Khảo sát ảnh hưởng khuyết tật hình học ban đầu đến ổn định của tấm đàn hồi

Tóm Tắt Luận Văn
Những kết quả đã nghiên cứu cho thấy bên cạnh những yếu tố liên quan
đến vật liệu sử dụng còn có những yếu tố khác cũng ảnh hưởng đến tính ổn định
của kết cấu như điều kiện liên kết biên và hình dáng hình học. Việc nghiên cứu
một cách đầy đủ hơn ảnh hưởng các yếu tố này đến tải trọng tới hạn là việc làm
quan trọng và cần thiết, có tác dụng định hướng cho việc thiết kế và sử dụng kết
cấu trong thực tiễn.
Luận văn sẽ khảo sát ảnh hưởng khuyết tật hình học ban đầu đến ổn định
của tấm đàn hồi. Hai dạng bài toán ổn định chủ yếu được khảo sát: Tấm có chiều
dày thay đổi và tấm liên tục nhiều nhịp có sườn bị sai lệch vị trí. Ở tấm có chiều
dày thay đổi sẽ nghiên cứu 4 dạng qui luật thay đổi chiều dày ( tuyến tính, bậc 2,
tuần hoàn theo và tuần hoàn theo x, y) với 3 tổ hợp điều kiện biên tương ứng. Ở
tấm liên tục nhiều nhịp sẽ khảo sát sự sai lệch nhỏ vị trí của sườn và dạng mất
ổn định cục bộ xảy ra khi có sự sai lệch vị trí.
Để nghiên cứu các dạng bài toán này, những vấn đề sau trong luận văn đã
giải quyết:
1. Tấm có chiều dày thay đổi.
Đã thiết lập được phương trình giải bài toán ổn định cho tấm có chiều dày
thay đổi và đề xuất các qui luật thay đổi chiều dày của tấm.
Đề xuất phương pháp Boobnov – Galerkin để khảo sát bài toán tấm chữ
nhật có chiều dày thay đổi dạng tổng quát.
Thiết lập các công thức xác định tải trọng tới hạn tổng quát ứng với mỗi
quy luật thay đổi chiều dày và các điều kiên biên tương ứng.
Khảo sát các yếu tố ảnh hưởng đến tải trọng tới hạn như hình dáng hình
học và tổ hợp điều kiên biên.
Sử dụng kết quả thu được so sánh với kết quả tấm có chiều dày không đổi
được Timoshenko thiết lập.
2. Tấm liên tục nhiều nhịp.
Giới thiệu phương pháp giải tích chính xác, phương pháp này có thể được
ứng dụng khá hiệu quả khảo sát ổn định tấm liên tục, đặc biệt để nghiên cứu
ảnh hưởng những sai lệch vị trí nhỏ của các sườn. Hai dạng bài toán được đặt ra:

trường hợp bỏ qua độ võng của sườn và trường hợp xét đến độ võng của sườn.
Khảo sát những ảnh hưởng của sự sai lệch vị trí đến tải trọng tới hạn và
dạng mất ổn định cục bộ xảy ra trong tấm. Trường hợp tấm hai nhịp và ba nhịp
được khảo sát ứng với hai dạng bài toán trên.
Từ những kết quả thu được đã rút ra những kết luận xác đáng về những
ảnh hưởng của khuyết tật hình học đến tải trọng tới hạn và dạng mất ổn định cục
bộ của tấm liên tục.


Chương 1: Tổng quan

-1-

Chương 1

Tổng Quan
1.1 Sự phát triển bài toán khuyết tật hình học trong ổn định kết cấu và tính
cấp thiết của đề tài.
Cùng với bước tiến không ngừng của khoa học kỹ thuật trong các ngành
công nghiệp nói chung cũng như ngành công nghiệp xây dựng nói riêng, những
kết cấu thanh mảnh vượt nhịp lớn ngày càng được sử dụng phổ biến. Chúng
thường nhẹ, đẹp nhưng phải đòi hỏi được khảo sát kỹ lưỡng về mặt ổn định. Ổn
định là một phần quan trọng trong tính toán thiết kế công trình. Trong những
năm gần đây, thực tế đòi hỏi phải tiếp tục nghiên cứu lý thuyết thực nghiệm
cũng như những điều kiện ổn định mới của kết cấu trong những trường hợp tổng
quát hơn và thực tế xảy ra.
Vào năm 1744, khi Leonhard Euler ([2]) giải những bài toán đầu tiên vềà
hiện tượng mất ổn định đàn hồi khi uốn dọc của thanh chịu nén. Người ta mới
bắt đầu nghiên cứu về ổn định trong kết cấu. Lúc bấy giờ vật liệu chủ yếu là gỗ
và đá. Vì cường độ vật liệu này tương đối thấp, các cấu kiện cần có mặt cắt lớn

nên ổn định đàn hồi chưa phải là thiết yếu hàng đầu. Do đó một thời gian dài bài
toán Euler không có ứng dụng thực tế nào. Mãi đến thế kỷ XX cùng với sự phát
triển các ngành công nghiệp thì vấn đề mất ổn định trong kết cấu chịu nén được
quan tâm đúng mức.
Ảnh hưởng của hiện tượng khuyết tật hình học ban đầu ( initial geometric
imperfections) trong ổn định vỏ trụ được Warner Koiter nghiên cứu đầu tiên vào
năm 1945 ([5, 6, 9]). Ông đã chứng minh hiện tượng này ảnh hưởng đáng kể đến
tải trọng tới hạn trong kết cấu vỏ. Sau đó, ông và nhiều nhà khoa học khác tiếp
tục nghiên cứu vấn đề này với các loại kết cấu khác nhau và những ứng dụng
của nó.
Sự phát triển trong lónh vực ổn định kết cấu có thể được chia làm hai giai
đoạn. Giai đoạn đầu từ năm 1744 khi Leonhard Euler công bố công thức nổi
tiếng về tải trọng tới hạn của cột. Giai đoạn thứ hai, khi Koiter chứng minh sự
ảnh hưởng đáng kể của khuyết tật hình học ban đầu đến khả năng chịu tải của
kết cấu vỏ. Trong suốt hai thế kỷ, thời kỳ sau Euler và trước Koiter, các kỹ sư và

Khảo sát ảnh hưởng khuyết tật hình học ban đầu đến ổn định của tấm đàn hồi.


Chương 1: Tổng quan

-2-

các nhà khoa học đã có những đóng góp nổi bật trong việc tính toán khả năng ổn
định của kết cấu mái. Cùng với sự phát triển của cách mạng khoa học kỹ thuật ,
nhiều vấn đề mới được đặt ra trong thế kỷ XX. Do nhu cầu hiện đại và sự phát
triển kết cấu nhẹ, khái niệm ổn định trở nên cần thiết và phải được nghiên cứu
để ứng dụng hợp lý.
Lorenz, Southwell và Timoshenko đã tìm cách mở rộng công thức Euler
cho trường hợp vỏ trụ mỏngï. Các chuyên gia về ổn định đã quan tâm tới việc

dùng thí nghiệm để kiểm chứng những kết quả nghiên cứu. Điều này dẫn đến
nhận xét đáng ngạc nhiên và thất vọng. Đó là: kết quả thực nghiệm không làm
sáng tỏ lý thuyết mà hầu hết các số liệu đều thấp hơn nhiều so với những tính
toán trước đó. Koiter đã khẳng định sự khuyết tật hình học là không thể tránh
khỏi. Sự sai lệch từ hình dáng lý tưởng ban đầu đóng một vai trò quyết định
trong việc giảm đáng kể khả năng chịu tải của vỏ hình trụ và những kết cấu
khác. Chính vì vậy khái niệm sự nhạy cảm với khuyết tật hình học (imperfection
sensitivity) được đặt ra. Đây là hướng nghiên mới mẻ và đóng góp thiết thực cho
lónh vực ổn định kết cấu sau hai trăm năm phát triển. Những công việc mang tính
lý thuyết được thực hiện bởi Budiansky và Hutchinson ([9]) ở Đại học Harvard,
Thompson ở Đại học College Lon don và G. W. Hunt ở Đại học Bath. Những
nghiên cứu thực nghiệm được Singer ở Viện kỹ thuật Israel thực hiện, sự kết hợp
lý thuyết số và thí nghiệm được nghiên cứu bởi Arbocz ở Đại học kỹ thuật Delft
([9]). Đó là những người đã có những đóng góp đáng kể vào lónh vực nghiên cứu
này.
Trong lónh vực thiết kế kỹ thuật cho hầu hết các ngành hàng không, hàng
hải, xây dựng … mặc dù các nhà kỹ thuật đã đầu tư đáng kể vào việc nghiên cứu
ổn định tấm vỏ, song cho đến nay họ vẫn chưa chấp nhận hoàn toàn khái niệm sự
nhạy cảm với khuyết tật hình học mà mới chỉ đưa các yếu tố nói trên vào hệ số
an toàn ( knockdown factor). Hệ số an toàn được xác định sao cho tích số của nó
với tải trọng tới hạn theo công thức cổ điển đạt cận dưới tất cả các kết quả thực
nghiệm có được. Cách tiếp cận này được mọi người đón nhận tuy không tránh
khỏi những thất vọng . Điều được mọi người đón nhận là nhiều kết cấu tấm vỏ
mỏng đưa vào sử dụng không phải chịu tải vượt quá khả năng của chúng, tất
nhiên, thiết kế dưới khả năng chịu tải vẫn tốt hơn là thiết kế quá khả năng.
Ngược lại, điều làm người ta thất vọng là trong vài thập kỷ qua, các kết quả
nghiên cứu đã bị bỏ qua và không được đưa vào ứng dụng trong thực tiễn kỹ
thuật.
Do đó, việc tiếp tục khảo sát ảnh hưởng khuyết tật ban đầu là rất cần thiết
nhằm phản ánh chính xác hơn sự làm việc và ứng xử của kết cấu thực trong kỹ

thuật.

Khảo sát ảnh hưởng khuyết tật hình học ban đầu đến ổn định của tấm đàn hồi.


Chương 1: Tổng quan

-3-

Người ta phải thừa nhận rằng từ năm 1958, khi V. V. Bolotin ([9]) ở Viện
nghiên cứu năng lượng Moscow đưa khái niệm ngẫu nhiên (randomness) vào lý
thuyết ổn định đàn hồi, làm cho lý thuyết ổn định trở nên thực tế hơn, do kết hợp
với việc phân tích các khuyết tật ban đầu. Chúng ta nhận thấy rằng, khuyết tật
ban đầu không giống nhau trong từng loại kết cấu, thậm chí khi chúng là sản
phẩm của cùng một quá trình sản xuất. Lý do chính làm các nhà thiết kế miễn
cưỡng thừa nhận tính ưu việt của các kết quả nghiên cứu về sự nhạy cảm với
khuyết tật hình học là các nghiên cứu này phụ thuộc vào sự hiểu biết ban đầu về
khuyết tật hình học của loại kết cấu cụ thể. Một ý tưởng về khuyết tật hình học
có thể được đo lường và kết hợp trong phân tích dự đoán tải trọng tới hạn đã
được thực hiện. Ví dụ, Horton ở Viện nghiên cứu kỹ thuật Georgia đã kiểm tra
quy mô lớn vỏ có đường kính 60-ft và Arbocz, Williams ([9]) đã đo lường khuyết
tật vỏ gia cố sườn có đường kính 10-ft ở trung tâm nghiên cứu NASA. Tuy nhiên
cách tiếp cận này cho kết quả chính xác đối với mẫu thực nghiệm duy nhất mô
phỏng kết cấu thực nhưng lại không có ý nghóa thực tiễn như một phương pháp
chẩn đoán tổng quát. Thông tin về hình dạng và độ lớn của sự khuyết tật trong
từng phần kết cấu là quá riêng biệt và khó áp dụng vào những kết cấu khác
giống nó, thậm chí khi chúng được sản xuất bởi cùng một qui trình thiết kế trong
nhà máy.
Với sự sai lệch lớn trong những kết quả thực nghiệm, người ta thấy việc
áp dụng lý thuyết nhạy cảm về độ không hoàn hảo vào thực tiễn là phụ thuộc

vào việc phân tích xác suất của khuyết tật hình học và tải trọng tới hạn. Bởi vì
người kỹ sư không muốn thiết kế vượt quá hoặc dưới khả năng chịu tải của kết
cấu. Để tiến hành việc phân tích ổn định ngẫu nhiên có hiệu quả, các công cụ
tính toán giải tích và phương pháp số đáng tin cậy là rất cần thiết. Đặc biệt, việc
khảo sát tiền định (deterministic) hiện tượng ổn định một cách chặt chẽ là cơ sở
cho mọi phương pháp đánh giá ngẫu nhiên ([29]) về ổn định kết cấu.
Kết cấu tấm là dạng kết cấu điển hình trong thực tế và kỹ thuật. Trước
khi đưa kết cấu vào sử dụng, việc tính toán ổn định kết cấu là nhiệm vụ quan
trọng. Với lý do đó, bài toán ổn định tấm chữ nhật luôn thu hút sự quan tâm của
nhiều tác giả trong và ngoài nước. Việc khảo sát ổn định kết cấu tấm gần đây
được nhiều tác giả trong nước quan tâm như: Đào Huy Bích ([23]) nghiên cứu ổn
định tấm trên cơ sở kết hợp tấm mỏng và lý thuyết quá trình đàn dẻo , Nguyễn
Thị Hiền Lương ([15]) khảo sát ổn định tấm đàn - dẻo ba chiều chịu nén, Vũ
Công Hàm ([21]) ([22]) nghiên cứu ổn định đàn dẻo của tấm mỏng chữ nhật chịu
tải trọng phức tạp…v v. Ngày nay, khảo sát hiện tượng khuyết tật hình học ban
đầu được nghiên cứu sâu rộng trong nhiều lónh vực khác nhau với rất nhiều
phương pháp mới hiệu quả. Vấn đề này đang là một xu thế mới trong khảo sát

Khảo sát ảnh hưởng khuyết tật hình học ban đầu đến ổn định của tấm đàn hồi.


Chương 1: Tổng quan

-4-

ổn định kết cấu bởi tính thiết thực và hiệu quả của nó trong ứng dụng thực tiễn.
Gần đây, việc khảo sát hiện tượng này được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm như
Nguyễn Văn Phó ([24]) khảo sát ảnh hưởng sai lệch ban đầu trong thanh bằng
phương pháp đánh giá ngẫu nhiên, Ikeda. K., and Murota. K ([11]) xác định tải
trọng tới hạn của kết cấu thanh có xét đến khuyết tật ban đầu, Koiter. W. T ([7,

8]) nghiên cứu ổn định vỏ trụ chiều dày thay đổi và kết hợp với độ cong ban đầu
. Khảo sát hiện tượng độ võng ban đầu và chiều dày thay đổi trong tấm mỏng đã
được Timoshenko ([1, 28]) đề cập, tuy nhiên còn một số vấn đề cần được nghiên
cứu thêm. Bài toán tấm có chiều dày thay đổi chịu uốn được Timoshenko ([1])
tính toán và khảo sát nhưng với quy luật đơn giản. Việc khảo sát ổn định chúng
với các dạng thay đổi khác nhau là điều khá mới mẻ và chưa được nghiên cứu.
Hiện tượng đặt lệch sườn hoặc gối tựa trong tấm liên tục có thể được coi
là một dạng khuyết tật hình học trong tấm. Khi xảy ra sự sai lệch, chúng sẽ gây
ra biến dạng cục bộ trong tấm liên tục. Hiện tượng này lần đầu tiên được khám
phá bởi Nobel Laureate P.W. Anderson trong vật lý ([4]). Gần đây, sự xuất hiện
của nó trong kết cấu đã thu hút nhiều sự chú ý. Trong số đó, Pierre và Plaut đã
khảo sát trường hợp cột hai nhịp. Cột nhiều nhịp trong trường hợp tổng quát cũng
đã được Nayfeh và Hawwa nghiên cứu bằng phương pháp ma trận chuyển
(Transfer matrix method). Tvergaad và Needleman ([4]) khảo sát sự phát triển
của biến dạng cục bộ trong bài toán ổn định đàn - hồi dẻo do nhiệt. Pierre. C.,
and Chat. P. D. ([12]) đã khảo sát sự biến dạng cục bộ trong hệ nhiều bậc tự do.
Sự mất ổn định cục bộ trong vỏ trụ được nghiên cứu bởi El Naschie ([3]).
1.2 Các dạng khuyết tật hình học ban đầu.
Tấm hoàn hảo là tấm có chiều dày không đổi, là trường hợp đặc biệt của
tấm, nó được lý tưởng hóa trong tính toán thiết kế. Nhưng trong quá trình lắp đặt,
chế tạo và sử dụng sẽ nảy sinh những sai lệch gây ra sự khuyết tật hình học so
với lý tưởng ban đầu. Những sự sai lệch này sẽ có ảnh hưởng nhất định đến đặc
trưng vật liệu, hình dáng hình học và khả năng chịu tải của chúng. Khi nghiên
cứu dạng này người ta thường chia làm bốn nhóm: 1.Tấm có chiều dày thay đổi .
2. Tấm có độ võng ban đầu. 3. Tấm có sườn hoặc dầm bị sai lệch vị trí. 4. Tấm
có mô đun đàn hồi thay đổi.
 Tấm có chiều dày thay đổi: Theo Koiter (1945) và Budiansky,
Hutchinson (1964) ([9]) sự sai khác với hình dáng lý tưởng ban đầu
đóng vai trò quan trọng trong việc làm giảm khả năng chịu tải của
kết cấu. Một nguyên nhân làm suy giảm thêm khả năng chịu tải

được Koiter và các tác giả xác định là chiều dày thay đổi của kết

Khảo sát ảnh hưởng khuyết tật hình học ban đầu đến ổn định của tấm đàn hồi.


-5-

Chương 1: Tổng quan

cấu (1994) ([7]). Đây là dạng khuyết tật hình học ban đầu, nguyên
nhân do yêu cầu cấu tạo nào đó bắt buộc chiều dày tấm thay đổi
theo qui luật nhất định ( bậc 1, bậc 2, tuần hoàn… ). Hoặc khi chế
tạo, do những sai sót không dự đoán được làm cho chúng thay đổi
chiều dày không còn đúng như thiết kế ban đầu. Hơn nữa, trong
quá trình sử dụng tấm có chiều dày không đổi có thể bị mài mòn
hoặc bị ăn mòn làm mất mát thể tích và chiều dày của chúng bị
thay đổi. Tất cả các trường hợp trên đều có những ảnh hưởng nhất
định đến tính ổn định của kết cấu tấm. Giá trị tải trọng tới hạn có
thể tăng hoặc giảm tùy thuộc vào hình dáng thay đổi của chúng.
 Tấm có độ cong ban đầu: Nếu tấm chịu tác động của một tải trọng
nào đó gây ra cho chúng một độ cong ban đầu nhỏ so với chiều dày
tấm . Hoặc do thiết kết mà tấm có một độ cong ban đầu trước khi
chịu tải trọng mới. Đây cũng là một dạng khuyết tật hình học ban
đầu. Nghiên cứu của Elishakoff và Koiter ([8]) kết hợp phương
pháp số và phương pháp giải tích cho thấy tác động của chiều dày
thay đổi trở nên dáng kể tải trọng tới hạn khi kết hợp với độ cong
ban đầu.
 Tấm có sườn hoặc dầm nhiều nhịp bị sai lệch vị trí: Do sự thiếu
chính xác trong chế tạo và lắp đặt, sự sai lệch hình học luôn luôn
có, có thể lớn đến mức ảnh hưởng đến tải trọng tới hạn và hình

dáng ổn định của chúng. Khi một sườn hoặc một gối tựa không còn
đúng vị trí như thiết kế ban đầu (bị lệch sang phải hoặc sang trái)
lúc đó xảy ra sự sai lệch vị trí hình học. Về mặt hình học sẽ tạo ra
một số nhịp có chiều dài lớn hơn tính toán ban đầu và một số nhịp
có chiều dài nhỏ lại. Điều này làm cho chúng sẽ phân phối lại nội
lực và biến dạng. Khi khảo sát tính toán cần có những phương pháp
chính xác thể hiện được những sai lệch rất nhỏ có thể xảy ra.
O
b
P

P
d
a/2

a/2

Hình 1.1 Biểu diễn sự sai lệch của sườn khỏi vị trí ban đầu.

Khảo sát ảnh hưởng khuyết tật hình học ban đầu đến ổn định của tấm đàn hồi.


Chương 1: Tổng quan

-6-

 Tấm có mô đun đàn hồi thay đổi: Trong một số công trình của
Ikeda và Murota (1990) ([9]) đã chỉ ra rằng: độ sai lệch trong mô
đun đàn hồi cũng làm giảm đi tải trọng tới hạn của kết cấu. Đây là
hiện tượng khuyết tật ban đầu trong kết cấu. Nguyên nhân chủ yếu

là sự phân bố không đồng bộ mô đun đàn hồi trong từng bộ phận
chịu tải, gây ra những phản ứng khác nhau của vật liệu và ảnh
hưởng đến sự làm việc chung của hệ chịu lực.
1.3 Nhiệm vụ luận văn.
Trong luận văn này hai vấn đề về khuyết tật hình học ban đầu trong tấm
được nghiên cứu: 1. Khảo sát ổn định tấm có chiều dày thay đổi với các điều kiện
biên khác nhau 2 Khảo sát ổn định tấm liên tục nhiều nhịp có sườn đặt lệch và
hiện tượng mất ổn định cục bộ.
 Với tấm có chiều dày thay đổi: Xác định hệ số tải trọng tới hạn ứng
với bốn dạng quy luật thay đổi chiều ( tuyến tính, bậc 2, tuần hoàn
theo x, tuần hoàn theo x, y ) với các tổ hợp liên kết biên khác nhau.
Một số yếu tố ảnh hưởng ổn định tấm với chiều dày thay đổi như tỉ
lệ các cạnh thông số thay đổi chiều dày được khảo sát và so sánh
với trường hợp tấm có chiều dày không đổi. Đây là bài toán phi
tuyến hình học, cho nên phương pháp Boobnov – Galerkin được sử
dụng để xác định tải trọng tới hạn. Hàm độ võng được chọn dưới
dạng các chuỗi lượng giác để thoả mãn các điều kiện biên của bài
toán.
 Với tấm liên tục nhiều nhịp Với tấm liên tục nhiều nhịp, luận văn
xét đến ảnh hưởng những sai lệch cấu trúc nhỏ do đặt lệch sườn
hay gối tựa đến cả tải trọng tới hạn lẫn dạng mất ổn định của tấm.
Bởi vì dạng mất ổn định là đối tượng quan tâm chủ yếu nên tương
tác giữa sườn và tấm cần được tính đến một cách hợp lý. Ở đây sử
dụng phương pháp giải trực tiếp từ phương trình tổng quát của
chúng dựa trên cơ sở điều kiện biên và điều kiện liên tục để khảo
sát và tính toán. Hai trường hợp chung nhất trong thực tế được khảo
sát : trường hợp xem sườn như gối tựa đơn giản và trường hợp còn
lại xét đến những chuyển vị của sườn. Những ảnh hưởng đến tải
trọng tới hạn do sai lệch được minh họa bằng đồ thị. Các dạng mất
ổn định tổng thể và mất ổn định cục bộ cũng được biểu diễn. Nếu

có sự sai lệch vị trí nhỏ của các sườn hay gối tựa thì dạng mất ổn

Khảo sát ảnh hưởng khuyết tật hình học ban đầu đến ổn định của tấm đàn hồi.


Chương 1: Tổng quan

-7-

định sẽ thay đổi và có tính cục bộ hóa cao, gọi là hiện tượng mất
ổn định cục bộ ( localization phenomenon ).

Khảo sát ảnh hưởng khuyết tật hình học ban đầu đến ổn định của tấm đàn hồi.


Chương 2: Cơ sở lý thuyết của tấm chịu uốn

-7-

Chương 2

Cơ Sở Lý Thuyết Của Tấm Chịu Uốn.
2.1 Lý thuyết tấm đàn hồi đẳng hướng .
2.1.1 Các khái niệm cơ bản.
Tấm là vật thể lăng trụ có chiều cao h nhỏ hơn rất nhiều so với kích thước
hai phương còn lại.
Mặt trung bình là mặt phẳng cách đều hai mặt biên trên và biên dưới của
tấm, khi chịu uốn mặt trung bình bị cong đi.
Chu vi tấm là giao tuyến của mặt trung bình và các mặt bên cạnh tấm.
Trong luận văn, sẽ giải quyết bài toán ổn định tấm, trạng thái ứng suất

phẳng được nghiên cứu, khi có một tải trọng bên ngoài tác dụng lên mặt trung bình
tấm (Hình 2.1)

Hình 2.1 Trạng thái ứng suất phẳng trong tấm.

Hình 2.2 Sự lý tưởng hoá tính toán trong tấm hai phương.

Khảo sát ảnh hưởng khuyết tật hình học ban đầu đến ổn định của tấm đàn hồi


-8-

Chương 2: Cơ sở lý thuyết của tấm chịu uốn

Để tiện nghiên cứu và khảo sát thường chọn hệ trục tọa độ Oxyz như (Hình
2.2). Mặt phẳng Oxy nằm trong mặt trung bình của tấm trục z hướng xuống. Vị trí
góc tọa độ O sẽ được chọn tùy ý vào hình dạng, chu vi và đặc trưng liên kết biên
sao cho phù hợp với các bài toán cụ thể.
2.1.2 Các mô hình lý thuyết tấm.
Có rất nhiều mô hình lý thuyết được xây dựng để nghiên cứu về sự làm việc
của tấm. Tùy theo hình dáng hình học, mức độ chính xác và trạng thái ứng suất tấm
khảo sát, có thể chia ra các mô hình hay dùng sau:
Mô hình Kirchhoff (Kirchhoff models): Sử dụng cho tấm mỏng với biến dạng
nhỏ, các thành phần lực cắt được bỏ qua trong khảo sát ([1, 2]). Sử dụng lý thuyết
này khảo sát những kết cấu tấm mỏng trong kỹ thuật. Tấm được gọi là tấm mỏng
nếu

1 h 1
1
  và wmax  h ([14])

80 b 5
4

b : kích thước nhỏ nhất của mặt trung bình
h : gọi là chiều dày của tấm. Trường hợp tổng quát chiều dày của tấm phụ
thuộc vào x, y h = h(x,y).
Mô hình Ressner – Mindlin (Ressner – Mindlin models): Lý thuyết tấm dày
với biến dạng nhỏ, các thành phần lực cắt được tính toán khảo sát. Sử dụng lý
thuyết này khảo sát những kết cấu trong động lực học hay kết cấu dạng tổ ong, kết
cấu tường trong xây dựng. Tấm được gọi là tấm dày nếu

h 1
h 1
 hoặc 
b 5
b 3

Mô hình chính xác (Exact models): Phân tích chính xác các tác động lên tấm
bằng cách sử dụng lý thuyết đàn hồi 3 chiều ([13, 15]).
Các mô hình này có thể kết hợp các tính chất về vật liệu, hình dáng hình học
cũng như các hình thức tổ hợp điều kiện biên. Trong phần này sẽ tập trung vào mô
hình Kirchhoff bởi vì nó là nền tảng cơ bản để khảo sát kết cấu tấm mỏng cũng
như những vấn đề luận văn nghiên cứu.
2.2 Lý Thuyết Tấm Mỏng Cổ Điển Kirchhoff.
2.2.1 Giả thiết Kirchhoff.
Lý thuyết tấm mỏng cổ điển Kirchhoff dựa trên các giả thiết sau:
 Giả thiết về các đoạn thẳng pháp tuyến: Các đoạn thẳng vuông góc
với mặt trung bình của tấm sẽ còn thẳng và vuông góc với mặt trung
bình khi chịu tải và độ dài của chúng là không đổi.

Khảo sát ảnh hưởng khuyết tật hình học ban đầu đến ổn định của tấm đàn hồi


-9-

Chương 2: Cơ sở lý thuyết của tấm chịu uốn

+ Từ giả thiết này dễ dàng thấy rằng các góc vuông tạo bởi phần tử
thẳng vuông góc với mặt trung bình ( có phương dọc trục z) với các
trục x,y vẫn vuông góc trong quá trình biến dạng, như vậy không có
sự trượt trong mặt phẳng đó, hay yz = 0 , zx = 0.
+ Vì độ dài các đoạn thẳng vuông góc này không thay đổi nên dễ
thấy rằng biến dạng dài theo phương z bằng không hay z = 0.
 Giả thiết về mặt trung bình: Tại mặt trung bình tấm không có biến
dạng nén hay trượt. Khi bị uốn mặt trung bình là mặt trung hòa, từ đó
dễ thấy mặt trung bình có các chuyển vị u0 = v0 = 0.
 Giả thiết về sự tương tác giữa các lớp của tấm: Sự tương tác giữa các
lớp song song với mặt trung bình có thể bỏ qua. Tức là ứng suất pháp
z có thể bỏ qua vì nhỏ so với x ,y .
2.2.1 Phương trình động học.

Hình 2.3 Quá trình biến dạng của mặt trung bình.
Từ hình 2.3 và các giả thiết trên, z = 0 nên từ công thức Cauchy: z =

w
=0
z

suy ra độ võng của tấm không phụ thuộc vào z mà chỉ phụ thuộc vào x,y: w =
w(x,y). Điều này có ý nghóa tất cả các điểm nằm trên đoạn thẳng vuông góc với

mặt trung bình đều có cùng độ võng.
Độ dốc của mặt trung bình theo phương x, y là

w w
,
, các góc xoay của
x y

chúng ký hiệu là x ,y . Khi độ biến dạng là bé , quan hệ giữa góc xoay và độ dốc
.
x 

w
y

y  

w
x

Khảo sát ảnh hưởng khuyết tật hình học ban đầu đến ổn định của tấm đàn hồi

(2.1)


- 10 -

Chương 2: Cơ sở lý thuyết của tấm chịu uốn

Từ giả thiết về điều kiện biên và biến dạng trượt (7.1), sử dụng công thức

Cauchy.
w w

0
z y
w w
 

0
zx z x

w
w

z
y
w
w

z
x



 yz 



(2.2)
(2.3)

Tích phân biểu thức vừa nhân được theo phương z ta có:
w
 f 1 ( x, y )
x
w
u y  z
 f 2 ( x, y )
y

(2.4)

ux  z

(2.5)

Các hàm x,y được xác định bằng cách sử dụng giả thiết về tính không biến
dạng kéo nén của mặt trung bình:
(2.6)
u0  u x z 0  f1 ( x, y)  0
u0  u y

z 0

(2.7)

 f 2 ( x, y)  0

Vậy các thành phần chuyển vị ux, uy, uz là
ux  z

w
 z y
x

u y  z

w
  z x
y

uz = w

(2.8)

Điều này có nghóa các chuyển vị thành phần của tấm đều được biểu diễn
được qua hàm độ võng w của mặt trung bình.
Kết hợp các thành phần biến dạng và chuyển vị :
u x
2w
  z 2   z x
x
x
u y
2w
y 
  z 2   z y
y
y

x 

u z
2w
 z 2  0
z
z

u
u
2w
y
 xy  x 
 2 z
 2 z xy
y
x
xy
u
u
w w
 xz  x  z  

0
z
x
x x
u y u z
w w
 yz 




0
z
y
y y

z 

(2.9)

Do đó có thể đưa về bài toán ứng suất phẳng. Trong (2.9), các độ cong và độ
xoắn cho bởi:
2w
x  2
x

2w
2w
 y  2  xy 
xy
y

2.2.3 Quan hệ giữa mômen và ứng suất.
Mômen uốn Mx, My, mômen xoắn Mxy và các thành phần ứng suất x, y,
xy, được biểu diễn hình 2.4.

Khảo sát ảnh hưởng khuyết tật hình học ban đầu đến ổn định của tấm đàn hồi

- 11 -

Chương 2: Cơ sở lý thuyết của tấm chịu uốn

Hình 2.4 Trạng thái ứng suất và moment uốn trong tấm
Vật liệu là đồng nhất trên toàn bộ tấm, vật liệu tấm tuân theo định luật
Hooke.
Các thành phần ứng suất được biểu diễn dạng ma trận:
σ x 
E 11 E 12 E 13 
 


σ y   E 21 E 22 E 23 
τ 
E 31 E 32 E 33 
 xy 

ε x 


ε y    z
 
 xy 

E 11 E 12 E 13 
E E E 
 21 22 23 
E 31 E 32 E 33 

 x 


 y 
 
 xy 

(2.10)

Các thành phần moment uốn và moment xoắn trên một đơn vị chiều dài
M x dy 

h
2

 

h
2

x

zdydz

h

2

M y dx 



h
2

 

y

zdxdz

h
2

 

xy

zdydz

h

2



y

zdz

(2.11)

M xy     xy zdz


h
2

 

h
2

h
2

h

2

M yx dx 

My 

h
2

h


2

h

2

M xy dy 

M x     x zdz

h
2

h
2

yx

zdxdz

M yx     yx zdz


h
2

Thế phương trình (2.10) vào phương trình (2.11) và tích phân theo toàn bộ
chiều cao h ta tìm được các thành phần Mx, My, Mxy

Khảo sát ảnh hưởng khuyết tật hình học ban đầu đến ổn định của tấm đàn hồi

- 12 -

Chương 2: Cơ sở lý thuyết của tấm chịu uốn
M x 
E 11 E 12 E 13 


h3 

M y  
E 21 E 22 E 23 
12
M 
E 31 E 32 E 33 
 xy 

Trong đó Dij 

E ij h 3
12

 x 


 y  
2 
 xy 

D11 D12 D13 
D D D 
22
23 
 21
D 31 D 32 D 33 

 x 


 y 
2 
 xy 

(2.12)

với i, j = 1, 2, 3 được gọi là hệ số độ cứng trong tấm.

Chúng có thứ nguyên (lực X chiều dài). Đối với vật liệu đồng nhất, đẳng hướng có
module đàn hồi E và hệ soá Poisson  :

M x 


M y 
M 
 xy 

Với D 


1

  D 


0


E h3
12(1   2 )


1
0





0


1
(1   ) 
2

0

 x 



 y 
2 
 xy 

(2.13)

: độ cứng chống uốn trong tấm.

Nếu các thành phần Mx, My và Mxy được tìm thấy thì các thành phần ứng
suất lớn nhất và nhỏ nhất là:
 xmax,min  

6M x
h2

 ym ax,m in  
 xym ax,m in  

6 M xy
h

2

6M y
h2

(2.14)

m ax,m in
  yx

2.2.4 Quan hệ giữa lực cắt và ứng suất trượt.
Các thành phần lực cắt trong mặt phẳng (x,y) được ký hiệu Qx, Qy, được biểu
diễn hình 2.5 . Đơn vị của Qx, Qy là lực / chiều dài (N/cm, Kg/m).
Sử dụng phương trình cân bằng Euler các thành phần xz, yz có thể biểu diễn
dạng parabol thay đổi theo chiều dày,
 xz  

m ax
xz

4z 2
(1  2 )
h

 yz  

m ax
yz

4z 2
(1  2 )
h

Khảo sát ảnh hưởng khuyết tật hình học ban đầu đến ổn định của tấm đàn hồi

(2.15)

- 13 -

Chương 2: Cơ sở lý thuyết của tấm chịu uốn

Hình 2.5 Trạng thái ứng suất trượt và lực cắt trong tấm.

đỉnh của các parabol này  xzm ax ,  yzmax chỉ xảy ra ở giữa bề mặt z = 0 và là hàm chỉ phụ
thuộc vào x,y.
h
2

2
Q x    xz dz   xzm axh
3
h


2

h
2

2 m ax
Q y    yz dz   yz
h
3
h


(2.16)

2

Nếu biết được giá trị các lực cắt Qx, Qy xác định được ứng suất trượt.
 xzmax 

3 Qx
2 h

 yzm ax 

3 Qy
2 h

(2.17)

2.2.5 Tấm vừa chịu lực ngang vừa lực tác dụng trong mặt trung bình .
Tấm có thể làm việc vừa chịu uốn vừa chịu kéo bởi các tải trong ngang q
(vuông góc với mặt phẳng tấm) và các tải trọng Nx, Ny, Nxy trong mặt trung bình
của tấm.
 Phương trình cân bằng do tải trọng ngang q.
Do tất cả các thành phần ứng suất, biến dạng hay nội lực của tấm đều được
biểu diễn qua hàm độ võng của mặt trung bình (Hình 2.6). Nên trước hết ta cần tìm
hàm độ võng w = w(x,y) .
Khảo sát sự cân bằng một phân tố mặt trung bình có kích thước dx, dy với
các lực tác dụng lên phân tố như hình 2.6

Khảo sát ảnh hưởng khuyết tật hình học ban đầu đến ổn định của tấm đàn hoài

- 14 -

Chương 2: Cơ sở lý thuyết của tấm chịu uốn

Hình 2.6 Phương trình cân bằng phân tố trong tấm
 Từ phương trình cân bằng chiếu lên phương x ta coù.

Hay

Q y
Q x
dxdy 
dydx  qdxdy  0
x
y
Q x Q y

q
x
y

(2.18)
(2.19)

 Từ phương trình moment với trục y bỏ qua các đại lượng vô cùng bé
bậc cao ta được:
M yx
M x
dxdy 

dydx  Q x dxdy  0
x
y
M x M yx

 Q x
x
y

(2.20)
(2.21)

 Từ phương trình moment uốn với trục x, tương tự ta có :
M xy
x



M y
y

 Q y

(2.22)

Thay phương trình (2.21), (2.22) vào (2.19), loại bỏ lực caét
 2 M yx  2 M y
2M x
2


 q
xy
x 2
y 2

(2.23)

 Phương trình cân bằng do tải trọng tác dụng trong mặt trung bình
Để dẫn phương trình vi phân mặt võng trong trường hợp này, ta lại xét điều
kiện cân bằng của một phân tố được cắt ra khỏi tấm bởi hai cặp mặt phẳng song
song với các mặt phẳng tọa độ xz và yz. Khi đó các lực tác dụng trong mặt trung
bình của tấm được biểu diễn như trên hình 2.7, chiếu các lực này lên trục x, y.
Giả sử không có lực thể tích tác động theo 2 phương này, ta rút ra phương trình
cân bằng sau:
N x N yx

0
x
y

Khảo sát ảnh hưởng khuyết tật hình học ban đầu đến ổn định của tấm đàn hồi

(2.24)


- 15 -

Chương 2: Cơ sở lý thuyết của tấm chịu uốn
N y
y



N xy
x

(2.25)

0

x
Nx

N x
dx
x

Nx 

z

x

Ny

Nx

y

N x

dx
x
N xy
N xy 
dx
x
N yx
N yx 
dy
y
N y
Ny 
dy
y
Nx 

Hình 2.7 Trạng thái cân bằng phân tố trong tấm
Khi chiếu các lực này lên trục z và kể đến độ võng của tấm. Lực pháp tuyến
Nx có hình chiếu lên trục z , khi bỏ qua các vô cùng bé bậc cao:
Nx

N x w
2w
dxdy 
dxdy
2
x x
x

(2.26)

Tương tự, ta có hình chiếu của lực pháp tuyến Ny trên trục z
Ny

N y w
2w
dxdy 
dxdy
2
y y
y

(2.27)

Khi chiếu lực trượt Nxy, trên trục z cần phải xét độ võng của phân tố dxdy ở
mặt trung bình như hình 2.8, các góc xoay mà lực trượt có hình chiếu là

x

N xy

N yx

N xy 

y

w
y

N xy
x

dx

w  2 w

dx
y xy

Hình 2.8 Độ võng của phân tố dxdy

Khảo sát ảnh hưởng khuyết tật hình học ban đầu đến ổn định của tấm đàn hồi


- 16 -

Chương 2: Cơ sở lý thuyết của tấm chịu uốn
w  2 w

dx
y xy

w
y

(2.28)

Do đó lực trượt Nxy có hình chiếu lên trục z là:
2 N xy

N xy w
N xy w
2w
dxdy 
dxdy 
dxdy
xy
x y
y x

(2.29)

Cộng các biểu thức (2.26), (2.27), (2.30) với tải trọng qdxdy tác động lên
phân tố rồi sử dụng phương trình (2.24), (2.25) rồi thay vào phương trình (2.23) ta
có phương trình cân bằng sau:
 2 M xy  2 M y
2M x
2w
2w
2w

2



(

q


N

N

2
N
)
x
y
xy
xy
xy
x 2
y 2
x 2
y 2

Trong đó :

M x   D(

2w
2w


)
x 2
y 2

M y   D(

2w
2w


)
y 2
x 2

M xy   D (1   )

D

(2.30)

(2.31)

2w
xy

Eh3
12(1   2 )

(2.32)

Trường hợp chiều dày tấm là hằng số phương trình trên trở thành:
4w
4w
4w 1
2w

2w
2w

2


(

q

N

N

2
N
)
x
y
xy
xy
x 4
x 2 y 2 y 4 D
x 2
y 2

(2.33)

2.3 Khái niệm cơ bản về ổn định.
2.3.1 Khái niệm.

Ổn định là hiện tượng thông thường khi có một kết cấu mảnh bị tác động
phần lớn bởi lực nén. Một kết cấu chịu tác dụng bởi lực Pth, nếu vượt quá lực này
kết cấu có thể có nhiều hơn một trạng thái cân bằng và kết cấu sẽ mất ổn định thì
lực đó được gọi là lực tới hạn. Chẳng hạn trường hợp thanh chịu nén của Euler ban
đầu nó có hình dạng thẳng sau khi chịu tải hình dạng bị cong đi. Khi P < Pth, kết cấu
ổn định và khi P > Pth kết cấu bị mất ổn định.
2.3.2 Các tiêu chuẩn ổn định.
Phân tích ổn định kết cấu là một khía cạnh quan trọng trong thiết kế kỹ
thuật. Để thuận tiện nghiên cứu người ta chia ra ba tiêu chuẩn ổn định:

Khảo sát ảnh hưởng khuyết tật hình học ban đầu đến ổn định của tấm đàn hồi


- 17 -

Chương 2: Cơ sở lý thuyết của tấm chịu uốn



 Tiêu chuẩn trạng thái cân bằng không tầm thường ( The criterion of
non – trivial equilibrium state):
Khảo sát sự cân bằng hình 2.9:


P

P

L

L



C

C

Hình 2.9 Trạng thái cân bằng và trạng thái cân bằng ổn định.
Điều kiện cân bằng:
Hoặc

P  C

 M  0  P  C  0 .

(2.34)

C

 P    0
L
L


(2.35)



Một lời giải thông thường của phương trình (2.35) sẽ là  = 0, nghóa là trạng

thái không bị uốn là trạng thái cân bằng. Tuy nhiên, phương trình cũng có thể thỏa
mãn nếu P 

C
C
C
có thể có hai trạng thái cân
 0 hoặc P  . Do đó, khi P 
L
L
L

bằng, ban đầu thanh vẫn thẳng sau đó biến dạng lệch khỏi vị trí ban đầu. Vì vậy,
tải trọng tới hạn được xác định là tải mà lời giải không tầm thường của phương
trình cân bằng xuất hiện lần đầu. Trong trường hợp này, định thức xác định bao
gồm ma trận (1 x1) P 

C
 0 . Đối với hệ hai bậc tự do, ta phải xét định thức (2 x
L

2) với hệ n bậc tự do, ta phải xét định thức (n x n) để xác định tính ổn định của kết
cấu. Theo qui luật đại số tuyến tính, định thức trên phải bằng không để tồn tại
nghiệm không tầm thường. Khai triển định thức ta thu được phương trình siêu việt,
giải phương trình siêu việt sẽ xác định được tải trọng tới hạn.
 Tiêu chuẩn động học (Dynamic criterion).
Khi xét sự ổn định theo tiêu chuẩn động học, ta phải tính đến lực quán
tính. Do đó, một khối lượng tập trung m đặt tại đỉnh của thanh đứng như trong hình
5.10.

Khảo sát ảnh hưởng khuyết tật hình học ban đầu đến ổn định của tấm đàn hồi


- 18 -

Chương 2: Cơ sở lý thuyết của tấm chịu uốn




P
m

..

m

L



C
Hình 2.10 Mô hình động học.


Theo nguyên lý D’Alembert, bằng cách thiết lập một lực quán tính m x như một
ngoại lực ngược chiều với sự chuyển động, phương trình chuyển động được tìm từ
điều kiện cân bằng  M  0 :
..
..


m  L  C  P  0 hoaëc m  L  C  P  0
(2.36)
L

Lời giải của phương trình (2.36) tìm được dưới dạng :
  aet
(2.37)
Trong đó  là tần số và a biên độ dao động. Thay(2.37) phương trình chuyển động
(2.36), ta được:
C
P
C
L
2 mL   P  0 hoặc 2 
L
mL

(2.38)

Phương trình (2.38) được gọi là phương trình tần số. Một cách tổng quát, nếu  >0
thì   aet sẽ vượt quá giới hạn khi t tiến đến vô cùng, khi đó, kết cấu dược xem
như mất ổn định. Mặt khác, nếu  <0 thì   ae t sẽ giảm khi t tiến đến vô cùng
và  tiến tới không. Vì vậy,  = 0 ứng với trạng thái tới hạn. Khi  = 0 từ phương
trình (2.38) xác định được lực tới hạn P 

C
. Kết quả này đúng bằng kết quả trạng
L

thái cân bằng. Ta thấy rằng tiêu chuẩn động học thực chất đưa đến kết quả giống
tiêu chuẩn cân bằng, trong trường hợp này tải trọng tới hạn tìm được độc lập với
khối lượng.
Đối với hệ nhiều bậc tự do, phương trình thu được từ định thức tần số, là điều
kiện cần của lời giải không tầm thường cho phương trình chuyển động, cách thức
thực hiện giống như trong tiêu chuẩn cân bằng.

Khảo sát ảnh hưởng khuyết tật hình học ban đầu đến ổn định của tấm đàn hồi


- 19 -

Chương 2: Cơ sở lý thuyết của tấm chịu uốn

 Tiêu chuẩn năng lượng ( Energy criterion).
Khảo sát tiêu chuẩn năng lượng cùng một mô hình với hai tiêu chuẩn
trên. Năng lượng toàn phần:
V  U  Lp 

1
C 2  P
2

  L  L cos  L1  cos  

Vì vậy biểu thức (2.39) trở thành:

(2.39)
1
L 2

2

1
1
C 2  PL 2
2
2
V
 0 , ta được:
Lúc này, dựa vào điều kiện cân bằng

V

(2.40)
(2.41)

 C  PL   0

(2.42)
Sử dụng lời giải không tầm thường để xác định tải trọng tới hạn, trong trường hợp
C
. Một sự lựa chọn khác của tiêu chuẩn năng lượng: để
L
 2V
 0 và để hệ mất ổn định, V phải lớn nhất:
hệ ổn định, V phải nhỏ nhất:


này tải trọng tới hạn P 

 2V
 2V
 0 . Do đó, trạng thái tới hạn xảy ra khi biểu thức
0



C
 2V  C  PL

 C  PL  0 hoaëc P 
2
L



(2.43)

Trong nghiên cứu sự mất ổn định tuyến tính các biểu thức năng lượng sau đây có
thể sử dụng xác định tải trọng tới hạn:
 2V  0
và
(2.44)
V 0
V  0
Tóm lại, đối với nghiên cứu ổn định đàn hồi, cả ba tiêu chuẩn đều dẫn đến
một lới giải không tầm thường để xác định các thông số tới hạn.
2.4 Bài Toán Ổn Định Tấm.
2.4.1 Phương trình cơ bản của bài toán ổn định tấm có chiều dày không đổi.
Khi khảo sát bài toán ổn định có nhiều thành phần lực tác dụng lên tấm trừ

trường hợp lực tác dụng theo phương ngang. Trong những phần khảo sát tiếp theo
chỉ khảo sát trường hợp lực tác dụng trong mặt phẳng tấm dọc phương x
Phương trình vi phân độ võng lực tác dụng trong mặt phẳng tấm theo phương
x là:

Khảo sát ảnh hưởng khuyết tật hình học ban đầu đến ổn định của tấm đàn hồi


- 20 -

Chương 2: Cơ sở lý thuyết của tấm chịu uốn
D(

4w
4w
4w
2w

2

)

N
0
x
x 4
x 2 y 2 y 4
x 2

(2.45)

2.4.2 Năng lượng biến dạng trong tấm.
Khi nghiên cứu ổn định của tấm mỏng và nhất là tấm không hoàn hảo,
phương pháp năng lượng trở nên rất hữu hiệu khi sử dụng giải quyết bài toán phi
tuyến về mặt hình học.
Xét trường hợp tấm bị uốn do tải trọng ngang nào đó. Gọi u, v, w lần lượt là
3 thành phần chuyển vị theo các phương x, y, z tại một điểm bất kỳ trong mặt trung
bình của tấm khi uốn.
Thành phần biến dạng trong mặt trung bình của tấm là:
u 1  w 
x 
  
x 2  x 

2

2

v 1  w 
 y    
y 2  y 
v u w w
 xy  

x y x y

(2.46)

Trong trường hợp tấm có độ võng bé, nến bỏ qua mọi sự co dãn trong mặt
trung bình tấm thì  x  0,  y  0,  xy  0 .

u
1  w 
  
x
2  x 

2

2

v
1  w 
   
y
2  y 
v u
w w


x y
x y

(2.47)

Năng lượng biến dạng do mặt trung bình bị biến dạng thêm là:

gây ra

Um 

1
( N x  x  N y  y  N xy xy )dxdy
2 

(2.48)

Um 

1
Eh 2
1
2
[ x   y2  2 x  y  (1   ) xy
]dxdy
2

2 1 
2

(2.49)

Nếu tấm bị uốn bởi các thành phần moment Mx, My, Mxy công do moment ấy

lần lượt là:

1
2w
 M x 2 dxdy
2
x

1
2w
 M y 2 dxdy
2
y

1
2w
 M xy
dxdy
2
xy

Khaûo sát ảnh hưởng khuyết tật hình học ban đầu đến ổn định của tấm đàn hồi


- 21 -

Chương 2: Cơ sở lý thuyết của tấm chịu uốn
Năng lượng biến dạng do uốn bởi các thành phaàn moment:
Ub  

1
( M x x  M y y  M xy xy )dxdy
2 

(2.50)

Coâng sinh ra do ngoại lực tác động vào mặt trung bình của tấm:

2
2

 w 
1
w w 
 w 
     N 0 x    N 0 y    2 N 0 xy
 dxdy
2
x y 
 x 
 y 



(2.51)

Tổng năng lượng toàn phần là:

  Um Ub  

(2.52)

Xét trường hợp độ võng nhỏ ta bỏ qua biến dạng trong mặt trung bình tấm.
Thế các biểu thức (2.40), (2.41), (2.42) vào phương trình (2.43) và chỉ xét thành
phần lực Nx tác động trong mặt trung bình tấm ta được:
2
2
 2

  2 w  2 w   2 w  2 
1
  w  2 w 

 w  




   N x    dxdy
   D 2  2   2(1   )  2

2
x
y 
x y 2  xy   
 x  









(2.53)

2.4.3 Caùc điều kiện biên trong tấm chữ nhật.
Trong mặt phẳng trung bình của tấm, chọn hệ trục xy theo phương hai cạnh

tấm.
 Cạnh tự do: Nếu một cạnh tấm hoàn toàn tựa tự do chẳng hạn cạnh x
= a, khi đó dọc cạnh này không có moment uốn, moment xoắn và lực
cắt. Điều kiện biên trong trường hợp này là:
3w
3w 

(
2


)
 3
 0
xy 2  x a
 x
2w
 2w


 2
 0
y 2  x a
 x

(2.54)

 Cạnh tựa đơn: Nếu tấm có cạnh y = 0 tựa đơn, độ võng w ở những
điểm trên cạnh đều bằng không. Đồng thời cạnh này có thể xoay tự
do quanh trục x, tức moment My bằng không. Điều kiện biên trong

trường hợp này là:
w y 0  0

2w
2w


0
 2

x 2  y 0
 y

(2.55)

 Cạnh ngàm: Nếu cạnh bị tấm ngàm, độ võng mọi điểm trên cạnh
bằng không và dọc theo cạnh này, mặt phẳng tiếp xúc với mặt võng

Khảo sát ảnh hưởng khuyết tật hình học ban đầu đến ổn định của tấm đàn hồi


- 22 -

Chương 2: Cơ sở lý thuyết của tấm chịu uốn

trùng với mặt trung bình của tấm lúc ban đầu. Giả sử trục x trùng với
cạnh ngàm. Điều kiện biên trong trường hợp này là:
w y 0  0

w

y

y 0

0

(2.56)

 Cạnh tựa đàn hồi và cạnh ngàm đàn hồi: Nếu cạnh x = a của tấm
chữ nhật được gắn với một dầm đỡ, độ võng dọc theo cạnh này sẽ
khác không và đúng bằng độ võng và góc xoay sẽ đúng bằng góc
xoay của dầm. Gọi EI là độ cứng chống uốn của dầm và GJ là độ
cứng chống xoắn của dầm. Điều kiẹân biên trong trường hợp này laø:
3w
 4w
3w 
D  3  (2   )

EI

 4
xy 2  x a
 x
 y  x a
2w
 3w 
 2w
D  2   2   GJ 
2
y  x a

 x
 xy  x a

(2.57)

2.5 Các Phương Pháp Xác Định Tải Trọng Tới Hạn.
Có nhiều phương pháp xác định tải trọng tới hạn trong bài toán ổn định trong
phần này chỉ giới thiệu các phương pháp được sử dụng trong khảo sát và tính toán
sau này.
2.5.1 Phương pháp giải tích.
Phương pháp giải tích là phương pháp cho lời giải chính xác. Phương pháp
này có thể tìm chính xác hàm độ võng bằng cách tích phân trực tiếp phương trình vi
phân. Hạn chế của phương pháp này là chỉ áp dụng một vài trường hợp đặc biệt
trong bài toán tấm có chiều dày không đổi. Khi tìm được nghiệm chứa các hằng số
tích phân dựa vào điều kiện biên và điều kiện tồn tại nghiệm không tầm thường
xác định được tải trọng tới hạn và các dạng mất ổn định của hàm độ võng.
2.5.2 Phương pháp năng lượng ( Phương pháp Ritz)
Phương pháp này rất có hiệu quả khi chưa biết lời giải chính xác của phương
trình hoặc khi tấm có sườn gia cố hoặc tấm có chiều dày thay đổi, mà ta chỉ cần tìm
giá trị gần đúng của tải trọng tới hạn . Đây là phương pháp cân bằng giữa năng
lượng uốn và công sinh ra do ngoại lực tác dụng. Nếu công này bé hơn năng lượng
uốn ở từng dạng mặt võng có thể xảy ra theo phương ngang thì dạng cân bằng của
tấm là ổn định. Ngược lại, nếu công ấy lớn hơn năng lượng uốn của một mặt võng
nào đó theo phương ngang thì tấm sẽ mất ổn định. Vậy tải trọng tới hạn sinh ra khi
tổng năng lượng uốn và công do ngoại lực sinh ra bằng không:

Khảo sát ảnh hưởng khuyết tật hình học ban đầu đến ổn định của tấm đàn hồi


Chương 2: Cơ sở lý thuyết của tấm chịu uốn

  Um Ub    0

- 23 -

(2.58)

2
2
 2
  2 w  2 w   2 w  2 
1
  w  2 w 

 w  




   N x    dxdy  0 (2.59)
D

 2(1   )  2

2   x 2 y 2 
x y 2  xy   
 x  







Muốn xác định tải trọng tới hạn nhờ phương pháp này, trước tiên ta giả sử
hàm độ võng có dạng chuỗi:
w  a1 f1 ( x, y )  a 2 f 2 ( x, y )  ...  a n f n ( x, y )
(2.60)
trong đó hàm f1 ( x, y ), f 2 ( x, y )... f n ( x, y ) tuân theo các điều kiện biên hình học của w
được chọn sao cho thể hiện đầy đủ dạng mặt võng của tấm. Thế hàm độ võng này
vào phương trình thế năng phụ thuộc các hệ số a1, a2 … an buộc thế năng đạt cực
tiểu. Điều kiên cực tiểu:

0
a1

0
a 2

(2.61)

…………


0
a n

Phương trình (2.50) khi tích phân biểu thức năng lượng sẽ là hàm bậc 2 theo a 1, a2 …
an nên phương trình (2.52) sẽ là hệ phương trình đại số tuyến tính thuần nhất a 1, a2
… an. Khi định thức của hệ này bằng không thì mới tồn tại nghiệm a 1, a2 … an khác
không. Buộc định thức này bằng không, ta rút ra phương trình siêu việt xác định tải
trọng tới hạn cho bài toán ổn định tấm.

2.5.3 Phương pháp Boobnov-Galerkin.
Khi biết độ võng ảo w của tấm ta có thể tính công tương ứng của tải trọng
2w
wdxdy
x x 2
D 
D 
w  2
w  Dw 
hoaëc (V ) 2   [ D w  2
x x
y y
(V )1    N

 (1   )(

2D 2w
2D 2w 2D 2w

2

)]wdxdy
xy xy y 2 x 2
x 2 y 2

(2.62)

(2.64)

Nếu w là nghiệm chính xác của phương trình tấm thì (V )1  (V ) 2

Đặt  ( w)  D w  2

D 
D 
w  2
w  Dw 
x x
y y

 (1  )(

2D 2w
2D 2w 2D 2w
2w

2

)

N
x
xy xy y 2 x 2
x 2 y 2
x 2

(2.65)

Giả sử hàm độ võng w có dạng:
n

w   a k wk
k 1

Khảo sát ảnh hưởng khuyết tật hình học ban đầu đến ổn định của tấm đàn hồi

(2.66)