So sánh sự phân tích p delta của khung thép phẳng theo phương pháp thiết kế aisc hiện hành với một số phần mềm phân tích kết cấu thông dụng hiện nay

1

LỜI CẢM ƠN
******

Xin bài tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Văn Yên, người đã
giảng dạy và tận tình hướng dẫn tôi thực hiện đề tài tốt nghiệp. Xin chân
thành cảm ơn các Thầy, Cô đã truyền đạt những kiế n thức quý báu trong
suốt quá trình học tập.
Xin cảm ơn gia đình đã luôn động viên tôi, cảm ơn bạn bè đã có nhiều
ý kiến đóng góp . Xin cảm ơn các cấp lãnh đạo đã tạo điều kiện thuận lợi
cho tôi thực hiện bài luận luận văn này.


2
SO SÁNH SỰ PHÂN TÍCH P-DELTA CỦA KHUNG THÉP PHẲNG THEO
PHƯƠNG PHÁP THIẾT KẾ AISC HIỆN HÀNH VỚI MỘT SỐ PHẦN MỀM
PHÂN TÍCH KẾT CẤU THÔNG DỤNG HIỆN NAY.

*********
TÓM TẮT
********
Cã một vài sự khác nhau khi phân tích moment bậc hai trong khung phẳng
đ-ợc phổ biến rộng rÃi. Trong phần nghiên cứu này, tác giả sẽ tập trung tính toán và
so sánh giá trị moment đ-ợc phân tích từ một số ch-ơng trình tính toán kết cấu
thông dụng đó với ph-ơng pháp thiết kế thực hành, đó là ph-ơng pháp khuếch đại
moment AISC LRFD (American Institute Of Steel Construction Load &
Resistance Factor Design).
Đầu tiên, là sự tóm l-ợc mét c¸ch kh¸i qu¸t mét sè kh¸i niƯm kh¸c nhau khi
phân tích bậc hai. Những quy tắc tính toán, giải quyết bài toán này mà từng ch-ơng
trình phân tích kết cÊu ( SAP 2000 vµ STAAD III) sư dơng vµ của ph-ơng pháp

khuếch đại moment AISC - LRFD sẽ đ-ợc trình bài một cách rõ ràng hơn. Một số
dạng khung đ-a ra làm thí dụ cũng đ-ợc trình bài cụ thể.
Kế tiếp, các dạng khung nói trên sẽ đ-ợc phân tích, tính toán và các kết quả
có đ-ợc sẽ đ-ợc so sánh.
Cuối cùng, đ-a ra kết luận cụ thể từ việc tính toán moment bậc hai cho từng
ch-ơng trình phân tích kết cấu và đ-a ra những lời khuyên cho ng-ời sử dụng. Nhìn
chung, kết quả thu đ-ợc từ ch-ơng trình phân tích kết cấu và từ ph-ơng pháp
khuếch đại moment AISC có thể chấp nhận đ-ợc và thể hiện t-ơng đối đầy đủ đ-ợc
giá trị moment bậc hai trong khung ph¼ng.


3

MUẽC LUẽC
********
Ch-ơng I: ý nghĩa và mục đích nghiên cứu. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
I.1.ý nghÜa cña viƯc nghiªn cøu.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
II.2. Mục đích nghiên cứu .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5
Ch-¬ng II: C¬ së lý thuyÕt và các ph-ơng pháp thực hành
xét đến phân tích bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
II.1. c¬ së lý thuyÕt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
II.1.1. Ph©n tÝch đàn hồi sử dụng ph-ơng pháp dầm cột chịu nén uốn. . . . . 7
II.1.1.1. Ph-ơng trình vi phân cơ bản của bài toán dầm cột chịu nén uốn. . 7
II.1.1.2. Ma trận độ cứng phần tử của bài toán dầm cột chịu nén uốn . . . 19
II.1.2. Phân tích đàn hồi sử dụng ph-ơng pháp phần tử hữu hạn. . . . . . . . . 24
II.1.3. Phân tích đàn hồi sử dụng ph-ơng pháp tải trọng giả tạo. . . . . . . . . 28
II.2. Một số ph-ơng pháp thực hành gần đúng
II.2.1. Ph-ơng pháp hai vòng lặp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
II.2.2. Ph-ơng pháp tải trọng ngang giả tạo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
II.2.3. Ph-ơng pháp lặp tải trọng thẳng đứng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

II.2.4. Ph-ơng pháp độ cứng âm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
II.3.Sù phân tích bậc hai của một số ch-ơng trình phân tÝch kÕt cÊu.. . . . . . . 43
Ch-¬ng III: Ph-ơng pháp thiết kế thực hành aisc-lrfd. . .46
III.1. Giíi thiƯu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
III.2. Ph-ơng pháp thực hành phân tích bậc hai AISC- LRFD.. . . . . . . . . . . . .46
III.2.1. ý nghÜa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
III.2.2. Các giả thuyết tính toán. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
III.3. ThÝ dơ ¸p dơng. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Ch-ơng IV: Sơ đồ kết cấu, tải trọng của một số khung và kết
quả so sánh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
IV.1. Sơ đồ kết cÊu, t¶i träng. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
IV.2. Kết quả so sánh. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Ch-ơng V: Kết luận và kiến nghị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Phô lôc1. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Phô lôc2. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Phô lôc 3 . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Phô lôc 4. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163


4

CHƯƠNG I
*******

Ý NGHĨA VÀ MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
I.1. Ý NGHĨA CUA VIEC NGHIEN CệU:

Khi phân tích một kết cấu, cần phải phân tích một cách đầy đủ và chính xác,
một số đặt điểm riêng cần phải đ-ợc lựa chọn để mô tả riêng cho kết cấu đó và lựa
chọn ph-ơng pháp phân tích thích hợp nhằm chỉ ra đ-ợc phản ứng của toàn bộ hệ

thống kết cấu đó khi có tải trọng đặt vào. Phân tích bậc thứ một, ở đó các quan hệ
cân bằng và động học đ-ợc thiết lập theo dạng hình học không thay đổi nói cách
khác là không xét đến sự biến dạng hình học của kết cấu, cách phân tích này t-ơng
đối đơn giản, dể thực hiện tuy nhiên không thực sự chính xác vì bỏ qua tải trọng
sinh ra do độ võng, độ lệch của kết cấu. Hiện nay, theo quy định bắt buộc ở các
tiêu chuẩn thiết kế, hầu hết kết cấu đều đ-ợc phân tích bậc hai, theo đó các ph-ơng
trình cân bằng và các mối quan hệ động đ-ợc thiết lập dựa trên sự biến dạng của kết
cấu, có nghĩa là yêu cầu thiết kế theo điều kiện ổn định.
Theo ph-ơng pháp thiết kế các công trình sử dụng kết cấu thép, ngoài các
ph-ơng pháp thiết kế có xét đến ảnh h-ởng bậc hai thông dụng, AISC đ-a ra
ph-ơng pháp thiết kế khác phụ thuộc vào các hệ số đ-ợc gọi là ph-ơng pháp thiết
kế theo các hệ số tải trọng (Load Resistance Factor Design-LRFD). Ph-ơng pháp
này sử dụng các hệ số khuếch đại làm tăng thêm giá trị moment đ-ợc phân tích bậc
một trong các phần tử kết cấu. Ph-ơng pháp này th-ờng đ-ợc ứng dụng trong thiết
kế các kết cấu khung thông th-ờng, trong tất cả các tr-ờng hợp cột và dầm vuông
góc nhau, tuy nhiên ph-ơng pháp này không áp dụng cho tr-ờng hợp cho các khung
bị khuyết phần tử và dầm cột không vuông góc nhau hau khung có dầm xiên.
Phân tích ảnh h-ởng bậc hai của khung đ-ợc tính toán bởi sự kết hợp của
ảnh h-ởng P-

đối với kết cấu khung, và ảnh h-ởng P- đối với từng phần tử riêng

biệt trong khung. Cả hai sự ảnh h-ởng trên góp phần làm tăng thêm độ biến dạng
của khung. Điều này rất quan trọng khi xét đến sự kết hợp của hai sự ảnh h-ởng
trên.


5
I.2. MUẽC ẹCH NGHIEN CệU :

Trong quá trình nghiên cứu, nhận thấy rằng có một vài điểm khác nhau trong
quá trình phân tích bậc hai giữa một số ch-ơng trình tính toán kết cấu thông dụng
hiện nay. Thông qua nghiên cứu này sẽ đ-a ra một số dạng khung khác nhau để
tính toán và xác minh lại có hay không sự khác nhau giữa các ph-ơng pháp phân
tích bằng cách sử dụng các ch-ơng trình phân tích kết cấu thông dụng để tính toán
moment trong phần tử với moment của phần tử đó đ-ợc tính toán theo ph-ơng pháp
thiết kế hệ số khuếch đại moment (AISC-RLFD).


6

CHƯƠNG II
******

CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ
CÁC PHƯƠNG PHÁP THỰC HÀNH
XÉT ĐẾN PHÂN TÍCH BẬC HAI

ë ph©n tÝch bËc mét - phân tích đàn hồi, các mối quan hệ cân bằng và động
đều đ-ợc dựa trên sự không biến dạng về hình học của kết cấu. Cách tính toán theo
phân tích trên có đặc tr-ng là đơn giản và dể thực hiện. Tuy nhiên, cho dù thế nào
đi nữa khi có tải trọng ngang tác dụng vào kết cấu thì th-ờng thấy rằng hình dạng
của kết cấu hoàn toàn bị biến dạng so vơi hình dạng ban đầu của nó. Chen & Lui,
1991 đà đ-a ra yêu cầu là cần phải có sự phân tích khác dựa trên sự biến dạng đó.
Đó là sự phân tích bậc 2. Chen & Lui nhận cho rằng phân tích bậc hai, cùng với các
ph-ơng trình cân bằng và các mối quan hệ về động học sẽ làm cho kết cấu bị biến
dạng và cho rằng điều này rất cần thiết trong quá trình xét đến sự ổn định của kết
cấu.
Tr-ớc đây, khi sự biến dạng ch-a đ-ợc biết đến, khi các ph-ơng trình cân
bằng và các mối quan hệ về động học đ-ợc thiết lập, tính toán bậc hai cần phải tiến

hành theo các b-ớc lặp, khi đó kết quả biến dạng hình học của kết cấu tính toán
đ-ợc trong chu kỳ tr-ớc sẽ đ-ợc dùng làm công thức cơ bản cho các quan hệ cân
bằng và động học cho chu kỳ tính tiếp theo (Chen&Lui,1991). Nếu nh- xét đến sự
phân tích bậc hai một cách đầy đủ và thận trọng có thể gây khó khăn, tẻ nhạt và mất
nhiều thời gian và nếu giải quyết một cách chính xác th-ờng không cần thiết. Có
một vài ph-ơng pháp đơn giản đ-ợc phát triển và tính toán một cách gần đúng để
phân tích bậc hai một cách hiệu quả hơn. Một số ph-ơng pháp phân tích thông dụng
th-ờng đ-ợc sử dụng hiện nay đ-ợc thực hiện bằng tay nh- :
-

Ph-ơng pháp hai vòng lặp của Al-Masatrary và Chen. 1990.

-

Ph-ơng pháp tải trọng nằm ngang giả tạo của Adams, 1974.

-

Ph-ơng pháp tải trọng ngang lặp của Stafford Smith vµ Gaiotti, 1988.


7

-

Ph-ơng pháp độ cứng âm của Nixon, 1975 sau đó đ-ợc điều chỉnh
bởi Ruterberg, 1981.

-

Ph-ơng pháp điều chỉnh độ võng góc xoay của Vanderpitte, 1982.

-

Ph-ơng pháp thực hành AISC-LRFD .

-

Ph-ơng pháp chuyển vị.

II.1. Cễ Sễ LY THUYET:
II.1.1. Phân tích đàn hồi sử dụng ph-ơng pháp dầm cột chịu nén uốn:
II.1.1.1. Ph-ơng trình vi phân cơ bản của bài toán dầm cột chịu nén uốn:
Xét hình II-1, biểu diển một dầm chịu một lực nén dọc trục P ở hai đầu,
lực ngang w tác dụng dọc theo chiều dài phần tử và các moment ở đầu phần tử
M A vµ M B .

w

MB
P

A

dx

P

B

x

ds

MA
y

N

S

V
H

M

M+ dM ds
ds
P+ dP ds
ds

ds

M+ dM ds
ds

M

V+ dV ds
ds

H+ dH ds
ds

ds

S+ dS ds
ds

Hỡnh II.1

Ph-ơng trình vi phân có thể rút ra bằng cách xét một phân tố vô cùng nhỏ ds
hoặc dx (hình II-1) biểu diễn hai hệ lực cân bằng tĩnh. Các lực V và N tác động
song song và vuông góc với mặt cắt ngang ( hệ tọa độ địa ph-ơng), trong khi các


8

lực S và H tác động theo ph-ơng x và y ( hƯ täa ®é tỉng thĨ). Hai hƯ lùc này có mối
liên hệ nh- sau:
H

N cos

S

N sin

M

M

V sin

(II.1a)

V cos

(II.1b)
(II.1c)

Tất cả hệ lực này đều có thể rút ra đ-ợc ph-ơng trình vi phân. Để thuận tiện, ta
dùng hệ lực H-S.
Xét cân bằng theo ph-ơng x:
H

dH
ds H
ds

(II.2a)

0

Xét cân bằng theo ph-ơng y:
dS
ds S
ds

S

wds

(II.2b)

0

Xét cân bằng moment:
M

Vì

dM
ds M
ds

S

dS
dx

S cos

ds
2

H

dH
ds

ds

H sin

ds
2

0 (II.2c)

dS
dH
ds và
ds nhỏ so với H và S, nên các ph-ơng trình cân bằng trên có thể
ds
ds

viết lại nh- sau:
dH
ds

0

dS
ds

w

dM
ds

(II.3a)
(II.3b)

0

S cos

H sin

(II.3c)

0

Giả thuyết chuyển vị là bé, bỏ qua biến dạng tr-ợt, ta có:
ds

dx ; cos

1 ; sin

dy
dx

(II.4)

Với v là chuyển vị ngang của phần tử. Sử dụng các ph-ơng trình gần đúng, (II.3aII.3c) có thể đ-ợc viết lại nh- sau:
dH
dx

0

dS
dx

w

(II.5a)
0

(II.5b)


9
dM
dx

S

H

dv
dx

(II.5c)

0

Lấy vi phân ph-ơng trình (II.5c), thay vào các ph-ơng trình (II.5a) và (II.5b), ta có :
d 2M
dx 2

w H

d 2v
dx 2

(II.6)

0

Tõ søc bỊn vËt liƯu, ta dƠ dµng nhËn thÊy:
EId 2 v
dx 2

M

(II.7)

0

Thay (II.7) vµo (II.6), víi H
d2
d 2v
EI
dx 2
dx 2

w P

P , ta cã :

d 2v
dx 2

(II.8)

0

Víi EI là hằng số, ph-ơng trình (II.8) trở thành:
EI

d 4v
dx 4

P

d 2v
dx 2

(II.9)

w

Ph-ơng trình (II.9) là ph-ơng trình vi phân cơ bản đối với ứng xử đàn hồi của một
dầm cột chịu nén uốn. Nghiệm tổng quát của ph-ơng trình vi phân này là :
v

A sin kx B coskx Cx

D

f ( x)

(II.10)

Với :
k

P
EI

(II.11)

và f(x) là nghiệm riêng của ph-ơng trình vi phân, các hằng số tích phân A, B, C, D
đ-ợc xác định từ các điều kiện biên của dầm cột chịu uốn nén.
Khi không có lực nén dọc trục ( với P = 0), ph-ơng trình (II.9) trở thành :
d 4v
EI 4
dx

w

Đây là ph-ơng trình vi phân chủ đạo của dầm chịu uốn thông th-ờng trong
sức bền vật liệu.
Moment tại các điểm đầu và cuối ở một số tr-ờng hợp dầm đơn giản.


10

Tr-ờng hợp 1:
Xét một dầm nh- hình II.2, dầm chịu tải phân bố w và lực nén dọc trục P

P

P x
EI=const

L
y
Hỡnh II.2

Lời giải cho ph-ơng trình vi phân cơ bản này là:
v

A sin kx B cos kx Cx

w
x2
2 EIk 2

D

(II.12)

Các điều kiện biên :
vx

0,

0

vx

L

0,

v x'

0

A

v x'

0,

L

B

0

Lấy đạo hàm ph-ơng trình (II.12), kết hợp với các điều kiện biên, ta có:
A
B

wL
2EIk 3

(II.13a)

wL

(II.13b)

kL
2 EIk tg
2
3

wL
2EIk3

C

(II.13c)

wL

D

(II.13d)

kL
2 EIk tg
2
3

Thay các giá trị A, B, C, D vào ph-ơng trình (II.12), ta có:
v

wL
sin kx
2 EIk 3

cos kx
kL
tg
2

kx

kx2
L

1
kL
tg
2

(II.14)

Moment lín nhÊt trong dÇm khi cã lùc nÐn däc trơc P:
M max

Víi : u

kL
2

Mx

L
2

0

Mx
P
EI

L

EIv" x

0

EIv" x

L

wL2 3 tgu u
12
u 2 tgu

(II.15)


11

- Trong tr-êng hỵp lùc nÐn däc trơc P = 0, giá trị M A

MB

wL2
.
12

Tr-ờng hợp 2:
Xem hình II.2a
P

P x
EI=const

L
y

Hỡnh II.2a

Ph-ơng trình trục võng khi có xét đến ảnh h-ởng lùc nÐn däc trôc P :
v

wL4
cos(u 2ux / L)
1
4
cos u
16 EIu

Trong ®ã: u

kL
2

L
2

wL2
x( L
8 EIu 2

x)

P
EI

Víi x L / 2 , ph-ơng trình độ võng tại giữa dầm nh- sau:
v

5wL4
384 EI

12 sec 2u u u 2
5u 4

DƠ dµng nhËn thÊy thừa số
Thừa số

5wL4
384 EI

u

5wL4
biểu thị độ võng giữa dầm do tải trọng w gây ra.
384 EI

u biểu thị ảnh h-ởng của lực nén dọc trục P đến độ võng.

Tr-ờng hợp 3:
Xem hình II.2b
Q
P

A

B

a
y

P

x

b
L
Hỡnh II.2b

Giá trị moment tại điểm đầu và cuối phần tử: (theo kết quả trong Stability
design of steel frames” – W.F.Chen-E.M.Lui, 1991):

12

MA

MB

Víi d

QL 2ub
2ub
2ub
2ua
cos 2u 2u cos
sin 2u sin
sin
d
L
L
L
L
QL 2ua
2ua
2ub
2ua
cos 2u 2u cos
sin 2u sin
sin
d

L
L
L
L

2ua
L
2ub
L

2u(2 2 cos 2u 2u sin 2u)

 Trong tr-ờng hợp tải trọng Q tại vị trí giữa dầm ( x
MA

QL2 2(1 cos u )
8
u sin u

MB

Dễ dàng nhận thấy thừa số
Thừa số

QL2
8

L / 2) :

u

QL2
biểu thị độ võng giữa dầm do tải trọng Q gây ra.
8

u biểu thị ảnh h-ởng của lực nén dọc trục P đến độ võng.

Tr-ờng hợp 4:

P

A

B

L-c

P

x

c
L

y

Hỡnh II.2c

Ph-ơng trình vi phân cho 2 ®o¹n trơc vâng:
v

Q sin kc
Qc
sin kx
x
Pk sin kL
PL

v

Q sin k L c
sin k L x
Pk sin kL

víi 0 x L c
QL c L x
PL

Giá trị nội lực tại điểm đầu và cuối phần tử:
MA

QA

MB

Q
PL

0

zc
L
sin z

sin

iz 2

PL

Pc

với L c x L


13

Q
PL

QB

Trong đó: i

sin

EI
; z
L

zc L
L
sin z

L

iz 2

Pc

Q

P
.
EI

Qc
và QB
L

Khi P 0 thì Q A

PL

QA

Q

Tr-ờng hợp lực Q đặt giữa dầm. Độ võng lớn nhất khi xét đến ảnh h-ởng lực
dọc :

v

Thừa số
Thừa số

QL3
48 EI

3 tgu u
u3

QL3
48 EI

u

QL3
biểu thị độ võng của dầm khi chỉ có lực ngang Q tác động.
48 EI

u biểu thị ảnh h-ởng của lực dọc P đến độ võng của dầm.

Tr-ờng hợp 5:

P

A

B

a
y

b
L
Hỡnh II.2d

Moment tại điểm đầu vµ cuèi :
MA

MB

M
2ub
2ub
2u cosec2u 1 sin
tgu 1 cos
2e
L
L
M
2ub
2ub
1 2u cot g 2u sin
tgu 1 cos
2e
L
L

Víi : e tgu u .

2u cos

2ub
L

P

x


14

Tr-êng hỵp 6:

P

P

B

A

x

L

y

Hình II.2e

MA

0
qL2
2

MB

2 z sin z 2 cos z
z sin z z cos z

2 z 3 i sin z
QA

Trong ®ã: i

4 PL cos z

qL
2

4 PL

sin z

z cos z

2 z 2 cos z 2 cos z
z ( sin z cos z )

EI
; z
L

L

P
.
EI

3qL
và QB
8

Khi P 0 thì Q A

Và M B

PLz 2

PLz 2 cos z
z 3i

qL
2

QB

z 4 i 2 z 2 i 2 z 2 i cos z 4 PLz sin z

5qL
8

qL2
8

Tr-êng hỵp 7:

P

B

A

L-c
y

c
L
Hình II.2f

P

x


15

cz

QA

L sin

Q

z (c L )
z (c L )
cos z L cos
sin z
L
L
z sin z L

(iz 3 cos(z )c iz 3 cos(z ) L cos
iz 3 L sin

zc L
L

PL2 sin

z (c L )
z sin z
L

PL cos(z )cz
PL2 sin

zc L

cos z
L

PLcz PL2 sin
QB

z (c L )
L

Q

iz 3 L sin

z (c L )
sin z
L

PL2 z cos z

zc L
L

z (c L )
L

PL2 z

PL2 cos

zc L

sin z )
L

( z sin z ) Liz 2

MA

0

c sin z
MB

L cos

Q

z (c L )
z (c L )
sin z L sin
cos z
L
L
z sin z

Khi P = 0 thì:
QA

Qc 3
L3

MB

Qc 2
c
L2

và QB

2

L

QA

c2
Qc 2
L

Q(c 3 L3 )
L3

Q

1

PL2 sin z


16

Tr-ờng hợp 8:

P

P

B

A

x

L
y

QA

Hỡnh II.2g

wL và Q B

MA

qL2
2

MB

wL2

0

2iz 2 cos z 2iz sin z 2 PL PLz sin z 2 PL cos z
iz 3 sin z
z sin z
z 2 sin z

Khi P = 0, thì :
wL2
3

MA

và M B

wL2
6

Tr-ờng hợp 9:

P

P

B

A

L-c

c
L

y

Hỡnh II.2h

QA

Q vµ Q B

0

z ( L c)
( z cos
L
z cos
MA

Q

2

L

z ( L c)
z cos
L
L

z ( L c)
z cos
L

z ( L c)
z ( L c)
c sin
L
L
L
z ( L c)
z ( L c)
( z cos
(cos
) L 1)
L
L

2

c

x


17

( z cos
MB

Q cos z

z ( L c)
L
L

z ( L c)
z ( L c)
c L sin
)
L
L
z ( L c)
z cos
L
z cos

Khi P = 0 thì:
MA

Q
( L c)
2

Tr-ờng hợp 10:
Xem hình II.3. Dầm chịu momet hai đầu và lực nén dọc trục.
A

MB

B

x

P

MA

EI = const

L

y

Hỡnh II.3

Ph-ơng trình vi phân có dạng:
EI

d 4v
dx 4

P

d 2v
dx 2

(II.16)

0

Lời giải cho ph-ơng trình vi phân cơ bản này là:
v

(II.17)

Asin kx B coskx Cx D

Các điều kiện biên:
vx

0

0,

vx

L

0,

và

v" x

0

MA
;
EI

v" x

L

MB
EI

(II.18)

Lấy đạo hàm ph-ơng trình vi phân (II.16) kết hợp với các điều kiện biên, ta
có các hằng sè A, B, C, D:
A

M A cos kL M B
EIk 2 sin kL

(II.19a)

B

MA
EIk 2

(II.19b)

C

MA MB
EIk 2 L

(II.19c)

D

MA
EIk 2

(II.19d)


18

Thay các hằng số A, B, C, D vào ph-ơng tr×nh (II.17), ta cã :
v

1
cos kL
sin kx cos kx
2
EIk sin kL

x
1 MA
L

Giá trị M m ax đ-ợc xác định bởi
M A2

M max

Khi M B

x
MB
L

(II.20)

0 , thay vào (II.20) ta đ-ợc:

2M A M B cos kLM B2

(II.21)

sin kL

M A th×:

M m ax

Khi M B

dM
dx

1
1
sin kx
2

EIk sin kL

MA
MB

MB

2

2

MA
cos kL 1
MB

(II.22)

sin kL

M 0 thì:

MA

M m ax

2 1 cos kL
sin kL

M0

(II.23)

Tr-ờng hợp 11:
Xem hình II.3a
MB
P

A

B
B

MA

P

EI haống soỏ
L
Hỡnh II.3a

Giả thuyết phần tử chịu lực P , moment tại hai đầu là M A và M B . Hai đầu
phần tử bị biến dạng một góc
v"

x 0

MA "
;v
EI

x L

A

và

MB
EI

Từ ph-ơng trình
v

Asin kx B coskx Cx D

Ta có hàm chuyển vị theo (II.20)

B

. Chuyển vị ngang v x

0

vx

L

0 vµ


19

1 cos kL
sin kL cos kx
EIk 2 sin kL

v

x
1 MA
L

1
1
sin kx
2
EIk sin kL

x
M B (II.24)
L

Khi chuyển vị nhỏ, ph-ơng trình góc xoay dựa vào đạo hàm bậc nhất của ph-ơng
trình trên
A

v'x

A

v' x

và

0

v' x

B

1 cos kL
EIk sin kL

0

có dạng :

L

1
MA
kL

1
1
EIk sin kL

L kL cos kL sin kL
MA
2
EI
kl sin kL

B

v' x

1
1
EIk sin kL

L

1
MA
kL

L kL sin kL
MA
EI (kL) 2 sin kL

Gi¶i M A vµ M B theo

A

vµ

EI
sii
L
EI
s ji
L

MA
MB

B

1
MB
kL

L kL sin kL
MB
EI (kL) 2 sin kL

1 cos kL
EIk sin kL

(II.25)

1
MB
kL

(II.26)

L kL cos kL sin kL
MB
EI
(kL) 2 sin kL

, ta cã:

A

sij

A

s jj

(II.27)

B

(II.28)

B

Víi
2

sii

s jj

sij

s ji

kLsin kL kL cos kL

2 2 cos kL kLsin kL
2
kL
kL sin kL
2 2 cos kL kLsin kL

(II.29)
(II.30)

NÕu c¸c nót cho phÐp chun vị một đại l-ơng là
MA

EI
sii
L

A

MB

EI
s ji
L

A

L
L

sij

s jj

B

B

L

EI
sii
L

L

EI
s ji
L

, ph-ơng trình (*) trở thành:
sij

A

A

s jj

B

L

B

L

sii
s ji

sij
s jj

(II.31)

(II.32)

II.1.1.2. Ma trận độ cứng phần tử theo ph-ơng pháp thanh chịu nén uốn:
Trong ph-ơng pháp này, ma trận vuông 6x6 đ-ợc xây dựng từ các ph-ơng
trình độ võng, góc xoay, dùng để thiết lập các mối quan hệ giữa các lực tại các đầu
của cấu kiện.
Véctơ tải phần tử: r1 , r2, .....,r6 T .
Véc tơ chuyển vị: d1 , d 2 ,.....,d 6 T .


20

Xem hình II.4, từ mối quan hệ giữa độ dốc và chuyển vị:

r5
r4
d5

r2
d3

r1

r6

vũ trớ khi
chuyeồn vũ

d2

d5

r3

vũ trớ ban ủau

d1

Hỡnh II.4

d4

(a)

S
P
B

MB

S
A

P
Ma

L
(b)

Từ (II.31) và (II.32) ta có :

theo đó s ii

MA

sii

A

sij

MB

s ji

A

s jj

s jj vµ s ij

S

B

L

B

L

sii
s ji

(II.33)

sij

(II.34)

s jj

s ji . Lùc cắt S tại đầu phần tử xác định bởi công thức:

MA

MB
L

P

(II.35)

Thay vào ph-ơng trình (II.33) và (II.34), (II.35) có thể viÕt l¹i nh- sau:
S

EI
L

sii

sij

A

sij

s jj

B

2 sii

sij

kL

2

L

(II.36)

Tõ mèi quan hƯ lùc dọc trục và chuyển vị, ta có :
P

EA
u
L

trong đó : u là chuyển vị dọc trục phần tử.
Từ (II.33), (II.34), (II.35), (II.36) ta cã thĨ ®-a ra ma trËn nh- sau:

(II.37)


21

sii

sii

sij

S

sii

s jj

EI
L

0

L

MA
MB

sij
sij

A

0

L
2 sii

P

sij

B

kL

L

2

0

(II.38)

u

A
I

sym

T-ơng đ-ơng:
~~
k d

~
r

(II.39)

Theo hình (II.4a) và (II.4b), hệ thống các lực liên hệ với nhau thông qua
ph-ơng trình cân bằng sau:
r1

0 0

r2

0 0

r3

1 0

0

r4

0 0

0

r5

0 0

1

0

r6

0 1

0

0

0

1

1

0

MA

0

MB

1

(II.40)

S
P

hoặc t-ơng đ-ơng
TT~
r

r

(II.41)

Một cách khác, nếu chuyển vị nhỏ, sự liên hệ về động giữa hai hệ trên đ-ợc viết lại:
d1
A

0

0

1

0

0 0

d2

B

0

0

0

0

0 1

d3

1 0

0

1 0

d4

1 0 0

d5

0
u

1

0

0

(II.42)

d6

T-ơng đ-ơng:
~
d

(II.43)

Td

Kết hợp (II.39), (II.41), và (II.43), ta cã :
r

~
TTk T d

kd

(II.44)

Trong ®ã : k - ma trận độ cứng của dầm-cột, khi có ảnh h-ởng cđa lùc nÐn däc trơc
P, kÝch th-íc 6x6 nh- sau:


22

A
I

0
12
L2

k

~

TTk T

A
I

0
1

EI
L

6
L
4

2

3



1

,

2

, 3,

4

0
A
I

sym

Trong đó

0

0
12
L2
6
L

0
1

2

0
12
L2

6
L
2

2

4

(II.45)

0
1

6
2
L
4 3

là các hàm số độ cứng ổn định.

Khi P là lực nén:
3

1

kL sin kL
12 c

(II.46a)

2

2

kL (1 cos kL)
6 c

(II.46b)

3

kL sin kL kL cos kL
4 c

(II.46c)

4

kL(kL sin kL)
2 c

(II.46d)

2 2 cos kL kLsin kL

(II.46e)

víi
c

P
EI

k



(II.46f)

Khi P lµ lùc kÐo:
3

1

kL sinh kL
12 t

(II.47a)

2

2

víi

kL (coshkL 1)
6 t

(II.47b)

3

kL cosh kL sinh kL
4 t

(II.47c)

4

kL(sinh kL kL)
2 t

(II.47d)


23

(II.47e)

2 2 cosh kL kL sinh kL

t

P
EI

k

(II.47f)

NÕu lùc däc trong phần tử bằng P = 0, t-ơng ứng các giá trị

1

2

3

4

1.

Có thể viết chung một công thức cho cả tr-ờng hợp lực kéo và lực nén nh- sau:
n

1
n
1

1
2
kL
1 ( 2n 1)!
12
n

1
2

1

n 1

2

n

1
6

n

4

1
12

(II.48a)
2 n

(II.48b)

1

n 1

3

Víi

(2n 2)!
6

n

1
3

kL

n

kL

(2n 3)!
2

2 n

(II.48c)

2(n 1)
2
kL
4)!
1 ( 2n
2

n

(II.48d)

2(n 1)
n 1

Và kL 2

(2n 4)! kL

(II.48e)

2 n

PL2
là d-ơng khi P là lực kéo và âm khi P là lực nén. Các chuổi
EI

trên sẽ hội tụ với độ chính xác cao khi chỉ cần lấy với 10 số hạng đầu.
Nếu lực dọc trong phần tử giới hạn
theo Euler, thì các giá trị
1

2

3

1

1
2
1
kL
10
1

1
kL
30

1
2
kL
60
2

i

2

2 , với Pe là lực dọc tới hạn

P / Pe

trên đ-ợc tính xấp xỉ (theo Lui và Chen, 1987) nh- sau:

1.354 10
8.183

4

kL

4

2

2

0.095
kL

2

kL

4

(II.49a)

2

1.354 10 4 kL
0.095
4
kL
4
2
2
8.183
(kL)

2.533 10
4

4

4

kL
2

2

kL

0.136
2

(II.49b)
2

1.013 10 4 kL
0.071
kL
4
2
8.183
(kL) 2

4

(II.49c)


24

4

1

1
kL
60

5.066 10 4 (kL) 2

2

4

4

2

0.270

kL

2

2

2.026 10 4 kL
0.143
kL
4

2
8.183
(kL) 2

4

(II.49d)

víi
kL

2

kL

2

PL2
EI

0 khi P là lực kéo.

PL2
EI

0 khi P là lực nén.

II.1.2. Phân tích đàn hồi sử dụng ph-ơng pháp phần tử hữu hạn:
Ph-ơng pháp phần tử hữu hạn dựa trên nguyên lý năng l-ợng. Thế năng toàn
phần của một hệ đàn hồi

đ-ợc xác định là:
(II.50)

U V

Với U - thế năng biến dạng, đ-ợc xác định :
L

U

d dVe
Ve

Trong đó:

( d )dAdx

(II.51)

0 A

- ứng st däc trơc.
- biÕn d¹ng däc trơc.
V e - thĨ tích phần tử.

A - diện tích mặt cắt ngang.
L - chiều dài phần tử.

Và V - công ngoại lực, đ-ợc xác định theo:

n

V

ri d i

dTr

(II.52)

i 1

Trong đó:
ri - lực tập trung tại nút phần tử.
d i - chuyển vị nút của các phần tử.

Đối với khung phẳng, i 1 6 , theo hình II.4a
Đối với vật liệu đàn hồi tuyến tính, ứng suất và biến dạng dọc trục tuân theo
định luật Hooke:
E ,

( E - mođun đàn hồi vật liệu).

Thay (II.53) vào (II.52) và lấy tích phân, ta có:

(II.53)


25
E

2

U

L

2

0

A

(II.54)

dA dx

Khi phân tích phi tuyến hình học sử dụng các công thức phần tử hữu hạn,
thông th-ờng sử dụng mối quan hệ biến dạng chuyển vị sau:
du
dx

2

1 du
2 dx

1 dv
2 dx

2

y

d 2v
dx 2

(II.55)

víi u vµ v lµ chun vị dọc trục và chuyển vị ngang của phần tử t-ơng ứng.
du
dx

Vì chuyển vị dọc trục th-ờng nhỏ nên
du
dx

1 dv
2 dx

2

y

2

0 ,(II.55) có thể đ-ợc viết lại:

d 2v
dx 2

(II.56)

Thay (II.56) vào (II.54), lấy tích phân, ta có:
L

E
2

U

0

du
A
dx

2

d 2v
I
dx 2

2

du dv
A
dx dx

2

A dv
4 dx

4

dx

(II.57)

Trong đó:
y 2 dA - moment quán tính tiết diện.

I
A

Nhận thấy rằng, ma trận độ cứng từ hàm thế năng biến dạng (II.57) , biến
dạng thành phần u và v của chuyển vị nút phần tử thể hiện bëi d i víi ( i 1 6 ).
Cã thĨ thiết lập các hàm xấp xỉ cho u và v nh- sau:
( xÊp xØ tuyÕn tÝnh)

u

a0

a1 x

v

b0

b1 x b2 x 2

b3 x 3

(II.58)

(xấp xỉ bậc 3)

(II.59)

Dùng các điều kiện biên:
ux

0

d1 , u x

vx

0

d2 ,

dv
dx

(II.60)

d4

L

d3 , v x
x 0

L

d5 ,

dv
dx

d6

(II.61)

x L

VËy có thể viết lại các đa thức (II.58) và (II.59) theo các chuyển vị nút phần tử:
u

và

1

x x
L L

d1
d2

(II.62)