Tính ổn định nghiệm của bài toán quan hệ biến phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------

TRẦN THỊ CHIÊN

TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA
BÀI TỐN QUAN HỆ BIẾN PHÂN

Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH
Mã số:
60. 46. 01. 02

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. TẠ DUY PHƯỢNG

Hà Nội – Năm 2014


Mục lục
Mở đầu

2

1 Kiến thức cơ sở
1.1 Kiến thức tôpô và giải tích hàm . . . .
1.1.1 Khơng gian metric . . . . . . .
1.1.2 Không gian véctơ tôpô . . . . .
1.2 Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . .

1.2.1 Định nghĩa ánh xạ đa trị . . . .
1.2.2 Một số định lí về sự tương giao
ánh xạ đa trị . . . . . . . . . .
1.2.3 Tính liên tục của ánh xạ đa trị

. .
. .
. .
. .
. .
và
. .
. .

. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
về điểm
. . . . .
. . . . .

. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
bất động của
. . . . . . . .

. . . . . . . .

2 Bài toán quan hệ biến phân
2.1 Phát biểu bài tốn và một số ví dụ . . . . . . . . .
2.2 Sự tồn tại nghiệm của bài tốn quan hệ biến phân
2.2.1 Định lí cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Tiêu chuẩn dựa trên sự tương giao . . . . .
2.2.3 Tiêu chuẩn dựa trên điểm bất động . . . .

.
.
.
.
.

3 Tính chất tơpơ của tập nghiệm của bài tốn quan
3.1 Tính lồi của tập nghiệm . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Tính bị chặn của tập nghiệm . . . . . . . . . . . .
3.3 Tính đóng của tập nghiệm . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Tính ổn định của tập nghiệm . . . . . . . . . . . .
3.5 Các trường hợp đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Bài toán bao hàm thức biến phân . . . . .
3.5.2 Bài toán tựa cân bằng . . . . . . . . . . . .
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

hệ
. .
. .
. .

. .
. .
. .
. .
. .
. .

1

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

5
5
5
6
10
10

. 14
. 14

.
.
.
.
.

24
24
28
28
30
35

biến phân
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .

39
40
42
43
45

52
53
55
58
59

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.


Mở đầu
Lý thuyết tối ưu được hình thành từ những ý tưởng kinh tế, lý thuyết giá
trị của Edgeworth từ năm 1881 và Pareto từ năm 1886. Cho tới những năm
cuối thế kỉ XX lý thuyết tối ưu trở thành một ngành toán học quan trọng trong
nhiều lĩnh vực khác nhau của các ngành khoa học, kĩ thuật và kinh tế cũng như
trong thực tế.
Trong xu thế phát triển chung của lý thuyết tối ưu và áp dụng lý thuyết cân
bằng vào giải quyết các lĩnh vực cơ bản khác nhau của cuộc sống, một lớp bài
toán mới, bài toán "Quan hệ biến phân" được đề xuất lần đầu tiên vào năm
2008 bởi GS. Đinh Thế Lục nhằm nghiên cứu một bài toán tổng quát hơn theo
nghĩa một số lớp bài tốn quen thuộc có thể được suy từ bài tốn này như bài
tốn tối ưu tuyến tính, bài tốn tối ưu phi tuyến, bài toán cân bằng, bài toán
tựa cân bằng, bài toán bao hàm thức biến phân, bài toán bao hàm thức tựa biến
phân, bài toán bất đẳng thức biến phân,...
Bài toán quan hệ biến phân được phát biểu như sau: Tìm a¯ ∈ A sao cho
(1) a¯ là điểm bất động của ánh xạ S1 , tức là a¯ ∈ S1 (¯a);
(2) Quan hệ R(¯a, b, y) đúng với mọi b ∈ S2 (¯a) và y ∈ T (¯a, b),

trong đó A, B, Y là các tập khác rỗng, S1 : A ⇒ A, S2 : A ⇒ B , T : A × B ⇒ Y
là các ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng và R(a, b, y) là quan hệ giữa các phần
tử a ∈ A, b ∈ B , y ∈ Y.
Các vấn đề nghiên cứu trong bài toán quan hệ biến phân là sự tồn tại nghiệm
của bài toán, cấu trúc tập nghiệm của bài tốn (tính đóng, tính lồi, tính ổn
định, tính liên thơng,...).
Luận văn có mục đích trình bày bài tốn quan hệ biến phân và tính ổn định
của tập nghiệm của bài toán quan hệ biến phân. Luận văn được chia thành ba
chương.
Chương 1. Kiến thức cơ sở. Chương này giới thiệu cơ sở lý thuyết cho hai
chương sau, nhắc lại một số kiến thức về giải tích hàm, trình bày một số khái
niệm, tính chất và tính liên tục của ánh xạ đa trị.
2


Chương 2. Bài tốn quan hệ biến phân. Mục đích chính của chương này
là trình bày về sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân dựa trên tính
chất tương giao KKM và các định lí về điểm bất động.
Chương 3. Tính chất tơpơ của tập nghiệm. Chương này trình bày một
số tính chất tơpơ của tập nghiệm như tính lồi, tính bị chặn, tính đóng và tính
ổn định nghiệm của bài tốn quan hệ biến phân có tham số.
Luận văn này cố gắng trình bày một cách có hệ thống (với các chứng minh
được cụ thể và chi tiết hơn) về sự tồn tại nghiệm và các tính chất của tập nghiệm
của bài tốn quan hệ biến phân được đề cập trong các bài báo [4, 5].

3


Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của PGS.TS.
Tạ Duy Phượng. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp
các thắc mắc của tơi trong suốt q trình làm luận văn. Tơi muốn bày tỏ lịng
biết ơn sâu sắc đến thầy.
Qua đây, tôi xin gửi tới quý thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học
Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham
gia giảng dạy khóa cao học 2012-2014, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao
dạy dỗ trong suốt q trình học tập của tơi tại Trường.
Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn đồng nghiệp thân mến đã quan
tâm, tạo điều kiện và cổ vũ, động viên tơi để tơi hồn thành tốt nhiệm vụ của
mình.
Hà Nội, tháng 12 năm 2014
Tác giả luận văn
Trần Thị Chiên

4


Chương 1

Kiến thức cơ sở
Trong chương này, ta sẽ trình bày một số kiến thức về giải tích hàm như các
khái niệm không gian metric, không gian tôpô, không gian véctơ tơpơ,..và khái
niệm ánh xạ đa trị, tính liên tục của ánh xạ đa trị,... cần thiết cho việc trình
bày các nội dung ở chương sau.

1.1
1.1.1

Kiến thức tôpô và giải tích hàm

Khơng gian metric

Định nghĩa 1.1.1. Cho tập X = ∅, ánh xạ d từ tích Descartes X × X vào tập
hợp các số thực R được gọi là một metric trên X nếu các tiên đề sau đây được
thỏa mãn:
1) (∀x, y ∈ X) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y , (tiên đề đồng nhất);
2) (∀x, y ∈ X) d(x, y) = d(y, x), (tiên đề đối xứng);
3) (∀x, y, z ∈ X) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), (tiên đề tam giác).
Tập X với metric d trang bị trên X được gọi là khơng gian metric, kí hiệu là
(X, d) hay thường được viết là X. Số d(x, y) gọi là khoảng cách giữa hai phần tử
x và y . Các phần tử của X gọi là các điểm.
Các tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề metric.
Định nghĩa 1.1.2. Cho X là hai không gian metric, một điểm x ∈ X và A là
một tập con của X . Khoảng cách từ điểm x đến tập A được xác định bởi
d(x, A) = inf d(x, a).
a∈A

Định nghĩa 1.1.3. (Khoảng cách Hausdorff) Cho X và Y là hai không gian
metric, một điểm x ∈ X và A, B lần lượt là các tập con trong X , Y . Khoảng

5


cách Hausdorff từ tập A đến tập B được xác định bởi
dH (A, B) = max sup inf d(a, b), sup inf d(a, b) ,
a∈A b∈B

b∈B a∈A

hay

dH (A, B) = max sup d(a, B), sup d(b, A) .
a∈A

b∈B

Định nghĩa 1.1.4. Trong không gian metric X . Một dãy {xn } được gọi là dãy
cơ bản nếu
(∀ε > 0) (∃N ) (∀n ≥ N ) (∀m ≥ N ) thì d (xn , xm ) < ε.

Nhận xét 1.1.1. Một dãy hội tụ bao giờ cũng là dãy cơ bản, vì nếu xn → x thì
theo bất đẳng thức tam giác ta có
d (xn , xm ) ≤ d (xn , x) + d (x, xm ) → 0 (n, m → ∞).

Nhưng ngược lại một dãy cơ bản trong một không gian bất kỳ không nhất
thiết hội tụ. Chẳng hạn nếu xét khoảng (0, 1) là một không gian metric với
d(x, y) = |x − y| với mọi x, y ∈ (0, 1) thì dãy

1
, mặc dù là dãy cơ bản, nhưng
n

không hội tụ trong không gian ấy.
Định nghĩa 1.1.5. Khơng gian metric X trong đó mọi dãy cơ bản đều hội tụ
(tới một phần tử của X ) được gọi là một không gian đủ.
Định nghĩa 1.1.6. Ánh xạ P : X → X được gọi là ánh xạ Lipschitz nếu
∃k > 0 : d (P (x), P (y)) ≤ kd(x, y).
• k = 1: f được gọi là ánh xạ khơng giãn.
• 0 < k < 1: f được gọi là ánh xạ co.

Định lý 1.1.1 (Nguyên lý Banach về ánh xạ co). Mọi ánh xạ co P từ khơng

gian metric đủ (X, d) vào chính nó đều có điểm bất động x¯ duy nhất, nghĩa là
tồn tại duy nhất x¯ ∈ X thỏa mãn hệ thức P x¯ = x¯.
1.1.2

Không gian véctơ tôpô

Định nghĩa 1.1.7. (Không gian tôpô) Cho tập X = ∅. Một họ τ các tập con
của X được gọi là một tôpô trên X nếu nó thỏa mãn các tính chất sau:
(i) ∅, X ∈ τ ;
6


(ii) Giao của một số hữu hạn các phần tử thuộc τ thì thuộc τ ;
(iii) Hợp của một số tùy ý các phần tử thuộc τ thì thuộc τ .
Khi đó cặp (X, τ ) được gọi là khơng gian tôpô.
Định nghĩa 1.1.8. Cho hai tôpô τ1 và τ2 . Ta nói τ1 yếu hơn τ2 (hay τ2 mạnh
hơn τ1 ) nếu τ1 ⊂ τ2 , nghĩa là mọi tập mở trong tôpô τ1 đều là tập mở trong τ2 .
Định nghĩa 1.1.9. Cho (X, τ ) là không gian tơpơ.
• Tập G được gọi là tập mở trong X nếu G ∈ τ.
• Tập F được gọi là tập đóng trong X nếu X\F ∈ τ.

Định nghĩa 1.1.10. Cho không gian tôpô (X, τ ), tập A là tập con của X . Tập
U được gọi là một lân cận của tập A nếu trong U có một tập mở chứa A. Khi
A = {x} thì U là một lân cận của điểm x.
Định nghĩa 1.1.11. Một họ V = V : V là lân cận của điểm x ∈ X được gọi
là cơ sở lân cận của điểm x nếu với mọi lân cận U của điểm x, tồn tại lân cận
V ∈ V sao cho x ∈ V ⊂ U.
Định nghĩa 1.1.12. Cho không gian tôpô (X, τ ), A là một tập con bất kì của
X . Đối với mỗi phần tử bất kì x ∈ X ta gọi:
(i) x là điểm trong của A nếu tồn tại ít nhất một lân cận của x nằm trong A.

(ii) x là điểm ngoài của A nếu tồn tại ít nhất một lân cận của x nằm trong
X\A.
(iii) x là điểm biên của A nếu x đồng thời khơng là điểm trong và khơng là
điểm ngồi của A. Hay nói cách khác x là điểm biên của A nếu mọi lân cận
của x đều giao khác rỗng với A và X\A.
Định nghĩa 1.1.13. Giả sử A là tập con bất kì của khơng gian tơpơ (X, τ ). Ta
gọi phần trong của A là hợp của tất cả các tập mở nằm trong A, và nó là tập
o
mở lớn nhất. Kí hiệu là A hoặc intA.
Định nghĩa 1.1.14. Giả sử A là tập con bất kì của khơng gian tơpơ (X, τ ). Ta
gọi bao đóng của A là giao của tất cả các tập đóng nằm trong A, và nó là tập
đóng nhỏ nhất. Kí hiệu là A¯ hoặc clA.
Định nghĩa 1.1.15. Cho X , Y là hai không gian tô pô. Một ánh xạ f từ X vào
Y được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu với mọi lân cận V của f (x0 ) đều tồn tại
một lân cận U của x0 sao cho f (U ) ⊆ V.
Ánh xạ f được gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm x ∈ X .
7


Định nghĩa 1.1.16. Không gian tô pô (X, τ ) được gọi là không gian Hausdorff
(hay T2 − không gian) nếu mọi cặp điểm x khác y trong X đều tồn tại một lân
cận U của x và V của y sao cho U ∩ V = ∅.
Định nghĩa 1.1.17. Giả sử F là một trường R hoặc C. Các phần tử của F
được gọi là số (đại lượng vô hướng). Một không gian véctơ V định nghĩa trên
trường F là một tập hợp V khơng rỗng mà trên đó hai phép cộng véctơ và phép
nhân với một số hướng được định nghĩa sao cho các tính chất cơ bản sau đây
được thỏa mãn:
1. Phép cộng véctơ có tính chất kết hợp:
Với mọi u, v, w ∈ V : u + (v + w) = (u + v) + w;
2. Phép cộng véctơ có tính chất giao hốn:

Với mọi v, w ∈ V : v + w = w + v;
3. Phép cộng véctơ có phần tử trung hịa:
Với mọi v ∈ V, có một phần tử 0 ∈ V, gọi là véctơ không: v + 0 = v;
4. Phép cộng véctơ có phần tử đối:
Với mọi v ∈ V, tồn tại w ∈ V : v + w = 0;
5. Phép nhân vô hướng phân phối với phép cộng véctơ:
Với mọi α ∈ F ; v, w ∈ V : α(v + w) = αv + αw;
6. Phép nhân véctơ phân phối với phép cộng vô hướng:
Với mọi α, β ∈ F ; v ∈ V : (α + β)v = αv + βv;
7. Phép nhân vô hướng tương thích với phép nhân trong trường các số vơ
hướng: Với mọi α, β ∈ F ; v ∈ V : α.(β.v) = (α.β)v;
8. Phần tử đơn vị của trường F có tính chất của phần tử đơn vị với phép
nhân vô hướng: Với mọi v ∈ V : 1.v = v.1.
Định nghĩa 1.1.18. Cho X là không gian véctơ. Tập C ⊆ X được gọi là tập
lồi nếu với mọi x, y ∈ C và với mọi λ ∈ [0, 1] thì (1 − λ)x + λy ∈ C (hay nói cách
khác C chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm bất kì thuộc nó).
Định nghĩa 1.1.19. Cho X là khơng gian véctơ, x1 , x2 , ..., xk ∈ X và các số
k

λ1 , λ2 , ..., λk thỏa mãn λj ≥ 0, j = 1, 2..., k và

k

λj = 1. Khi đó, x =
j=1

gọi là tổ hợp lồi của các véctơ x1 , x2 , ..., xk ∈ X.
8

λj xj , được

j=1


Định nghĩa 1.1.20. Giả sử S ⊂ X. Bao lồi của S, kí hiệu là convS là tập hợp
các tổ hợp lồi của các điểm trong S.
Định nghĩa 1.1.21. Cho X là không gian véctơ.
1. Một tập C ⊆ X được gọi là nón nếu với mọi λ ≥ 0, mọi x ∈ C thì λx ∈ C.
2. Một nón được gọi là nón lồi nếu nó đồng thời là tập lồi. Như vậy, một tập C
là nón lồi khi và chỉ khi nó có các tính chất sau:
(i) λC ∈ C với mọi λ ≥ 0,
(ii) C + C ⊆ C.
Định nghĩa 1.1.22. Ta nói một tơpơ τ trên không gian véctơ X tương hợp với
cấu trúc đại số, nếu các phép toán đại số trong X liên tục trong tơpơ đó, tức là
nếu:
1. x + y là một hàm liên tục của hai biến x, y ; cụ thể với mọi lân cận V của
điểm x + y đều có một lân cận Ux của x và một lân cận Uy của y sao cho
nếu x ∈ Ux , y ∈ Uy thì x + y ∈ V.
2. αx là một hàm liên tục của hai biến α, x; cụ thể với mọi lân cận V của αx
đều có một số ε > 0 và một lân cận U của x sao cho |α − α | < ε, x ∈ U thì
α x ∈ V.

Một khơng gian véctơ X trên đó có một tơpơ tương hợp với cấu trúc đại số gọi
là một không gian véctơ tôpô (hay khơng gian tơpơ tuyến tính).
Định nghĩa 1.1.23. Một khơng gian véctơ tôpô X được gọi là không gian véctơ
tôpô lồi địa phương nếu trong X có một cơ sở lân cận (của gốc) chỉ gồm các tập
lồi.
Định nghĩa 1.1.24. Cho X là không gian tôpô lồi địa phương và tập C ⊆ X.
Ta nói véctơ d là một phương lùi xa của C nếu x + λd ∈ C với mọi x ∈ C, λ > 0.
Tập tất cả các phương lùi xa của C được gọi là nón lùi xa của C và được kí hiệu
là o+ (C). Vậy, o+ (C) = {λ ∈ X : x + λd ∈ C} với mọi x ∈ C, λ > 0.

Định nghĩa 1.1.25. Cho tập I khác rỗng được gọi là định hướng nếu trên nó
xác định một quan hệ ” ≥ ” thỏa mãn các tính chất sau:
(i)) Với mọi m, n, p ∈ I sao cho: m ≥ n, n ≥ p thì m ≥ p;
(ii) Nếu m ∈ I thì m ≥ m;
9


(iii) Với mọi m, n ∈ I thì tồn tại p ∈ I sao cho: p ≥ m, p ≥ n.
Khi đó ta nói tập I được định hướng bởi quan hệ ” ≥ ” và kí hiệu là (I, ≥) hoặc
viết tắt là I.
Định nghĩa 1.1.26. Cho I là tập định hướng bởi quan hệ ” ≥ ”. Khi đó ánh
xạ x xác định trên I và nhận giá trị trong tập X được gọi là lưới (hay dãy suy
rộng) trong X. Ta viết xi = x(i)và kí hiệu lưới là (xn )n∈I .
Nếu miền giá trị của lưới là khơng gian tơpơ X thì (xn )n∈I được gọi là lưới trong
không gian tôpô.
Định nghĩa 1.1.27. Cho I là một tập định hướng bởi quan hệ ” ≥ ” và X là
một khơng gian tơpơ. Khi đó lưới (xn )n∈I được gọi là hội tụ trong không gian
tôpô đến điểm x đối với tôpô τ nếu với mọi lân cận U của x tồn tại n0 ∈ I sao
cho với mọi n ∈ I mà n ≥ n0 thì xn ∈ U. Kí hiệu là lim xn = x hay xn → x.
n→∞

1.2
1.2.1

Ánh xạ đa trị
Định nghĩa ánh xạ đa trị

Định nghĩa 1.2.1. Cho X , Y là hai tập hợp bất kì và tập các tập con của Y
(được kí hiệu là 2Y ). Ta nói F là ánh xạ đa trị từ X vào Y nếu với mỗi x ∈ X ,
F (x) là một tập hợp con của Y . Kí hiệu: F : X ⇒ Y, hay F : X → 2Y .

Nhận xét 1.2.1. Nếu với mỗi x ∈ X tập F (x) chỉ gồm đúng một phần tử của
Y , thì ta nói F là ánh xạ đơn trị từ X vào Y . Khi đó, thay cho kí hiệu F : X ⇒ Y
bằng kí hiệu quen thuộc F : X → Y .
Ví dụ 1.2.1. Ánh xạ F : Rn ⇒ Rn xác định bởi
F (x) = {y ∈ Rn : y − x ≤ 1} ,

là một ánh xạ đa trị trên Rn , nó biến mỗi điểm thành một hình cầu đóng tâm
x bán kính bằng đơn vị.
Định nghĩa 1.2.2. Đồ thị gphF , miền hữu hiệu domF và miền ảnh rgeF của
ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y tương ứng được xác định bằng các công thức
gphF = {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x)} ,
domF = {x ∈ X : F (x) = ∅} ,
và
rgeF = {y ∈ Y : ∃x ∈ X sao cho y ∈ F (x)} .
10


Định nghĩa 1.2.3. Cho X và Y là các không gian tôpô và F : X ⇒ Y là ánh
xạ đa trị.
1. F được gọi là ánh xạ đóng (hoặc ánh xạ có đồ thị đóng) nếu gphF là tập
đóng trong khơng gian tơpơ tích X × Y.
2. F được gọi là ánh xạ có giá trị đóng nếu F (x) là tập đóng với mọi x ∈ domF.
3. F được gọi là ánh xạ mở (hoặc ánh xạ có đồ thị mở ) nếu gphF là tập mở
trong không gian tơpơ tích X × Y.
4. F được gọi là ánh xạ có giá trị mở nếu F (x) là tập mở với mọi x ∈ domF.
Nhận xét 1.2.2. Nếu ánh xạ đa trị F có gphF đóng thì F (x) là đóng với mọi
x ∈ domF.

Thật vậy, lấy một lưới (xn , yn ) ∈ gphF sao cho (xn , yn ) hội tụ tới (¯
x, y¯). Do

(xn , yn ) ∈ gphF nên yn ∈ F (xn ). Mặt khác, gphF là đóng nên y¯ ∈ F (¯
x), tức là với
mọi lưới xn → x¯, với yn ∈ F (xn ) thì y¯ ∈ F (¯
x). Vậy F (¯
x) là đóng với mọi x ∈ domF.
Ví dụ 1.2.2. Ánh xạ đa trị F : R ⇒ R xác định bởi
F (x) =

[−1, 1]
0

nếu x = 0,
nếu x = 0.

(1.1)

Lấy lưới (xn , yn ) ∈ gphF bất kì, (xn , yn ) → (¯
x, y¯). Vì (xn , yn ) ∈ gphF nên yn ∈
F (xn ) hay yn ∈ [−1, 1] với mọi n. Do đoạn [−1, 1] là compact và yn → y¯ nên
y¯ ∈ [−1, 1] .

Trường hợp 1: Nếu xn → x¯ = 0 thì F (¯
x) = [−1, 1] . Do đó y¯ ∈ F (¯
x) hay
(¯
x, y¯) ∈ gphF.

Trường hợp 2: Nếu xn → x¯ = 0 thì tồn tại N > 0 sao cho xn = 0 với mọi n ≥ N.
Do yn ∈ F (xn ) và F (xn ) = 0 với mọi n ≥ N nên yn = 0 với mọi n ≥ N. Suy ra
yn → y¯ = 0 hay (¯

x, y¯) = (¯
x, 0) ∈ gphF.
Vậy gphF là đóng.
Ví dụ 1.2.3. Ánh xạ đa trị F : R ⇒ R xác định bởi
F (x) =

(−1, 1)
0

không phải là ánh xạ đa trị đóng vì

nếu x = 0,
nếu x = 0.

1
1
,1 −
n
n

nhưng điểm (0; 1) ∈
/ gphF.

11

∈ gphF và

(1.2)
1
→ 0,

n

1−

1
n

→1


Định nghĩa 1.2.4. Cho X, Y là các không gian véctơ tơpơ. Ta nói ánh xạ đa
trị F là:
1. Ánh xạ đa trị lồi nếu gphF là tập lồi trong khơng gian tích X × Y.
2. Ánh xạ có giá trị lồi nếu F (x) là tập lồi với mọi x ∈ X.
Nhận xét 1.2.3. Giả sử X, Y là các tập lồi của khơng gian tuyến tính.
• Ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y là lồi nếu và chỉ nếu với mọi x1 , x2 ∈ X và t ∈ [0, 1]

thì
tF (x1 ) + (1 − t)F (x2 ) ⊆ F (tx1 + (1 − t)x2 )

(1.3)

Thật vậy, giả sử F là ánh xạ đa trị lồi, tức là gphF là lồi. Lấy hai phần tử
x1 , x2 bất kì sao cho y1 ∈ F (x1 ), y2 ∈ F (x2 ), khi ấy (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ gphF.
Với t ∈ [0, 1] , do gphF lồi nên
(x, y) = (tx1 + (1 − t)x2 , ty1 + (1 − t)y2 ) ∈ gphF.

Suy ra, ty1 +(1−t)y2 ∈ F (tx1 +(1−t)x2 ) đúng với mọi y1 ∈ F (x1 ), y2 ∈ F (x2 ).
Vì thế,
tF (x1 ) + (1 − t)F (x2 ) ⊆ F (tx1 + (1 − t)x2 ).

Điều ngược lại tương tự.
• Ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y là được gọi là lõm nếu và chỉ nếu với mọi x1 , x2 ∈ X

và t ∈ [0, 1] thì
tF (x1 ) + (1 − t)F (x2 ) ⊇ F (tx1 + (1 − t)x2 ).

Trong trường hợp ánh xạ F là ánh xạ đơn trị, F (x) = {f (x)} thì F là lồi khi
f (tx1 + (1 − t)x2 ) ≤ tf (x1 ) + (1 − t)f (x2 ).

(1.4)

Ta nhận thấy rằng (1.3) tương thích với (1.4). Thật vậy, giả sử f : X ⇒ R là
ánh xạ đơn trị. Hàm epif = F được xác định bởi
F (x) = f (x) + R+ = {f (x) + α, α ≥ 0} , với f là hàm lồi,

sẽ là ánh xạ đa trị lồi.
Thật vậy, ta có :
tF (x1 ) = t f (x1 ) + R+ ,
(1 − t)F (x2 ) = (1 − t) f (x2 ) + R+ .
12


Lấy w ∈ tF (x1 ) + (1 − t)F (x2 ). Khi đó tồn tại s1 , s2 ∈ R+ sao cho
u = tf (x1 ) + ts1 ,
v = (1 − t)f (x2 ) + (1 − t)s2 .

Do f là hàm lồi nên
tf (x1 ) + (1 − t)f (x2 ) ≥ f (tx1 + (1 − t)x2 ).

Suy ra tồn tại α > 0 sao cho
tf (x1 ) + (1 − t)f (x2 ) = f (tx1 + (1 − t)x2 ) + α.

Xét
w =u+v
= tf (x1 ) + ts1 + (1 − t)f (x2 ) + (1 − t)s2
= f (tx1 + (1 − t)x2 ) + α + ts1 + (1 − t)s2
= f (tx1 + (1 − t)x2 ) + β

, với β = α + ts1 + (1 − t)s2 ≥ 0

∈ F (tx1 + (1 − t)x2 ).

Vậy tF (x1 ) + (1 − t)F (x2 ) ⊆ F (tx1 + (1 − t)x2 ).
Ví dụ 1.2.4. Ánh xạ đa trị F : R ⇒ R xác định bởi
F (x) = y ∈ R : y ≥ x2 ,

là ánh xạ đa trị lồi.
Ví dụ 1.2.5. Ánh xạ đa trị F : R ⇒ R xác định bởi
0
[−1, 1]

F (x) =

nếu x = 0,
nếu x = 0,

(1.5)
1
2

không phải là ánh xạ đa trị lồi vì lấy x2 = −x1 , x1 > 0 và t = . Khi ấy ta có
1
{[−1, 1] + [−1, 1]}
2
1
= [−2, 2]
2
F (tx1 + (1 − t)x2 ) = F (0) = {0} .

tF (x1 ) + (1 − t)F (x2 ) =

13


1.2.2

Một số định lí về sự tương giao và về điểm bất động của ánh xạ đa
trị

Cho X , Y là các không gian véctơ tôpô Hausdorff, A một tập con khác rỗng
trong X và F là một ánh xạ đa trị từ X vào Y .
Định nghĩa 1.2.5. (Ánh xạ KKM) Ánh xạ đa trị F : A ⇒ A được gọi là ánh
xạ KKM nếu với mọi tập con hữu hạn {a1 , ..., an } của A và mỗi phần tử a thuộc
vào bao lồi của {a1 , ..., an } có thể tìm được một chỉ số i sao cho a ∈ F (ai ).
Trước hết ta nhắc lại Định lí về sự tương giao hữu hạn của các tập compact.
Định lý 1.2.1. Giả sử {Ci : i ∈ I} là một họ các tập compact, khác rỗng. Nếu
Cj = ∅ với J là tập hữu hạn trong I thì
nó có tính chất giao hữu hạn, tức là
j∈J

Ci = ∅.
i∈I

Tiếp tục ta nhắc lại Định lí KKM-Fan cho ánh xạ đa trị.
Định lý 1.2.2. Cho A là tập compact, lồi, khác rỗng và ánh xạ F : A ⇒ A là
ánh xạ KKM với F (a) khác rỗng, đóng.
Khi đó
F (a) = ∅.
a∈A

Cuối cùng là Định lí điểm bất động Fan-Browder.
Định lý 1.2.3. Cho A là một tập compact, lồi, khác rỗng và nếu ánh xạ đa trị
F : A ⇒ A với A =
intF −1 (a) thì tồn tại a ∈ A mà a ∈ convF (a).
a∈A

1.2.3

Tính liên tục của ánh xạ đa trị

Cho Λ, X là các không gian tôpô và ánh xạ đa trị F : Λ ⇒ X.
Định nghĩa 1.2.6. Ánh xạ F là:
(i) Nửa liên tục trên tại λ0 ∈ domF (kí hiệu usc) nếu với mọi tập mở V ⊂ X
thỏa mãn F (λ0 ) ⊂ V, tồn tại tập mở U của λ0 sao cho F (λ) ⊂ V với mọi
λ ∈ U ∩ domF ;

(ii) Nửa liên tục dưới tại λ0 ∈ domF (kí hiệu lsc) nếu với mọi tập mở V ⊂ X
thỏa mãn F (λ0 ) ∩ V = ∅, tồn tại tập mở U của λ0 sao cho F (λ) ∩ V = ∅ với
mọi λ ∈ U ∩ domF ;

(iii) Liên tục tại λ0 ∈ domF nếu nó vừa nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới
tại λ0 .
14


Nếu F liên tục tại mọi điểm thuộc domF, thì F được gọi là liên tục ở trên Λ.
Ví dụ 1.2.6. Xét ánh xạ đa trị F : R ⇒ R xác định bởi
F (x) =

[−1, 1]
0

nếu x = 0,
nếu x = 0.

Ánh xạ F là ánh xạ nửa liên tục dưới tại x = 0 nhưng không là ánh xạ nửa
liên tục trên tại x = 0.
−1 1
Thật vậy, lấy một lân cận mở V =
,
của F (0). Khi ấy với mọi lân cận

2 2
U = (−δ1 , δ2 ) của 0 thì tồn tại x ∈ U, x = 0 sao cho F (x) = [−1, 1] ⊂ V. Do đó ánh

xạ F khơng là ánh xạ nửa liên tục trên tại x = 0.
Mặt khác, với mọi lân cận V sao cho F (0) ∩ V = 0. Vì F (0) = {0} nên 0 ∈ V, do
đó ta có thể coi V = (− 1 , 2 ). Chọn U = (−δ, δ) bất kì, khi ấy ta có
F (x) ∩ V = [−1, 1] ∩ (− 1 , 2 ) = {0} = ∅

với mọi x ∈ U. Vậy ánh xạ F là ánh xạ nửa liên tục dưới tại x = 0.
Ví dụ 1.2.7. Xét ánh xạ đa trị F : R ⇒ R xác định bởi
F (x) =

0
[0, 1]

nếu x = 0,
nếu x = 0.

Ánh xạ F là ánh xạ nửa liên tục trên tại x = 0 nhưng không là ánh xạ nửa
liên tục dưới tại x = 0.
Thật vậy, với mọi lân cận V của F (0) sao cho F (0) ⊂ V. Vì F (0) = [0, 1] nên ta
có thể coi V = (− , + 1). Chọn U = (−δ, δ), khi ấy ta có 0 = F (x) ⊂ V với mọi
x ∈ U, x = 0. Vậy ánh xạ F là ánh xạ nửa liên tục trên tại x = 0.
1 3
Mặt khác, lấy một lân cận mở V = ,
sao cho F (0) ∩ V = ∅. Khi ấy với mọi
2 2

lân cận U = (−δ1 , δ2 ) của 0 thì tồn tại x ∈ U, x = 0 sao cho {0} = F (x) ∩ V = ∅.
Do đó ánh xạ F khơng là ánh xạ nửa liên tục dưới tại x = 0.
Định nghĩa 1.2.7. (Xem [6], trang 13) Giới hạn dưới, giới hạn trên, giới hạn
dưới mở và giới hạn trên mở của F tại λ0 lần lượt được kí hiệu lim inf λ→λ0 F (λ),
lim supλ→λ0 F (λ), lim infoλ→λ0 F (λ) và lim supoλ→λ0 F (λ) trong đó
lim inf λ→λ0 F (λ) := {x ∈ X : với mọi lưới λν hội tụ tới λ0 , tồn tại xν ∈ F (λν )
sao cho xν hội tụ tới x};
lim supλ→λ0 F (λ) := {x ∈ X : tồn tại lưới λν hội tụ tới λ0 và xν hội tụ tới x
sao cho xν ∈ F (λν ) với mọi ν};

15


lim infoλ→λ0 F (λ) := {x ∈ X : tồn tại các lân cận mở U của λ0 và V của x

sao cho V ⊆ F (λ), với mọi λ ∈ U, λ = λ0 };
lim supoλ→λ0 F (λ) := {x ∈ X : tồn tại lân cận mở V của x và một lưới λν
hội tụ tới λ0 sao choV ⊆ F (λν ), với mọi ν, λν = λ0 }.
Bổ đề 1.2.1. Các quan hệ sau là đúng:
(1) lim infoλ→λ0 F (λ) ⊆ lim inf λ→λ0 F (λ) ⊆ lim supλ→λ0 F (λ);

(2) lim infoλ→λ0 F (λ) ⊆ lim supoλ→λ0 F (λ) ⊆ lim supλ→λ0 F (λ);
c

(3) lim infoλ→λ0 F c (λ) = lim supλ→λ0 F (λ) ;
c

(4) lim inf λ→λ0 F c (λ) = limsupoλ→λ0 F (λ) ;

trong đó F c = X\F.
Chứng minh. Các quan hệ của (1) và (2) suy ra trực tiếp từ định nghĩa.
Ta chứng minh khẳng định (3). Giả sử x ∈ lim infoλ→λ0 F c (λ). Lấy U và V là
hai lân cận mở của λ0 và x thì theo định nghĩa giới hạn trên mở V ⊆ F c (λ), với
mọi λ ∈ U , λ = λ0 , nên V ∩ F (λ) = ∅, với mọi λ ∈ U . Suy ra x ∈
/ lim supλ→λ0 F (λ),
c
nên x ∈ lim supλ→λ0 F (λ) . Vì vậy
c

lim infoλ→λ0 F c (λ) ⊆ lim supλ→λ0 F (λ) .

(1.6)

Giả sử x ∈
/ lim infoλ→λ0 F c (λ). Khi đó với mọi lân cận U của λ0 và V của x thì tồn
tại λU,V ∈ U sao cho V F c (λU,V ), nên có xU,V nào đó sao cho xU,V ∈ V ∩F (λU,V ).
Chọn U và V từ một cơ sở lân cận của λ0 và x để các lưới λU,V và xU,V lần lượt
c
hội tụ về λ0 và x. Khi đó, x ∈ lim supλ→λ0 F (λ), nên x ∈
/ lim supλ→λ0 F (λ) . Vì
vậy
lim supλ→λ0 F (λ)

c

⊆ lim infoλ→λ0 F c (λ).

(1.7)

Từ (1.6) và (1.7)
c

lim infoλ→λ0 F c (λ) = lim supλ→λ0 F (λ) .

Cuối cùng chứng minh khẳng định (4). Giả sử x ∈ lim inf λ→λ0 F c (λ). Khi đó
với mỗi lưới λν hội tụ tới λ0 , có một xν ∈
/ F (λν ) nào đó sao cho xν hội tụ tới x.
16

Điều này có nghĩa là với mỗi lân cận V của x thì có V
F (λν ) với mọi λν đủ
c
gần tới λ0 . Suy ra x ∈
/ lim supoλ→λ0 F (λ), nên x ∈ limsupoλ→λ0 F (λ) . Vì vậy
c

liminfλ→λ0 F c (λ) ⊆ limsupoλ→λ0 F (λ) .

(1.8)

Giả sử x ∈
/ lim inf λ→λ0 F c (λ). Khi đó có một lưới λν hội tụ tới λ0 và một lân cận
V của x sao cho V ∩ F c (λν ) = ∅, nên V ⊆ F (λν ) với mọi ν . Suy ra
c

x∈
/ limsupoλ→λ0 F (λ) .

Vì vậy
c

liminfλ→λ0 F c (λ) ⊇ limsupoλ→λ0 F (λ) .

(1.9)

Từ (1.8) và (1.9) ta được
c

lim inf λ→λ0 F c (λ) = limsupoλ→λ0 F (λ) .

Định nghĩa 1.2.8. Ta nói ánh xạ F là
1. outer-liên tục tại λ0 ∈ Λ nếu lim supλ→λ0 F (λ) ⊆ F (λ0 );
2. inner-liên tục (hay nửa liên tục dưới) tại λ0 ∈ Λ nếu lim inf λ→λ0 F (λ) ⊇ F (λ0 );
3. inner-mở (hoặc mở ) tại λ0 ∈ Λ nếu lim infoλ→λ0 F (λ) ⊇ F (λ0 );
4. outer-mở tại λ0 ∈ Λ nếu lim supoλ→λ0 F (λ) ⊆ F (λ0 ).
Nhận xét 1.2.4. Nếu F đóng thì F là outer-liên tục tại mọi λ0 ∈ Λ.
Thật vậy, lấy lưới bất kì (λν , xν ) ∈ gphF, (λν , xν ) → (λ0 , x0 ). Theo định nghĩa
giới hạn trên ta có x0 ∈ lim supλ→λ0 F (λ). Vì F đóng nên gphF đóng tức là
(λ0 , x0 ) ∈ gphF. Suy ra x0 ∈ F (λ0 ). Do đó lim supλ→λ0 F (λ) ⊆ F (λ0 ), hay F là
outer-liên tục.
Mệnh đề 1.2.1. Các khẳng định sau là đúng:
(1) F là outer-mở tại λ0 nếu và chỉ nếu F c là inner-liên tục tại λ0 ;
(2) F là outer-liên tục tại λ0 nếu và chỉ nếu F c là inner-mở tại λ0 ;
(3) F là outer-liên tục và có giá trị đóng (tương ứng, inner-mở và có giá trị

mở) trên Λ nếu và chỉ nếu đồ thị của F là đóng (tướng ứng, mở);
(4) Nếu F là outer-liên tục tại λ0 thì F outer-mở tại λ0 ;
(5) F là inner-mở tại λ0 thì F inner-liên tục tại λ0 .
17


Chứng minh. Trước hết chứng minh khẳng định (1). Giả sử F là outer-mở tại
λ0 , thì theo định nghĩa ta có lim supoλ→λ0 F (λ) ⊆ F (λ0 ). Suy ra
c

F c (λ0 ) ⊆ limsupoλ→λ0 F (λ) .

Do đó theo (4) của Bổ đề (1.2.1) thì lim inf λ→λ0 F c (λ) ⊇ F c (λ0 ). Vậy theo định
nghĩa F c là inner-liên tục. Điều ngược lại tương tự.

Chứng minh khẳng định (2). Giả sử F là outer-liên tục tại λ0 . Theo định
c
nghĩa ta có lim supλ→λ0 F (λ) ⊆ F (λ0 ). Suy ra F c (λ0 ) ⊆ lim supλ→λ0 F (λ) . Do đó
theo (3) của Bổ đề (1.2.1) thì lim infoλ→λ0 F c (λ) ⊇ F c (λ0 ). Vậy theo định nghĩa
F c là inner-mở. Điều ngược lại tương tự.
Chứng minh khẳng định (3). Giả sử gphF là đóng. Khi đó F có giá trị đóng
(xem Nhận xét (1.2.2), Mục 1.2). Hơn nữa, F đóng thì F là outer-liên tục (Nhận
xét (1.2.4)).
Ngược lại, giả sử F là outer-liên tục và có giá trị đóng. Lấy một lưới bất kì
{(λν , xν )} ∈ gphF sao cho (λν , xν ) → λ0 , x0 . Khi đó ta có thể tìm được một lưới
con kí hiệu như kí hiệu lưới, sao cho với mọi ν hoặc là λν ≡ λ0 hoặc là λν = λ0 .
Trong trường hợp 1: λν ≡ λ0 thì xν ∈ F (λ0 ), với mọi ν . Vì xν → x0 và F có giá
trị đóng nên x0 ∈ F (λ0 ).
Trong trường hợp 2: λν = λ0 thì x0 ∈ lim supλ→λ0 F (λν ). Do F là outer-liên tục
nên lim supλ→λ0 F (λν ) ⊆ F (λ0 ). Vì vậy λ0 , x0 ∈ gphF tức là gphF đóng.
Trong trường hợp ánh xạ F có gá trị là tập mở thì F c có giá trị là tập đóng.
Áp dụng cho F c ta suy ra khẳng định (3) cho F.
Chứng minh khẳng định (4). Giả sử F là outer-liên tục tại λ0 . Theo định
nghĩa lim supλ→λ0 F (λ) ⊆ F (λ0 ). Theo (2) của Bổ đề (1.2.1)thì lim supoλ→λ0 F (λ) ⊆
lim supλ→λ0 F (λ), nên limsupoλ→λ0 F (λ) ⊆ F (λ0 ). Vậy theo định nghĩa F là outermở.
Cuối cùng ta chứng minh khẳng định (5). Giả sử F là inner-mở tại λ0 .
Theo định nghĩa lim infoλ→λ0 F (λ) ⊇ F (λ0 ). Theo (1) của Bổ đề (1.2.1) thì
lim infoλ→λ0 F (λ) ⊆ lim inf λ→λ0 F (λ), nên lim inf λ→λ0 F (λ) ⊇ F (λ0 ). Vậy theo định
nghĩa F là inner-liên tục.
Nhận xét 1.2.5. Ta có các nhận xét sau:
1. Nếu F là inner-liên tục thì khơng suy ra được F là inner-mở. Chẳng hạn như
ánh xạ đơn trị, các ánh xạ liên tục là inner-liên tục, nhưng có thể khơng là ánh
xạ mở.
2. Nếu F là outer-mở thì khơng suy ra được F là outer-liên tục. Chẳng hạn, ánh

18


xạ đa trị F : R ⇒ R, với F (λ) = (0, 1) với mọi λ ∈ R thì F là outer-mở và F
không là outer-liên tục.
Trong phần tiếp theo của mục này ta giả sử F và G là hai ánh xạ đa trị trên
Λ và lấy giá trị trên X và F ∩ G có giá trị khác rỗng.
Bổ đề 1.2.2. Các tính chất chứa và chứa trong sau đây là đúng:
lim #λ→λ0 (F (λ) ∪ G(λ)) ⊇ lim #λ→λ0 F (λ) ∪ lim #λ→λ0 G(λ),
lim #λ→λ0 (F (λ) ∩ G(λ)) ⊆ lim #λ→λ0 F (λ) ∩ lim #λ→λ0 G(λ),

trong đó kí hiệu # có thể là sup, supo, inf, info. Đặc biệt tính chất chứa của giới
hạn trên và tính chất chứa trong của giới hạn dưới mở là đẳng thức, tức là
limsupλ→λ0 (F (λ) ∪ G(λ)) = limsupλ→λ0 F (λ) ∪ limsupλ→λ0 G(λ),

(1.10)

lim infoλ→λ0 (F (λ) ∩ G(λ)) = lim infoλ→λ0 F (λ) ∩ lim infoλ→λ0 G(λ).

(1.11)

Hơn nữa, tính chất chứa và chứa trong sau đây cũng đúng:
lim supoλ→λ0 F (λ) ∪ limsupλ→λ0 G(λ) ⊇ lim supoλ→λ0 (F (λ) ∪ G(λ)) ,

(1.12)

liminfλ→λ0 F (λ) ∩ lim infoλ→λ0 G(λ) ⊆ liminfλ→λ0 (F (λ) ∩ G(λ)) .

(1.13)

Chứng minh. Tính chất chứa và chứa trong của giới hạn dưới và giới hạn trên
là chuẩn (xem Mệnh đề 1.2.1, [3]).
Chứng minh tính chất chứa của giới hạn trên mở
lim supoλ→λ0 (F (λ) ∩ G(λ)) ⊆ lim supoλ→λ0 F (λ) ∩ lim supoλ→λ0 G(λ).

Thật vậy, giả sử x ∈ lim supoλ→λ0 (F (λ) ∩ G(λ)) . Theo định nghĩa tồn tại lân cận
V của x và một lưới λν hội tụ tới λ0 sao cho V ⊆ F (λ) ∩ G(λ) với mọi ν. Suy
ra, V ⊆ F (λ) và V ⊆ G(λ), nên x ∈ lim supoλ→λ0 F (λ) và x ∈ lim supoλ→λ0 G(λ). Vì
vậy, x ∈ lim supoλ→λ0 F (λ) ∩ lim supoλ→λ0 G(λ). Ta có điều phải chứng minh. Các
trường hợp còn lại chứng minh tương tự.
Chứng minh công thức (1.11). Lấy x ∈ lim infoλ→λ0 (F (λ) ∩ G(λ)), nên theo
định nghĩa tồn tại một lân cận mở U của λ0 và V của x sao cho V ⊆ F (λ) ∩ G(λ).
Suy ra V ⊆ F (λ) và V ⊆ G(λ), nên x ∈ lim infoλ→λ0 F (λ) và x ∈ lim infoλ→λ0 G(λ).
Vì vậy, x ∈ lim infoλ→λ0 F (λ) ∩ lim infoλ→λ0 G(λ). Vì vậy
lim infoλ→λ0 (F (λ) ∩ G(λ)) ⊆ lim infoλ→λ0 F (λ) ∩ lim infoλ→λ0 G(λ).
19

(1.14)


Lấy x ∈ lim infoλ→λ0 F (λ) ∩ lim infoλ→λ0 G(λ). Khi đó tồn tại hai lân cận mở V1 và
V2 của x và hai lân cận mở U1 và U2 của λ0 sao cho V1 ⊆ F (λ) với mọi λ ∈ U1
và V2 ⊆ G(λ) với mọi λ ∈ U2 . Xét tập V = V1 ∩ V2 và U = U1 ∩ U2 . Suy ra
V ⊆ F (λ) ∩ G(λ) với mọi λ ∈ U . Do đó x ∈ lim infoλ→λ0 (F (λ) ∩ G(λ)). Vì vậy
lim infoλ→λ0 F (λ) ∩ lim infoλ→λ0 G(λ) ⊆ lim infoλ→λ0 (F (λ) ∩ G(λ)) .

(1.15)

Từ (1.14) và (1.15) suy ra
lim infoλ→λ0 (F (λ) ∩ G(λ)) = lim infoλ→λ0 F (λ) ∩ lim infoλ→λ0 G(λ).

Chứng minh công thức (1.12). Lấy x ∈ lim supoλ→λ0 (F (λ) ∪ G(λ)) . Theo định
nghĩa tồn tại lân cận V của x và một lưới λν hội tụ tới λ0 sao cho
V ⊆ F (λν ) ∪ G(λν ) với mọi ν.

(1.16)

Nếu x ∈ lim sup G (λ) thì ta thực hiện xong. Nếu không, tức là x ∈ [limsupλ→λ0 G(λ)]c .
λ→λ0

Theo (3) của Bổ đề (1.2.1) ta có x ∈ lim infoλ→λ0 Gc (λ), tức là tồn tại lân cận W
của x và lân cận U của λ0 sao cho W ⊆ Gc (λ) với mọi λ ∈ U , λ = λ0 . Kết hợp với
(1.16) ta có với mọi ν và λν = λ0 thì V ∩W ⊆ F (λν ). Vì vậy, x ∈ lim supoλ→λ0 F (λ).
Vậy x ∈ lim supoλ→λ0 F (λ) ∪ limsupλ→λ0 G(λ). Điều phải chứng minh.
Cuối cùng ta chứng minh công thức (1.13), ta lấy phần bù cho công thức
(1.12)
lim supoλ→λ0 F (λ) ∪ limsupλ→λ0 G(λ)

c

c

⊆ lim supoλ→λ0 (F (λ) ∪ G(λ)) .

Áp dụng luật De Morgan ta có
lim supoλ→λ0 F (λ)

c

∩ lim supλ→λ0 G(λ)

c

c

⊆ lim supoλ→λ0 (F (λ) ∪ G(λ)) .

Giả sử x ∈ liminfλ→λ0 F (λ) ∩ lim infoλ→λ0 G(λ). Suy ra x ∈ liminfλ→λ0 F (λ) và
x ∈ lim infoλ→λ0 G(λ). Theo (3) và (4) của Bổ đề (1.2.1) ta có x ∈ lim supoλ→λ0 F c (λ)
c
và x ∈ [limsupλ→λ0 Gc (λ)]c . Do đó x ∈ lim supoλ→λ0 F c (λ) ∩ [limsupλ→λ0 Gc (λ)]c .
c
Khi ấy x ∈ lim supoλ→λ0 (F c (λ) ∪ Gc (λ)) . Theo (4) của Bổ đề (1.2.1) ta có
x ∈ liminfλ→λ0 [F c (λ) ∪ Gc (λ)]c . Vì vậy x ∈ liminfλ→λ0 (F (λ) ∩ G(λ)) . Vậy
liminfλ→λ0 F (λ) ∩ lim infoλ→λ0 G(λ) ⊆ liminfλ→λ0 (F (λ) ∩ G(λ)) .

Mệnh đề 1.2.2. Các khẳng định sau là đúng:
1. Nếu F và G là các outer-liên tục (tướng ứng, inner-mở, inner-liên tục) tại λ0
thì F ∪ G là outer-liên tục (tướng ứng, inner-mở, inner-liên tục) tại λ0 .
2. Nếu F là outer-liên tục và G là outer-mở tại λ0 thì F ∪ G là outer-mở tại λ0 .
20

c


Chứng minh. Trước hết ta sẽ chứng minh khẳng định (1). Giả sử F và G là các
outer-liên tục, theo định nghĩa ta có lim supλ→λ0 F (λ) ⊆ F (λ0 ) và lim supλ→λ0 G(λ) ⊆
G(λ0 ). Suy ra
lim supλ→λ0 F (λ) ∪ lim supλ→λ0 G(λ) ⊆ F (λ0 ) ∪ G(λ0 ).

Mặt khác, theo Bổ đề (1.2.2) ta có
limsupλ→λ0 (F (λ) ∪ G(λ)) = limsupλ→λ0 F (λ) ∪ limsupλ→λ0 G(λ).

Vì vậy,
limsupλ→λ0 (F (λ) ∪ G(λ)) ⊆ F (λ0 ) ∪ G(λ0 ).

Vậy F ∪ G là outer-liên tục tại λ0 . Chứng minh tương tự với inner-mở và innerliên tục.
Tiếp tục ta chứng minh khẳng định (2). Giả sử F là outer-liên tục và G là
outer-mở, nên theo định nghĩa ta có
lim supλ→λ0 F (λ) ⊆ F (λ0 ) và lim supoλ→λ0 G(λ) ⊆ G(λ0 ).

Theo Bổ đề (1.2.2) ta có
lim supoλ→λ0 (F (λ) ∪ G(λ)) ⊆ limsupλ→λ0 F (λ) ∪ lim supoλ→λ0 G(λ) ⊆ F (λ0 ) ∪ G(λ0 ).

Vậy F ∪ G là outer-mở tại λ0 .
Mệnh đề 1.2.3. Các khẳng định sau là đúng:
(1) Nếu F là outer-liên tục (tương ứng, outer-mở) tại λ0 và nếu
[limsupλ→λ0 G(λ)] ∩ F (λ0 ) ⊆ G(λ0 )

(tương ứng lim supoλ→λ0 G(λ) ∩ F (λ0 ) ⊆ G(λ0 )), thì F ∩ G là outer-liên tục
(tương ứng là outer-mở) tại λ0 .
(2) Nếu F là inner-mở tại λ0 và nếu
lim infoλ→λ0 G(λ) ⊇ G(λ0 ) ∩ F (λ0 )

thì F ∩ G là inner-mở tại λ0 .
(3) Nếu F là inner-liên tục (tương ứng, inner-mở) tại λ0 và nếu
lim infoλ→λ0 G(λ) ⊇ G(λ0 ) ∩ F (λ0 )

(tương ứng liminfλ→λ0 G(λ) ⊇ G(λ0 ) ∩ F (λ0 )), thì F ∩ G là inner-liên tục tại
λ0 .

Đặc biệt,
21


(4) Nếu F và G là outer-liên tục (tương ứng, inner-mở, outer-mở) tại λ0 thì
F ∩ G là outer-liên tục (tương ứng, inner-mở, outer-mở) tại λ0 .
(5) Nếu F là inner-mở và G là inner-liên tục tại λ0 thì F ∩ G là inner-liên tục

tại λ0 .
Chứng minh. Trước hết ta sẽ chứng minh khẳng định (1). Giả sử F là outer-liên
tục tại λ0 và
[limsupλ→λ0 G(λ)] ∩ F (λ0 ) ⊆ G(λ0 ).

Theo định nghĩa outer-liên tục ta có limsupλ→λ0 F (λ) ⊆ F (λ0 ). Mặt khác, từ Bổ
đề (1.2.2) ta có
limsupλ→λ0 F (λ) ∩ G(λ) ⊆ limsupλ→λ0 F (λ) ∩ limsupλ→λ0 G(λ)
⊆ F (λ0 ) ∩ limsupλ→λ0 G(λ)
⊆ F (λ0 ) ∩ G (λ0 ) .

Vậy F ∩ G là outer-liên tục. Tính outer-mở chứng minh tương tự.
Chứng minh khẳng định (2). Giả sử F là inner-mở tại λ0 và
lim infoλ→λ0 G(λ) ⊇ G (λ0 ) ∩ F (λ0 ) .

Theo định nghĩa inner-mở lim infoF (λ) ⊇ F (λ0 ). Theo Bổ đề (1.2.2) ta có
λ→λ0

lim infoF (λ) ∩ G(λ) = lim infoF (λ) ∩ lim infoG(λ)

λ→λ0

λ→λ0

λ→λ0

⊇ F (λ0 ) ∩ lim infoG(λ)
λ→λ0

⊇ F (λ0 ) ∩ [G(λ0 ) ∩ F (λ0 )]
= F (λ0 ) ∩ G(λ0 ).

Vậy F ∩ G là inner-mở tại λ0 .
Chứng minh khẳng định (3). Giả sử F là inner-liên tục tại λ0 và
lim infoλ→λ0 G(λ) ⊇ G (λ0 ) ∩ F (λ0 ) .

Theo định nghĩa inner-liên tục liminfλ→λ0 F (λ) ⊇ F (λ0 ). Theo Bổ đề (1.2.2) ta có
liminfλ→λ0 F (λ) ∩ G(λ) ⊇ liminfλ→λ0 F (λ) ∩ liminfoλ→λ0 G(λ)
⊇ F (λ0 ) ∩ liminfoλ→λ0 G(λ)
⊇ F (λ0 ) ∩ [G(λ0 ) ∩ F (λ0 )]
= F (λ0 ) ∩ G(λ0 ).
22


Vậy F ∩ G là inner-liên tục tại λ0 . Tính inner-mở chứng minh tương tự.
Chứng minh khẳng định (4). Giả sử F và G là outer-liên tục, theo định nghĩa
ta có limsupλ→λ0 F (λ) ⊆ F (λ0 ) và limsupλ→λ0 G(λ) ⊆ G(λ0 ). Theo Bổ đề (1.2.2) ta
có
limsupλ→λ0 F (λ) ∩ G(λ) ⊆ limsupλ→λ0 F (λ) ∩ limsupλ→λ0 G(λ)
⊆ F (λ0 ) ∩ G (λ0 ) .

Vậy F ∩ G là outer-liên tục tại λ0 . Tính inner-mở và outer-mở chứng minh tương
tự.
Cuối cùng ta chứng minh khẳng định (5). Giả sử F là inner-mở và G là innerliên tục. Theo định nghĩa ta có lim infoλ→λ0 F (λ) ⊇ F (λ0 ) và liminfλ→λ0 G(λ) ⊇
G(λ0 ). Theo Bổ đề (1.2.2) ta có
liminfλ→λ0 F (λ) ∩ G(λ) ⊇ liminfλ→λ0 F (λ) ∩ lim infoλ→λ0 G(λ)
⊇ F (λ0 ) ∩ G(λ0 ).

Vậy F ∩ G là inner-liên tục tại λ0 .
Nhận xét 1.2.6. Nếu F và G là ánh xạ inner-liên tục thì khơng nhất thiết
suy ra F ∩ G là inner-liên tục, còn nếu F và G là outer-mở thì khơng nhất thiết
F ∪ G là outer-mở. Chẳng hạn, xét hai ánh xạ đa trị F và G trên R xác định bởi
F (λ) =

G(λ) =

Q nếu λ = 0,
0 nếu λ = 0;
R\Q nếu λ = 0,
0
nếu λ = 0.

Khi ấy, F và G là ánh xạ outer-mở vì với mọi λ0 ta có
lim supoλ→λ0 F (λ) = ∅ ⊆ F (λ0 ) và lim supoλ→λ0 G(λ) = ∅ ⊆ G(λ0 ).

Nhưng F ∪ G không phải là ánh xạ outer-mở tại 0 vì lim supoλ→λ0 F (λ) ∪ G(λ) =
R {0} = F (0) ∪ G(0).

23

Chương 2

Bài toán quan hệ biến phân
2.1

Phát biểu bài toán và một số ví dụ

Trong phần này chúng ta giả thiết A, B, Y là các tập khác rỗng, S1 : A ⇒ A,
S2 : A ⇒ B , T : A × B ⇒ Y là các ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng và R(a, b, y)
là quan hệ giữa các phần tử a ∈ A, b ∈ B , y ∈ Y.
Định nghĩa 2.1.1. Bài tốn tìm a¯ ∈ A sao cho
(1) a¯ là điểm bất động của ánh xạ S1 , tức là a¯ ∈ S1 (¯a);
(2) Quan hệ R(¯a, b, y) đúng với mọi b ∈ S2 (¯a) và y ∈ T (¯a, b);
được gọi là bài tốn quan hệ biến phân, kí hiệu là (VR).
Các ánh xạ đa trị S1 , S2 , T được gọi là ánh xạ ràng buộc và quan hệ R là một
quan hệ biến phân. Điểm a¯ thỏa mãn điều kiện 1 và 2 được gọi là nghiệm của
bài toán (VR). Tập các nghiệm của bài toán (VR) kí hiệu là Sol(VR).
Sau đây là một số mơ hình bài tốn đã biết có thể được suy ra từ bài tốn
quan hệ biến phân.
Ví dụ 2.1.1. Bài tốn quy hoạch tuyến tính
Xét bài tốn quy hoạch tuyến tính tổng quát được phát biểu như sau
Tìm x ∈ X0 sao cho f (x) → min,
trong đó f : Rn → R,
f (x) = cT x = c1 x1 + c2 x2 + ... + cn xn ,

ở đây x = (x1 , ..., xn ), cT = (c1 , ..., cn ).
Tập ràng buộc X0 = {x ∈ Rn : Ax ≤ b, Cx = d}, với

24