Về chuỗi fourier có trọng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -

CHU THỊ THƠM

VỀ CHUỖI FOURIER CĨ TRỌNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Hà Nội - 2018


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -

CHU THỊ THƠM

VỀ CHUỖI FOURIER CĨ TRỌNG

Chun ngành:
Mã số:

Tốn giải tích
8460101.02.

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. NINH VĂN THU

Hà Nội - 2018


Lời cảm ơn
Được sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS. Ninh Văn Thu, sau một quá trình làm
việc nghiêm túc, tơi đã hồn thành bản luận văn này. Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân
thành và sâu sắc nhất đến PGS.TS. Ninh Văn Thu. Thầy đã tận tình hướng dẫn, kiểm
tra giúp tơi hồn thành bản luận văn này. Được làm việc dưới sự hướng dẫn của thầy,
tôi học hỏi được rất nhiều.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến lãnh đạo và các thầy cô trong khoa
Toán - Cơ - Tin, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã
tạo điều kiện học tập, giúp tôi lĩnh hội tiếp thu những kiến thức quý báu trong thời
gian tôi học tập tại Khoa.Tơi cũng xin gửi lời cảm ơn đến phịng Sau Đại học của Nhà
trường đã tạo điều kiện cho tôi hồn thành các thủ tục trong q trình học tập và bảo
vệ luận văn này.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình, người thân và bạn bè, những
người đã luôn động viên và ủng hộ tôi cả về vật chất và tinh thần trong suốt quá trình
học của tơi. Mặc dù bản thân tơi đã có nhiều cố gắng nhưng bản luận văn này vẫn
khó tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, tơi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến
của q thầy cơ và các bạn.

Hà Nội, tháng 11 năm 2018.

Chu Thị Thơm

1


Mục lục

1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Ký hiệu không gian . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Hàm liên tục từng khúc, hàm khả vi từng khúc .
1.3 Bất đẳng thc Hăolder. Bt ng thc Minkowski
1.4 Tớch chp ca hai hàm trong L1 (Rn ) . . . . . . .
1.5 Hệ hàm lượng giác trực giao . . . . . . . . . . . .
1.6 Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Chuỗi Fourier có trọng
2.1 Nhân của chuỗi Fourier có trọng . . . . . . .
2.2 Tính chất hội tụ tại từng điểm của σn (f, x)
2.3 Sự hội tụ của chuẩn . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Đặc trưng của chuỗi Fourier . . . . . . . . .
2.5 Một vài ví dụ bằng số . . . . . . . . . . . .

2

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.

5
5
6
6
7
8
9

.
.
.
.
.

18
18
26
29
32
34


Mở đầu
Trong Toán học, chuỗi Fourier (được đặt tên theo nhà tốn học Joseph Fourier)
của một hàm tuần hồn f là một cách biểu diễn hàm đó dưới dạng tổng của các hàm
tuần hồn có dạng eikx , tức

+∞

+∞

f∼

ck e

ikx

=

k=−∞

ck (cos kx + i sin kx).
k=−∞

Fourier là người đầu tiên nghiên cứu chuỗi lượng giác theo các cơng trình trước đó
của Euler, D’Alembert và Daniel Bernoulli. Fourier đã áp dụng chuỗi Fourier để giải
phương trình truyền nhiệt. Dirichlet và Riemann đã diễn đạt lại các cơng trình của
Fourier theo quan điểm của tốn học hiện đại.
Chuỗi Fourier khơng phải lúc nào cũng hội tụ.Với hàm f bất kỳ thuộc không gian
1
L ([−π; π]) ≡ L1 , tổng riêng Fourier thứ n của f được định nghĩa là
π

Sn (f, x) =

ck e
|k|≤n

n

trong đó, Dn (x) =

ikx

1
=
2π

Dn (x − y) f (y)dy = (Dn ∗ f ) (x) ,

(0.1)

−π

eikx là nhân Dirichlet, và Dn ∗ f là tích chập của Dn và f .

k=−n

Có nhiều kết quả đối với tổng Sn (f, x) được nghiên cứu từ trước đến nay. Hơn nữa,
Sn (f, x) không hội tụ đối với một hàm liên tục. Tính chất hội tụ tốt hơn đạt được bởi
trung bình Cesàro. Trung bình Cesàro được định nghĩa như sau
1
σn (f, x) =
n+1

n

Sk (f, x) .

(0.2)

k=0

Mặc dù có nhiều thuận lợi, nhưng tốc độ hội tụ của trung bình Cesàro khơng nhanh
hơn tổng riêng Fourier đối với hàm trơn. Vì vậy, người ta quan tâm đến việc tìm ra
những tổng riêng Fourier có trọng khác, những tổng riêng này có tốc độ hội tụ nhanh
hơn trung bình Cesàro.
Luận văn này trình bày lại một số kết quả về sự hội tụ của chuỗi Fourier có trọng
dựa theo bài báo "A weighted Fourier series with signed good kernels" của các tác giả
Sony Chan và Kyung Soo Rim (Hàn Quốc, xem tài liệu [3]). Nội dung của luận văn
được trình bày trong 2 chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số định nghĩa, định lý như sau:
3


MỤC LỤC
+ Ký hiệu không gian.
+ Định nghĩa hàm liên tục từng khúc, khả vi từng khúc.
+ Bất đẳng thức Hăolder, Minkowski.
+ Tớch chp ca hai hm trong L1 (Rn ).
+ Hệ hàm lượng giác trực giao.
+ Định nghĩa chuỗi Fourier.
+ Định nghĩa tổng Dirichlet.
+ Định nghĩa trung bình Cesàro.
+ Định lý về sự hội tụ của chuỗi Fourier.
+ Khai triển Fourier trong [−π; π].

+ Nguyên lý Riemann địa phương.
Chương 2: Chuỗi Fourier có trọng.
Trong chương này, chúng tơi trình bày lại một số kết quả về sự hội tụ của chuỗi
Fourier có trọng như sau:
+ Nhân của chuỗi Fourier có trọng.
+ Tính chất hội tụ theo từng điểm của σn (f, x) .
+ Sự hội tụ của chuẩn.
+ Đặc trưng của chuỗi Fourier.
+ Một vài ví dụ bằng số.

4


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Nội dung chương này sẽ nhắc lại một số khái niệm và định lý cơ bản sẽ dùng trong
chương sau. Nội dung của chương được trích dẫn từ các tài liệu tham khảo [1], [2].

1.1

Ký hiệu không gian

Định nghĩa 1.1.1. Cho p ∈ R, 1 ≤ p < ∞, K = R hay K = C. Ta định nghĩa không
gian Lp (R) như sau
Lp (R) =

|f |p < ∞ .

f : R → K : f đo được và
R

L∞ (R) = f : R → K : f đo được và tồn tại C (f ) sao cho |f (x)| ≤ C (f ) h.k.n .
Chú ý 1.1.2. Trong không gian Lp (R), với f ∈ Lp (R), xác định chuẩn của f là
f

p

p

|f |

=

1
p

.

R

Trong không gian L∞ (R), xác định chuẩn của f là
f

∞

= inf {C (f ) : |f (x)| ≤ C (f ) h.k.n}

Khi đó:
i) Lp (R) với 1 ≤ p ≤ ∞ là không gian Banach với chuẩn · p .
ii) L2 (R) là khơng gian Hilbert với tích vơ hướng (f, g) =

f ∈ L2 (R), g ∈ L2 (R).

R

f.g với

Cho I là một khoảng bị chặn trong R. Khi đó, ta định nghĩa Lp (I) tương tự như Lp (R),
chỉ thay tích phân trên R thành tích phân trên I.
Trong luận văn này, ta ký hiệu
Lp := Lp ([−π; π]) với 1 ≤ p ≤ ∞.
5


CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.2

Hàm liên tục từng khúc, hàm khả vi từng khúc

Định nghĩa 1.2.1. (Hàm liên tục)
i) Cho tập hợp A ⊂ R, hàm số f : A → R và điểm x0 ∈ A. Nếu với mọi ε > 0
cho trước bao giờ cũng tồn tại δ > 0 (phụ thuộc vào ε) sao cho với mọi x ∈
{x ∈ A : |x − x0 | < δ} ta đều có |f (x) − f (x0 )| < ε thì ta nói hàm f liên tục tại
điểm x0 .
ii) Nếu f liên tục tại mọi điểm x ∈ A thì ta nói f liên tục trên A.
Định nghĩa 1.2.2. (Hàm liên tục đều)
Hàm số f : A → R được gọi là liên tục đều trên A nếu với mọi ε > 0 cho trước bao
giờ cũng tồn tại δ > 0 (phụ thuộc vào ε) sao cho với mọi x, x ∈ A thỏa mãn |x−x | < δ
ta đều có |f (x) − f (x )| < ε .
Định nghĩa 1.2.3. (Điểm gián đoạn loại một)

Cho hàm số f : [a; b] → R. Giả sử x0 ∈ (a; b). Nếu tồn tại đồng thời hai giới hạn
hữu hạn lim+ f (x) và lim− f (x) và ít nhất một trong hai giới hạn này khác f (x0 ) thì
x→x0

x→x0

x0 được gọi là điểm gián đoạn loại một.
Định nghĩa 1.2.4. (Hàm liên tục từng khúc)
Cho hàm f xác định trên đoạn [a; b]. Nếu ta có thể chia đoạn [a; b] thành hữu hạn
các đoạn [ai ; bi ], (i = 1, 2, ..., k) bởi các điểm chia:
a = a1 < b1 < ... < ak < bk = b
sao cho trên mỗi khoảng (ai ; bi ) hàm f liên tục và tồn tại các giới hạn hữu hạn
limx→a+0
f (x) = f (ai + 0) và limx→b−0
f (x) = f (bi − 0) với mọi i = 1, 2, ..., k thì
i
i
ta nói hàm f liên tục từng khúc trên [a; b].
Định nghĩa 1.2.5. (Hàm khả vi từng khúc)
Nếu mọi hàm f liên tục từng khúc trên [a; b] và f có đạo hàm f cũng liên tục từng
khúc trên [a; b] thì ta nói f là hàm khả vi từng khúc trờn on [a; b].

1.3

Bt ng thc Hă
older. Bt ng thc Minkowski

nh lớ 1.3.1. (Bt ng thc Hă
older) Cho f Lp (R), g ∈ Lq (R) và các số thực
p, q với 1 < p < ∞, 1 < q < ∞, p1 + 1q = 1. Khi đó f g ∈ L1 (R) và

p

|f g| ≤

1
p

|f |

R

q

|g|

.

R

1
q

.

R

Đặc biệt, khi p = q = 2 ta có bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
2

|f g| ≤

|f |

R

R

6

1
2

2

|g|

.
R

1
2

.


CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Định lí 1.3.2. (Bất đẳng thức Minkowski) Cho 1 < p < ∞. Khi đó, với mọi
f ∈ Lp (R), g ∈ Lp (R), ta có
p

1
p

|f + g|

p

≤

|f |

R

1.4
1.4.1

1
p

p

|g|

+

R

1
p

.

R

Tích chập của hai hàm trong L1 (Rn)
Định nghĩa

Cho hai hàm f (x) , g (x) thuộc L1 (Rn ). Ký hiệu
(f ∗ g) (x) =

f (x − y) g (y) dy.
Rn

Khi đó (f ∗ g) (x) là một hàm của x thuộc L1 (Rn ) và được gọi là tích chập của hai
hàm f và g.

1.4.2

Tính chất

Tích chập có tính chất giao hốn và kết hợp
a) Nếu đặt x − y = t thì
(f ∗ g) (x) =

f (t) g (x − t) dt = (g ∗ f ) (x).
Rn

b) Với mọi hàm f, g, h thuộc L1 (Rn ), ta ln có (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h), ký hiệu là
f ∗ g ∗ h.

Tính chất về chuẩn của tích chập
Với mọi hàm f, g thuộc L1 (Rn ), ta ln có
f ∗g

L1

≤ f

L1 .

g

L1 .

(1.1)

L1 .

g

L1 .

(1.2)

Nếu f (x) ≥ 0, g (x) ≥ 0 với mọi x ∈ Rn thì
f ∗g

L1

7

= f


CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chứng minh: Thật vậy,
f ∗g

L1

f (x − y) g (y) dy dx

=
Rn

Rn

≤

|f (x − y)|. |g (y)| dy dx
Rn

≤

Rn

|g (y)|

|f (x − y)| dx dy

Rn

=
=

f
f

Rn
L1 .
L1 .

|g (y)| dy
Rn

g

L1 .

Như vậy, (1.1) được chứng minh. Khi f (x) ≥ 0, g (x) ≥ 0, trong chứng minh trên, các
bất đẳng thức không ngặt trở thành đẳng thức. Do đó, (1.2) được chứng minh.

1.5

Hệ hàm lượng giác trực giao

Định nghĩa 1.5.1. Giả sử {ϕn }+∞
n=1 là dãy các hàm khả tích trên [a; b]. Khi đó, nếu
b

b

ϕ2n (x) dx = 0 với mọi n ∈ N thì

ϕn (x) ϕm (x) dx = 0 với mọi n, m ∈ N, n = m và
a

a

ta nói {ϕn }+∞
n=1 là hệ hàm trực giao trên [a; b]. Xét hệ hàm lượng giác trên [−π; π]
1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, ..., cos nx, sin nx, ...
Dễ dàng kiểm tra được
π

cos kx cos nxdx =

0
π

nếu
nếu

k=n
k = n,

sin kx sin nxdx =

0

π

nếu
nếu

k=n
k = n,

−π
π

−π
π

sin kx cos nxdx = 0 với mọi k, n ∈ N.
−π

Như vậy, hệ hàm lượng giác là hệ hàm trực giao trên [−π; π].

8


CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.6

Chuỗi Fourier

1.6.1

Định nghĩa chuỗi Fourier của hàm thực

Định nghĩa 1.6.1. Giả sử f là hàm khả tích trên đoạn [−π; π] và tuần hồn với chu
kỳ 2π. Khi đó, các hệ số an , bn được xác định theo công thức
1
π
1
bn =
π

π

f (x) cos nxdx,

an =

n = 0, 1, 2, ...

−π
π

(1.3)
f (x) sin nxdx,

n = 1, 2, ...

−π

được gọi là hệ số Fourier của hàm f , còn chuỗi hàm lượng giác
+∞

a0
+
(an cos nx + bn sin nx)
2
n=1
được gọi là chuỗi Fourier của hàm f .

1.6.2

Định nghĩa chuỗi Fourier của hàm phức

Định nghĩa 1.6.2. Nếu hàm f ∈ L1 ([−π; π]) và f tuần hoàn với chu kỳ 2π thì chuỗi
∞

cn einx với hệ số cho bởi

hình thức
n=−∞

π

1
cn =
2π

f (x) e−inx dx

(1.4)

−π

được gọi là chuỗi Fourier của f . Các hệ số cn được gọi là hệ số Fourier của f .
Tổng quát: Nếu hàm f ∈ L1
∞

cn e

thức

in2πx
L

− L2 ; L2

và f tuần hoàn với chu kỳ L thì chuỗi hình

với hệ số cho bởi

n=−∞
L
2

cn =

1
L

f (x) e−

in2πx
L

dx

(1.5)

−L
2

được gọi là chuỗi Fourier của f . Các hệ số cn được gọi là hệ số Fourier của f .

1.6.3

Tổng Dirichlet

Giả sử f là hàm khả tích trên [−π; π] và tuần hồn với chu kỳ 2π. Xét chuỗi Fourier
của nó
+∞
a0
+
(an cos nx + bn sin nx)
2
n=1
9


CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

trong đó an , bn được xác định như trong Định nghĩa 1.6.1.

Lập dãy tổng riêng Sn (x) = a20 + nk=1 (ak cos kx + bk sin kx) và ta thực hiện phép
biến đổi
1
Sn (x) =
2π
1
=
π
=

1
π

π

1
f (t)dt +
π
−π
π
−π
π

n

π

f (t) [cos kt. cos kx + sin kt. sin kx] dt
−π k=1

n

1
+
cos k(t − x) f (t)dt
2 k=1
Dn (t − x)f (t)dt,

−π

trong đó


n+


n

1
Dn (t − x) = +
cos k(t − x) = sin

2 k=1




1
2

nếu t − x = 2mπ
1
n+
(t − x)
2
2 sin t−x
2

nếu t − x = 2mπ.

Theo tính tuần hồn của f và Dn , bằng phép thế u = t − x ta có
Sn (x) =

1
π

π

Dn (u)f (x + u)du.

(1.6)

−π

Vế phải của đẳng thức (1.6) được gọi là tích phân Dirichlet cấp n, cịn Dn được gọi là
nhân Dirichlet cấp n.
Bổ đề 1.6.3. (Bổ đề Riemann)
Giả sử g là hàm khả tích trên đoạn [a; b]. Khi đó, ta có
b
p→+∞ a

i) lim

g(t) sin(pt)dt = 0,

b
p→+∞ a

ii) lim

g(t) cos(pt)dt = 0.

Chứng minh. i) Cho trước ε > 0. Giả sử T là một phân hoạch đoạn [a; b] với các điểm
chia a = t0 < t1 < ... < tn = b. Đặt
mi = inf g,
[ti−1 ;ti ]

∆ti = ti − ti−1 ,

Mi = sup g,

d (T ) = sup |ti − ti−1 | ,

10

[ti−1 ;ti ]

ωi = Mi − mi ,

i = 1, 2, ..., n

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Khi đó,
b

n

ti

i=1
n

ti−1

g(t) sin ptdt

g(t) sin ptdt =
a

n

ti

[g(t) − mi ] sin ptdt +

=
i=1
n

≤

ti−1
n

|mi |

i=1

i=1

+
1

sin ptdt
ti−1

i=1

ωi ∆ti + 2

=

ti

mi

1
p

.
2

Theo giả thiết g là hàm khả tích trên đoạn [a; b] nên tồn tại một số δ > 0 đối với
ε
phân hoạch T mà d(T ) < δ thì ta có
< . Cố định δ đã chọn và cố định phân
2
1
1
ε
hoạch T sao cho d(T ) < δ ta chọn p đủ lớn để sao cho
= 2 ni=1 |mi | < .
p
2
2
Với mọi ε > 0 tồn tại một số tự nhiên p0 sao cho với mọi p > p0 ta có
b

g(t) sin ptdt ≤
a
b
p→+∞ a

hay lim

<

+

2

1

ε ε
+ = ε,
2 2

g(t) sin ptdt = 0.

ii) Tương tự
b

n

ti

i=1
n

ti−1

g(t) cos ptdt =
a

g(t) cos ptdt
n

ti

[g(t) − mi ] cos ptdt +

=
i=1
n

≤

ti−1

i=1
n

|mi |

ωi ∆ti + 2
i=1

=

i=1

+
1

ti

mi

cos ptdt

ti−1

1
p

.
2

Với mọi ε > 0 tồn tại một số tự nhiên p0 sao cho với mọi p > p0 ta có
b

g(t) cos ptdt ≤
a
b
a
p→+∞

hay lim

+
1

<
2

ε ε
+ = ε,
2 2

g(t) cos ptdt = 0.

Hệ quả 1.6.4. Dãy hệ số Fourier {an } và {bn } của hàm khả tích trên [−π; π] có giới
hạn bằng 0 khi n → ∞.
11


CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.6.4

Định lý về sự hội tụ của chuỗi Fourier

Định lí 1.6.5. Nếu f là hàm xác định trên toàn trục số, tuần hoàn với chu kỳ 2π và
trơn từng khúc trên mọi đoạn hữu hạn bất kỳ thì chuỗi Fourier tương ứng với f hội tụ
tại mọi điểm x0 và có tổng
S(x0 ) =

f (x0 + 0) + f (x0 − 0)
.
2

Đặc biệt, nếu f liên tục tại x0 thì S(x0 ) = f (x0 ).
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh
1
n→∞ π

π

lim

0

f (x0 + t)
f (x0 + 0)
1
.
sin(n + )tdt =
t
2
2
2 sin
2

Thật vậy, do
1
π

π
0

sin(n + 12 )t
1
dt =
t
π
2 sin
2

π
0

n

1
1
cos kt dt =
+
2 k=1
2

nên ta có
1
π

π
0

=

1
π

=

1
π

f (x0 + t)
1
f (x0 + 0)

sin(n + )tdt −
t
2
2
2 sin
2
π
f (x0 + t) − f (x0 + 0)
1
sin(n + )tdt
t
2
0
2 sin
2
π
1
g(t) sin(n + )tdt,
2
0

trong đó
f (x0 + t) − f (x0 + 0)
t
2 sin
2
f (x0 + t) − f (x0 + 0) 2t
=
.
,

t
sin 2t

g(t) =

0 < t < t0 , t0 dương đủ nhỏ.

Vì f là hàm khả vi từng khúc nên g là hàm liên tục từng khúc và do đó g khả vi trên
[0; π]. Áp dụng bổ đề Riemann
1
n→∞ π

π

lim

hay
1
n→∞ π

π

lim

0

0

1
g(t) sin(n + )tdt = 0

2

f (x0 + t)
1
sin(n + )tdt = f (x0 + 0).
t
2
2 sin
2
12


CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Tương tự, ta có
1
n→∞ π

π

lim

0

f (x0 − t)
1
sin(n + )tdt = f (x0 − 0).
t
2
2 sin

2

Như vậy, ta kết luận rằng
π

f (x0 + t) + f (x0 − t)
1
sin(n + )tdt
t
2
0
2 sin
2
f (x0 + 0) + f (x0 − 0)
=
.
2

S(x0 ) =

1.6.5

1
π

Khai triển Fourier trong đoạn [−π; π]

Giả sử f là một hàm xác định và khả vi từng khúc trong đoạn [−π; π].
Đặt
1

a0 =
π
1
an =
π
1
bn =
π
và lập chuỗi

π

f (x)dx,
−π
π

f (x) cos nxdx,
−π
π

f (x) sin nxdx,

n = 1, 2, ...,

−π

∞

a0
+

(an cos nx + bn sin nx).
2
n=1

(1.7)

Khi đó, chuỗi (1.7) là chuỗi Fourier của hàm f ∗ tuần hoàn với chu kỳ 2π mà trong
đoạn [−π; π] thì f ∗ trùng với f , tức là:
f ∗ (x) ≡ f (x) ∀x ∈ [−π; π].
Vì thế chuỗi (1.7) sẽ hội tụ theo Định lý 1.6.5. Đặc biệt, trong đoạn [−π; π], chuỗi (1.7)
sẽ hội tụ về f (x) tại những điểm liên tục của hàm số đó, cịn lại những điểm gián đoạn
loại 1 thì chuỗi có tổng:
1
[f (x0 + 0) + f (x0 − 0)] ,
2
1
S(±π) = [f (π − 0) + f (−π + 0)] .
2
S(x0 ) =

Vậy, trong đoạn [−π; π] ta có khai triển Fourier của hàm f như sau:
∞

a0
f (x) ∼
+
(an cos nx + bn sin nx).
2
n=1
13

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.6.6

Nguyên lý Riemann địa phương

Cho f ∈ L1 ([0; 2π]) là một hàm tuần hoàn chu kỳ 2π.
Gọi Sn (x) = a20 + nk=1 (ak cos kx + bk sin kx) là tổng Fourier riêng thứ n của chuỗi
Fourier của f . Khi đó, Sn có thể biểu diễn dưới dạng tích phân như sau:

trong đó Dn (t) =

1
+
2

π

f (x + t) + f (x − t)
.Dn (t)dt.
2
0

1

nếu t = 2mπ
n + 2



1
n
sin
n+
t
k=1 cos k(t) =

2


nếu t = 2mπ

2 sin 2t

Sn (x) =

2
π

là nhân Dirichlet thứ n.
Định lí 1.6.6. ( Nguyên lý Riemann địa phương)
Cho f ∈ L1 ([0; 2π]) là một hàm tuần hoàn. Khi đó chuỗi Fourier của f sẽ hội tụ
tại x khi và chỉ khi tồn tại b ∈ R với b ∈ [0; π] thỏa mãn giới hạn
2
n→∞ π

b

f (x + t) + f (x − t) sin

2

lim

0

n+
t

1
2

t

dt

tồn tại và chuỗi Fourier của f tại x sẽ hội tụ đến giới hạn này.
Chứng minh. Với mỗi x, chuỗi Fourier của f hội tụ tại x khi và chỉ khi dãy tổng riêng
hội tụ tại x, tức là tồn tại giới hạn
2
n→∞ π

π

lim Sn (x) = lim

n→∞

0

f (x + t) + f (x − t)
.Dn (t)dt.
2

(1.8)

Vì giá trị của tích phân không thay đổi nếu bỏ đi hữu hạn các điểm trong miền,
1
sin
n+
t
2
chúng ta có thể thay thế Dn (t) bằng
để chuỗi Fourier của f hội tụ
2 sin 2t
tại x khi và chỉ khi tồn tại giới hạn
2
lim Sn (x) = lim
n→∞
n→∞ π

π
0

f (x + t) + f (x − t)
.
2

sin

n+

1
2

t
dt.

2 sin 2t

(1.9)

Xét giới hạn
2
lim
n→∞ π

π
0

f (x + t) + f (x − t)
2

sin

n+

1
2

t

π

14

n+

dt−

(1.10)

1
2

t
f (x + t) + f (x − t)
dt.
2
2 sin 2t
0
2 π 1
1
f (x + t) + f (x − t)
= lim
−
sin
t
n→∞ π 0
t 2 sin 2

2

2
− lim
n→∞ π

sin

t

n+

1
2

t dt.


CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Vì f ∈ L1 ([0; 2π]) và chu kỳ tuần hoàn là 2π nên f (x + t) và f (x − t) là hàm
f (x + t) + f (x − t)
khả tích Lebesgue trên [0; 2π]. Do đó,
cũng khả tích Lebesgue trên
2
[0; 2π]. Hơn nữa, hàm
1
t

g (t) =

−

1
2 sin

0

liên tục và bị chặn trên [0; π]. Do đó,

nếu 0 < t ≤ π

t
2

nếu t = 0
1
t

f (x + t) + f (x − t)
khả tích trên [0; π].
2
2

1
− 2 sin
t

Theo bổ đề Riemann, ta có
2
lim

n→∞ π

π
0

f (x + t) + f (x − t)
sin
2

1
1
−
t 2 sin 2t

n+

1
2

t dt = 0.

(1.11)

Từ đó, ta suy ra

2
lim Sn (x) = lim
n→∞
n→∞ π
2

= lim
n→∞ π

π

f (x + t) + f (x − t)
2

0
π

f (x + t) + f (x − t)
2

0

Với mọi b ∈ R thỏa mãn 0 < b ≤ π, dễ thấy

1
t

sin

n+

1
2

t

1
2

t

dt

t
sin

n+

(1.12)

dt.

2 sin 2t

liên tục và bị chặn trên [b; π] với

0 < b ≤ π. Áp dụng bổ đề Riemann ta được:

2
lim Sn (x) = lim
n→∞
n→∞ π
2
+ lim
n→∞ π

b
0
π
b

sin

n+

f (x + t) + f (x − t)
2
f (x + t) + f (x − t) 1
sin
2
t

1
2

t
dt

t
n+

1
2

(1.13)

t dt

=0 theo bổ đề Riemann

2
= lim
n→∞ π

b
0

f (x + t) + f (x − t)
2

sin

n+

1
2

t

t
dt.

(*)

(⇒) Giả sử chuỗi Fourier của f hội tụ tại x. Khi đó, lim Sn (x) hội tụ và từ (*) ở trên
n→∞

tồn tại một số b ∈ R với 0 < b ≤ π sao cho giới hạn dưới đây tồn tại và giới hạn này
bằng tổng Fourier của f tại x.

2
lim
n→∞ π

b
0

f (x + t) + f (x − t)
2

15

sin

n+
t

1
2

t
dt.

(1.14)

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

sin

1
2

t
f (x + t) + f (x − t)
(⇐) Ngược lại, giả sử rằng
dt với mọi
2
t
b ∈ R với 0 < b ≤ π. Khi đó, theo (*) ta có lim Sn (x) bằng giới hạn này. Do đó, dãy
limn→∞ π2

n+

b
0

n→∞

tổng riêng Fourier của f hội tụ tại x. Từ đó, ta kết luận rằng chuỗi Fourier của f hội
tụ tại x.

1.6.7

Đồng nhất thức Parseval

Mệnh đề 1.6.7. Nếu f thuộc L2 ([−π; π]) thì ta có đồng nhất thức Parseval cho hệ số
Fourier
π
N

2

|cn |2 .

|f (t)| dt = lim 2π
N →∞

n=−N

−π

Chứng minh. Ta có
π

π

2

N
int

f (t) −

cn e

n=−N
π

cn eint nên vế phải của (1.15) trở thành

n=−N
π

N
2

|f (t)| dt − 2Re

π
−int

cn
n=−N

−π

n=−N

N

cn e−int là f (t).

Vì liên hợp của f (t) .

cn e−int dt. (1.15)

f (t) −

cn e
n=−N

−π
N

int

f (t) −

dt =

n=−N

−π

N

N

f (t) e

N

N

dt+

−π

cn e

cn e−int

int

n=−N

−π

dt.

n=−N

(1.16)
Từ công thức hệ số Fourier (1.4) ta có
π

N

f (t)e

cn

2Re
n=−N

N
−int

dt = 2Re

cn .2πcn
n=−N

−π

N

|cn |2 .

= 4π
n=−N

Số hạng thứ ba trong (1.16) được khai triển bằng
N

π

N

cm

cn
n=−N

m=−N

N
i(n−m)t

e

N

dt = 2π
n=−N

−π

|cn |2 .

cn .cn = 2π
n=−N

Như vậy, ta có
π

int

f (t) −
−π

π

2

N

cn e

−π

16

|cn |2 .

|f (t)| dt − 2π

dt =

n=−N

N
2

n=−N


CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
π

π

2

|f (t)| dt tồn tại nên lim

Do tích phân

N →∞ −π

−π

2

N

f (t) −

cn e

int

dt = 0.

n=−N

Vậy
π

N
2

|cn |2 = 0.

|f (t)| dt − lim 2π

N →∞

−π

n=−N

Mệnh đề được chứng minh.

1.6.8

Trung bình Cesàro

Với hàm f bất kỳ thuộc không gian L1 ([−π; π]) ≡ L1 , tổng riêng Fourier thứ n của f
được định nghĩa là
π

ck eikx

Sn (f, x) =
|k|≤n
n

trong đó, Dn (x) =

1
=
2π

Dn (x − y) f (y)dy = (Dn ∗ f ) (x) ,

(1.17)

−π

eikx là nhân Dirichlet, và Dn ∗ f là tích chập của Dn và f .

k=−n

Trung bình Cesàro được định nghĩa như sau
1
σn (f, x) =
n+1

n

Sk (f, x) .

(1.18)

k=0

Chú ý:
Đặt Kn (x) =

1
n+1

n

Dk (x). Khi đó, Kn (x) được gọi là nhân Fejér. Từ đó, ta suy ra

k=0

σn (f, x) = (Kn ∗ f ) (x).

17


Chương 2
Chuỗi Fourier có trọng
Trong chương này, chúng ta tìm hiểu định nghĩa và một số tính chất về sự hội tụ của
tổng riêng Fourier có trọng, đồng thời chứng minh sự hội tụ của tổng riêng Fourier có
trọng là tốt hơn so với trung bình Cesàro. Nội dung của chương được viết dựa theo bài
báo [3], và các tài liệu tham khảo [4], [5], [6].

2.1

Nhân của chuỗi Fourier có trọng

Ta viết trung bình Cesàro dưới dạng đạo hàm cấp một
σn (f, x) = (Kn ∗ f ) (x)
ikx

=

ck e
|k|≤n

d
d (ix)

1
−
n+1

n

ck e
k=0

ikx

d
+
d (−ix)

n

c−k e−ikx .

(2.1)

k=0

Thay đạo hàm cấp một bởi đạo hàm cấp hai trong công thức (2.1) ta được
ck eikx −

σn (f, x) =
|k|≤n

d2

d(ix)2

1
(n + 1)2

n

ck eikx +
k=0

d2
d(−ix)2

n

c−k e−ikx .

(2.2)

k=0

Bây giờ, chúng ta nghiên cứu đại lượng σn (f, x) được ứng dụng như thế nào trong
chuỗi Fourier. Thật vậy, ta đặt
Fn (x) = Dn (x) +

1
d2
Dn (x)
(n + 1)2 dx2

(n ≥ 0) .

(2.3)

Từ định nghĩa của σn , ta có một số kết quả sau:
Mệnh đề 2.1.1. Với mọi n ≥ 0, ta có
σn (f, x) = (Fn ∗ f ) (x)
1−

=
|k|≤n

18

k2
(n + 1)2

ck eikx .

(2.4)


CHƯƠNG 2. CHUỖI FOURIER CĨ TRỌNG

Hơn nữa, các tính chất sơ cấp của Fn (x) được thể hiện trong các bổ đề và hệ quả
dưới đây.
Bổ đề 2.1.2.
1−

i) Fn (x) =

|k|≤n

k2
(n+1)2

eikx ,

−(n+ 21 ) sin( x2 ) cos((n+1)x)+ 21 sin((n+ 12 )x)

ii) Fn (x) =

(n+1)2 sin3 ( x2 )

.

Chứng minh.
i) Từ định nghĩa của Fn (x) và do
d2
Dn (x) = −
dx2

k 2 eikx
|k|≤n

nên ta có
eikx −

Fn (x) =
|k|≤n

1−

=
|k|≤n

1
(n + 1)2
k2
(n + 1)2

k 2 eikx
|k|≤n

eikx .

Do đó, Phần i) được chứng minh.
ii) Do Dn (x) =

sin((n+ 12 )x)
sin( x2 )

Dn (x) =

n+

1
2

nên lấy đạo hàm hai vế, ta được
cos

n+

1
2

x sin x2 − 12 cos
sin2 x2

x
2

sin

n+

sin

n+

1
2

x

và
Dn (x) =
−

n+

1
2

− (n2 + n) sin n +
sin3 x2
cos

n+

1
2

x sin2

1
2

x sin

19

x
2

x
2

cos x2 + 12 cos2
sin3 x2

x
2

1
2

x

.


CHƯƠNG 2. CHUỖI FOURIER CÓ TRỌNG

Từ (2.3) và theo các tính chất sơ cấp của sin x và cos x, ta có
Fn (x) =

(n + 1)2 sin

+
=
=

x
2

− (n2 + n) sin

(n + 1)2 sin3
n+

−
=

x sin2

1
2

n+

1
2

cos

n+

1
2

x
2

x sin

cos
2

x

2
3

(n + 1) sin
(n + 1) sin

n+

1
2

x sin2

(n + 1)2 sin3
1
cos2
2

x
2

sin

n+

2

x
2

(n + 1) sin3
− n+

1
2

sin

x
2

− n+

1
2

sin

x
2

x
2

x
2
1
2

−

n+

x sin2

1
2

x
2

x
2

+ 12 cos2

x
2

sin

n+

1
2

x

x
2

n+

1
2

cos

n+

1
2
2

x sin

(n + 1) sin3

x
2

cos

x
2

x
2

x

x
2
3 x
(n + 1) sin 2
cos ((n + 1) x) + 12
(n + 1)2 sin3 x2

cos

n+

1
2
2

+ 21 sin

x+

sin

n+

n+

1
2

x

1
2

x

.

Vì vậy, phần ii) được chứng minh.
Hệ quả 2.1.3.
i) |Fn (x)| ≤
ii) |Fn (x)| ≤

5(2n+1)
,
6
5π 3
4(n+1)|x|3

(0 < |x| < π).

Chứng minh.
n

i) Sử dụng Bổ đề 2.1.2 và
k=1

k2 =

n(n+1)(2n+1)

,
6

|Fn (x)| ≤

1−
|k|≤n

ta có
k2
(n + 1)2

n
3 (n + 1)
2n + 3
= (2n + 1) .
3 (n + 1)
5 (2n + 1)
≤
.
6
= (2n + 1) 1 −

Ở đây, bất đẳng thức cuối cùng có được do hàm
được chứng minh.

20

2n+3
3(n+1)

nghịch biến. Như vậy, phần i)


CHƯƠNG 2. CHUỖI FOURIER CÓ TRỌNG

ii) Thật vậy, với 0 < |x| < π. Khơng mất tổng qt ta có thể giả sử 0 < x < π. Sử dụng
phần ii) của Bổ đề 2.1.2 ở trang 19, ta có
n+

|Fn (x)| ≤

1
2

π2

π3
2(n + 1)2 x3
π
x+
2 (n + 1)
π
π+
2 (1 + 1)

+

(n + 1)2 x2
π2

≤
(n + 1) x3
π2
≤
(n + 1) x3
5π 3
=
.
4 (n + 1) x3

Định nghĩa 2.1.4. Họ các nhân {Gn (x)}∞
n=1 trên [−π; π] được gọi là họ nhân tốt nếu
thỏa mãn các tính chất sau:
π

a)

1
2π

Gn (x) dx = 1, ∀n ≥ 1,
−π

b) Tồn tại M > 0 sao cho
π

|Gn (x)| dx ≤ M , ∀n ≥ 1,
−π

c) Với mọi δ > 0, sao cho

|Gn (x)| dx → 0 khi n → ∞.
δ≤|x|≤π

Ở đây, ta lưu ý rằng hàm Gn (x) có thể nhận giá trị âm. Các tính chất a), b), c)
theo thứ tự được gọi là tính chuẩn hóa, tính khả tích đều, tính chất triệt tiêu của phần
dư trong không gian L1 .
Ta chỉ ra được rằng {Fn (x)} là dãy nhân tốt thông qua các bổ đề sau.
Bổ đề 2.1.5. Dãy {Fn (x)}∞
n=1 là chuẩn hóa.
Chứng minh. Thật vậy, ta có
π

1
2π

π

Fn (x) dx =

1
2π

−π




eikx −



|k|≤n

−π

1
(n + 1)2

k 2 eikx  dx
|k|≤n

π

=
|k|≤n

1
2π
−π

= 1.

21

1
eikx dx −
(n + 1)2

|k|≤n

k2

2π

π

eikx dx
−π


CHƯƠNG 2. CHUỖI FOURIER CÓ TRỌNG
Bổ đề 2.1.6. Dãy {Fn (x)}∞
n=1 là khả tích đều.
Chứng minh. Theo Bổ đề 2.1.2 ở trang 19 ta có
Fn (x) =

− n+

1
2

x
2

sin

cos ((n + 1) x) + 12 sin
(n + 1)2 sin3

n+

1

2

x

.

x
2

Từ đó, ta suy ra Fn (x) là hàm số chẵn. Do vậy, ta có
π

π

|Fn (x)| dx = 2
−π

|Fn (x)| dx
0
1
n

π

|Fn (x)| dx + 2

= 2
0

|Fn (x)| dx

1
n

≡ 2I + 2II.
1
n

|Fn (x)| dx: Từ Hệ quả 2.1.3 ở trang 20, ta có

Ước lượng tích phân I =
0

1
n

1
n

|Fn (x)| dx ≤

I=
0

Mặt khác,

(2n+1)
3n

0

5(2n+1)
dx
6

=

5(2n+1)
.
6n

≤ 1 với mọi n ≥ 1. Từ đó, ta nhận được

5(2n+1)
6n

≤ 52 . Do đó,

5
I≤ .
2

(2.5)

Ước lượng tích phân II: Từ phần ii) của Bổ đề 2.1.2 ở trang 19 và do
1
1
1
x
x
sin ((n + 1) x) cos

− sin
cos ((n + 1) x) = sin
2
2
2
2
2

1
2

n+

x ,

ta có
Fn (x) =
=

− (n + 1) sin

x
2

cos ((n + 1) x) + 12 sin ((n + 1) x) cos
(n + 1)2 sin3

− sin

x

2

d
dx

x
2

sin ((n + 1) x) + 12 sin ((n + 1) x) cos
(n + 1)2 sin3

x
2

x
2

.

Do (n + 1)2 > n2 với mọi n ≥ 0 nên ta có
|Fn (x)| ≤
≤

− sin
d
dx

x
2

d
dx

sin ((n + 1) x) + 12 sin ((n + 1) x) cos
n2 sin3 x2

sin ((n + 1) x) cos
sin ((n + 1) x)
+
2
x
n2 sin 2
2n2 sin3 x2

≡ A + B.
22

x
2

x
2

x
2


CHƯƠNG 2. CHUỖI FOURIER CĨ TRỌNG

Khi đó,

π

π

II ≤
1
n

Ước lượng tích phân IV : Do

Bdx ≡ III + IV .

Adx+
1
n

|cos( x2 )|
2

< 1 và sin

x
2

≥

x
π

với mọi x ∈ [0; π] nên ta có

π

|sin ((n + 1) x)|
dx
sin3 x2

1
≤
n2

IV

1
n

π

π3
≤
n2

1
dx
x3
1
n

1
π3

1− 2 2
2
π n
3
π
≤
.
2
=

Như vậy, ta nhận được
π3
.
(2.6)
2
Ước lượng tích phân III: Bằng cách chia đoạn lấy tích phân n1 ; π thành nhiều đoạn
và áp dụng bất đẳng thức sin x2 ≥ πx với mọi x ∈ [0; π], ta được

 π
(2k−1)π
IV ≤

2(n+1)

1 

III =
n2 

n

+

π2 

≤
n2 

n

π

sin ((n + 1) x)
dx
sin2 x2

d
dx

sin ((n + 1) x)
dx
x2






+
k=1 (2k−1)π

1
n

=

(2k−1)π
2(n+1)

+

d
dx

(2n+1)π
2(n+1)

2(n+1)

π
2(n+1)





+
k=1 (2k−1)π

1

n



π

2(n+1)

(2n+1)π
2(n+1)

2(n+1)

π2
(III1 + III2 + III3 ) .
n2

Ước lượng tích phân III1 : Do

d
dx

sin ((n + 1) x) ≥ 0 với mọi x ∈
π
2(n+1)

III1 ≤

d
dx

=
1
n

23

nên ta có

sin ((n + 1) x)
dx
x2

1
n
π
2(n+1)

1
; π
n 2(n+1)

(2.7)
d
dx

sin ((n + 1) x)
dx.
x2