Khóa luận tốt nghiệp: Ứng dụng tích phân bội trong vật lý

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

LÊ THỊ MINH ANH

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI TRONG VẬT LÝ

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

HÀ NỘI , 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

LÊ THỊ MINH ANH

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI TRONG VẬT LÝ

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Người hướng dẫn khoa học:

PGS. TS Hà Thanh Hùng

HÀ NỘI , 2018

LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật lý của trƣờng
Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ em trong quá trình học tập tại trƣờng
và tạo điều kiện cho em đƣợc làm khóa luận. Em xin gửi lời cảm ơn đến thầy
giáo PGS.TS. Hà Thanh Hùng - ngƣời đã tận tình chỉ bảo, hƣớng dẫn em
nghiên cứu và hồn thành khóa luận này.
Trong q trình em nghiên cứu làm khóa luận khơng tránh khỏi những
thiếu sót và nhiều chỗ cịn hạn chế. Kính mong nhận đƣợc sự đóng góp ý kiến
của các thầy cơ giáo để khóa luận của em đƣợc hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 8 tháng 5 năm 2018
Sinh viên

Lê Thị Minh Anh


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận với đề tài “Ứng dụng của tích phân bội trong vật lý” là kết
quả của cá nhân em trong quá trình học tập và nghiên cứu tại Trƣờng Đại học
Sƣ phạm Hà Nội 2.
Trong quá trình làm khóa luận em có tham khảo một số tài liệu đƣợc ghi
trong phần “Tài liệu tham khảo”.
Em xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng em, không
trùng lặp với kết quả của các tác giả khác.
Hà Nội, ngày 8 tháng 5 năm 2018
Sinh viên

Lê Thị Minh Anh

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .....................................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài .....................................................................................................1
2. Mục đ ch nghiên cứu ...............................................................................................1
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ...........................................................................1
4. Giả thuyết khoa học ................................................................................................1
5. Nhiệm vụ nghiên cứu ..............................................................................................1
6. hƣơng pháp nghiên cứu.........................................................................................1
7. Đóng góp của đề tài.................................................................................................2
8. Các trúc khóa luận ...................................................................................................2
CHƢƠNG I: SƠ LƢỢC LÍ THUYẾT VỀ TÍCH PHÂN BỘI ...................................3
1. Tích phân bội ..........................................................................................................3
1.1. Tích phân kép .......................................................................................................3
1.2. Tích phân ba .........................................................................................................6
2. Định l

appus‟........................................................................................................6

3. Cách thay đổi biến trong tích phân bội ...................................................................8
3.1. Thay đổi biến trong tích phân kép .......................................................................8
3.2. Cách thay đổi biến trong tích phân ba ...............................................................10
3.3. Đặc tính chung của Jacobian..............................................................................12
CHƢƠNG II: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI TRONG VẬT LÝ ................14
2.1. Ứng dụng tính diện tích và thể tích của vật thể .................................................14
2.2 Ứng dụng tính khối lƣợng, xác định khối tâm và trọng tâm của các vật thể ......22
2.3 Ứng dụng tính mơ men qn tính của các vật rắn ............................................32
2.4 Ứng dụng tính giá trị trung bình của các đại lƣợng vật lý ..................................37
2.5 Ứng dụng của tích phân I 



e

 x2

dx để xác định các đại lƣợng vật lý ............43



KẾT LUẬN ...............................................................................................................48
TÀI LIỆU THAM KHẢO .........................................................................................49


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Vật lí học là một ngành của triết học tự nhiên và khoa học tự nhiên. Vật lý
học có liên quan chặt chẽ với các môn khoa học khác. Từ rất lâu phƣơng pháp toán
học đƣợc sử dụng trong vật lý phát triển và đặc biệt là vật lý lý thuyết. Các lý thuyết
vật lý đã sử dụng ngơn ngữ tốn học để nhận đƣợc những cơng thức chính xác
miêu tả các đại lƣợng vật lý thu đƣợc những nghiên cứu chính xác hay những giá
trị ƣớc lƣợng và tiên đoán những hệ quả. Những kết quả thí nghiệm hay thực
nghiệm của vật lý đều biểu hiện bằng các giá trị số. Càng đi sâu vào nghiên cứu ta
càng thấy toán học và vật lý càng có sự giao thoa với nhau.
Đƣợc sự định hƣớng của thầy giáo hƣớng dẫn PGS.TS. Hà Thanh Hùng nên
tơi quyết định chọn đề tài “Ứng dụng của tích phân bội trong trong vật lý” để
nghiên cứu trong khóa luận tốt nghiệp của mình. Mong rằng đề tài này sẽ là tài liệu
tham khảo giúp cho các bạn sinh viên trong môn học vật lý.
2. Mụ đ h nghi n ứu
- Nghiên cứu về các ứng dụng của tích phân bội trong một số đại lƣợng vật lý.
- Giải một số bài tốn về tích phân bội.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tƣợng nghiên cứu: Ứng dụng của tích phân bội trong Vật lý.
- Phạm vi nghiên cứu: Tổ chức cho HS sử dụng kiến thức của tích phân bội
vào giải các bài tập Vật lý.
4. Giả thuyết khoa học
Nếu tăng cƣờng kiến thức của tích phân bội vào bộ mơn Vật lý thì có thể phát
triển năng lực giải quyết vấn đề, nâng cao chất lƣợng và nắm vững kiến thức các
môn liên hợp.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Đƣa ra cơ sở lý thuyết của tích phân bội.
- Giới thiệu một số bài tập về các dạng tích phân bội và cách giải các bài tập đó.
6. Phư ng ph p nghi n ứu
- Đọc tra cứu tài liệu.

1


- hƣơng pháp vật lý lý thuyết và vật lý tốn.
7. Đóng góp ủa đề tài
7.1. Đóng góp về mặt lí luận
Hệ thống hóa một số cơ sở lí luận tích phân bội trong dạy học Vật lý.
7.2. Đóng góp về mặt thực tiễn
Trang bị những kiến thức cần thiết cho học sinh về: tích phân bội trong vật lý,
các phƣơng pháp giải tốn về tích phân bội ứng dụng trong Vật lý…giúp cho bài
giảng hiệu quả hơn và học sinh có cái nhìn tổng quan, hiểu đƣợc bản chất vấn đề đặt
ra, từ đó có đƣợc phƣơng pháp giải phù hợp.
8. Các trúc khóa luận
Chƣơng 1: Sơ lƣợc lý thuyết về tích phân bội
Chƣơng 2: Ứng dụng của tích phân bội trong vật lý

2


CHƯƠNG I: SƠ LƯỢC LÍ THUYẾT VỀ TÍCH PHÂN BỘI
1. Tích phân bội
Tích phân bội là một loại t ch phân xác định đƣợc mở rộng cho các hàm có
nhiều hơn một biến ví dụ f(x,y) hoặc f(x,y,z). Đầu tiên chúng ta thảo luận về tích
phân kép và tích phân ba sau đó chúng ta xem xét thay đổi các biến trong tích phân
bội và thảo luận một số thuộc tính chung của Jacobians.
1.1 Tích phân kép
Tích phân kép – một tích phân có hai biến số- hàm f (x,y), đƣợc lấy tích phân
theo x và y giữa các giới hạn nhất định. Các giới hạn này thƣờng đƣợc đại diện bởi
một đƣờng cong kín C giới hạn một vùng R trong mặt phẳng xy.
Chia vùng R thành N vùng rất nhỏ ΔRp có diện tích ΔAp, p = 1,2,3,…N và (xp,
yp) là điểm bất kì trong vùng rất nhỏ ΔRp
N

Ta có tổng :

S   f ( x p , y p )Ap
p 1

Cho N→∞ thì diện t ch ΔAp →0
Nếu tổng S tiến tới một giới hạn duy nhất đơn trị thì nó đƣợc gọi là tích phân
kép của f(x,y) trong vùng R và đƣợc viết là

I  R f ( x, y)dA

(1.1)

trong đó dA là nguyên tố diện tích trong mặt phẳng xy. Nguyên tố diện tích
dA là diện tích của hình chữ nhật rất nhỏ trong vùng R và ΔA=ΔxΔy và Δx, Δy đều
tiến tới 0, ta viết t ch phân nhƣ sau:

I  R f ( x, y)dxdy

(1.2)

ở (1.2) ta đã viết nguyên tố diện tích dA =dxdy với dx, dy là hai vi phân của
tọa độ ( xem hình 1.1)

3


Hình 1.1. Đường cong kín C giới hạn một vùng R trong mặt phẳng xy
Công thức (1.2) cho chúng ta cách tính một tích phân kép. Trong hình 1.1, các
giới hạn trên phép tính tích phân có thể đƣợc viết bằng phƣơng trình c(x,y)=0 cho
bởi đƣờng biên đƣờng cong C. Tuy nhiên các giới hạn có thể viết trong hai cách
khác nhau
Cách thứ nhất t nh t ch phân là đầu tiên tổng hợp các ngun tố diện tích
hình chữ nhật nhỏ lại rồi sắp xếp thành các dải ngang với chiều rộng dy sau đó hợp
những dải ngang này rồi trải ra toàn bộ vùng R, trong trƣờng hợp này ta viết tích
phân nhƣ sau:
y d

I  y  c



x  x2 ( y )

x  x1 ( y )



f ( x, y )dx dy

(1.3)

trong đó x=x1 và x=x2 là các phƣơng trình của các đƣờng cong TSV và TUV
tƣơng ứng. Từ (1.3) ta thấy rằng đầu tiên f(x,y) đƣợc lấy tích phân theo x ( y nhƣ là
một hằng số) giữa các giá trị x=x1(y) và x=x2(y) và sau đó kết quả đƣợc coi nhƣ là
hàm của y và đƣợc lấy tích phân giữa các giới hạn y=c, y=d. Do đó t ch phân kép
đƣợc t nh trong điều kiện của hai t ch phân đơn gọi là tích phân lặp.
Cách thứ hai để t nh t ch phân là đầu tiên tổng hợp các nguyên tố diện tích
hình chữ nhật nhỏ lại rồi sắp xếp thành các dải dọc sau đó hợp những dải dọc này
rồi trải chúng ra tồn bộ vùng R thì t ch phân đƣợc viết nhƣ sau:
x b

I  x a



y  y2 ( x )

y  y1 ( x )



f ( x, y )dy dx

4

(1.4)


Trong đó y=y1 (x) và y=y2(x) là các phƣơng trình của các đƣờng cong STU và
SVU tƣơng ứng. Từ (1.3) và (1.4) ta có thể thay đổi thứ tự của các phép tính tích
phân cho nhau.
Nói chung, hàm f(x,y) là liên tục ở khắp nơi trong R và đƣờng biên đƣờng
cong C có hình dạng đơn giản thì sẽ cho ta cùng một kết quả, nó khơng phụ thuộc
vào thứ tự của phép tính tích phân. Cịn trong trƣờng hợp vùng R có hình dạng phức
tạp, thì ta chia nó thành các vùng nhỏ có hình dạng đơn giản hơn R1, R2,…. Tích
phân kép trên tồn R là tổng của tất cả các tích phân kép trên các vùng rất nhỏ đã
chia.
Để tránh việc sử dụng các dấu ngoặc trong biểu thức (1.3) và (1.4) ta có thể từ
(1.4) viết đƣợc t ch phân kép nhƣ sau:

I  c dy x ( y ) f ( x, y)dx
d

x2 ( y )
1

ở biểu thức này ta hiểu mỗi kí hiệu t ch phân đƣợc tính ở bên phải của nó và thứ tự
của phép tính tích phân là từ phải sang trái. Vì vậy trong ví dụ này hàm lấy tích
phân f(x,y) đầu tiên đƣợc lấy t ch phân theo y sau đó theo x. Với tích phân kép
đƣợc diễn tả cách trên, ta không phải viết dài hơn các biến độc lập một cách rõ ràng
trong các giới hạn của phép tính tích phân.
Sử dụng thứ tự của phép tính tích phân trong (1.3) ta có thể viết tích phân kép

nhƣ sau:

I  c dy x ( y ) f ( x, y)dx
d

x2 ( y )
1

Đôi khi thay đổi thứ tự của phép tính tích phân trong một tích phân kép khơng
đƣợc phép vì nó cho một kết quả khác nhau. Ví dụ nếu vùng R khơng có đƣờng
biên giới (vô biên) với các giới hạn vô hạn mặc dù trong nhiều trƣờng hợp liên quan
đến giới hạn vô hạn cho cùng một kết quả thu đƣợc bất cứ thứ tự của phép tính tích
phân đƣợc sử dụng. Việc tính tích phân sẽ trở lên khó hơn nếu hàm lấy tích phân
f(x,y) bị gián đoạn trong R hoặc trên đƣờng biên giới C của nó.

5


1.2 Tích phân ba
Xét hàm số f(x,y,z) trong một miền kín R ba chiều. Nhƣ chúng ta đã làm đối
với tích phân kép, ta chia vùng R thành N các tiểu vùng ΔRp có thể t ch ΔVp,
p=1,2,…N và lấy (xp,yp,zp) là điểm bất kì trong tiểu vùng ΔRp. Ta có tổng
N

S   f ( x p , y p , z p )Vp
p 1

Cho N→∞ thì ΔVp→0. Nếu tổng S tiến tới một giới hạn duy nhất đơn trị, I khi
đó đƣợc gọi là tích phân ba của f(x,y,z) trong vùng R và đƣợc viết là :

I  R f ( x, y, z )dV

(1.5)

Trong đó dV là viết tắt của nguyên tố thể tích. Bằng cách chọn các tiểu vùng
là các hình hộp nhỏ có thể tích ΔV=ΔxΔyΔz và tiến tới giới hạn, tích phân có thể
viết nhƣ sau :

I  R f ( x, y, z )dxdydz

(1.6)

ở (1.6) ta đã viết nguyên tố thể tích thành tích của ba vi phân tọa độ. Mở rộng
các kí hiệu đƣợc sử dụng trong tích phân kép ta có thể viết tích phân ba nhƣ là ba
t ch phân đơn, ví dụ:

I  x dx y ( x ) dy z ( x , y ) f ( x, y, z )dz
x2

y2 ( x )

z2 ( x , y )

1

1

1

Trong đó các giới hạn trên mỗi tích phân mơ tả các giá trị x, y, z lấy trên

đƣờng biên của vùng R. Đối với tích phân kép, trong hầu hết các trƣờng hợp thứ tự
của các phép tính tích phân khơng ảnh hƣởng đến giá trị của tích phân ta có thể mở
rộng ý tƣởng trên để xác định tích phân bội nhiều chiều hơn theo cách tƣơng tự.
2. Định lí Pappus
Các định lí pappus (khoảng thế kỉ XVII) xác lập mối quan hệ giữa trọng tâm
với thể tích của vật trịn xoay và diện tích của mặt trịn xoay, và giúp cho việc tìm
kiếm một đại lƣợng xác định có thể đƣợc tính tốn dễ dàng hơn

6


Hình 1.2. Trong mặt phẳng xy, diện tích A quay quanh trục x tạo thành thể
tích của vật trịn xoay
Nếu một hình phẳng đƣợc quay quanh một trục nằm trong mặt phẳng của hình
nhƣng khơng cắt hình đó thì tạo ra thể tích của vật trịn xoay. Định lí pappus thứ
nhất khẳng định rằng thể tích của một vật trịn xoay đƣợc tạo ra bởi mặt phẳng diện
tích A bằng diện tích A nhân với chu vi vịng trịn vạch bởi trọng tâm của hình
phẳng A. Điều này có thể đƣợc chứng minh bằng cách xem xét định nghĩa của
trọng tâm trong mặt phẳng diện tích nhƣ là khối tâm nếu mật độ là đều, do đó

y

1
 ydA
A

Ta có thể t ch đƣợc tạo ra bằng cách quay mặt phẳng diện tích quanh trục x ta đƣợc

V   2 ydA  2 yA
Trong đó diện tích nhân với chu vi vịng trịn vạch bởi trọng tâm của hình

phẳng A.

Hình1.3. Một đường cong trong mặt phẳng xy quay quanh trục x tạo thành
một hình trịn xoay

7


Định lí pappus thứ hai khẳng định rằng nếu một đƣờng cong phẳng đƣợc quay
quanh một trục đồng phẳng nhƣng khơng cắt đƣờng cong thì diện tích mặt trịn
xoay đƣợc tạo ra và bằng độ dài của của đƣờng cong L nhân với chu vi của đƣờng
tròn vạch bởi trọng tâm của đƣờng cong đó (xem hình 1.3). Điều này có thể đƣợc
chứng minh một cách tƣơng tự nhƣ định lí thứ nhất bằng cách xét định nghĩa của
trọng tâm trong mặt phẳng đƣờng cong,

y

1
 yds
L

Và diện tích bề mặt đƣợc t nh nhƣ sau :

S   2 yds  2 yL
Trong đó S bằng chiều dài của đƣờng cong nhân với chu vi của đƣờng tròn
vạch bởi trọng tâm của đƣờng cong đó.
3. Cách thay đổi biến trong tích phân bội
3.1 Thay đổi biến trong tích phân kép
Xét sự thay đổi của các biến trong một tích phân kép, giả sử ta thay đổi một
tích phân sau:

I  R f ( x, y)dxdy,
Thay các tọa độ x, y bằng các tọa độ mới là u, v và u=u(x,y) và v=v(x,y)
trong đó các tọa độ u, v là hàm số của các biến số x, y với phần tử nghịch đảo
x=x(u,v) và y=y(u,v). Vùng R trong mặt phẳng xy và đƣờng cong C giới hạn nó sẽ
trở thành vùng mới R‟ và một đƣờng biên giới mới C‟ trong mặt phẳng uv và chúng
ta phải thay đổi các giới hạn của phép tính tích phân sao cho phù hợp. Ngồi ra hàm
f(x,y) trở thành hàm mới g(u,v) có các tọa độ mới.

8


Hình 1.4. Một vùng của phép tính tích phân R chồng với một mạng lưới hình
thành bởi họ

đường cong u= hằng số và v= hằng số. Trong đó

hình

bình hành KLMN là diện tích nguyên tố dAuv
Xét nguyên tố diện tích trong tích phân.
Trong mặt phẳng xy nguyên tố diện tích hình chữ nhật dAxy=dxdy đƣợc tạo ra
bằng cách xây dựng một mạng lƣới các đƣờng thẳng song song tƣơng ứng với trục
x và trục y. Nhiệm vụ của ta là xác định các diện tích nguyên tố tƣơng ứng trong tọa
độ uv. Nói chung các nguyên tố dAuv tƣơng ứng sẽ khơng giống hình dạng của dAxy
nhƣng điều này khơng quan trọng vì tất cả các nguyên tố là cực nhỏ và giá trị của
t ch phân đƣợc coi là khơng đổi qua chúng. Vì các cạnh của ngun tố diện tích là
vơ cùng nhỏ, dAuv nói chung sẽ có dạng của hình bình hành. Chúng ta có thể tìm
mối liên hệ giữa dAxy và dAuv bằng cách xét các lƣới hình bình hành từ các đƣờng
cong u= hằng số và v= hằng số ( thể hiện trong hình 1.4). Dọc theo ngun tố dịng

KL có v là hằng số, có các thành phần

x
y
du và
du tƣơng ứng trong các chiều
u
u

của trục x và trục y. Tƣơng tự nhƣ vậy, dọc theo ngun tố dịng KN có u là hằng
số, có các thành phần tƣơng ứng

x
y
dv và
dv. Ta có diện tích hình bình hành
v
v

KLMN là

9


dAuv 
=

x y
x y
du dv  dv du

u v
v u
x y x y

dudv
u v v u

Xác định Jacobin của x, y đối với u, v là

J

( x, y) xy xy


(u, v) uv vu

Ta có

dAuv 

 ( x, y )
dudv
 (u, v)

Trong định thức thì Jacobian có thể đƣợc viết nhƣ định thức vuông cấp 2

x
 ( x, y ) u
J


 (u , v) x
v

y
u
y
v

Tóm lại trong mối quan hệ giữa số đo của nguyên tố diện t ch đƣợc tạo ra bởi
dx, dy và số đo của nguyên tố diện t ch tƣơng ứng đƣợc tạo ra bởi du, dv là :

dxdy 

 ( x, y )
dudv
 (u, v)

Ta có thể diễn tả tích phân kép trong cả hai hệ tọa độ nhƣ sau :

I  R f ( x, y )dxdy  R g (u , v)
'

 ( x, y )
dudv
 (u, v)

(1.7)

Khi tính tích phân trong hệ tọa độ mới, phép t nh t ch phân thƣờng đƣợc biểu
diễn trên vùng của phép t nh t ch phân R‟ trong mặt phẳng uv.

3.2 Cách thay đổi biến trong tích phân ba
Giả sử chúng ta muốn thay đổi các biến x, y, z sang u, v, w. Các tọa độ x, y, z
của nguyên tố thể tích là một hình hộp có các cạnh là dx, dy, dz và thể tích dVxyz=
dxdydz. Nếu chia tồn thể tích thành những phần vô cùng nhỏ bằng cách xây dựng
một mạng lƣới hình thành từ các các tọa độ bề mặt u, v, w ( u, v, w đều là hằng số).

10


Khi đó các ngun tố thể tích dVxyz trong hệ tọa độ mới sẽ có hình dạng của một
hình có các mặt là các tọa độ bề mặt và có cạnh là những đƣờng cong đƣợc tạo
thành bởi các giao điểm của các bề mặt (nhìn hình 1.5)

Hình 1.5. Một vùng 3 chiều của phép lấy tích phân R, biểu diễn nguyên tố thể
tích trong hệ tọa độ u, v, w được tạo thành bởi các tọa độ mặt u= hằng số,
v= hằng số, w= hằng số.
Dọc theo yếu tố dòng PQ các tọa độ v và w là hằng số và PQ có các thành
phần

x
y
z
du và
du tƣơng ứng trong các chiều của các trục x, y, z. Các
du ,
u
u
u

thành phần của các yếu tố dòng S và ST đƣợc tìm thấy bằng cách thay thế u, v và

w tƣơng ứng.
Sử dụng biểu thức thể tích của hình hộp với các thành phần của nó theo các
trục x, y, z, ta tìm đƣợc ngun tố thể tích trong các tọa độ u, v, w là:

dVuvw 

 ( x, y , z )
dudvdw
 (u, v, w)

Trong đó Jacobian của x, y, z đối với u, v, w là cách viết tắt của định thức
vuông cấp 3:

11


x
u
 ( x, y , z )
x

 (u, v, w) v
x
w

y
u
y
v
y

w

z
u
z
v
z
w

Vậy mối quan hệ giữa nguyên tố thể tích trong tích phân bội đƣợc đƣa về một
cơng thức trong 2 hệ tọa độ đƣợc đƣa ra trong công thức Jacobian là:

dxdydz 

 ( x, y , z )
dudvdw,
 (u, v, w)

Và ta có thể viết một tích phân ba trong cả hai hệ tọa độ nhƣ sau:

I  R f ( x, y, z )dxdydz  R g (u, v, w)
'

 ( x, y , z )
dudvdw.
 (u, v, w)

3.3 Đặc tính chung của Jacobian
Ta có kết quả chung cho sự thay đổi các tọa độ trong tích phân n chiều từ một
tập xi đến một tập yi ( trong đó i và j chạy từ 1 đến n) là:

dx1dx2 ...dxn 

( x1 , x2 ,..., xn )
dy1dy2 ...dyn ,
( y1 , y2 ,..., yn )

trong n chiều Jacobian có thể đƣợc viết là định thức vuông cấp n, cách tƣơng tự
nhƣ trong trƣờng hợp 2 chiều và 3 chiều
Xét 3 tập các biến số xi, yi, zi với i chạy từ 1 đến n. Từ khai triển phép lấy vi
phân từng phần có
n
xi
x y
 i k
z j k 1 yk z j

Có A, B và C là các ma trận tƣơng ứng với các phần tử

(1.8)

xi yi
xi
,
và
.
z j
 y i z j

Ta có thể viết (1.8) nhƣ là kết quả ma trận

n

cij   aik bkj hay C=AB
k 1

12

(1.9)


Ta có thể sử dụng kết quả chung của định thức từ kết quả của hai ma trận là
|AB|=|A||B|, và nhớ lại Jacobian

J xy 

( x1 ,..., xn )
| A |
( y1 ,..., yn )

(1.10)

và một cách tƣơng tự cho Jyz và Jxz . Trong định thức của (1.9), ta có đƣợc
obtian
Jxz = Jxy Jyz
Hay kí hiệu

( x1 ,..., xn ) ( x1 ,..., xn ) ( y1,..., yn )

( z1 ,..., zn ) ( y1 ,..., yn ) ( z1,..., zn )

(1.11)

Nhƣ là một trƣờng hợp đặc biệt, nếu tập zi đƣợc thực hiện đúng nhƣ tập xi và
rõ ràng kết quả Jxx =1 đƣợc sử dụng, ta thu đƣợc
Jxy Jyz =1
Hay, kí hiệu

 ( x1 ,..., xn )  ( y1 ,..., yn ) 

 ( y1 ,..., yn )  ( x1 ,..., xn ) 

1

(1.12)

Ta chú ý từ (1.10) vì |A|=|AT|, với AT là chuyển vị của A, ta có thể trao đổi các
hàng và các cột trong định thức của Jacobian không làm thay đổi giá trị của nó.

13


CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI TRONG VẬT LÝ
2.1. Ứng dụng tính diện tích và thể tích của vật thể
Tích phân bội thƣờng đƣợc sử dụng trong việc tìm diện tích và thể tích. Ví dụ
tích phân

A  R dA  R dxdy
tƣơng đƣơng với diện tích của vùng R. Tƣơng tự nếu chúng ta xét mặt z=f(x,y)
trong hệ tọa độ Đecac 3 chiều thì thể t ch dƣới mặt này mà đứng theo chiều dọc trên
vùng R đƣợc tính bởi tích phân

V  R zdA  R f ( x, y)dxdy
trong đó thể tích trên mặt phẳng xy là dƣơng còn ở dƣới là âm.
 hƣơng pháp giải
 Dạng 1: yêu cầu tính diện tích và thể tích của một vùng đƣợc giới hạn bởi
các đƣờng, các mặt
Giải:
+ B1: Ta biểu diễn vùng đó trên tọa độ 0xy hoặc 0xyz để xác định nguyên tố
thể tích dA hoặc dV
+ B2: Xác định cận của x, y, z
+ B3: Áp dụng công thức

A  R dA  R dxdy
V  R zdA  R f ( x, y)dxdy

hoặc
+ B4: Giải tích phân

Ví dụ : Tìm thể tích của vùng giới hạn bởi 3 mặt phẳng tọa độ x=0, y=0, z=0
và mặt phẳng x/a +y/b +z/c = 1.
Giải:

14


Hình 2.1. Các tứ diện được giới hạn bởi các tọa độ mặt và mặt phẳng
x/a +y/b + z/c =1 được chia thành các tấm thẳng đứng, các tấm được chia
thành các cột và các cột được chia thành các hộp nhỏ
Nhƣ hình 2.1, ngun tố thể tích của vùng bóng mờ bằng dV=zdxdy và ta
phải lấy tích phân trong tam giác vùng R ở trong mặt phẳng xy giới hạn bởi các

đƣờng thẳng x=0, y=0 và y=b-bx/a. Thể tích toàn phần của tứ diện là
b bx / a

V  R zdxdy  0 dx 0
a

c(1 

y x
 )dy
b a

y b bx / a

y 2 xy 


= c 0 dx  y 
2b a  y 0

a

 bx 2 bx b  abc
  
= c 0 dx 
6
 2a a 2 
a

Ngồi ra ta có thể viết thể tích của vùng R 3 chiều là

V  R dV  R dxdydz
ở cơng thức trên chỉ khó khăn khi thiết lập các giới hạn đúng của từng tích phân.
Đối với ví dụ trên thể t ch đƣợc viết theo cách này tƣơng ứng với cách chia tứ diện
thành các hộp ngun tố có thể t ch dxdydz (nhƣ hình 2.1); phép tính tích phân trên
z ta chồng các hộp lên để tạo thành cột bóng mờ nhƣ trong hình. Các giới hạn của
phép lấy tích phân trên z là z=0, đến z=c (1-y/b-x/a), và thể tích tồn phần của tứ
diện là

15


b bx / a

V  0 dx 0
a

c (1 y / b  x / a )

dy 0

dz

Cũng cho kết quả tƣơng tự nhƣ trên
 Dạng 2: Yêu cầu tính tích phân theo diện tích hay thể tích của hàm f(x,y) hay
f(x,y,z) trên một vùng R xác định
Giải:
+ B1: Áp dụng công thức

I  R f ( x, y)dA

I  R f ( x, y, z )dV

hoặc

+ B2: Biểu diễn vùng R trên hệ tọa độ 0xy hoặc 0xyz ( nếu có thể) hay xem R
đƣợc giới hạn bởi các đƣờng, các mặt nào từ đó xác định dA, dV và cận của x,y,z
+ B3: Thay vào công thức trên rồi giải tích phân
Ví dụ : Tìm tích phân theo thể tích của x2y trên khối tứ diện giới hạn bởi các
mặt phẳng x=0, y=0, z=0 và x+y+z=1.
Giải
Ta có I    x2 y dxdydz
Hình chiếu của I xuống mặt phẳng 0xy là miền D1   x, y  : 0  x  1,0  y  1 x
Giới hạn trên của I là z=1-x-y
Giới hạn dƣới của I là z=0
I   dx 
1

1 x

0

0

I   dx 
1

1 x

0

0

dy 

1 x  y

0

1

1 x

0

0

x 2 ydz   dx 

dy  x 2 yz 
0


1 x  y

1

1 x

0

0

x 2 y 1  x  y  dy   dx 




 x y  x y  x y  dy
2

3

2

2

1 x
2
3
 y 2
 1  x2
x3
x2
2
2
3
2
3 y
2 y 
    1  x   1  x   1  x  dx

I   dx  x
x
x

0
0
2
2
3 0 
2
3

2


2
1 x
x 4 x3
x5 x 2
x5 
I     x3    x 4    x3  x 4   dx
0
2 2
2 3
3
2
1

16

1

 x 2 x3 x 4 x5 
 x3 x 4 x5 x 6 
I        dx      
0
 6 2 2 6
 18 8 10 36  0
1 1 1 1
1
I   

18 8 10 36 360
1

 Bài tập :
Bài 1. Tính thể tích của nêm cong bị giới hạn bởi các mặt:
y2 =4ax, x+z=a và z=0.
Giải:
Thể tích V   dxdydz
Với
x   0; a 



y   4ax ; 4ax



z   0; a  x 

Ta có:

V   dx 
a

4 ax

0

 4 ax

V   dx 
a

4 ax

0

 4 ax

V   dx 
a

4 ax

0

 4 ax

dy 

ax

0

dz

 
a x

dy z 0

 a  x  dy

V   dx  ay  xy  
0

a





  a 2a 4ax  2 x 4ax dx
4 ax 
 0

4 ax

a
3
2

3 1
1 3
a

x
V    4a 2 x 2  4a 2 x 2  dx  4a a
0
3


2

a

4 a
0

5
2

x
5
2

0

8 32 32 8 12 52 16 3
V a a  a a  a
3
5
15

Vậy thể tích của nêm cong là

16 3
a .
15

Bài 2. Một hình xuyến nhất định có mặt cắt ngang thẳng đứng hình trịn có
bán k nh a đƣợc đặt tại tâm của một đƣờng trịn nằm ngang có bán kính c (c>a).
Tính thể tích V và diện tích mặt A của hình xuyến và chứng tỏ rằng V, A có thể
đƣợc viết nhƣ sau:

17


V

2
4

A2

r
r

2
0

 ri 2   r0  ri 

2
0

 ri 2 

Trong đó r0, ri tƣơng ứng là bán kính bên ngồi và bán kính bên trong của
hình xuyến.
Giải
Hình xuyến là khối đƣợc tạo ra do quay một mặt tròn quanh một trục nằm
trong mặt phẳng của nó và khơng cắt nó
Hình xuyến có bán kính bên ngồi là r0 bán kính bên trong là ri
Theo đầu bài có mặt cắt ngang thẳng đứng hình trịn có bán k nh a đặt tại tâm
của đƣờng trịn có bán kính c

Nên

r r

c 0 i

r

c


a
0

2


ri  c  a
a  r0  ri

2

Ta cắt hình xuyến sao cho có mặt cắt ngang thẳng đứng là hình trịn bán kính
a, xong dựng hình xuyến thành hình trụ có đáy là hình trịn và chiều cao là 2πc
Thể tích hình xuyến là V=πa22πc

18


2
 r  r  r  r  
V  2 2  0 i  0 i  
 r0  ri  r0  ri  r0  ri 
4
 2  2 
2

V

2
4

r

2
0

 ri 2   r0  ri 

Diện tích của hình xuyến là
A=2πa2πc
 r  r  r  r 
A  4 2  0 i  0 i    2  r02  ri 2 
 2  2 

Bài 3. Tính tích phân theo thể tích của x2+y2+z2 trên hình hộp chữ nhật
đƣợc giới hạn bởi 6 mặt: x=±a, y=±b, z=±c.
Giải:
Ta có I    x2  y 2  z 2  dxdydz
Với x∈(-a ;a), y∈(-b ;b), z∈(-c;c)
c

z3  
2
2
I   dx  dy   x  y  z  dz   dx  dy  x z  y z   
a
b
c
a
b

3  c 


b

a
b 
a
2 3
y3 2 3  
2
2
2
I   dx   2cx  2cy  c  dy   dx  2cx y  2c  c y  
a
b
a
3 
3 3


 b 
a

b

c

2

2

2

a

b

a



4
4
x3 4
4


I    4bcx 2  b3c  c3b  dx   4bc  b3cx  bc 3 x 
a
3
3
3 3
3



 a
a

8
8
8
8
I  a 3bc  b3ac  c3ba  abc  a 2  b 2  c 2 
3
3
3
3

Vậy I  abc a 2  b 2  c 2 
8
3

Bài 4. Chuyển sang hệ tọa độ trụ, tính tích phân
I   ln  x 2  y 2  dxdydz

qua phần bên trong của hình nón x 2  y 2  z 2 , 0≤z≤1.
Giải:
Hệ tọa độ trụ r, φ, z đƣợc xác định bởi:

19


 x  r cos 

 y  r sin 
z  z


Ta có dxdydz 

với

0  r  z

0    2
0  z  1


  x, y, z 
drd dz
  r, , z 

x
r
  x, y, z  x
J

  r ,  , z  
x
z
 dxdydz  rdrd dz

y
r
y

y
z

z
r
cos
z
 r sin 

0
z
z

sin  0
rcos 0  r cos 2   r sin 2   r
0
1

I    ln r 2  rdrd dz
2

1

z

0

0

0

I   d  dz  2r ln rdr

(1)

dr

du 

u  ln r

r
Đặt 

2
dv  rdr v  r

2
z

2
z r dr
 r2

z2
1 z2 z2
z2
 ln z 
 ln z 
Suy ra 0 r ln rdr   ln r   0
2 r
2

2 2
2
4
2
0
z

2
1
z2 
I   d   z 2 ln z  dz
0
0
2


Từ (1) có

I 

2

0

1
 1 2
1 z3 
1

d   z ln zdz 

  2  A  
0
2 3 0
6




Tính A   z 2 ln zdz
1

0

dz

du 

u  ln z

z
Đặt 

3
2
dv  z dz v  z

3

20

(2)