Tính toán ổn định khung phẳng bằng phương pháp phần tử rời rạc sử dụng mô hình chuyển vị

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
_______________
_______________

NGUYỄN CÔNG CHÍ

TÍNH TOÁN ỔN ĐỊNH KHUNG PHẲNG
BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ RỜI
RẠC SỬ DỤNG MÔ HÌNH CHUYỂN VỊ
CHUYÊN NGÀNH
MÃ SỐ NGÀNH

: XÂY DỰNG DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP
: 23.04.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH, THÁNG 6 NAÊM 2005


CÔNG TRÌNH ĐƯC HOÀN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG

CÁN BỘ CHẤM NHẬN XÉT 1:

CÁN BỘ CHẤM NHẬN XÉT 2:

Luận văn Thạc só được bảo vệ tại:
HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày
tháng
năm 2005


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
PHÒNG ĐÀO TẠO SAU ĐẠI HỌC
_______________
_______________

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc Lập – Tự Do – Hạnh Phúc
_______________
_______________

Tp. Hồ Chí Minh, ngày………tháng………năm 2005

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ và tên học viên

: NGUYỄN CÔNG CHÍ

Phái

Ngày, tháng, năm sinh : 08 – 11 – 1979

Chuyên ngành
I.

: Nam

Nơi sinh : Khánh Hoà

: Xây Dựng Dân Dụng & Công Nghiệp

Mã số

: 02103516

Tên đề tài
TÍNH TOÁN ỔN ĐỊNH KHUNG PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ RỜI
RẠC SỬ DỤNG MÔ HÌNH CHUYỂN VỊ

II. Nhiệm vụ và nội dung
Nội dung chính của luận văn là thiết lập các công thức tính toán cho phương pháp
Phần tử Rời rạc sử dụng mô hình chuyển vị để khảo sát các bài toán ổn định khung phẳng
với các nút liên kết cứng, liên kết nữa cứng. Đồng thời, trên cơ sở đó thiết lập các công
thức tính toán cho phương pháp Phần tử Dây xích để khảo sát các bài toán ổn định khung
phẳng. Kết quả tính toán sẽ được kiểm chứng bằng giải tích chương trình lập dựa trên
phương pháp Phần tử Hữu hạn.
III. Ngày giao nhiệm vụ

17 – 01 – 2005

IV. Ngày hoàn thành

30 – 06 – 2005

V. Họ và tên cán bộ hướng dẫn

TS. NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

CHỦ NHIỆM NGÀNH

BỘ MÔN QUẢN LÝ NGÀNH

TS. NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG

Nội dung đề cương Luận văn Thạc só đã được Hội Đồng Chuyên Ngành thông qua.
Ngày………tháng 07 năm 2005
PHÒNG ĐÀO TẠO SAU ĐẠI HỌC

KHOA QUẢN LÝ NGÀNH


LỜI CẢM ƠN


Lời đầu tiên, tôi xin chân thành cám ơn Ban Giám hiệu trường Đại Học
Bách Khoa Tp. Hồ Chí Minh, Phòng Đào tạo sau Đại Học và các quý thầy cô
Khoa Kỹ Thuật Xây Dựng đã truyền đạt cho tôi những kiến thức nền tảng để
tôi hoàn thành luận văn này.
Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến TS. Nguyễn Thị
Hiền Lương, người thầy tận tụy đã đưa ra những ý tưởng đầu tiên để hình

thành đề tài cũng như đã hướng dẫn tận tụy, đưa ra những ý kiến quý báu, tạo
điều kiện thuận lợi về mặt tài liệu cũng như lý luận, giúp tôi hoàn thành luận
văn này.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến những tác giả đã dày công nghiên cứu,
viết ra những cuốn tham khảo có giá trị để giúp tôi có đủ kiến thức để vượt
qua những mặt trở ngại về nhận thức, giúp tôi đủ tự tin để tôi có thể hoàn
thành luận văn này.
Và lời cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn Cha Mẹ, người đã nuôi
dưỡng và nâng đỡ tôi nên người, xin chân thành cảm ơn những thầy cô đã
truyền cho tôi những kiến thức quý báu, xin cám ơn bạn bè đã động viên giúp
đỡ để tôi có được ngày hôm nay.
Xin chân thành cảm ơn!
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 06 năm 2005
Nguyễn Công Chí


MỤC LỤC


LỜI CẢM ƠN
Chương I. Tổng quan

01

1.1. Lịch sử phát triển và tính cần thiết của đề tài

01

1.2. Khái niệm về sự ổn định – Phân loại ổn định

06

1.2.1. Khái niệm

06

1.2.2. Phân loại ổn định

07

1.3. Nhiệm vụ và nội dung luận án

10

1.3.1. Mục tiêu luận án

10

1.3.2. Nội dung tóm tắt của luận án

10

1.3.3. Các giả thiết cơ bản sử dụng trong luận án

11

Chương II. Cơ sở lý thuyết

12

2.1. Công – Năng lượng

12

2.1.1. Công của ngoại lực

12

2.1.2. Biểu diễn hình học của công – Nguyên lý cộng tác dụng

13

2.2. Nội lực – Năng lượng biến dạng

13

2.2.1. Định nghóa nội lực

13

2.2.2. Công của nội lực – Năng lượng biến dạng

14

2.3. Lò xo xoay – Năng lượng tích lũy trong lò xo xoay

15

2.3.1. Lò xo xoay – Sự làm việc của lò xo xoay

15

2.2.3. Năng lượng tích lũy trong lò xo xoay

16

2.4. Các nguyên lý năng lượng – Biểu hiện sự cân bằng ổn định dưới dạng

16

năng lượng
2.4.1. Nguyên lý thế năng toàn phần dừng

16

2.4.2. Biểu hiện sự cân bằng ổn định dưới dạng năng lượng

17

2.5. Phương pháp Phần tử Rời rạc

18

2.5.1. Mô hình phương pháp Phần tử Rời rạc của El Naschie

18

2.5.2. p dụng phương pháp Phần tử Rời rạc của El Naschie

19

2.5.3. Phương pháp Phần tử rời rạc và cách thiết lập ma trận

22

theo El Naschie
2.6. Phương pháp Phần tử Rời rạc biến thể

23

Chương III. Thiết lập các công thức tính toán cho Phần tử Rời rạc

28

sử dụng mô hình chuyển vị
3.1. Chuyển vị, nội lực trong phần tử – Ma trận độ cứng phần tử

28

3.2. Ma trận độ cứng ứng suất phần tử

30

3.3. Phép chuyển trục tọa độ

31

3.4. Ghép nối các phần tử – Ma trận độ cứng tổng thể – Ma trận độ cứng

32

ứng suất tổng thể
3.5. Công của ngoại lực

33

3.6. Thế năng toàn phần của hệ – Hệ phương trình tổng thể

33

3.7. Bài toán ổn định

38

3.8. Phép đổi biến

40

3.9. Liên kết nửa cứng

50

Chương IV. Thiết lập các công thức tính toán cho Phần tử Dây xích

55

sử dụng mô hình chuyển vị
4.1. Cơ sở lý thuyết của phần tử Dây xích

55

4.2. Chuyển vị, nội lực trong phần tử

58

4.3. Ma trận độ cứng ứng suất phần tử

60

4.4. Phép đổi biến

61

Chương V. Chương trình tính toán ổn định khung phẳng trên

69

MATLAB 6.0 theo các phương pháp Phần tử Rời rạc,
Phần tử Dây xích, Phần tử Hữu hạn.
Khảo sát một số bài toán ổn định khung phẳng
5.1. Xây dựng chương trình tính toán ổn định khung phẳng trên Matlab 6.0

69

5.1.1. Tổng quan về Matlab 6.0

69

5.1.2. Xây dựng chương trình tính toán ổn định trên Matlab 6.0

70

5.1.3. Kiểm tra chương trình xây dựng với phần mềm Ansys 5.4

72


5.2. Khảo sát một số bài toán ổn định khung phẳng

74

5.2.1. Bài toán 1

74

5.2.2. Bài toán 2

77

5.2.3. Bài toán 3

79

5.2.4. Bài toán 4

82

5.2.5. Bài toán 5

85

5.2.6. Bài toán 6

87

Chương VI. Kết luận – Kiến nghị

91

6.1. Kết luận

91

6.2. Hướng phát triển luận văn

92

TÀI LIỆU THAM KHẢO

93

PHỤ LỤC

95


–1–

CHƯƠNG I



TỔNG QUAN

1.1. Lịch sử phát triển và tính cần thiết của đề tài
Khi thiết kế, xây dựng công trình, người thiết kế phải đảm bảo công trình đủ
độ bền, độ cứng, và ổn định. Đủ độ bền là ứng suất trong cấu kiện không được
vượt qua một giá trị cho phép. Đủ độ cứng là chuyển vị của công trình không
được vượt quá một giá trị giới hạn nào đó. Còn ổn định là khả năng bảo tồn dạng
cân bằng ban đầu, không chuyển sang dạng cân bằng khác.
Bài toán ổn định đàn hồi của thanh chiụ uốn nén đồng thời đã được Euler
nghiên cứu cách đây khoảng 250 năm. Trong thời gian đó, vật liệu xây dựng có
cường độ tương đối thấp, chủ yếu là gỗ và đá nên vấn đề ổn định đàn hồi chưa
phải là vấn đề thiết yếu hàng đầu. Do vậy, trong một thời gian dài, lý thuyết ổn
định của Euler cho các thanh mảnh chưa có ứng dụng thực tế.
Từ đầu thế kỷ XX, các vật liệu có cường độ cao được sử dụng rộng rãi, tạo
ra những cấu kiện có hình dáng thanh mảnh. Lúc này, bài toán ổn định có một ý
nghóa hết sức quan trọng. Người ta nhận thấy rằng công trình bị phá hoại không
chỉ vì ứng suất trong cấu kiện vượt quá ứng suất cho phép của vật liệu mà còn vì
các cấu kiện không đảm bảo sự ổn định.
Từ bài toán ổn định thanh chịu nén trong miền đàn hồi của Euler, các
nghiên cứu về ổn định đã phát triển sang các kết cấu khác nhau như dầm, dàn,
khung, tấm vỏ…làm việc trong miền đàn hồi cũng như trong miền dẻo, bài toán
tuyến tính cũng như phi tuyến.
Bài toán xác định tải trọng tới hạn đàn hồi của khung đã được Smith &
Merchant thực hiện vào năm 1956 với khung đối xứng một nhịp, nhiều tầng. Năm

Tính toán ổn định khung phẳng bằng phương pháp Phần tử Rời Rạc

–2–

1958, Bowles & Merchant đã đề xuất ra sự chuyển đổi khung phẳng nhiều nhịp
nhiều tầng thành khung một nhịp tương đương. Năm 1961, Timoshenko & Gere
đã giải bài toán khung chữ nhật. Năm 1964, Waters đã giới thiệu những phương
pháp xấp xỉ trực tiếp xác định thông số tải trọng tới hạn đàn hồi của khung chữ
nhật và khung tam giác. Năm 1968, Goidberg đã giải bài toán tải trọng ngang tới
hạn của khung giằng, ông đã đưa ra phương trình tải trọng tới hạn đàn hồi của cột
trung gian trong khung nhiều tầng và xem ảnh hưởng của dầm như độ cứng giằng
trung bình của tầng đó. Năm 1975. Horne giới thiệu phương pháp tính bằng cách
thêm vào một tải trọng ngang tại nut bằng 1% giá trị tải trọng đứng tại tầng đó,
và thực hiện phân tích ổn định đàn hồi tuyến tính của khung. Năm 1979, AlSarraf đã thực hiện một phương pháp tính toán hệ số tải trọng tới hạn nhỏ nhất
của khung chuyển vị ngang và không chuyển vị ngang dựa vào việc xác định các
phương trình đường đàn hồi theo các hàm ổn định không kể đến lực cắt. Năm
1980, Anderson đã sử dụng khung con để tính toán hệ số tải trọng tới hạn mà
Horne đã sử dụng từ trước. Năm 1983, Awadalla giới thiệu một cách tính toán
trực tiếp tải trọng tới hạn đàn hồi mà dựa trên khái niệm kết cấu không bao gồm
các hàm ổn định. Năm 1986, Simitses & Vlahinos phân tích ổn định đàn hồi của
khung một nhịp nhiều tầng dựa vào các độ cứng xoay. Năm 1987, Goto & Chen
đã phân tích đàn hồi bậc hai của các dạng khung. Năm 1990, Williams & Sharp
sử dụng kỹ thuật khung thay thế để tính toán tải trọng tới hạn của khung nhiều
tầng chuyển vị ngang. Năm 1997, Essa đã đưa ra một sự biểu diễn hệ số chiều
dài ảnh hưởng của khung nhiều tầng không giằng. Năm 1998, Lokkas tiếp tục
khảo sát sự làm việc đồng thời của hai mô hình khung chuyển vị ngang và không
chuyển vị ngang, những thou nghiệm cho thấy sự quan trọng là sự tới hạn của cả
hai mô hình xảy ra gần như đồng thời khi hệ đạt tới tải trọng tới hạn. Gần nay
cũng có một số tác giả trong và ngoài nước nghiên cứu, tính toán bài toán ổn định

Tính toán ổn định khung phẳng bằng phương pháp Phần tử Rời Rạc

–3–

khung như Mahfouz, Andrew Whittaker, Vũ Quốc Anh [7], W.Zahlten, S.Du &
B.R.Enlingwood & Felow & J.V.Cox …
Để giải quyết bài toán ổn định, chúng ta có thể vận dụng nhiều cách. Nhưng
nói chung đều dựa một trong ba phương pháp sau:



Các phương pháp tónh học

Nội dung của phương pháp này là tạo cho hệ đang nghiên cứu một dạng cân
bằng lệch khỏi dạng cân bằng ban đầu; xác định giá trị của hệ lực (lực giới hạn)
có khả năng giữ hệ ở trạng thái cân bằng mới.
Trong [4] gới thiệu một số phương pháp tónh học: Phương pháp thiết lập và
giải trực tiếp phương trình vi phân; Phương pháp thiết lập và giải các phương trình
đại số; Phương pháp sai phân; Phương pháp dây xích Hencky; Phương pháp
Galerkin… Trong các phương pháp trên, phương pháp thiết lập và giải trực tiếp
phương trình vì phân được xem là phương pháp chính xác, nhưng do khó khăn về
mặt toán học, nên chỉ giải được những trường hợp đơn giản và được dùng để
kiểm tra tính chính xác của các phương pháp khác.



Các phương pháp năng lượng

Nội dung của phương pháp này là giả thiết trước biến dạng của hệ ở trạng
thái lệch. Từ biến dạng này, ta thiết lập thế năng toàn phần trong hệ. Căn cứ vào
các nguyên lý năng lượng và nguyên lý Dirichlet để xác định lực tới hạn của hệ.

Nếu biến dạng được chọn đúng thì kết quả tìm được là chính xác. Thực tế là
ta không biết được chính xác biến dạng nên kết quả tìm được là gần đúng và ta
không phán đoán được sai số của phương pháp [4]. Độ chính xác phụ thuộc vào
việc chọn trước biến dạng của hệ ở trạng thái lệch.
Một số phương pháp thuộc loại này gồm:

-

Phương pháp áp dụng trực tiếp nguyên lý Dirichlet

-

Phương pháp Ritz

-

Phương pháp Timoshenko

Tính toán ổn định khung phẳng bằng phương pháp Phần tử Rời Raïc


–4–

-

Phương pháp Phần tử Hữu hạn (FEM)

-

Phương pháp Phần tử Rời rạc (DEM)



Các phương pháp động học

Sự cân bằng ổn định được biểu diễn dưới dạng động lực học là tổng quát
hơn cả. Tiêu chuẩn này được xây dựng trên cơ sở nghiên cứu phương trình mô tả
chuyển động của hệ bị lệch khỏi trạng thái ban đầu do một nhiễu loạn nào đó
gây ra. Nếu sau khi nhiễu loạn đó mất đi, hệ dao động tắt dần hay trở về trạng
thái ban đầu mà không dao động thì sự cân bằng là ổn định [4]. Trong điều kiện
tới hạn, tần số dao động riêng của hệ bằng 0.
Phương pháp Động lực học áp dụng các phương pháp nghiên cứu trong
Động lực học công trình để xác định tần số dao động riêng của hệ. Xác định tải
trọng tới hạn từ điều kiện tần số dao động riêng của hệ bằng 0.
Ở đây, luận văn chỉ đề cập đến Phương pháp Phần tử Rời rạc dựa trên cơ sở
năng lượng để giải quyết bài toán ổn định khung phẳng.
Phương pháp Phần tử Rời rạc được sử dụng lần đầu tiên bởi H.Hencky
(1920) khi phân tích ổn định của thanh một đầu ngàm, một đầu tự do chịu tải
trọng tập trung [1], [4]. H.Hencky đã thay thế thanh liên tục này bằng mô hình
dây xích Hencky hay còn gọi là mô hình Phần tử Rời rạc. Ý tưởng ban đầu là
thay thế thanh bằng n đoạn thẳng bằng nhau, được nối với nhau bằng các khớp
đàn hồi (mô hình dây xích) và sử dụng Phương pháp Sai phân Hữu hạn để xác
định lực tới hạn.
Phương pháp Phần tử Rời rạc được giới thiệu trong [1] là một phương pháp
dựa trên cơ sở năng lượng. Mô hình này tương tự như một sợi dây xích bao gồm
những thanh thẳng và cứng (gọi là phần tử) được nối với nhau bởi các khớp
không ma sát. Người ta đặt vào các khớp này các lò xo xoay để tạo cho mô hình
một khả năng chịu uốn, còn các phần tử được xem như một loại ống xếp lồng

Tính toán ổn định khung phẳng bằng phương pháp Phần tử Rời Rạc

–5–

nhau tương tự kính viễn vọng với lò xo tịnh tiến đặt bên trong để tạo cho mô hình
một khả năng chịu kéo nén.
Biến dạng của hệ kết cấu liên tục được biểu diễn bằng hình học vi phân
trong khi đó biến dạng của mô hình Phần tử Rời rạc được biểu diễn bằng hình
học sơ cấp. Do đó sẽ có sai số do việc xấp xỉ một đường cong biến dạng liên tục
của kết cấu bởi một đa giác gồm các đường thẳng của mô hình Phần tử Rời rạc.
Tuy nhiên, nếu số phần tử tăng lên vô hạn thì ứng xử của mô hình Phần tử Rời
rạc sẽ có khuynh hướng giống hệt như kết cấu thực. Ngoài ra, việc biểu diễn biến
dạng bằng quan hệ hình học sơ cấp dẫn đến hệ các phương trình đại số tuyến tính
và việc giải bài toán sẽ đơn giản hơn nhiều.
Với tính chất đó, phương pháp Phần tử Rời rạc không những được sử dụng
trong tính toán ổn định nói chung mà còn được sử dụng trong việc xác định
chuyển vị, nội lực, đặc biệt hiệu quả khi giải hệ siêu tónh. Ngoài ra, phương pháp
Phần tử Rời rạc còn tỏ ra hữu dụng khi khảo sát trạng thái sau mất ổn định của
kết cấu (Postbuckling behavior).
Trong [1], M.S.EL Naschie đã giới thiệu Phương pháp Phần tử Rời rạc và áp
dụng phương pháp này giải một số bài toán như : xác định nội lực, chuyển vị
dầm đơn, tính toán một vài ví dụ ổn định thanh, khung phẳng, tấm … Đối với bài
toán ổn định khung phẳng, ông cũng trình bày một vài dạng khung đơn giản một
nhịp một tầng với số phần tử ít nên kết quả nhận được có độ chính xác thấp và
chỉ mang tính minh hoạ. Ngoài ra, các ví dụ đề cập trong [1] chỉ là những bài toán
riêng lẻ mà chưa đưa ra một công thức tổng quát chung cho bài toán ổn định
khung phẳng.
Trong [2], [3], Nguyễn Thanh Sử đã áp dụng Phần tử Rời rạc của El Naschie
để khảo sát sự ổn định khung phẳng, với các biến số là các góc xoay tương đối
giữa các phần tử, và cho kết quả khả quan. Tuy nhiên, phương pháp được trình

Tính toán ổn định khung phẳng bằng phương pháp Phần tử Rời Raïc


–6–

bày ở [2], [3] vẫn khó áp dụng cho những hệ phức tạp (khung nhiều tầng nhiều
nhịp, khung không gian…), cần có một phương pháp khác có tính tổng quan hơn.
Một số phương pháp tính toán hiện nay như phương pháp giải tích cho kết
quả chính xác nhưng việc tính toán rất phức tạp, phương pháp năng lượng như
phương pháp Phần tử Hữu hạn được ứng dụng rộng rãi trong tính toán cùng với sự
trợ giúp của máy tính, tuy nhiên khá cồng kềnh khi giải quyết một số bài toán
đơn giản và cũng chỉ thu được kết quả gần đúng.
Ngày nay, cùng với sự phát triển không ngừng của khoa học kỹ thuật, vật
liệu ngày càng có cường độ cao, các kết cấu thanh mảnh ngày càng sử dụng
nhiều, đòi hỏi phải tính toán đến ổn định công trình. Bên cạnh đó, một số các
nghiên cứu đã mở rộng sang các vấn đề về ứng xử của kết cấu sau mất ổn định
… Do đó, vấn đề ổn định công trình có ý nghóa rất quan trọng, cần phải có những
nghiên cứu sâu hơn và rộng hơn nữa.
Chính vì vậy, việc tìm hiểu và nghiên cứu một phương pháp mới, đơn gản
hơn, có độ chính xác cao đồng thời có thể phục vụ cho những nghiên cứu mở rộng
khảo sát trạng thái sau mất ổn định của kết cấu là điều cần thiết.
1.2. Khái niệm về sự ổn định – Phân loại ổn định
1.2.1. Khái niệm
Để hiểu rõ hơn về sự ổn định, ta xét sự cân bằng của ba quả cầu ở hình 1.1.
Ta có ba dạng cân bằng:

(a)

(b)

(c)

Hình 1.1 – Các dạng cân bằng

Tính toán ổn định khung phẳng bằng phương pháp Phần tử Rời Rạc


–7–

Hình 1.1a biểu thị dạng cân bằng ổn định, 1.1b biểu thị dạng cân bằng
không ổn định, và 1.1c biểu thị dạng cân bằng phiếm định.
Theo [4], vị trí của công trình hay dạng cân bằng của công trình ở trạng thái
biến dạng được gọi là ổn định nếu như sau khi gây ra cho công trình một độ lệch
nhỏ khỏi vị trí ban đầu bằng một nguyên nhân nào đó rồi bỏ nguyên nhân đó đi
thì công trình có khuynh hướng quay trở về trạng thái ban đầu, còn nếu công trình
không trở về trạng thái ban đầu khi bỏ nguyên nhân đó đi thì trạng thái này gọi là
không ổn định và lúc đó công trình có khuynh hướng chuyển sang vị trí mới hoặc
dạng cân bằng mới.
Như vậy, ta thấy rằng tính chất ổn định của công trình là có giới hạn. Khi sự
ổn định của công trình mất đi thì công trình không có khả năng đảm bảo trạng
thái làm việc bình thường.
Khi công trình chuyển từ trạng thái ổn định sang trạng thái không ổn định thì
công trình được gọi là mất ổn định. Đây là trạng thái tới hạn và tải trọng nhỏ nhất
ứng với trạng thái mất ổn định được gọi là tải trọng tới hạn Pcr.
1.2.2. Phân loại ổn định
Theo [4], ta chia hiện tượng ổn định thành hai trường hợp:
1.2.2.a. Mất ổn định về vị trí
Hiện tượng này xảy ra khi công trình được xem là tuyệt đối cứng không giữ
nguyên trạng thái ban đầu mà chuyển sang một vị trí khác. Đó chính là mất ổn

định lật hay trượt. Ta có thể thấy được dạng mất ổn định ở các công trình đập
tràn, trụ cầu, tháp nước … Khi đó toàn bộ công trình có chuyển vị tịnh tiến hay
chuyển vị xoay hay vừa tịnh tiến vừa xoay.

Tính toán ổn định khung phẳng bằng phương pháp Phần tử Rời Rạc


–8–

1.2.2.b. Mất ổn định về dạng cân bằng



Loại 1
Khi tải trọng còn nhỏ sẽ gây ra biến dạng ban đầu trong hệ. Nhưng khi tải

trọng đạt tới một giá trị nào đó thì hệ sẽ chuyển sang dạng biến dạng mới có tính
chất khác với biến dạng ban đầu.
Hiện tượng mất ổn định loại này được gọi là hiện tượng mất ổn định Euler
mà theo [4] có các tính chất sau:

-

Dạng cân bằng của hệ có khả năng phân nhánh

-

Khi vượt qua tải trọng tới hạn sẽ có khả năng phát sinh dạng cân bằng
mới, khác dạng trước về tính chất.

-

Trước trạng thái tới hạn thì dạng cân bằng ban đầu của hệ là duy nhất
và ổn định, sau trạng thái tới hạn thì dạng cân bằng ban đầu của hệ là
không ổn định.

Để thấy rõ hiện tượng này, ta xét bài toán ổn định thanh chịu nén đúng tâm
của Euler:




(a) Sơ đồ thanh chịu nén đúng tâm

(b) Dạng phân nhánh cân bằng

Hình 1.2 – Thanh chịu nén đúng tâm

-

Khi P < Pcr, nếu có một lực nhiễu loạn nhỏ R làm thanh bị uốn cong
nhưng khi bỏ nhiễu loạn R thì thanh trở về trạng thái ban đầu. Đó là
cân bằng ổn định ứng với đoạn OA, hình 1.2b

Tính toán ổn định khung phẳng bằng phương pháp Phần tử Rời Rạc


–9–

-

Khi P = Pcr, dạng cân bằng bị phân nhánh thành hai dạng, ngoài ra
trạng thái cân bằng chịu nén còn có khả năng xuất hiện trạng thái cân
bằng uốn dọc khi có nhiễu loạn R. Trạng thái này tương ứng với điểm
A trên hình 1.2b.

-

Khi P > Pcr, trạng thái cân bằng chịu nén vẫn tồn tại song không ổn
định (tương ứng nhánh AB). Nếu cho một nhiễu loạn R tác dụng tại
điểm đặt lực P theo phương ngang thì thanh uốn cong và khi R không
tác dụng nữa thì thanh không trở về trạng thái biến dạng ban đầu mà
sẽ chuyển sang trạng thái cân bằng uốn dọc nếu biến dạng của thanh
là hữu hạn. Dạng cân bằng này tương ứng với nhánh AC và AD trên
hình 1.2b



Loại 2
Lúc tải trọng ban đầu nhỏ sẽ gây ra biến dạng ban đầu trong hệ và khi tải

trọng đạt một giá trị nào đó thì biến dạng của hệ phát triển rất nhanh nhưng tính
chất của biến dạng không đổi. Đặc trưng của hiện tượng mất ổn định loại này như
sau :

-

Dạng cân bằng của hệ không phân nhánh.

-

Biến dạng và dạng cân bằng của hệ không thay đổi về tính chất.

Ta chủ yếu nghiên cứu dạng mất ổn định loại 1 vì khi xác định khả năng
chịu lực của các cấu kiện chịu uốn nén đồng thời, ta cần phải biết giá trị tới hạn
của lực dọc trong cấu kiện đó tương ứng với sự mất ổn định loại 1 nên việc
nghiên cứu hiện tượng mất ổn định loại 1 có ý nghóa về mặt lý thuyết và thực tế.

Tính toán ổn định khung phẳng bằng phương pháp Phần tử Rời Rạc


– 10 –

1.3. Nhiệm vụ và nội dung của luận án
1.3.1. Mục đích luận văn
Trên cơ sở lý thuyết tổng quát về sự cân bằng ổn định của hệ đàn hồi, sử
dụng phương pháp năng lượng, trên cơ sở phương pháp Phần tử Rời rạc được trình
bày trong [1], [2], [3], luận văn đề xuất phương pháp Phần tử Rời rạc biến thể
(Modified DEM) và phương pháp Phần tử Dây xích (Chain Element Method –
CEM), ứng dụng các phương pháp này trong việc xác định nội lực và khảo sát ổn
định khung phẳng có liên kết và nửa cứng.
Luận văn đề cập đến những vấn đề sau:

-

Thiết lập các công thức tính toán cho phương pháp Phần tử Rời rạc
biến thể sử dụng mô hình chuyển vị trong bài toán tính nội lực và ổn
định.

-

Sử dụng phương pháp Phần tử Rời rạc biến thể để tính toán ổn định
khung phẳng có các liên kết cứng và liên kết nửa cứng.

-

Thiết lập các công thức tính toán cho phương pháp Phần tử Dây xích sử
dụng mô hình chuyển vị trong bài toán tính nội lực và ổn định.

-

Lập chương trình tính toán ổn định khung phẳng dựa trên phương pháp
Phần tử Rời rạc, Phần tử Dây xích, Phần tử Hữu hạn để tiến hành khảo
sát một số bài toán ổn định khung phẳng cụ thể.

1.3.2. Nội dung tóm tắt của luận văn
Luận văn bao gồm sáu chương:

-

Chương Một: Giới thiệu tổng quan về lịch sử phát triển của ổn định
công trình, các phương pháp tính toán ổn định, tính cấp thiết của đề tài,
khái niệm, phân loại ổn định.

-

Chương Hai: trình bày lý thuyết cơ bản về công, công ngoại lực, công
nội lực, các định lý năng lượng, nguyên lý thế năng toàn phần dừng,

Tính toán ổn định khung phẳng bằng phương pháp Phần tử Rời Rạc

– 11 –

việc thay thế kết cấu đàn hồi bằng mô hình lò xo tương đương. Giới
thiệu phương pháp Phần tử Rời rạc của El Naschie và những vấn đề
tồn tại cần khắc phục, trên cơ sở đó nêu lên các hiệu chỉnh phương
pháp Phần tử Rời rạc của luận văn.

-

Chương Ba: Thiết lập các công thức tính toán nội lực và ổn định khung
phẳng bằng phương pháp Phần tử Rời rạc biến thể (gọi tắt là phương
pháp Phần tử Rời rạc – DEM) sử dụng mô hình chuyển vị.

-

Chương Bốn: Thiết lập các công thức tính toán nội lực và ổn định
khung phẳng bằng phương pháp Phần tử Dây xích sử dụng mô hình
chuyển vị.

-

Chương Năm: Giới thiệu tổng quan về chương trình Matlab 6.0. Thiết
lập các chương trình tính toán ổn định khung phẳng theo phương pháp
Phần tử Rời rạc, Phần tử Dây xích, Phần tử Hữu hạn. Tiến hành khảo
sát một số bài toán ổn định khung phẳng cụ thể.

-

Chương Sáu: Các kết luận và kiến nghị của tác giả luận văn

Đồng thời, phần Phụ lục của luận văn sẽ trình bày các chương trình tính
toán được sử dụng trong luận văn.
1.3.3. Các giả thiết sử dụng trong luận văn

-

Vật liệu là đồng nhất và tuân quy luật ứng xử đàn hồi của định luật
Hooke.

-

Các thanh của khung xem như không co giãn được, khoảng cách giữa
các nút khung trước và sau biến dạng xem như không đổi.

-

Tải trọng bảo toàn dưới dạng lực tập trung đặt tại các nút của cột và
dầm.

Tính toán ổn định khung phẳng bằng phương pháp Phần tử Rời Rạc


– 12 –

CHƯƠNG II


CƠ SỞ LÝ THUYẾT

2.1. Công – Năng lượng
2.1.1. Công của ngoại lực
Xét một vật thể chịu tác động của lực P, chuyển động theo phương của lực P
những đoạn x vô cùng bé:









Không ma sát

Hình 2.1 – Công của ngoại lực
Giả thiết rằng lực P là hằng số trong các gia số chuyển động x vô cùng bé.
Công do lực P sinh ra trong từng đoạn x là:
A  Px

(2.1)

Công do lực P sinh ra trong khoảng chuyển động L là:
A   A   Px

Khi x  0 thì ta có sự thay thế x  dx ,

(2.2)



  . Khi đó, công A được biểu

diễn lại là:
A   P x dx
L

0

Tính toán ổn định khung phẳng bằng phương pháp Phần tử Rời rạc

(2.3)


– 13 –

2.1.2. Biểu diễn hình học của công – Nguyên lý cộng tác dụng
Vẽ biểu đồ P – x, ta có:

Hình 2.2 – Biểu diễn hình học của công
Ta biết rằng biểu thức A   P x dx biểu diễn diện tích của hình thang cong

được giới hạn bởi đường P x  và đoạn dx như hình vẽ. Nếu P x   kx là đường
thẳng (quan hệ giữa tải trọng và chuyển vị là tuyến tính, k là hằng số) thì ta có
biểu diễn hình học của công sẽ là một tam giác:
A

1
1

Px  kx 2
2
2

(2.4)

Trong trường hợp này, nếu có lực P1 gây ra một chuyển vị x1, lực P2 gây ra một
chuyển vị x2 thì hợp lực P1 + P2 sẽ gây ra một chuyển vị x1 + x2. Đó chính là
nguyên lý cộng tác dụng khi quan hệ tải trọng – chuyển vị là tuyến tính.
2.2. Nội lực – Năng lượng biến dạng
2.2.1. Định nghóa nội lực
Ta biết rằng trong vật thể luôn có các lực liên kết giữa các phần tử vật chất.
Khi có ngoại lực tác dụng, các phần tử vật chất có khuynh hướng thay đổi vị trí là
cho vật thể bị biến dạng. Khi đó, lực liên kết sẽ tăng lên để chống lại biến dạng
này. Độ gia tăng của lực liên kết giữa các phần tử vật chất gọi là nội lực. Cường

Tính toán ổn định khung phẳng bằng phương pháp Phần tử Rời rạc


– 14 –

độ nội lực trên một đơn vị diện tích tại một điểm được gọi là ứng suất tại điểm đó
[8], [9].
Ứng suất tại các điểm khác nhau là khác nhau và được xác định bởi trạng
thái ứng suất tại điểm đó. Trạng thái ứng suất tại một điểm là tập hợp tất cả các
giá trị ứng suất tác dụng lên mặt cắt qua điểm khảo sát.
Quan hệ giữa ứng suất – biến dạng trong giai đoạn đàn hồi được biểu diễn
qua định luật Hooke [9]:

   C  

Trong đó:

(2.5)

  là vectơ biến dạng.
  là vectơ ứng suất.

C  là ma trận các hệ số đàn hồi là các hằng số.

Đối với phần tử thanh dầm, do kích thước mặt cắt ngang rất bé so với chiều
dài thanh dầm nên ta sử dụng các ứng suất đã được tổng quát hoá, bao gồm:



Lực dọc (N) là thành phần lực hướng vuông góc với mặt cắt ngang của
cấu kiện.



Lực cắt (Q) là thành phần lực tiếp xúc với mặt cắt ngang của cấu kiện.



Moment uốn (M) là thành phần làm cho cấu kiện xoay chung quanh
trục thuộc mặt phẳng của mặt cắt ngang của cấu kiện đó.



Moment xoắn (MT) là thành phần làm cho cấu kiện xoay chung quanh

trục vuông góc với mặt cắt ngang của cấu kiện đó.

2.2.2. Công của nội lực – Năng lượng biến dạng
Khi hệ chịu tác động của ngoại lực thì hệ sẽ bị biến dạng. Khi ngoại lực thôi
không tác dụng nữa thì hệ có xu hướng khôi phục lại kích thước và hình dáng ban
đầu. Như vậy, công của ngoại lực đã chuyển hoá thành một dạng năng lượng tích
luỹ trong hệ, được gọi là thế năng biến dạng đàn hồi.

Tính toán ổn định khung phẳng bằng phương pháp Phần tử Rời rạc


– 15 –

Ta có thể xác định thế năng biến dạng đàn hồi tích luỹ trong hệ qua việc
xác định công của ngoại lực tác động lên hệ qua công thức:
UA

(2.6)

Với U là năng lượng biến dạng tích luỹ trong hệ, A là công của ngoại lực tác
động lên hệ. Hoặc ta cũng có thể xác định thế năng biến dạng đàn hồi tích luỹ
trong hệ thông qua nội lực và biến dạng phát sinh trong hệ trong quá trình hệ chịu
tác động của ngoại lực. Đối với thanh dầm, theo [8] ta coù:
U

1 M2
1 N2
1
Q2
dx


dx


dx
2  EI
2  EA
2  GA

(2.7)

Đối với bài toán khung, ảnh hưởng của lực dọc và lực cắt đến chuyển vị là không
đáng kể, nên thế năng biến dạng đàn hồi tích luỹ trong hệ sẽ có dạng gần đúng
là:
1 M2
U 
dx
2 EI

(2.8)

2.3. Lò xo xoay – Năng lượng tích luỹ trong lò xo xoay
2.3.1. Lò xo xoay – Sự làm việc của lò xo xoay
Lò xo xoay là một kết cấu đã được lý tưởng hoá, chỉ có thể chống lại
moment tác động lên nó, không có khả năng chống lại tác dụng của lực dọc, lực
cắt. Mô hình của lò xo xoay được biểu diễn như hình 2.3




Hình 2.3 – Lò xo xoay, mô hình và sự làm việc
Mối quan hệ giữa moment M phát sinh trong lò xo xoay với góc xoay tỷ đối

 được cho bởi công thức sau:
M  CM

Tính toán ổn định khung phẳng bằng phương pháp Phần tử Rời rạc

(2.9)


– 16 –

Với quy ước M dương khi tác dụng ngược chiều kim đồng hồ,  dương khi xoay
ngược chiều kim đồng hồ.
Hệ số CM được gọi là độ cứng của lò xo. CM là một hàm của . Nhưng trong
lò xo xoay đàn hồi và tuyến tính, tức là lò xo tuân theo định luật Hooke, thì CM là
hằng số. Trong phạm vi luận án này, ta chỉ sử dụng lò xo xoay đàn hồi và tuyến
tính, và ký hiệu tắt CM là C.
2.3.2. Năng lượng tích luỹ trong lò xo xoay
Xét một lò xo xoay chịu một lực P tác động như hình 2.3. Vì hệ cân bằng
nên ta có:
M  C  PL  P 

C

L

(2.10)

Vì lực P luôn vuông góc với trục nối giữa lò xo và điểm đặt lực nên quãng
đường mà lực P sinh công chính là cung tròn vẽ bởi điểm đặt lực P trong quá trình
chuyển động. Công của lực P sinh ra laø:
A   Pdx 

1
1
C
Ld  C  d  C 2  M

L
2
2

(2.11)

Theo định luật bảo toàn và chuyển hoá năng lượng, nếu không có sự mất
mát năng lượng, thì công do lực P sinh ra sẽ chuyển hoá thành năng lượng tích
luỹ trong lò xo xoay. Vậy, năng lượng tích luỹ trong lò xo xoay là:
U

1
1
C 2  M
2
2

(2.12)

2.4. Các nguyên lý năng lượng – Biểu hiện sự cân bằng ổn định dưới dạng

năng lượng
2.4.1. Nguyên lý thế năng toàn phần dừng [9]
Thế năng toàn phần  của một hệ đàn hồi được xác định như sau:
 U  A

(2.13)

Theo [9], trong tất cả các trường chuyển vị khả dó động (tức thoả mãn các
điều kiện tương thích và điều kiện biên động học), trường chuyển vị thực (tức
Tính toán ổn định khung phẳng bằng phương pháp Phần tử Rời rạc


– 17 –

trường chuyển vị ứng với sự cân bằng của vật thể) sẽ làm cho thế năng toàn phần

 đạt giá trị dừng. Như vậy, khi vật thể cân bằng thì:
   U   A  0

(2.14)

2.4.2. Biểu hiện sự cân bằng ổn định dưới dạng năng lượng
Xét ba quả cầu nằm trên các mặt đỡ như hình 2.4

(a)

(b)

(c)

Hình 2.4 – Các trạng thái cân bằng
Bằng trực quan ta thấy, trường hợp (a), quả cầu ở trong trạng thái cân bằng
ổn định, trường hợp (b), quả cầu ở trong trạng thái cân bằng không ổn định, còn
trong trường hợp (c), quả cầu ở trong trạng thái cân bằng phiếm định hay cân
bằng trung tính. Khảo sát năng lượng của các hệ, ta thấy ở trường hợp (a), bất kì
sự chuyển dịch nào của quả cầu ra khỏi vị trí cân bằng đều làm cho trọng tâm
của quả cầu được nâng cao thêm. Để tạo ra chuyển dịch ấy, ta phải tiêu tốn một
lượng công nào đó. Vậy thế năng của hệ tăng lên ứng với bất kì sự chuyển dịch
nhỏ nào ra khỏi vị trí cân bằng. Trong trường hợp (b), mọi chuyển dịch bất kì ra
khỏi vị trí cân bằng đều làm hạ thấp trọng tâm của quả cầu và làm giảm thế năng
của hệ. Như thế, ở trạng thái cân bằng ổn định, thế năng của hệ là cực tiểu, còn ở
trạng thái cân bằng không ổn định, thế năng của hệ là cực đại. Nếu trạng thái cân
bằng là phiếm định (trường hợp (c)), thì trong quá trình chuyển dịch, năng lượng
của hệ không có gì thay đổi [1], [4].
Tổng quát hoá những nhận định trên, ta có nguyên lý Dirichlet được phát
biểu như sau: Nếu hệ ở trạng thái cân bằng ổn định thì thế năng toàn phần đạt
giá trị cực tiểu so với tất cả các vị trí của hệ ở lân cận vị trí ban đầu với những
Tính toán ổn định khung phẳng bằng phương pháp Phần tử Rời rạc


– 18 –

chuyển vị vô cùng bé; nếu hệ ở trạng thái cân bằng không ổn định thì thế năng
toàn phần đạt giá trị cực đại còn nếu hệ ở trạng thái cân bằng phiếm định thì thế
năng toàn phần không đổi [4], [9].
Sự biến thiên thế năng toàn phần của hệ khi chuyển từ trạng thái đang xét
sang trạng thái lân cận như sau:
   U   A

(2.15)

Theo nguyên lý Dirichlet thì:
U  A thì hệ cân bằng ổn định
U  A thì hệ cân bằng không ổn định
U  A thì hệ cân bằng phiếm định

Vậy, ta đi tìm lực tới hạn theo phương trình:
U   A

(2.16)

2.5. Phương pháp Phần tử Rời rạc
2.5.1. Mô hình phương pháp Phần tử Rời rạc của El Naschie
Ý tưởng cơ bản của phương pháp Phần tử Rời rạc được El Naschie trình bày
trong [1] là xấp xỉ đường đàn hồi của hệ thành n thanh cứng nối với nhau bởi các
lò xo xoay. Mô hình của phương pháp được biểu diễn qua hình 2.5


x

i+
i

(x)

1

Hình 2.5 – Mô hình Phần tử Rời rạc
Tính toán ổn định khung phẳng bằng phương pháp Phần tử Rời rạc