 1: Toång quan


6
mất ổn định xoắn của tiết diện hở dưới cả tác dụng của lực dọc và momen uốn.
Cũng trong thời gian này, một phương pháp độ cứng chính xác được phát triển tại
Anh bởi Wittrick (1968) nhằm mục đích nghiên cứu ổn định của tấm panel có
tăng cứng chịu nén. Mặc dù chỉ xét tấm panel có tăng cứng và không kiểm tra
cấu kiện mặt cắt ngang hở, các dạng mất ổn định vênh cũng đã đïc phát hiện.
™ Thập niên 1970
Trong những năm 1970, trên khắp thế giới, việc nghiên được tập trung
vào sự ảnh hưởng giữa các mode mất ổn định cục bộ và tổng thể (ví dụ, tổng thể
– uốn, xoắn, uốn – xoắn) (DeWolf 1974, Klưppel and Bilstien 1976, Rhodes and
Harvey 1977, Peköz 1977, Loughlan 1979). Tại Mỹ có các nghiên cứu đối với
phần tử không tăng cứng (Kalyanaraman 1977) và đối với phần tử có cạnh tăng
cứng trung gian (Desmon 1977). Tại Đức, cạnh tăng cứng cô lập được nghiên cứu
bằng thực nghiệm và giải tích bằng cách thay thế vị trí tiếp giáp giữa bản cánh và
bản bụng bằng một liên kết tựa đơn (Kloppel and Unger 1970).
Công trình nghiên cứu của Desmon (1977) là cơ sở cho tiêu chuẩn AISI
hiện đại (1996) cho phần tử có cạnh tăng cứng. Desmon cung cấp một phương
pháp giải theo kinh nghiệm đơn giản bằng một hệ số k của một phần tử có cạnh
tăng cứng, thành phần ổn định cạnh tăng cứng được mô tả là ổn định vênh. Các
nghiên cứu thực nghiệm của Desmon được Karren theo đuổi và từ đó thực hiện
thực nghiệm với hai cấu kiện liên kết đối lưng, trong thực nghiệm này, chiều dày

bản bụng là gấp đôi bản cánh.
Tại Thụy Điển, Thomasson (1978) tiến hành thực nghiệm trên tiết diện
chữ C có gờ mép và bản bụng mảnh. Để nâng cao ứng suất mất ổn định cục bộ,
các rãnh nhỏ tăng cứng trên bản bụng được cấu tạo xếp gập lại. Điều này loại trừ
được vấn đề mất ổn định cục bộ nhưng tạo ra vấn đề cục bộ – xoắn, ví dụ mất ổn
định vênh. Thomasson xem mode cục bộ – xoắn này là không mong muốn và đặt
thanh giằng đóng kín từ gờ mép này đến gờ mép kia của tiết diện, để đảm bảo là
mất ổn định vênh không xuất hiện, và do đó lại làm mất ổn định cục bộ bậc cao
xuất hiện.
™ Thập niên 1980
Tại Mỹ có các nghiên cứu về ứng suất không hoàn hảo và ứng suất dư
(Dat 1980, Weng 1987), tương tác mất ổn định cục bộ (Mulligan 1983), hiệu ứng
beam-column (Loh 1985), thiết lập phép tính gần đúng cho phương pháp bề rộng
hiệu dụng (Pekưz 1987).
Chương 1: Tổng quan


7
Tại châu Âu, nghiên cứu của Batista (1987) tiếp tục cung cấp các bằng
chứng mạnh mẽ cho sự ảnh hưởng giữa mất ổn định cục bộ và tổng thể. Nghiên
cứu ảnh hưởng giữa mất ổn định cục bộ và tổng thể được tiếp tục bởi Rhodes and
Loughlan 1980, Zaras and Rhodes 1987, cũng như nghiên cứu về ứng xử của
phần tử có gờ mép tăng cứng cô lập (Lim 1985, Lim and Rhodes 1986).
Trong thập kỷ 1980, một vài nhà khoa học bắt đầu tập trung vào nghiên
cứu mất ổn định vênh, nhất là tại đại học Sydney. Nghiên cứu ứng xử mất ổn định
vênh của cấu kiện thép dập nguội có rãnh (Hancock 1985, Lau 1988). Hancock
đã mở rộng và phát triển phương pháp dải hữu hạn của Cheung (1976) như là một
công cụ để khảo sát mất ổn định của thanh thành mỏng. Lau đã mở rộng phương
pháp dải hữu hạn spline (Cheung and Fan 1983) cho phép tính toán điều kiện
biên ngàm ở đầu, điều này được kiểm chứng bằng thực nghiệm phá hủy mất ổn

định vênh (Lau and Hancock 1990), và được biến thành phương pháp thực hành
(Lau and Hancock 1987) để dự báo ứng suất mất ổn định vênh.
Tại Nhật, một vài tác giả công bố các bài báo về việc dự báo mất ổn định
vênh của thanh thành mỏng với mặt cắt ngang hình đa giác (Hikosaka, Takami
và Maruyama, 1987, Takahashi 1988).
Tại Mỹ, Sridharan (1982) đã phát triển phương pháp dải hữu hạn để
nghiên cứu ứng xử sau ổn định trong dạng mất ổn định vênh và giải thích sự gia
tăng rất nhanh của ứng suất màng tại đầu mút của gờ mép tăng cứng sau khi bị
mất ổn định vênh. Điều này chỉ ra rằng sự duy trì sau ổn định trong mất ổn định
vênh có thể không lớn bằng trong mất ổn định cục bộ kể từ điểm chảy dẻo xuất
hiện sớm nhất trong phạm vi sau ổn định.
™ Thập niên 1990 đến nay
Tại châu Âu, các thực nghiệm trên cấu kiện cột thành mỏng được tiếp tục
(Moldovan 1994). Tiêu chuẩn Eurocode (1996) cung cấp một phương pháp để dự
báo mất ổn định vênh của tiết diện.
Tại Mỹ, các nghiên cứu thêm về hiệu ứng tải trọng lệch tâm và bản bụng
bị khoét lỗ được thực hiện (Miller and Pekưz 1992). Nghiên cứu tại Canada đã
kiểm tra cột tiết diện chữ Z và cung cấp thêm các thực nghiệm chứng tỏ vấn đề
phá hủy vênh trong tiêu chuẩn AISI (Polyzois and Sudharampal 1990, Purnadi
1990, Polyzois and Charvarnichborikarn 1993).

Chương 1: Tổng quan


8
Đại học Sydney đã nghiên cứu tiếp tục về mất ổn định vênh (Kwon and
Hancock 1992, Hancock 1994). Kwon đã tiến hành thực nghiệm trên tiết diện
chữ C có gờ mép, có và không có rãnh. Thực nghiệm với mất ổn định vênh không
bị hạn chế đã chỉ ra rằng ảnh hưởng của mất ổn định vênh với các dạng mất ổn
định khác là yếu. Mất ổn định vênh đã được thực nghiệm quan sát là có khả năng

dự trữ sau ổn định thấp hơn so với mất ổn định cục bộ. Hancock đề nghị một
đường cong ổn định cho việc dự báo cường độ tới hạn mất ổn định vênh (Hancock
1994). Rasmussen and Hancock (1991) chỉ ra các điểm khác biệt quan trọng
trong ứng xử sau ổn định của liên kết ngàm. Young (1997) dùng thực nghiệm
chứng minh rằng cột liên kết ngàm không chịu các vấn đề ảnh hưởng tương tác
như liên kết khớp. Young cũng nhận xét là ảnh hưởng của mất ổn định vênh đối
với các dạng mất ổn định khác là yếu.
Trong thập niên 1990, lý thuyết dầm suy rộng (Schardt 1989) bắt đầu trở
nên là một công cụ hữu dụng trong nghiên cứu mất ổn định vênh của cột (Schardt
1994). Sử dụng lý thuyết dầm suy rộng, Davies and Jiang (1996) đưa ra nhận xét
là mất ổn định vênh có ảnh hưởng yếu đến các dạng mất ổn định khác. Lý thuyết
dầm suy rộng hiện nay chỉ có thể áp dụng trong giai đoạn đàn hồi.
Sử dụng phương pháp dải hữu hạn và phương pháp phần tử hữu hạn,
Schafer (1997) chứng minh rằng mất ổn định vênh có tính chất không hoàn hảo
lớn hơn so với mất ổn định cục bộ. Schafer cũng thấy rằng phá hủy của mất ổn
định vênh có cường độ sau ổn định thấp hơn so với mất ổn định cục bộ.
Các phương pháp thực hành mới được nghiên cứu để dự báo mất ổn định
vênh được kết hợp từ phương pháp dải hữu hạn và phương pháp cổ điển của
Sharp (1966). Tiêu chuẩn “Australian Standard for Steel Storage Racking”
(1993) và tiêu chuẩn Australian/New Zealand Standard for Cold-Formed Steel
Structures (1996) đã được phát triển cung cấp các tiêu chuẩn thiết kế ở dạng
tường minh cho mất ổn định vênh của kết cấu chịu nén.
Tại Việt Nam, các nghiên cứu về ổn định thanh thành mỏng cũng như về
phương pháp dải hữu hạn còn ít và đang ở giai đoạn bước đầu phát triển. Với luận
văn này, tác giả nghiên cứu phương pháp tính, xây dựng chương trình tự động hóa
tính toán và khảo sát các dạng tiết diện thanh thành mỏng thường gặp, mong
muốn mảng đề tài này tiếp tục được phát triển và ứng dụng vào thực tiễn thiết kế
trở thành một phương pháp mạnh mẽ, nhanh chóng và hiệu quả.

Chương 1: Tổng quan

9

Chương 2. PHƯƠNG PHÁP DẢI HỮU HẠN
2.1. Giới thiệu
Phương pháp dải hữu hạn (Finite Strip Method – gọi tắt là FSM) được đề
xuất đầu tiên bởi Y. K. Cheung (1968), và càng lúc càng hoàn thiện trở thành
một kỹ thuật phân tích kết cấu hữu dụng (Puckett et al., 1987; Wiseman et al.,
1987). Đã có các tác phẩm bao hàm toàn diện về phương pháp dải hữu hạn và
các ứng dụng của nó (Cheung and Tham, 1998 và Loo and Cusens, 1978), cũng
như có nhiều bài báo nghiên cứu sâu về lónh vực này (Cheung, 1981; và nhiều bài
báo khác).
Phương pháp dải hữu hạn là một công cụ hữu dụng để phân tích kết cấu
có sơ đồ hình học thông thường và điều kiện biên đơn giản. Về bản chất, phương
pháp dải hữu hạn làm giảm số chiều của bài toán, từ bài toán 2D trở thành bài
toán 1D. Trong một vài trường hợp, việc tính toán có thể giảm đi đến 10 lần hay
hơn nữa nếu so sánh với phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method –
gọi tắt là FEM) (Cheung and Tham, 1998).
Ban đầu, phương pháp dải hữu hạn được dùng để phân tích bài toán tấm
chữ nhật (tương tự như lời giải Levy; Timoshenko and Woinowsky Krieger,
1971). Về sau, phương pháp dải hữu hạn được phát triển để giải bài toán tấm
cong (Cheung, 1969), bài toán tấm không đối xứng (tứ giác), bài toán tấm có nếp
gấp, và bài toán dầm hộp. Bằng việc thiết lập bài toán trị riêng, phương pháp dải
hữu hạn có thể được áp dụng để giải bài toán dao động và ổn định tương đối dễ
dàng. Phương pháp lớp hữu hạn (Finite Layer Method – gọi tắt là FLM) và
phương pháp lăng trụ hữu hạn (Finite Prism Method – gọi tắt là FPM) cũng được
Cheung và Tham giới thiệu (Cheung and Tham, 1998). Các phương pháp này làm
giảm số chiều của bài toán, từ 3D trở thành 2D và 1D tương ứng bằng việc chọn
xấp xỉ hàm chuyển vị. Hơn nữa, kết cấu composite, ví dụ như kết cấu sandwich

panels được phủ thép dập nguội bên ngoài cũng được tính toán hiệu quả bằng
việc kết hợp phương pháp dải hữu hạn với phương pháp lớp hữu hạn hoặc phương
pháp lăng trụ hữu hạn (Cheung et al., 1982; Chong, 1986; Chong et al., 1982;
Tham et al., 1982).
Phương pháp dải hữu hạn đã được tiếp tục phát triển bằng việc sử dụng
hàm spline thay thế cho chuỗi hàm lượng giác để phân tích tấm với hình dạng bất
Chương 2: Phương pháp dải hữu hạn


10
kyø (Cheung et al., 1982; Chong and Chen, 1986; Li et al., 1986; Tham et al.,
1986; Yang and Chong, 1982, 1984). Thêm vào đó, các điều kiện biên phức tạp
cũng được xem xét giải quyết. Nói chung, phương pháp dải hữu hạn sử dụng hàm
spline thì phức tạp hơn sử dụng chuỗi hàm lượng giác, tuy nhiên, nếu so sánh với
phương pháp phần tử hữu hạn thì nó vẫn yêu cầu dữ liệu đầu vào ít hơn cũng như
đòi hỏi tài nguyên máy tính ít hơn.
Phương pháp dải hữu hạn có thể được xem là một trường hợp đặc biệt của
phương pháp phần tử hữu hạn. Phương pháp cơ bản và lý thuyết của hai phương
pháp này là giống hệt nhau. Các hàm dạng được sử dụng để xác định trường
chuyển vị dưới dạng véctơ chuyển vị nút. Biến dạng được xác định từ véctơ
chuyển vị nút, bắt nguồn từ biến dạng là một hàm của trường chuyển vị. Với biến
dạng đã biết và một quan hệ chủ đạo đã biết, ví dụ quan hệ ứng suất – biến dạng,
tìm ra được các hệ số độ cứng cho véctơ chuyển vị nút.
Điểm khác nhau duy nhất giữa phương pháp phần tử hữu hạn và phương
pháp dải hữu hạn là ở cách rời rạc hóa kết cấu. Trong phương pháp dải hữu hạn,
chỉ có một phần tử dải được sử dụng để rời rạc hóa kết cấu theo hướng dọc, chiều
dài của dải bằng với chiều dài của kết cấu. Cách thức rời rạc hóa này đặc biệt
hữu hiệu trong trường hợp kết cấu có kích thước hình học theo chiều dọc đơn giản
nhưng có thể có mặt cắt ngang bất kỳ.

Phần tử hữu hạn

Dải hữu hạn

Hình 2.1. Rời rạc hóa phần tử hữu hạn và dải hữu hạn
Sự thuận lợi và độ chính xác của phương pháp dải hữu hạn phụ thuộc vào
sự lựa chọn sáng suốt hàm dạng mô tả cho trường chuyển vị theo chiều dọc kết

Chương 2: Phương pháp dải hữu hạn


11
cấu. Sử dụng phương pháp dải hữu hạn, tổng số phương trình cần giải được giảm
đi đáng kể so với phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống.
Các loại phần tử dải khác nhau có thể được sử dụng được trình bày trong
bảng sau. Cột (a): Số thông số chuyển vị nút. Cột (b): Số bậc tự do trên một dải.
Phần tử dải
(a)
1. Dải 2D – Ứng suất phẳng

(b)

LO2
u
v

HO2

Phần tử dải
(a)

3. Dải 2D – tấm chịu lực phức tạp
LO2
u
v
w
θ

4

(b)

8

HO2
∂u
∂x
∂v
v,
∂x

u

∂u
∂x

v

u,
8

14

w,θ
χ

∂v
∂x

HO3

HO3
u
v

6

u
v
w
θ

12

u
v
w
θ

8

LO2C

LO2C
u
v

4

Chương 2: Phương pháp dải hữu hạn


12
2. Dải 2D – uốn
LO2

4. Dải 3D – khối đặc
IPLQ
w
θ

4

HO2

u
v
w

12

u
v
w

24

u
v
w

24

u,v,w
ω (*)

16

u,v,w
θ (**)

16

IPQQ
w
θ
χ

6

HO3

IPCQ
w
θ

6

QCC3

LO2C
w
θ

4

QLC3

HO2S
w
θ
χ

6

Chương 2: Phương pháp dải hữu hạn


13
1 ∂w ∂u
(*): ω = ⎛⎜ − ⎞⎟

2 ⎝ ∂x

∂z ⎠

(**): θ =

∂w
∂x

2.2. Hàm chuyển vị
Để khảo sát phương pháp dải hữu hạn, xét một tấm chữ nhật với hai trục
trong mặt phẳng là x, y và trục z hướng theo bề dày tấm.

Hình 2.2. Dải chữ nhật
Trong trường hợp tổng quát, xét bài toán vừa có thành phần ứng suất
phẳng, vừa có thành phần uốn, tại mỗi nút sẽ có bốn thành phần chuyển vị.

Hình 2.3. Véctơ chuyển vị nút
Chương 2: Phương pháp dải hữu hạn


14
Tương tự như lời giải Levy (Timoshenko and Woinowsky Krieger, 1971),
xét dải mẫu như Hình 2.3., theo Cheung and Tham, 1998, dạng tổng quát của
hàm chuyển vị w như sau:
r

w ( x, y ) = ∑ f m ( x )Ym ( y )

(2.1)

m =1

trong đó, fm(x) là hàm đa thức mô tả chuyển vị theo hướng ngang, Ym(y) là
chuỗi hàm điều hòa mô tả chuyển vị theo hướng dọc và phải thỏa mãn điều kiện
biên ở hai đầu kết cấu.

2.2.1. Thành phần chuỗi hàm điều hòa
Chuỗi hàm điều hòa Ym(y) được chọn từ phương trình vi phân chủ đạo của
bài dao động dầm:
d4 y μ4
− Y =0
dx 4 a 4

(2.2)

trong đó, a là chiều dài dải (hay kết cấu) và μ là thông số liên quan đến
tần số, vật liệu, và đặc trưng hình học.
Lời giải tổng quát của phương trình vi phân (2.2) là:
Y ( y ) = C1 sin

C4.

μy
a

+ C2 cos

μy
a

+ C3 sinh

μy
a

+ C4 cosh

μy
a

(2.3)

Bốn điều kiện biên ở các nút được dùng để xác định các hệ số C1, C2, C3,

Chương 2: Phương pháp dải hữu haïn


15

Hình 2.4. Mô hình chuỗi hàm điều hòa
a) Đối với kết cấu tựa đơn ở cả hai đầu, tức là cả bốn nút đều tựa đơn (Hình
2.4a):
Chuyển vị và momen baèng 0: Y(0) = Y’’(0) =0; Y(a) = Y’’(a) = 0
Từ hai biểu thức trên, thu được hàm dạng:
Ym ( y ) = sin

μm y

m = 1, 2, 3, …, r

a

(2.4)

trong đó, μm = mπ
b) Đối với kết cấu hai đầu ngàm (Hình 2.4b):
Chuyển vị và góc xoay bằng 0: Y(0) = Y’(0) = 0; Y(a) = Y’(a) = 0
Ym ( y ) = sin

μm y
a

− sinh

αm =

sin μ m − sinh μ m
cos μ m − cosh μ m

μm =

2m + 1
π
2

μm y

μ y
μ y⎞

⎛
− α m ⎜ cos m − cosh m ⎟
a
a
a ⎠
⎝

(2.5)

m = 1, 2, 3, …, r
c) Đối với một đầu tựa đơn, một đầu ngàm (Hình 2.4c):
Y(0) = Y’’(0) = 0; Y(a) = Y’(a) = 0
Ym ( y ) = sin

αm =

μm y
a

− α m sinh

μm y
a

sin μm
sinh μm

Chương 2: Phương pháp dải hữu haïn

(2.6)

16

μm =

4m + 1
π
4

m = 1, 2, 3, …, r
d) Đối với kết cấu hai đầu tự do (Hình 2.4d):
Momen và lực cắt bằng 0: Y’’(0) = Y’’’(0) = 0; Y’’(a) = Y’’’(a) = 0
Y1(y) = 1; μ1 = 0; Y2 ( y ) = 1 −
Ym ( y ) = sin

μm y
a

+ sinh

αm =

sin μ m − sinh μ m
cos μ m − cosh μ m

μm =

2m − 3
π

2

2y
; μ2 = 1
a

μm y

μ y
μ y⎞
⎛
− α m ⎜ cos m + cosh m ⎟
a ⎠
a
a
⎝

(2.7)

m = 3, 4, 5, …, r
e) Đối với kết cấu một đầu ngàm, một đầu tự do (Hình 2.4e):
Y(0) = Y’(0) = 0; Y’’(a) = Y’’’(a) = 0
Ym ( y ) = sin

μm y
a

+ sinh

αm =

sin μ m + sinh μ m
cos μ m + cosh μm

μm =

2m − 1
π
2

μm y

μ y
μ y⎞
⎛
− α m ⎜ cos m − cosh m ⎟
a ⎠
a
a
⎝

m = 1, 2, 3, …, r
f) Đối với kết cấu một đầu tựa đơn, một đầu tự do (Hình 2.4f):
Y(0) = Y’’(0) = 0; Y’’(a) = Y’’’(a) = 0
Y1 ( y ) =

y
; μ1 = 1
a

Chương 2: Phương pháp dải hữu haïn

(2.8)


17
Ym ( y ) = sin

μm y
a

αm =

sin μm
sinh μm

μm =

4m − 3
π
4

+ α m sinh

μm y

(2.9)

a

m = 2, 3, 4, …, r
Các hàm Ym là trực giao (Meirovitch, 1986), tức là thỏa quan hệ:
a

∫ Y Y dy = 0
m n

với m ≠ n

(2.10)

0

Tương tự, theo Cheung and Tham, 1998:
a

∫ Y Y dy = 0
'' ''
m n

với m ≠ n

(2.11)

0

Tính chất trực giao của các hàm Ym làm cho cấu trúc của các ma trận kết
cấu có dạng băng hẹp, do đó làm giảm đi khối lượng và thời gian tính toán rất
nhiều.
Như trên đã thấy, các hàm Ym đã được chọn sao cho thỏa mãn điều kiện

biên ở hai đầu kết cấu, do đó khi thực hiện giải bài toán, ta không cần phải áp đặt
điều kiện biên ở hai đầu kết cấu nữa.

2.2.2. Thành phần hàm đa thức
Tương tự như phương pháp phần tử hữu hạn, thành phần hàm đa thức là
véctơ các hàm dạng đa thức liên kết với các thông số chuyển vị nút để mô tả
trường chuyển vị trên mặt cắt ngang của kết cấu. Hàm chuyển vị w được biểu
diễn như sau:
r

r

s

m =1

m =1

k =1

w ( x, y ) = ∑ f m ( x )Ym ( y ) = ∑ Ym ( y )∑ [Ck ]{δ k }m

trong đó, s là số đường nút trên một dải

Chương 2: Phương pháp dải hữu hạn

(2.12)


18

{δ k }m là véctơ thông số chuyển vị nút (chuyển vị và góc xoay) tại nút thứ
k ứng với số hạng chuỗi thứ m.

[Ck ] là véctơ hàm các hàm dạng tương ứng liên kết với {δ k }m
Ví dụ xét một dải có hai nút 1 và 2, ta coù:
f m ( x ) = ⎡⎣[C1 ]

⎧{δ } ⎫
[C2 ]⎤⎦ ⎪⎨ δ 1 ⎪⎬
⎩⎪{ 2 }⎭⎪m

(2.13)

Các hàm dạng thông dụng đã được lập sẵn như sau:

Hình 2.5. Mô hình dải
Các ký hiệu bậc tự do của nút:
 = f;

† = f,

∂f
;
∂x

„ = f,

∂f ∂ 2 f
,

∂x ∂x 2

Với b là bề rộng của dải. Đặt x =

x
b

a) Dải có 2 nút với thông số nút là các chuyển vị: (Hình 2.5a)
Hàm fm(x) được lấy tuyến tính theo x và xem như tại các nút chỉ có các
chuyển vị, ta coù:
δ1m = w1m ;

δ 2 m = w2 m ;

⎧C1 = 1 − x
⎨
⎩C2 = x

Tức là:
Chương 2: Phương pháp dải hữu hạn

(2.14a)


19
⎧w ⎫
f m ( x ) = ⎡⎣(1 − x ) x ⎤⎦ ⎨ 1m ⎬ = (1 − x ) w1m + xw2 m
⎩ w2 m ⎭

Biểu thức fm(x) trên tương đương với bài toán tuyến tính 1D trong phương

pháp phần tử hữu hạn.
b) Dải có 2 nút với thông số nút là các chuyển vị và đạo hàm cấp 1: (Hình 2.5b)
Trong trường hợp này các chuyển vị nút bao gồm wim và θ im = wim' , ta coù:
⎧ w1m ⎫
⎬;
⎩θ1m ⎭

{δ1}m = ⎨

⎧ w2 m ⎫
⎬
⎩θ 2 m ⎭

{δ 2 }m = ⎨

⎧[C1 ] = ⎡(1 − 3x 2 + 2 x 3 ) x (1 − 2 x + x 2 ) ⎤
⎪
⎣
⎦
⎨
2
3
2
⎪⎩[C2 ] = ⎡⎣( 3 x − 2 x ) x ( − x + x ) ⎤⎦

(2.14b)

Tức là:

f m ( x ) = ⎡⎣(1 − 3 x 2 + 2 x 3 ) x (1 − 2 x + x 2 )

( 3x

2

− 2x 3 )

⎧ w1m ⎫
⎪θ ⎪
⎪
⎪
x ( − x + x 2 ) ⎤⎦ ⎨ 1m ⎬
⎪ w2 m ⎪
⎩⎪θ 2 m ⎭⎪

Biểu thức fm(x) trên tương đương với bài toán phần tử dầm 1D trong
phương pháp phần tử hữu hạn.
c) Dải có 2 nút với thông số chuyển vị, đạo hàm cấp 1 và cấp 2: (Hình 2.5c)
⎧[C1 ] = ⎡(1 − 10 x 3 + 15 x 4 − 6 x 5 ) x (1 − 6 x 2 + 8 x 3 − 3 x 4 ) x 2 ( 0.5 − 1.5 x + 1.5 x 2 − 0.5 x 3 ) ⎤
⎦
⎪
⎣
⎨
3
4
5
2
3
4
2

2
3
⎪⎩[C2 ] = ⎣⎡(10 x − 15 x + 6 x ) x ( −4 x + 7 x − 3x ) x ( 0.5 x − x + 0.5 x ) ⎦⎤

(2.14c)
d) Dải có 3 nút với thông số nút là các chuyển vị: (Hình 2.5d)
⎧[C1 ] = (1 − 3x + 2 x 2 )
⎪
⎪
2
⎨[C2 ] = ( 4 x − 4 x )
⎪
2
⎪⎩[C3 ] = ( − x + 2 x )

Chương 2: Phương pháp dải hữu hạn

(2.14d)