Trường vô hướng hấp dẫn với hằng số hấp dẫn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

PHẠM THỊ KIM THOA

TRƢỜNG VÔ HƢỚNG HẤP DẪN
VỚI HẰNG SỐ HẤP DẪN



LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2012

1


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

PHẠM THỊ KIM THOA

TRƢỜNG VÔ HƢỚNG HẤP DẪN
VỚI HẰNG SỐ HẤP DẪN 

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số

: 60. 44. 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. PHAN HỒNG LIÊN

Hà Nội – 2012

2


MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 3

Chƣơng 1:............................................................................................................. 6
BẤT BIẾN TƢƠNG ĐỐI RỘNG VÀ TƢƠNG TÁC HẤP DẪN
1.1. Metric Minkowski và Bất biến Lozentz ....................................................... 10
1.1.1. Metric Minkowski ......................................................................... 10
1.1.2. Bất biến Lorentz ............................................................................. 12
1.2. Bất biến tương đối rộng và Metric Riemann ............................................... 14
1.2.1. Tensor ............................................................................................. 15
1.2.2. Metric Riemann không – thời gian cong ....................................... 19
1.3. Tensor độ cong ............................................................................................. 25
1.4. Trường hấp dẫn ............................................................................................ 28
1.5. Phương trình Einstein và tác dụng bất biến ................................................. 29

Chƣơng 2 ........................................................................................................... 38
NGUYÊN LÝ ĐỐI NGẪU HIỆP BIẾN TỔNG QUÁT
VÀ CÁC TRƢỜNG VÔ HƢỚNG HẤP DẪN

2.1. Hình thức luận Tetrad ................................................................................. 38
2.1.1. Tetrad ............................................................................................. 38
2.1.2. Mối liên hệ giữa Metric và Tetrad ................................................ 40
2.1.3. Nguyên lý bất biến ........................................................................ 42
2.1.4. Biểu thức của Tetrad ..................................................................... 43
2.2. Tính đối ngẫu hiệp biến tổng quát ............................................................... 45

3


2.3. Các phương trình của trường vơ hướng hấp dẫn ......................................... 48

Chƣơng 3:........................................................................................................... 51
VỀ HẰNG SỐ HẤP DẪN VŨ TRỤ Λ
3.1. Về hằng số hấp dẫn vũ trụ Λ ........................................................................ 51
3.2. Các quan sát bằng chứng cho sự gia tốc Vũ trụ ........................................... 57
KẾT LUẬN ....................................................................................................... 62
TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………….63

4


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Tương tác cơ bản hay lực cơ bản là các loại lực của tự nhiên mà tất cả mọi
lực, khi xét chi tiết, đều quy về các loại lực này. Mơ hình vật lý hiện đại cho thấy có
bốn loại tương tác cơ bản trong tự nhiên: tương tác hấp dẫn, tương tác điện từ,
tương tác mạnh và tương tác yếu.
Cuối thập niên 1960, người ta đã thống nhất được tương tác điện từ và tương
tác yếu trong mơ hình Glashow- Weinberg- Salam (lý thuyết điện yếu). Về sau, mơ

hình này kết hợp thêm với tương tác mạnh, ta có mơ hình chuẩn (Standard model)
[5]. Tương tác hấp dẫn hiện vẫn đang bị nằm ngoài sự thống nhất này.
Tương tác hấp dẫn là sự hút lẫn nhau giữa bất kì hai vật thể vật lí nào, do liên
quan với khối lượng của chúng gây ra. Tương tác hấp dẫn được thực hiện qua một
thực thể trung gian là trường hấp dẫn lan truyền (sóng hấp dẫn) với vận tốc hữu hạn.
Trong trường hấp dẫn yếu, các vật thể chuyển động chậm so với vận tốc ánh sáng
(c) thì định luật vạn vật hấp dẫn của Newton có hiệu lực. Với các trường hấp dẫn
mạnh và vật thể có vận tốc gần bằng c thì phải sử dụng Thuyết tương đối tổng quát
của A. Einstein. Tương tác hấp dẫn là tương tác yếu nhất trong tất cả các tương tác
giữa các hạt cơ bản, nhưng lại là nguyên nhân chi phối chuyển động của các thiên
thể. Trên Trái Đất, tương tác hấp dẫn là nguyên nhân tạo nên trọng lượng của các
vật, giữ cho các vật không rời khỏi mặt đất. Trong cơ học cổ điển, lực hấp dẫn xuất
hiện như một ngoại lực tác động lên vật thể. Trong thuyết tương đối rộng lực hấp
dẫn là bản chất của không – thời gian bị uốn cong bởi sự hiện diện của khối lượng,
và không phải là một ngoại lực. Trong thuyết hấp dẫn lượng tử, hạt graviton được
cho là hạt truyền tương tác của lực hấp dẫn.
Nếu như Isaac Newton là người tìm ra Định luật vạn vật hấp dẫn vũ trụ nổi
tiếng thế kỷ thứ XVII thì đầu thế kỷ thứ XX, Albert Einstein đã phát minh ra Thuyết
tương đối hẹp (1905) và mở rộng thành Thuyết tương đối tổng quát (1916) đặt nền
móng cho Lý thuyết hấp dẫn lượng tử. Cho đến nay Hấp dẫn lượng tử và sự thống
nhất bốn loại tương tác vẫn là một vấn đề lớn của Vật lý học thế kỷ 21.
Einstein đã xây dựng Lý thuyết tương đối tổng quát (còn được gọi là Lý
thuyết tương đối rộng) là một lý thuyết về trường hấp dẫn. Theo lý thuyết tương đối

5


rộng, các vật hút nhau được là do sự uốn cong của không – thời gian và vật chất là
yếu tố quyết định sự cong này. Nó có thể được coi là phần bổ sung và mở rộng của
lý thuyết hấp dẫn của Newton ở tầm vĩ mô và với vận tốc lớn.

Hình ảnh hai chiều về sự biến dạng của không – thời gian.

Lý thuyết tương đối rộng của Einstein đã có rất nhiều đóng góp cho Vật lý,
giải thích được chuyển động của điểm cận nhật sao Thủy, tiên đoán được sự lệch tia
sáng khi đi gần Mặt Trời. Sau đó ơng cịn sử dụng lý thuyết này để mơ tả mơ hình
cấu trúc của tồn thể vũ trụ khi cho xuất hiện thêm hằng số vũ trụ Λ vào phương
trình trường của mình. Mặc dù những nghiên cứu ngay sau đó đã bác bỏ hằng số
này và chính bản thân Einstein cũng bác bỏ nó nhưng những nghiên cứu trong vài
thập niên nay lại thấy cần thiết nhắc lại hằng số này.
Xuất phát từ những vấn đề đề cập ở trên, chúng tôi nhận thấy đề tài “ Trường
vô hướng hấp dẫn với hằng số hấp dẫn vũ trụ  ” là một vấn đề hay và thời sự nên
muốn tìm hiểu, nghiên cứu.
2. Mục tiêu đề tài và phƣơng pháp nghiên cứu
Mục tiêu
Nghiên cứu phương trình trường của Einstein khi có mặt hằng số vũ trụ  để
dự đoán về sự tồn tại của một trường vô hướng mà khối lượng liên quan đến hằng
số hấp dẫn vũ trụ  được nói ở trên, đồng thời bước đầu tìm hiểu về hằng số hấp
dẫn vũ trụ  theo quan điểm của Vũ trụ học ngày nay.
Phƣơng pháp nghiên cứu
Luận văn được nghiên cứu dựa trên cơ sở lý thuyết tương đối rộng của
Albert Einstein xây dựng cùng với nền tảng tốn học cho nó là hình học Riemann

6


trong khơng-thời gian 4 chiều Minkowski. Từ hình thức luận Tetrad xét trường vô
hướng hấp dẫn liên quan đến hằng số hấp dẫn vũ trụ  .
3. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần Mở đầu và phần Kết luận, Tài liệu tham khảo, cấu trúc của luận

văn gồm 3 chương:
Chương I. Giới thiệu tổng quan về lý thuyết tương đối tổng quát của
Einstein và tương tác hấp dẫn.
Chương II. Nghiên cứu về hình thức luận tetrad, tính đối ngẫu hiệp biến
tổng qt, trên cơ sở đó xây dựng các phương trình cho trường vơ hướng hấp dẫn.
Chương III. Trình bày khái quát về hằng số hấp dẫn vũ trụ liên quan tới
những giải thích của Vũ trụ học về giãn nở vũ trụ.

7


CHƢƠNG 1
BẤT BIẾN TƢƠNG ĐỐI RỘNG VÀ TƢƠNG TÁC HẤP DẪN
Khi đề cập đến những khoảng cách lớn, vận tốc lớn thì những định luật mà ta
đã biết trong cơ học cổ điển khơng cịn áp dụng được nữa. Nói cụ thể hơn, quan hệ
giữa không gian, thời gian, vật chất, vận động trở nên khác đi, khơng cịn đơn giản
như trước đây.
Cơ học cổ điển được mở rộng ra để áp dụng cho phạm vi mới: đó là mơn Cơ
học tương đối tính, tức là mơn cơ học có kể đến các hiệu ứng của thuyết tương đối.
Cha đẻ của lý thuyết này là nhà bác học người Đức Albert Einstein [7].
Thuyết tương đối đặc biệt (hẹp) dựa trên hai nguyên lý cơ bản mà Einstein
nêu ra (1905), trên cơ sở kết quả thực nghiệm của Mikenson về sự khơng phụ thuộc
vào hệ quy chiếu qn tính của vận tốc ánh sáng trong chân khơng và các thí
nghiệm khác trong thiên văn trước đó, là như sau:
1. Các quy luật vật lí học cơ bản đều diễn ra như nhau trong hệ quy chiếu
qn tính (ngun lí tương đối).
Nói cách khác, các phương trình mơ tả các định luật vật lí bất biến đối với
phép biến đổi tọa độ và thời gian từ hệ quán tính này sang hệ qn tính khác (hệ
quy chiếu khơng gia tốc). Tổng qt hơn nguyên lí Galilei trong cơ học cổ điển, ở
đây không những chỉ các định luật cơ học, mà cả các định luật vật lí đều bất biến

trong các hệ quy chiếu quán tính.
2. Vận tốc ánh sáng (vận tốc truyền tương tác) trong chân không đều bằng
nhau đối với mọi hệ quy chiếu qn tính, giá trị của nó bằng

c  2,99793.108 m / s  3.108 m / s.
Cũng cần nói rõ thêm là ánh sáng với góc độ hạt là các photon không khối
lượng, các photon này luôn luôn chuyển động với vận tốc tối đa c, khơng phụ thuộc
vào người quan sát. Nói rộng hơn, các hạt có khối lượng m=0 đều chuyển động với

8


vận tốc c. Cịn những hạt có khối lượng m  0 sẽ chuyển động với vận tốc V luôn
luôn nhỏ hơn c, dù có thể rất gần với c.
Phép biến đổi tọa độ và thời gian từ hệ quán tính này sang hệ quán tính khác
chính là phép biến đổi Lorentz [1].
Thuyết tương đối hẹp đã loại bỏ khỏi khoa học các khái niệm không gian
tuyệt đối, thời gian tuyệt đối, và ête đứng yên trong không gian tuyệt đối. Nó đã mở
rộng ngun lí tương đối Galilei (các quy luật cơ bản của cơ học đều diễn ra như
nhau trong các hệ quy chiếu quán tính khác nhau) thành nguyên lí tương đối
Einstein (Các quy luật vật lí học cơ bản đều diễn ra như nhau trong hệ quy chiếu
quán tính). Einstein là người tin tưởng mãnh liệt vào tính quy luật và tính thống
nhất của thiên nhiên. Ơng đã nêu lên rằng trong thiên nhiên khơng có cái gì là tùy
tiện, thiên nhiên tuân theo một số không nhiều các quy luật rất tổng quát và rất đơn
giản, lí tưởng cao nhất của khoa học là xuất phát từ những quy luật bộ phận có vẻ
như rời rạc, lẻ tẻ, phải tìm ra những quy luật tổng quát nhất đó. Với tư tưởng đó,
ngay sau khi xây dựng được những luận điểm cơ bản của thuyết tương đối hẹp, ơng
đã tiếp tục suy nghĩ tìm cách mở rộng lí thuyết của mình, cụ thể là mở rộng nguyên
lí tương đối thêm một mức nữa và áp dụng nó cho các hệ quy chiếu khơng qn
tính. Einstein tiếp tục nghiên cứu phát triển những ý tưởng trên, và xây dựng một lí

thuyết mới mà ơng gọi là thuyết tương đối rộng (thuyết tương đối tổng quát).
Dựa trên hai định luật: định luật vạn vật hấp dẫn của Newton F 

12
r2

, với

 là khối lượng hấp dẫn và định luật Newton thư hai F  m , với m là khối lượng
quán tính – một quy luật thiên nhiên cơ bản được xác lập bằng thực nghiệm là đối
với mọi vật tỉ lệ giữa khối lượng hấp dẫn  và khối lượng quán tính m là như nhau:


m

là một hằng số nào đấy. Người ta mở rộng tính chất cơ bản của trường hấp dẫn:

tất cả các vật, không phụ thuộc vào khối lượng của chúng, chuyển động trong
trường hấp dẫn đều giống nhau (với các điều kiện ban đầu cho trước). Sự đồng nhất

9


của khối lượng hấp dẫn và khối lượng quán tính, cũng như tính chất nêu trên dẫn
đến một hệ quả sâu sắc đã được Einstein lấy làm cơ sở của lý thuyết tương đối rộng.
Đó là nguyên lý tương đương:
Nguyên lý. Các tính chất của chuyển động trong hệ quy chiếu khơng qn
tính cũng giống như trong hệ qn tính với sự có mặt của trọng trường. Nói một
cách khác, hệ quy chiếu khơng qn tính tương đương với một trọng trường (trường
hấp dẫn) nào đó.

Điều này có nghĩa là thiết lập được sự tương tự giữa chuyển động của các vật
trong trọng trường với chuyển động của các vật không đặt trong một ngoại trường
nào, nhưng được khảo sát dưới quan điểm của hệ quy chiếu khơng qn tính. Chú ý
rằng các trường tương đương với hệ quy chiếu khơng qn tính khơng hồn tồn
đồng nhất với các trường hấp dẫn “thực”, tồn tại ngay cả trong hệ quán tính. Trường
tương đương với hệ quy chiếu khơng qn tính sẽ biến mất khi ta chuyển về hệ
quán tính [1].
Mối quan hệ giữa vật chất với không- thời gian là nội dung cơ bản của thuyết
tương đối tổng quát, mà Einstein hồn thành vào năm 1915. Ở đây ơng đã sử dụng
rộng rãi những khái niệm cơ bản và công cụ tốn học của hình học Riemann. Trong
trường hấp dẫn bất kì (biến thiên theo tọa độ và thời gian), thì trong một miền
khơng gian dV và một khoảng thời gian dt vơ cùng nhỏ, bao giờ ta cũng có thể chọn
được một hệ tọa độ H 0 tương đương với một hệ qn tính ở nơi khơng có trường
hấp dẫn. Đối với hệ H 0 đó thì khoảng cách giữa hai điểm lân cận trong không gian
4 chiều được xác định bởi:

dS 2  dx12  dx22  dx32  dx42
Đối với mọi hệ tọa độ H khác thì dS được xác định bởi một hệ thức phức tạp
hơn:
4

dS 2   gik dxi dxk
i ,k 1

10


Mặc dù biểu thức của dS là khác nhau trong các hệ tọa độ khác nhau, nhưng
bản thân dS có giá trị không đổi, không phụ thuộc cách chọn hệ tọa độ, và là một
bất biến với mỗi điểm của không gian 4 chiều. Trong tất cả các hệ H (trừ hệ H 0 ),

các hiện tượng vật lí diễn ra khơng giống nhau như trong các hệ qn tính. Theo cơ
học Newton, đó là do tác dụng của trường hấp dẫn. Theo thuyết tương đối rộng, đó
là do khơng gian 4 chiều bị cong đi. Tensor G gọi là tensor metric, xác định độ cong
của không gian 4 chiều tại từng điểm của nó. Ở miền có trường hấp dẫn lớn thì
khơng gian bị cong nhiều. Ở miền khơng có trường hấp dẫn thì khơng gian là
phẳng. Ở miền có trường hấp dẫn yếu thì khơng gian được coi gần đúng là phẳng.
Trường hấp dẫn là yếu khi nó làm cho các vật rơi tự do với vận tốc v<nghĩa đó thì khơng gian ở lân cận Trái Đất được coi là không gian phẳng. Không
gian 4 chiều phẳng bao gồm không gian 3 chiều Ơclit và thời gian trôi đều đặn như
trên Trái Đất. Không gian 4 chiều cong bao gồm không gian 3 chiều phi Ơclit và
thời gian trôi chậm hơn. Không gian 4 chiều càng cong nhiều thì hình học của nó
càng khác xa hình học Ơclit, và thời gian càng chậm hơn thời gian trên Trái Đất.
Như vậy thuyết tương đối rộng nêu lên rằng trường hấp dẫn có tác dụng làm cho
khơng gian 4 chiều cong đi. Người ta còn gọi thuyết này là lí thuyết trường hấp dẫn
tương đối tính, là một bước mở rộng lí thuyết trường hấp dẫn của Newton, có kể
đến các hiệu ứng của thuyết tương đối [8].

11


1.1. Metric Minkowski và Bất biến Lozentz
Một trong những phát minh quan trọng nhất của Vật lí học vào khoảng đầu
thế kỉ 20 là tính chất sóng và hạt của ánh sáng, thể hiện trong luận thuyết của Planck
đưa ra năm 1900 về lượng tử ánh sáng. Đó chính là tiền đề cho một nguyên lý cơ
bản của Cơ lượng tử- tính đối ngẫu của vật chất do De Broglie đề xướng năm 1924
nhằm tổng quát hóa ý tưởng của Planck, khẳng định rằng mọi vật thể vi mô đều tự
thể hiện đồng thời với hai tính chất tương phản nhau là sóng và hạt. Ánh sáng là
sóng điện từ đồng thời cũng là dịng hạt photon. Ta nói rằng hạt photon tương ứng
với trường điện từ và các lượng tử của trường điện từ chính là các hạt photon. Một
cách tổng qt, bất kì một hạt vi mơ nào cũng tương ứng với một trường và các

lượng tử của trường này chính là các hạt đó.
Mỗi trường đều được mô tả bằng một hàm  ( x) phụ thuộc vào tọa độ khôngthời gian x gọi là hàm trường, nói chung hàm trường có thể là hàm phức nhiều
thành phần, do đó để tổng quát hóa ta viết i ( x), i  1, 2,..., n (n là số thành phần).
Một trong những nguyên lý cơ bản nhất của lý thuyết trường nói riêng và của
Vật lý học hiện đại nói chung là nguyên lý bất biến tương đối tính, khẳng định rằng
mọi hệ quy chiếu diễn ra như nhau, cũng có nghĩa là các phương trình vật lý đều có
dạng như nhau, trong hệ quy chiếu khơng- thời gian liên hệ với nhau bởi phép biến
đổi Lorentz.
1.1.1. Metric Minkowski
Minkowski đã đưa ra ý tưởng thống nhất không gian ba chiều thông thường
và thời gian thành không - thời gian 4 chiều. Trong đó thời gian được xem là chiều
thứ tư.
Kí hiệu x là các tọa độ của vector 4 chiều không- thời gian x:

x   x0 ; x1; x2 ; x3
trong đó: x0= ct là tọa độ thời gian (c là vận tốc ánh sáng, t là thời gian)

12


x1; x2; x3 là các tọa độ không gian

  0,1,2,3 là các chỉ số Lorentz


Đơi khi ta cịn viết: x   x0 , x trong đó x là vector không gian 3 chiều


thông thường.
Để thuận tiện người ta thường dùng hệ đơn vị trong đó c=1 và hằng số

Planck   1 , khi đó x0  t .
Tích vơ hướng của hai vector x và y được định nghĩa là:

xy    x y

(1.1.1)

với   là tensor metric với các thành phần

 00  1, 11   22   33  1

(1.1.2)

   0,   
đơi khi cịn viết:    diag (1, 1, 1, 1)

Ở đây, cũng như về sau ta quy ước rằng khi trong biểu thức có các chỉ số lặp
lại hai lần thì lấy tổng theo các chỉ số đó. Như vậy (1.1.1) phải hiểu là:

xy 

3

  x y  x y


, 1

0 0


 x. y

Tensor metric liên hệ vector (hoặc tensor nói chung) có các chỉ số dưới với
các vector có các chỉ số trên theo quy tắc:

A    A

(1.1.3)

Bên cạnh tensor   ta còn dùng tensor   để viết ra công thức ngược của
(1.1.3):

A   A

(1.1.4)

13


Viết tường minh là: A0  A0 , Ai   Ai , i  1,2,3 (ta thường dùng các chỉ
số Hy Lạp  , ... cho 0, 1, 2, 3 và các chỉ số Latinh cho 1, 2, 3).
Với (1.1.4) ta viết lại (1.1.1) thành:

xy    x y    .x . . y   x y   x  y
từ đây ta suy rằng:

    ;    

(1.1.5)

trong đó   là kí hiệu Dirac thơng thường

1,   
0,   

   

1.1.2. Bất biến Lorentz
Một số phép biến đổi Lorentz cơ bản:
Phép biến đổi Lorentz đồng nhất:

x  x '   x

(1.1.6)

trong đó: x   x0 ; x1; x2 ; x3 là các tọa độ của vector 4 chiều không- thời gian.

 là các hệ số thực và để tích vơ hướng của hai vector bất kì khơng thay
đổi:
x’y’=xy

(1.1.7)

Các phép biến đổi này gọi là phép biến đổi Lorentz đồng nhất. Dễ dàng thấy
rằng các hệ số  thỏa mãn hệ thức:

    .   

(1.1.8)

Nếu kí hiệu:  là ma trận 4x4 có phần tử hàng  , cột  là 

14


1 0 0 0 
 0 1 0 0 


 là ma trận có các phần tử  :  
 0 0 1 0 


 0 0 0 1
Ta có thể viết lại (1.1.8) dưới dạng phương trình ma trận như sau:

   (   là ma trận chuyển vị của  )

(1.1.9)

Nhân hai vế của (1.1.9) với  , ta được:

   2  I
với I là ma trận đơn vị cấp 4 và từ đó suy ra:

    1
    ( 1 )
Dùng hệ thức này kết hợp với quy luật biến đổi của x ta suy ra quy luật
biến đổi của x  như sau:

x '    x '     x     x   ( 1 )  x 
 x '  ( 1 )  x 

(1.1.10)

Từ (1.1.7) và (1.1.10) ta thấy các hệ số ( 1 )  phải thỏa mãn các điều kiện
tương tự (1.1.10):

 (1 )  (1 )  

(1.1.11)

Từ đó ta thấy rằng: det   1
Tập hợp các phép biến đổi Lorentz đồng nhất có det   1 thường được kí
hiệu bởi L+, có det   1 kí hiệu bởi LBên cạnh các phép biến đổi Lorentz đồng nhất (1.1.6) ta cịn xét các phép
biến đổi khơng đồng nhất dạng:

15


x '   x  a

(1.1.12)

trong đó thơng số a có thể nhận mọi giá trị thực tùy ý và được gọi là vector tịnh
tiến.
Các phép biến đổi Lorentz khơng đồng nhất cịn được gọi là phép biến đổi
Poincare’. Tập hợp các phép biến đổi Poincare’ (1.1.12) với det   1 thường được
kí hiệu bởi P+. Tập hợp các phép biến đổi Poincare’ (1.1.12) với det   1 thường

được kí hiệu bởi P-. Tập hợp các phép biến đổi Poincare’ không chứa phép đảo tọa
độ được gọi là phép biến đổi Poincare’ riêng và được kí hiệu bởi P .
Như đã biết, khoảng cách giữa hai điểm trong không gian 3 chiều là đại
lượng bất biến đối với phép biến đổi Galilei. Cịn trong khơng- thời gian 4 chiều,
khoảng cách S giữa điểm M được xác định bởi 4 vector x và điểm N được xác định
bởi 4 vector y là đại lượng được định nghĩa như sau:

S 2   x  y     ( x  y )( x  y )
2

(1.1.13)

Ta thấy S 2 là bất biến đối với phép biến đổi (1.1.12).
Nếu M và N là hai điểm vô cùng gần nhau thì (1.1.13) trở thành:

dS 2    dx dx hay dS 2   dx  dx

(1.1.14)

Với dS 2 gọi là khoảng cực vi giữa hai điểm trong không- thời gian phẳng
Minkowski.
Chú ý, các phép biến đổi (1.1.12) không làm biến đổi đại lượng

 x  y

2

nhưng làm biến đổi đại lượng x2.

1.2. Bất biến tƣơng đối rộng và Metric Riemann

Nguyên lý bất biến tương đối tổng quát khẳng định rằng mọi quá trình vật lý
đều diễn ra như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính, và do đó các phương trình
vật lý tương ứng phải bất biến với phép biến đổi tổng quát:

16


x   x '  f   x 

(1.2.1)

Phép biến đổi Lorentz chỉ là một trường hợp của (1.2.1)

x   x '   x  a 
khi f  ( x)   x  a  ,
trong đó  là thơng số biến đổi Lorentz, a  là thông số tịnh tiến hay vectơ tịnh
tiến.
Để xây dựng các đại lượng vật lý thỏa mãn nguyên lý bất biến trên, ta đưa
vào khái niệm tensor. Đây là khái niệm quan trọng giúp ta tìm được Lagrangian bất
biến và do đó xây dựng được các lý thuyết vật lý thỏa mãn nguyên lý bất biến.
1.2.1. Tensor
Dựa vào phép biến đổi (1.2.1) tensor được định nghĩa như sau:
Tensor phản biến (Contravariant) cấp n là tập hợp các thành phần

T 1 2 ... n ( x) biến đổi theo quy luật:

T'

12 ... n

x '1 x '2 x 'n 1 2 ... n
( x ')  1
...
T
( x)
x x 2 x n

Tensor hiệp biến (Covariant) cấp n là tập hợp các thành phần

(1.2.2)

T12 ...n ( x)

biến đổi theo qui luật:

x1 x 2 x n
T ' 12 ... n ( x ')  1
... ' n T1 2 ... n ( x)
2
x ' x '
x

(1.2.3)

Một cách tổng quát, tensor hỗn hợp phản biến cấp m và hiệp biến cấp n (còn
gọi là Mixed (m, n) - tensor) là tập hợp các thành phần
qui luật:

17

T112...2...n m ( x) biến đổi theo


12 ... m

T '1 2 ... n

x '1 x '2 x 'm x1 x 2 x n 12 ...m
( x ')  1
...
...
T1 2 ... n ( x)
x x2 xm x'1 x ' 2 x ' n
(1.2.4)

 x1 x2 x m x '1 x ' 2 x ' n 
Nhân 2 vế của (1.2.4) với 
. 2 ... m . 1 .  2 ...  n 
1

x
'
x '
x ' x x
x 

ta suy ra công thức biến đổi ngược:

x1 x2 xm x '1 x ' 2 x ' n 12 ...m
... m 1  2 ...  n T '1 2 ... n ( x ')  T1122......nm ( x)

1
2
x ' x '
x ' x x
x
  ...

hay T11 22... nm ( x) 

x1 x2 xm x '1 x ' 2 x ' n 12 ...m
...
...
T '1 2 ... n ( x ')
x '1 x '2 x 'm x1 x 2 x n

(1.2.5)

Cơng thức (1.2.5) cũng có thể được suy ra từ tính bình đẳng giữa x và x’.
Ta có nhận xét:
12 ... s

Nếu T1 2 ... r

( x)

và

  ... 

S11 2 2... q p ( x)





là tensor hỗn hợp cấp (s,r) và (p,q) thì:

... 

F1122... rsqp ( x)  T112...2 ...rs ( x).S rs11 r s 22... r s p p ( x)
  ... 

(1.2.6)

là tensor hỗn hợp cấp (s+p, r+q).
Chứng minh: Ta có
1 2 ... s
1 2 ...  r

T'

x '1 x ' s x1 x r 12 ...s
( x ')  1 ... s . 1 ... r T1 2 ... r ( x)
x
x x '
x '

 s 1 s  2 ... s  p
 r 1 r  2 ...  r  p

S'





x ' s 1 x ' s  p x r 1 x r  q s 1s  2 ...s  p
( x ')  s 1 ... s  p . r 1 ... r  q S r 1 r  2 ... r  p ( x)
x
x '
x
x '

Nên

18






...

T '1122 ......rs ( x ').S 'rs 11rs  22 ...rs  pp ( x ') 








x '1 x ' s  p x1 x r  q 12 ...s
  ... 
 1 ... s  p . 1 ... r  q T1 2 ... r ( x) S rs11 r s 22... r sq p ( x)
x
x '
x
x '
x '1 x ' s  p x1 x r  q   ... 
  ...
 1 ... s  p . 1 ... r  q F1122... rsqp ( x)  F '1122 ...rs  qp ( x ')
x
x '
x
x '
Có thể lập đại lượng bất biến từ hai tensor T112...2 ...sr ( x) và S1122......sr ( x) như
sau:

G( x)  T112...2 ...sr ( x) S1122......sr ( x)

(1.2.7)

Thực vậy, theo phép biến đổi tổng quát:

G( x)  T112...2 ...sr ( x) S1122......sr ( x)


x '1 x 'r x1
x s 12 ...r

…
T  ... ( x) .
...
x 1 x r x '1 x ' s 1 2 s

x '1 x ' s x 1 x r 1 ... s
. 1 ...  s
...
S  ...  ( x)
x
x x '1 x 'r 1 r
x '1 x 1 x 'r x r x1 x '1
 1
...
x x '1 x r x 'r x '1 x1
x s x ' s 12 ...r
...  s  s T1 2 ... s ( x).S 11......sr ( x)
x ' x
và sử dụng hệ thức:


x  x '
 x ' x
  , 
 



x ' x
x x '

thì

G '( x ')   11... rr . 1 1 ... s s .T11......sr ( x). 11......sr ( x)
 T11......rr ( x).S11......rs ( x)  G( x)

19


Như vậy G( x)  T112...2 ...sr ( x)S1122......sr ( x) là một đại lượng bất biến.
Một số trường hợp của tensor:
Đại lượng

 ( x)

được gọi là vô hướng – tensor hạng (0,0) nếu bất biến với

phép biến đổi (1.1.1):

 '( x ')   ( x)

(1.2.8)

Đại lượng F  ( x) được gọi là tensor phản biến – tensor phản biến hạng 1
nếu nó biến đổi theo quy luật:

x ' 
F ' ( x ')   F ( x)
x


(1.2.9)

Lưu ý rằng x  không phải là vector phản biến vì x ' 

x ' 
x ,
x

nhưng dx  là vector phản biến có các thành phần là vi phân của các tọa độ

x ' 
dx '   dx
x


x

vì:

(1.2.10)

Đại lượng G ( x) được gọi là vector hiệp biến – tensor hiệp biến hạng 1 nếu
nó biến đổi theo quy luật:

x
G ' ( x ')   G ( x)
x '

(1.2.11)

Đại lượng T ( x) được gọi là tensor hỗn hợp (1,1)hạng 1 nếu nó biến đổi
theo quy luật:

x ' x 
T ' ( x ')  
T ( x)
x x '



(1.2.12)

Ký hiệu Dirac   là tensor hỗn hợp (1,1) vì:

20


x ' x  x ' x
  
  
  '
 

x x '
x x '



[19]

1.2.2. Metric Riemann không – thời gian cong
Trong thuyết tương đối rộng, metric Minkowski   ,   khơng phải là
tensor. Vì vậy, trong trường hợp biến đổi tổng quát (1.2.1) thay vì   ta dùng
tensor metric g  ( x) cũng có tính đối xứng:

g  ( x)  g ( x)

(1.2.13)

biến đổi theo qui luật tensor:

x x
g ' ( x ')  
g ( x)
x ' x '

(1.2.14)

(dựa theo cơng thức (1.2.6) ở trên)
Bình phương yếu tố độ dài dạng tổng quát là một đại lượng bất biến:

ds 2  g ( x  )dx dx 
Thật vậy:

ds '2  g ' ( x ').dx ' dx '
x  x
theo (1.2.14) ds ' 
.  .g ( x).dx ' .dx '


x ' x '
2


 x 

   x
= g ( x).
.dx '  .  dx ' 

 x '
  x '


mà theo (1.2.10) nó chính là g ( x).dx .dx  ds 2  in v
Như vậy, đại lượng: ds 2  g  ( x).dx  .dx , được gọi là khoảng bất biến,

g  ( x) và dx  là tensor.

21


Chỉ số phản biến có thể hạ xuống thành chỉ số hiệp biến theo quy tắc:

A ( x)  g  ( x) A ( x)

(1.2.15)

A ( x)  g  ( x) A ( x)


Bên cạnh tensor metric g  ( x) ta dùng tensor metric g ( x) đối xứng thỏa

mãn hệ thức:

g  ( x) g ( x)   

(1.2.16)

và biến đổi theo quy luật:

x ' x ' 
g ' ( x ')   .  .g ( x)
x x


(1.2.17)


Nhân 2 vế của A ( x)  g  ( x). A ( x) với

g  ( x)

ta được biểu thức:

g  ( x). A ( x)  g  ( x).g  ( x). A ( x)   . A ( x)  A ( x)
suy ra A ( x)  g  ( x). A ( x)
(vì g  ( x). A ( x)  g  ( x).g ( x). A ( x)    A ( x)  A ( x) )
Giả sử ta có vector F  ( x) và G ( x) . Đạo hàm bình thường của chúng

G

F 
 F ( x)   ;  G ( x)   khơng phải là tensor, vì không biến đổi
x
x


theo quy luật (1.2.4).
Thật vậy: Nếu  F  ( x) là tensor thì:

x x 
F 

 F ( x)   .  .  F ( x)  
x x
x


Vậy  F  ( x) ;  G ( x) không phải là tensor.

22


Để tạo được tensor ta phải lập đạo hàm hiệp biến  F  ( x) biến đổi theo quy
luật (1.2.4). Cụ thể như sau:

x ' x 
 ' F ' ( x ')   .  .  F  ( x)
x x '


Mặt khác: Đạo hàm hiệp biến được định nghĩa:

 F  ( x)   F  ( x)  
( x) F  ( x)

(1.2.18)



Trong đó 
( x) được gọi là liên thơng Affine hoặc kí hiệu Christoffel. 

khơng phải là tensor mà được chọn sao cho  F  ( x) là tensor, tức là khi chuyển
sang hệ tọa độ khác, ta có:

 ' F ' ( x ')   ' F ' ( x ')   '
F ' ( x ')

x ' x 
  .  .  F  ( x)
x x '

(1.2.19)

cũng là một tensor.
Như vậy ta phải đi tìm quy luật biến đổi của liên thơng Affine, ta thừa nhận

biểu thức (1.2.19), rồi từ đó suy ra 
( x) . Biến đổi biểu thức (1.2.19):

x ' x 
x ' x 

 ' F ' ( x ')   .  .  F ( x)   .  .(  F    F  )
x x '
x x '


x ' x  F  x ' x   
 

  F
x x ' x  x x '


x ' F  x ' x   

  F
x x ' x x '

Tiếp tục biến đổi (1.2.19):

23

(1.2.20)



 x ' 
 x '

 ' F ' ( x ')   (  F )   '  F 
x ' x
x

 2 x '
F  x '

 x '
  F  
  '  F 

x ' x
x ' x
x


(1.2.21)

So sánh (1.2.20) và (1.2.21):

x ' F  x ' x   
 2 x '
F  x '

 x '


F

F




'
F











x x '
x x '
x ' x
x ' x
x

x
Nhân cả hai vế với
ta được:
x '

 '
F 

x ' x  x  
 2 x ' x 

F

F

x x ' x '
x ' x x '

x ' x  x  
 2 x ' x  x x 
 
  F    
F
x x ' x '
x ' x x x ' x
x ' x  x  
 2 x ' x  x  
 
  F    
 F
x x ' x '
x ' x x x '
x ' x  x 
 2 x ' x  x
( 
     
)F 




x x ' x '
x ' x x x '

x ' x  x 
 2 x ' x  x
suy ra  ' ( x)  
     
x x ' x '
x ' x x x '



(1.2.22)

Cơng thức trên chính là quy luật biến đổi của liên thơng Affine.
Cũng hồn tồn tương tự, đạo hàm hiệp biến:

 G ( x)   G ( x)   G ( x)

(1.2.23)

 (x) được chọn sao cho  G ( x) là một tensor, tức là:

24


 ' G ' ( x)   ' G ' ( x)   ' G ' ( x)
x  x

 
 G ( x)
x ' x '

(1.2.24)

Biến đổi (1.2.24) tương tự như (1.2.21) ta được:

x ' x  x 
 2 x ' x  x
 ' ( x)  
   
x x ' x '
x ' x ' x ' x '



(1.2.25)

Tổng quát hóa, đạo hàm hiệp biến của tensor hỗn hợp có dạng:
2 ...  s
 T112...2 ...rs ( x)    1122......r s ( x)   1 T
1 2 ... r

 1 T122......r s  ...   s T112...2 ...r  1T12...2...rs

(1.2.26)

 2 T11...2...r s  ....   r T112...2 ... s
Ta tính biểu thức của liên thơng affine qua tensor metric g  ( x) biến đổi

theo quy luật (1.2.14) thỏa mãn các điều kiện sau:
1, Điều kiện đối xứng:



 

(1.2.27)

2, Điều kiện tương thích metric:

  g   0

(1.2.28)

Lấy   cả hai vế của hệ thức: g  ( x).g ( x)   
ta được:

  g  g      0

Nhân hai vế hệ thức này với

g  , ta có   g   0

Ta có phương trình metric với các chỉ số   , ,   hốn vị vịng như sau:

 g    g   g   g  0

25

(1.2.29)