De cuong on tap tot nghiep doc

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.14 MB, 49 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

đề cơng ơn tập mơn tốn

Phần đại số giảI tích

A. Tãm t¾t lý thut

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2></div>
(3)<div class='page_container' data-page=3></div>
(4)<div class='page_container' data-page=4></div>
(5)<div class='page_container' data-page=5></div>
(6)<div class='page_container' data-page=6></div>
(7)<div class='page_container' data-page=7></div>
(8)<div class='page_container' data-page=8></div>
(9)<div class='page_container' data-page=9></div>
(10)<div class='page_container' data-page=10></div>
(11)<div class='page_container' data-page=11></div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Phaàn IiI

NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
I . Nguyên hàm và tích phân bất định:

1.Ngun hàm và tích phân bất định: Nếu F’(x)=f(x) với x(a;b) thì F(x) là một

nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a;b). Nếu thêm F’(a+) = f(a) và F’(b)=f(b) thì
F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a;b]. Mọi nguyên hàm của f(x) đều
có dạng F(x)+C, trong đó C là hằng số. Tập hợp các nguyên hàm của f(x) trên
khoảng (a;b), gọi là tích phân bất định của f(x) trên khoảng (a;b) và ký hiệu là

f(x)dx.

Vậy f(x)dx = F(x)+C  F ’(x) = f(x) với x(a;b) và C là hằng số.
Mọi hàm số liên tục trên đoạn [a;b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó.

2.Tính chất:

a) (f(x)dx)'= f(x)

b)kf(x)dx= kf(x).dx k0

c)[f(x)g(x)]dx =f(x)dx +g(x)dx

d)f(t)dt F(t)Cf(u)duF(u)C với u = u(x)
3.Bảng các nguyên hàm:

Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp Nguyên hàm của các hàm số hợp

dx=x+C du=u+C

1
x
dx

x 1











+C, 1 u du u 1












+C, 1



dxx = lnx+ C, x  0



duu = lnu+ C, x  0
exdx = ex+C eudu = eu+C





a
ln

a
dx

ax x +C, 0<a

1





a
ln

a
du

au u +C, 0<a

1

cosxdx = sinx+C cosudu = sinu+C

sinxdx =  cosx+C sinudu =  cosu+C



cosdx2 x = tgx+C, x 2



+k vaø kZ



cosdu2u = tgu+C, u 2


+k vaø kZ



sindx2 x =  cotgx+C, x k vaø kZ



sin u

2 =  cotgu+C, u k vaø kZ

II. Tích phân xác định:

1)

Định nghĩa : Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên khoảng K; a,bK; F(x) là

một nguyên hàm của f(x) trên K. Hiệu số F(b)F(a) được gọi là tích phân từ a

đến b của f(x) và được ký hiệu là



dx
)
x
(

f .

Ta vieát : f(x)dx F(x)b F(b) F(a)

a
b







(Cơng thức Niutơn-Laipnit)

2) Các tính chất của tích phân :

Giả sử các hàm số f(x) và g(x) liên tục trên khoảng K và a,b,c  K.

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>



a
a
dx
)

x
(
f =0
*



a
b
dx
)
x
(

f =



a
dx
)
x
(
f
*



b
a
dx
)
x
(

kf =k



dx
)
x
(

f (k|R)




b
a
dx
)]
x
(
g
)
x
(
f

[ =



dx
)
x
(

f 



a
dx
)
x
(
g
*



c
a
dx
)
x
(

f =



dx
)
x
(

f +



b
dx
)

x
(
f

* f(x)  0 treân [a;b]



b
a
dx
)
x
(

f 0

* f(x)  g(x) treân [a;b]



b
a
dx
)
x
(
f 



b
a

dx

)

x

(

g

* m f(x)  M treân [a;b]  m(ba)



b
a
dx
)
x
(

f  M(ba)

* t[a;b]  G(t)=



t
a
dx
)
x
(

f là 1 nguyên hàm của f(t) thỏa G(a)=0.

III. Các phương pháp tính tích phân xác định:

1) Phương pháp đổi biến số : Cho f(x) là một hàm số liên tục trên đoạn [a;b], giả sử
cần tính



b
a
dx
)
x
(

f , khi chưa tìm được trực tiếp nguyên hàm F(x) của f(x) trên đoạn

[a;b]

a) Đổi biến số dạng 1:

 Đặt x = u(t)

- Tính dx=u’(t)dt

- Đổi cận x = a  u(t) = a t = 
x = b  u(t) = b t = 
 Đổi biến



f(x)dx 



g(t)dt

a và tìm G(t) là một nguyên hàm của g(t)
trên đoạn [,]

 Tính



f(x)dx



g(t)dt

a =G(t)| G() G()




b) Đổi biến số dạng 2:

 Đặt t= v(x) ( hoặc biến đổi t= v(x)  x = u(t))

- Tính dt = v’(x)dx ( hoặc tính dx=u’(t)dt )
- Đổi cận: x = a  t = v(a) = 

x = b  t= v(b) = 

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

 Đổi biến



f(x)dx 



g(t)dt

a và tìm G(t) là một nguyên hàm của g(t)
trên đoạn [,]

 Tính dx)x(fdt)t(g
b

a = G(t)| G() G()




2) Phương pháp tính tích phân từng phần :

a) Định lý: Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] thì:



b
a
)
x
(

u .v’(x)dx= u(x) v(x) ba 



b
a

)
x
(

v .u’(x)dx hay:

b  

a
b
a
b
a vdu
uv
udv

b) Cách tính:

Biến đổi



b 



a
b
audv
dx
)
x
(

f với cách đặt hợp lý :



















)x(vv

dx)x('u

du

dx)x('v

dv

)x(uu

Biến đổi về: b  
a
b
a
b
a vdu
uv

udv , sau đó tính từng phần uv



b
a
b

a , vdu

c) Chú ý : Có thể sử dụng bảng nguyên hàm 2 sau đây để tính tích phân bằng
phương pháp tích phân từng phần (a0):



  cos(axb)
a
1
dx
).
b
ax

sin( + C

)
1
(
a
)
b
ax
(
dx
)
b
ax
( 1











+C, 1







sin(

ax



)b

a

1 dx).b

ax

cos(

+ C




 a
1
b
ax
dx

lnax+b+ C



cos2(dxaxb)= a

1 tg(ax+b) +C



 

 ax b

b
ax e
a
1
dx
.

e + C



sin2(dxaxb) =  a

cotg(ax+b)+C



 

 x a

a
x
ln
a
2
1
a
x
dx
2

2 + C,

IV. Ứng dụng của tích phân :
1.Diện tích hình phẳng:

1) Cho f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Diện tích hình (H) giới hạn bởi y=f(x);
y=0 ( trục Ox) và hai đường thẳng x=a và x=b xác định bởi:

S=
b
a

dx
.
)
x
(
f

Một số lưu ý khi sử dụng công thức này:

a) Nếu f(x) giữ nguyên dấu khi x[a;b] thì







b
a
b
a
dx
).
x
(
f
dx
.
)
x
(
f

b) Khi bài tốn khơng cho hai đường thẳng x=a và x=b thì ta lập
phương trình hồnh độ giao điểm f(x) = 0 (1) :

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

 Nếu phương trình này có n nghiệm sắp xếp theo thứ tự tăng dần thì :

a= x1 < x2 <… < xn=b. Để tính diện tích trong trường hợp này ta biến đổi:

1 2

1 1

( ) .

...

( ) .

n

x x

b b

a a x x

S

f x dx



















1 2

1 1

( ). ( ). ... ( ).

n

x x b

a x x

f x dx f x dx f x dx











 



Cho f1(x) và f2(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Diện tích hình (H) giới hạn bởi

y= f1(x); y= f2(x) và hai đường thẳng x=a và x=b xác định bởi:

S=

b
a
2
1)x(fx(fdx.)

2.

Thể tích vật thể hình học:

1. Cho vật thể (T) đặt trong hệ trục tọa độ Oxyz, sao cho (T) nằm giữa hai mặt
phẳng () và () đồng thời vng góc Ox tại x=a và x=b. Gọi S(x) là diện tích

của thiết diện của (T) với mặt phẳng () vng góc với Ox. Thể tích của (T) được

tính bởi:



dx
)
x
(
S

2. Giả sử y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Khi cho hình (H) giới hạn bởi y=f(x);
y=0 và hai đường thẳng x=a và x=b quay một vịng quanh trục Ox, tạo nên hình
trịn xoay. Thể tích hình trịn xoay được tính bởi: V=



b
a

2dx
y

3. Giả sử x=g(y) liên tục trên đoạn [a;b]. Khi cho hình (H) giới hạn bởi x=g(y);
x=0 và hai đường thẳng y=a và y=b quay 1 vịng quanh trục Oy, tạo nên hình trịn
xoay. Thể tích hình trịn xoay được tính bởi: V=



b
a

2dy
x

Phần IV
ĐẠI SỐ TỔ HỢP
I. HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP:

1.Qui tắc cộng và qui tắc nhân:

a) Qui tắc cộng :

Nếu có m1 cách chọn đối tượng x1, m2 cách chọn đối tượng x2,… , mn cách chọn đối

tượng xn, và nếu cách chọn đối tượng xi không trùng bất kỳ cách chọn đối tượng xj

nào (ij; i,j=1,2,…,n) thì có m1+m2+…+mn cách chọn một trong các đối tượng đã cho.

Cách khác: Một công việc được thực hiện qua nhiều trường hợp độc lập nhau.
Trường hợp 1 có m1 cách thực hiện, trường hợp 2 có m2 cách thực hiện, …trường hợp

n có mn cách thực hiện thì số cách thực hiện cả công việc là m1+m2+…+mn.

b) Qui tắc nhân :

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Nếu 1 phép chọn được thực hiện qua n bước liên tiếp nhau, bước 1 có m1 cách, bước

2 có m2 cách, . . ., bước n có mn cách, thì phép chọn đó được thực hiện theom1 . m2 . …

.mn cách khác nhau.

Cách khác: Một cơng việc được thực hiện qua nhiều giai đoạn:Giai đoạn 1 có m1

cách thực hiện, giai đoạn 2 có m2 cách thực hiện, …giai đoạn n có mn cách thực hiện

thì số cách thực hiện cả cơng việc là m1 . m2 . … .mn
2.Hốn vị:

a) Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử . Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử (n1)

của tập hợp A được gọi là 1 hốn vị của n phần tử đó.

b) Định lý: Nếu ký hiệu số hoán vị của n phần tử là Pn, thì:

n
1
.
2
.
3
)...
2
n
)(
1
n
(
n

Pn     !

Qui ước: 0!=1

3.Chỉnh hợp:

a) Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi bộ gồm k (1 k n) phần tử sắp

thứ tự của tập hợp A được gọi là 1 chỉnh hợp chập k của của n phần tử .
b) Số chỉnh hợp chập k của n phần tử la ø:

)!
k
n
(

!
n
)

1
k
n
)...(
2
n
)(
1
n

(
n
Ak









Đặc biệt: Khi n

n n

k n A P

4.Tổ hợp:

a) Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k (0k n) phần tử

của A được gọi là 1 tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.

b) Số tổ hợp chập k của n phần tử la ø :

)!
k

n
(
!
k

!
n
Ck




c) Tính chất:

1) n k

n
k

n C

C  

2) k

n
k
n

k

n C C

C 11  1 

3) k

n
k

n k!C

A 

I.CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON: 
1.Công thức nhị thức Newton:

Với hai số thực a và b và nN ta có công thức:

n
n
n
k

k
n
k

n
1

n
1
n
n
0
n

n C a C a b ... C a b ... C b

)
b
a

(         

( )

n

n k n k k
n

a b C a b

 



2.Các tính chất:

a) Vế phải có n+1 số haïng.

b) Trong mỗi số hạng tổng số mũ của a và b là n.
c) Số hạng thứ k+1 của cơng thức khai triển có dạng :

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

k n k k
n
1

k C a b

T 

  (k 0,1,2,3,...,n)

d) Các hệ số cách đều số hạng đầu và cuối là bằng nhau.

n
n
n
2

n
1
n
0

n C C ... C 2

C
)

e      .

0
C
)
1
(
...
C
C
C
)

f n

n
n
2

n
1
n
0

n       .

B. Bµi tËp

I. ĐẠO HÀM

Bµi 1: Chứng minh rằng :

a) Với y= 3 +

x

5

( x  0), ta coù xy’ + y = 3

b) Với y = x sin x, ta có : xy – 2 ( y’ – sin x ) +xy” = 0
c) Với y = ( x +1 ) ex ta có : y’ – y = ex

d) Với y= e sin x ta có : y’ cos x – ysin x – y” = 0

e) Với y = e4x+2e-x. ta có : y’’’-13y’-12y = 0

Bài 2: Giải phương trình : f’(x) = 0 biết rằng:
a) f(x) = cos x +sin x + x.

b) f(x) = (x2+2x-3)ex

c) f(x) = sinx.ex

d) f(x) = 3sinx cosxx
Bài 3:Tìm GTLN, GTNN cuûa

a)Hàm số f(x) = x2-2x+3 trên [0;3]. Kq:

]
3
;
0
[

Minf(x)=f(1)=2 vaø

]
3
;
0
[

Max

f(x)=f(3)=6.

b)Hàm số y=2x3+3x2

1 trên 







 ;1
2
1

Keát quaû: Max;1] y f(1) 4
2

1
[




 ;

1
)
0
(
f
y
Min

]
1
;
2

[  

c) Hàm số y=2sinx34sin3x trên [0;] (Đề thi TNTH PT 20032004)

Bài 4: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = 3 sinx – 4 cosx.
Bài 5: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = x – 5 + 4 x2

 .

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Keát quaû: Maxy f( 2) 2 2 5

]
2
;
2

[    ;

7
)
2
(
f
y
Min

]
2
;

[   

VII.ứng dụng của đạo hàm

Bµi 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số:

1) y = x3-3x+1 2) y = 3x2-x3 3) y = x3+3x

4 4) y = (1-x)3

5) y = x 21
2

x4 2



 6) y = x4+x2-2. 7) y=2x2x4-1 8) y =
1
x

1
x




9) y = x2x2 10) y = xx21

 11) y = x 2

4
1
x




 12) y =

x
1

)
2
x

( 2




13) y = x 2 x12






Bài 2: Cho hàm số y = f(x) = x3

3x2+1, có đồ thị (C).

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C)

b) Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận số nghiệm của phương
trình: x3

3x2+ m = 0

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hồnh độ bằng 3.

Bài 3: Cho hàm số y x 3 6x29x4 có đồ thị (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C)

b) Viết pttt với đồ thị (C) tại điểm B(0; 4)

c) Viết pttt với đồ thị (C) biết tiếp tuyến qua điểm A



1;0



Baøi 4:Cho hàm số y = - x3+3x2

2, có đồ thị (C).

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C)

b) Biện luận bằng đồ thị (C) số nghiệm của pt: x3- 3x2

(m2) = 0

c) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết

+ Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -9x +7
+ Tiếp tuyến đi qua điểm A(2; 2)

Bài 5: Cho hàm số: y x 3 3x2(1 3 ) m x3m4 có đồ thị(Cm)

a) Tìm m để (Cm) nhận điểm I



1;2



làm điểm uốn
b) Khảo sát và vẽ đồ thị với m = 1

Baøi6: Cho hàm số y= x4x2

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Viết pttt với đồ thị (C) biết tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ

c) Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận số nghiệm của phương trình: x x2( 2 2) k

 
Bài 7: Cho hàm số y x4 2(1 m x) 2 m2 3

    

a) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với giá trị m tìm được
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số vừa
vẽ ở câu b và trục hồnh

Bµi 8: Cho hµm sè y x4 mx2 m 1

    có đồ thị (Cm)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị với m = -1

b) Dựa vào đồ thị (C1), hãy biện luận theo k số nghiệm của

phơng trình sau: 4 (1x2 x2) 1 k

 

c)Viết pttt với (C1) biết tiếp tuyến vng góc với đờng thẳng y2x5

Bài 9: Cho hàm số: y x4 2(m1)x2 2m 1 có đồ thị (Cm)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị với m = 4

b) Tìm m để (Cm) có 3 cực trị

Bµi 10: Cho hµm sè: 1 4 2

y x  ax b( a, b là tham số )
a) Xác định a, b để hàm số cực trị bằng – 2 khi x = 1
b) Khảo sát và vẽ đồ thị khi a1, 3

b

c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ở phần 2
và trục Ox

Bµi 11: Cho hµm sè 2 1

x
y

x




 có đồ thị (C)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C)

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục Oxvà đờng thẳng x1

Bµi 12: Cho hµm sè 2

x
y

x




 có đồ thị (C)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C)

b) Viết pttt với đồ thị (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-6; 5)
c) Tìm các điểm trên đồ thị (C) có tọa độ là các số ngun

Bµi 13: Cho hµm sè: 2

x
y

x




 , có đồ thị (C)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C)

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ (C), các trục Ox, Oyvà đờng thẳng x =2

Bµi 14: Cho hµm sè 1

y x
x

 

 , có đồ thị (C)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C)

b) Viết pttt tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến qua A



1; 1



.
CMR các tiếp tuyến đó vng góc với nhau

Bµi 15: Cho hµm sè 3 1

y x

x

  

 , có đồ thị (C)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C)

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ (C), tiệm cận xiên của (C) và

2 đờng thẳng x = 2, x (  2 ). Tìm  để diện tích đó bằng 2

Bµi 16: Cho hµm sè

2 3 3

x x

y

x

 



 , có đồ thị (C)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C)

b) Viết pttt với đồ thị (C) biết tiếp tuyến qua O



0;0



</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Bµi 17: Cho hµm sè

2 1

x x

y
x

 


 , có đồ thị (C)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C)

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ (C), tiệm cận
xiên của (C) và 2 đờng thẳng x = 2, x3

c TÝnh thĨ tÝch cđa vËt thĨ trßn xoay sinh ra tõ phÐp quay
quanh Ox cđa hình phẳng giới hạn bởi (C); y = 0; x = 2; x = 3

VIII.TÍCH PHÂN
Bài 1:

a) Tìm một nguyên hàm F(x) của f(x)= x3

x2+2x1

biết rằng F(0) = 4. Kết quaû: F(x) =x44  x33 +x2x+4

b) T×m một nguyên hàm F x( ) của hàm số

( ) 12 sin cos

cos

f x x x

x

   . BiÕt ( ) 2

F .

c) Tìm một nguyên hàm F x( ) cđa hµm sè ( ) 2
1

x
x

f x e

x

 

 . BiÕt F(0) 3
Bài 2: Tìm A và B sao cho với mọi x 1 và x2 , tacó:x2 x3x12xA 2 xB 1



.
Từ đó, hãy tìm họ nguyên hàm của hàm số: f(x) x2 x3x1 2







Keát quaû:A=3; B= 2. F(x) = 3 l nx22 l nx1+ C = l n 2
3

)
1
x
(

2
x




+C
Bài 3: Tính các tích phân:

Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả



2 

1 2

dx
x
2

2
x



3 

1
2

dx
x

x
4
x






2 1|dx
x

1
12

d) 


4
0

2xdx





2 xcosxdx

sin

4
4 

3
1

Bài 4: Tính các tích phân:( sử dụng phương pháp đổi biến )

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả
a)





x

1 dx





1 (2x 1)2

c) dx
1
x
x
2
x
4
1
0
2
 
d)




4
0
tgxdx





2
ln
0
x
x
3
e
dx
e
f)





2
0

3 x.dx

cos
ln2
3
1
2ln3
ln 2

ln 45
3
2
g) dx
x
cos
3
1
x
sin
2
0





h)






2
6
2
3
dx
.
x
sin
x
cos
i)




 

2
3
dx
.
x
cos
x
sin
x
cos
x
sin
j)



  
1
0

2 x 1.dx

x
)
1
x
2
(



1
2
dx
x
x
ln
3
2
ln2
2
1

ln( 3+1)

0
3
1

Bài 6:Tính các tích phân:(dùng phương pháp tích phân từng phần)

Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả



1
0
2 dx
xe x
b)2
0

(x 1) cosxdx




4
1
e2

2
2




e
1

xdx

d) 4 2

0 cos
xdx
x




1
2
ln
4


e) 2

sin .cos

x x xdx







2dx
)
x
(ln





2)dx
x
1
ln(


e2

ln22+ 2

h)1 2

ln(1 )

x x dx



i) cos

(e x x)sinxdx







j) 2

0
sin
x
e xdx




ln2 21




e
1
e2

2
1
e2 



Bài 5: Tính các tích phân: (sử dụng phương pháp đổi biến)

Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả




4
0
dx
.
x
2
sin 2
1





2x x2 1

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

b) dx
x

x
e




1
ln
1

c) 3 32

0
sin
cos
xdx
x







4
0
4xdx
tg

e)2 4
4
sin
dx
x





f)13
0

1 xdx



g)1x x 1dx
0
2




h)





1
0

2 x 1

x
dx

k) 1

0 1
x
x
e dx

e







2
0

3 cosxdx

x
sin
)
1
2
2
(
3
2

2
1
12
8
3

3
4
4

3
)
1
2
2
(
3
1

3
3

)
2
1
e
(

2  
4
3

n)3 2

9 x dx







1

0 4 x2





2
2 1 x dx
x
r)
1 2
2
1
2
1 x
dx
x







1
0
x
e
1
dx
t)





2

01 cosx

u) 



0 cos2 x

xdx
sin
v)





2

0 2
dx
x
cos
1
x
sin



1
4
dx
x
x
ln
6

16

3
3
3  

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Bài 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y= x2+3x2,

d1:y = x1 vaø d2:y=x+2 Kq : 121

Bài 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y= x3

3x vaø

đường thẳng y=2. Kq : 274

Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi x 1
2
5
x
y
:
)
P

( 2

1   

x 1

2
3
-x
y
:
)
P
(

vaø 2

2    Kq: 3

Bài 10: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y=x(3x)2, Ox

vaøx=2;x=4. Kq: 2

Bài 11: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau :
a) (C): y = cosx ; y = 0 ; ;x

x . Kq: 1

b) (C): y = x2 – 2x + 3 ; (d): y = 5 – x . Kq:

2
9
c) (C): y = 2x3 – x2 – 8x + 1 ; (d): y = 6. Kq:

96
2401
d) y2 = 2x + 1; y = x – 1 . Kq:

3
16
e) y = lnx ; y = 0 ; x = 2. Kq: 2ln2-1

Bài 12: Tính thể tích của vật thể do các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây

quay quanh trục Ox:

Kq: 12
23
Kq:



   

    

  

a) y , y 0 , x 1, x 4
x

b) y x 1, y 0 , x 0 ,x 1

c) y 5x x , y 0 Kq: 625
6
Kq: 16

Kq:



 

   

2 2

1 x
2 2

x y
e) (E) : 1

9 4

f) y x .e , x 1, x 2 , y 0 e2

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

IX.ĐẠI SỐ TỔ HỢP

Bài 1: Cho 7 chữ số :1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

a) Từ 7 chữ số trên, có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm
5 chữ số khác nhau? Kết quả: 5

A 2520

b) Trong các số nói ở a), có bao nhiêu số chẵn?

Kết quả:6.5.4.3.3=1080

c) Trong các số nói ở a), có bao nhiêu số trong đó nhất thiết phải có mặt chữ
số 7? Kết quả: 5. A4 1800

6 
Bài 2: Cho 5 chữ số 0,1, 3, 6, 9.

a) Từ 5 chữ số ấy, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác

nhau? Kết quả: 4.A3 96

4 
b) Trong các số nói trên có bao nhiêu số chẵn?

Kết quả: A .1 3.A2.1 42

4  

c) Trong các số nói trên có bao nhiêu số chia hết cho 3?

Hướng dẫn và kết quả:

Chọn trong tập chứa các phần tử chia hết cho 3 là A=0,3,6,9

Vậy có 3.A3 3.3! 18

3   số chia hết cho 3.

Bài 3: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau lập nên
từ các chữ số 1,2,3, 4, 5 và 6 và lớn hơn 300.000

Kết quả: 4.5!=480

Bài 4: Từ tập hợp A=0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được bao

nhiêu số mà mỗi số có 5 chữ số khác nhau và trong đo
nhất thiết phải có mặt chữ số 5?

Kết quả: x=abcd : a=5 có 1.6.5.4.3= 360 số ; a5 có 4(5.5.4.3)=1200 số.
Vậy có 360+1200=1560 số Hoặc: 6. 4

5
4

6 5.A

A  (khơng có chữ số 5)=1560

Bài 5: Từ 7 chữ số 1,2,3,4,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số tự
nhiên có 4 chữ số khác nhau sao cho ln có mặt chữ số 7
và chữ số hàng ngàn là chữ số 1?

Keát quaû: 1.3. 2
5

A =60 số (1 cách xếp chữ số 1, 3 cách xếp chữ số 7 và 2
5

A cách

xếp 2,3,4,5,6 vào 2 vị trí còn lại).

Bài 6: Cho 5 quả cầu trắng bán kính khác nhau và 5 quả cầu xanh
bán kính khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 10 quả
cầu đó thành 1 dãy từ trái sang phải, sao cho khơng có 2
quả cầu cùng màu đứng cạnh nhau? Kết quả:28800
Bài 7: Hội đồng quản trị của 1 xí nghiệp gồm 11 người, trong đo

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

có 7 nam và 4 nữ. Từ hội đồng quảntrị đó người ta muốn
lập ra 1 ban thường trực, trong đó ít nhất 1 người nam.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn ban thường trực có 3 người?
Kết quả: 161
Bài 8: Lớp học có 40 học sinh ( 25 nam và 15 nữ) . Cần chọn một
nhóm gồm 3 học sinh . Hỏi có bao nhiêu cách :

a) Chọn 3 học sinh bất kỳ . Kết quả: 3
40

C =9880

b) Chọn 3 học sinh gồm 1 nam và hai nữ . Kết quả: 2625
c) Chọn 3 học sinh trong đó có ít nhất 1 nam.

Kết quả: 9425
Bài 9: Tìm n sao cho:

a) A .Cn 1 48.

n
2

n 

 Kết quả: n = 4

b) A A Cn 4 2324
n
3
1
n
4
n 
 


. Kết quả:n = 5

c) n

6
n
5
n
4 C
1
C
1
C
1


 . Kết quả:n = 2

d) 210

A
P
P
4
n
1
n
3
2

n





. Kết quả:n = 5
e) P P P 61

1
n

n  




. Kết quả: n = 2 V n = 3

g) n 2

n
3

n C

A 

 =14n. Kết quả:n=5.
h) 4

n
3

n 2C

A  = 3A2n Kết quả: n=6 V n=11
Bài 10: Giải các phương trình:

a) P .x2 P3.x 8

2   . Kết quả: x = -1 V x = 4

b) 2A 50 A2 ,x N

x
2
2

x    Kết quả: x = 5

c) x

2
7
C
C

C 3
x
2
x
1

x    . Kết quả:x = 4

d) 2

2
x
2
1
x
3
1

x 3A

2
C

C      Kết quả: x=9

e) 1

4
x
2

1
x
1

x 6C

7
C
1
C
1




 Keát quaû: x = 3 V x = 8
Bài 11: Giải hệ phương trình:









12 A

6 C

y
x

Kết quả:x=4 và y=2
b)








1
y
x
y
x
1
y
x
2
y
x
C
C
C
3
C
5

Kết quả: x = 7 và y = 4
Bài 12 : Giải các bất phương trình sau:

a) A C1 8

n
2

n   . Kết quả: n = 2 V n = 3

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

b) 2 2 3
2

1 6

2An An Cn

n

  
Baøi 13: Khai triển của x x1n







 có tổng các hệ số của 3 số hạng
đầu là 28. Tìm số hạng thứ 5 của khai triển đó.

Kết quả:126x
Bài 14 Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển của: 2x x110








 .

Kết quả: -8064
Bài 15: Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển: x 1x12











Kết quaû:T9=495

Bài 16: Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển:

).
3
n
(
7
C
C
:
bieát
x

1 n

3
n
1
n

4
n
n

3    








   Kết quả: n = 12 và a9=495
Bài 17: Chứng minh rằng:

C

02n+

C

22n+…..+

C

22nn =

C

12n+

C

32n+…+

C

22nn1

Hướng dẫn: Khai triển (a+b)2n với a = 1 , b = -1

C

1n +2

C

2n+3

C

3n +…+n

C

nn = n2n-1.

Hướng dẫn: Lấy đạo hàm y= (1+x)n rồi thay x=1.

Bài 18: Tính tổng:

a) S= 0 1 6

6 6 ... 6

C C  C

Hướng dẫn: Xét (x+1)6 và thay x=1. Kết quaû: 64

b) T= 0 1 2 2 3 3 4 4 5 5

5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5

C  C  C  C  C  C

Hướng dẫn: xét với (1+x)5 với x=2. Kết quaû: 243

Bài 19: Chứng minh rằng:

2n n

n
2
3

n
2
2

n
2
1

n
2
0

2 C C C ... C 4

C      

Bài 20: Chứng minh rằng:

0 1 1 1 2 ... 1 2 1 1

2 3 1 1

n
n

n n n n

C C C C

n n







</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Phần hình học giảI tích

A. Tóm tắt lý thuyết

Chng 1 PHNG PHP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

 HỆ TỌA ĐỘ. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VAØ CỦA ĐIỂM:

1.Hệ tọa độ: Hai trục tọa độ x’Ox và y’Oy vng góc nhau tạo nên hệ trục tọa độ
Đêcac Oxy: O là gốc tọa độ; x’Ox là trục hoành và y’Oy là trục tung.

Trong đó: 

i = (1; 0) và j = (0;1) là các vectơ đơn vị trên các trục.

Ta có:i =j =1 vaøi .j =0.

 Tọa độ của vectơ :u = (x ; y)  u = x.i + y.j .

 Tọa độ của điểm :OM = (x ; y)  M(x ; y)

x: hoành độ và y: tung độ của điểm M

2. Các kết quả: Trong hệ tọa độ Oxy cho A(xA; yA), B(xB; yB) và các vectơ



a =(a1; a2) vaø b = (b1 ; b2). Ta coù:




a b = ( a1  b1; a2  b2).




a

k = (ka1 ; ka2) (k là số thực).
 Tích vơ hướng:



a .b = a1 b1 + a2 b2.
Hệ quả:

 |a| = a12a22 .

 2

2
2
1
2
2
2
1

2
2
1

b
b
.
a
a

b.
a
b.
a
)b
,a
cos(









 a ^ b  a1 b1 + a2 b2 = 0.
 a =b 









2

1 b

a

b

a

 a ,b cuøng phương 
























0 ba

b

a

b

a

b

a.k

b:

R

k

1
2
2
1
2
1

2
1

2
2
1
1

 Tọa độ của vectơ:AB =(xB - xA;yB - yA).
 Khoảng cách:AB | AB |  (xB-xA)2(yB-yA)2



 Điểm M chia AB theo tỉ số k ( k1)  MA = k. MB .

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Khi đó tọa độ của M tính bởi:

k
1

kx
x

x A B




 và

k
1

ky
y

y A B





M là trung điểm AB ta có:x xA 2xB
M



 và

2
y
y

y A B



 Kiến thức về tam giác: Cho A(xA;yA),B(xB; yB) và C(xC; yC).

 Trọïng tâm của tam giác (giao các đường trung tuyến):

G là trọng tâm D ABC:xG xA x3B xC



 ;
3
y
y
y

y A B C





 Trực tâm của tam giác (giao các đường cao):











^



D






CA

BH

BC

AH

tâm

trực

là

H




















0 CA

.

BH

0 BC

.

AH

 Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác:

I(a;b) là tâm cuûa (ABC)  AI = BI = CI = R

(bán kính của (ABC)).
Giải hệ 22 22

AI =BI
AI =CI





  Tọa độ của I.

 Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác (giao các phân giác trong của các

góc của tam giác):

Tâm K của đường tròn nội tiếp D ABC tìm được khi thực

hiện hai lần cơng thức điểm chia đoạn theo tỉ số k:
Vì k1

AC
AB
DC
DB 




nên D chia BC theo tỉ số k1

Tọa độ của D.

Vì BD k2

BA
KD
KA







nên K chia AD
theo tỉ số k2  Tọa độ của K

 Diện tích tam giác:

+ S= aha

2
1

= bhb

2
1

= chc

2
1
+ S= absinC

2
1

= acsinB

= bcsinA
2

+ S=abc4R = pr = p(p a)(p b)(p c)

 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG:

1)Định nghóa: Cho các vectơ 

u và nkhác vectô 0.


u là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng D khi u nằm trên 1 đường thẳng song song
hoặc trùng với D. Mọi vectơ chỉ phương của D đều có dạng k.u ( k  0).

2) Phương trình tổng quát của đường thẳng:

a) Định lyù: Phương trình tổng quát của đường thẳng D có dạng:

Ax+By+C = 0 với A2+B2

 0

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Chú ý: D có vectơ pháp tuyến n= (A;B) và có vectơ chỉ phương



u= (B; -A) hoặc u= (- B; A)

b) Hệ quaû: Phương trình đường thẳng D đi qua M0(x0 ; y0) và có vectơ pháp tuyến



n= (A;B) là: A(x - x0) + B(y - y0) = 0 với A2+B2 0
3) Phương trình tham số - chính tắc của đường thẳng:

a) Phương trình tham số của đường thẳng:

b) Phương trình tham số của đường thẳng D đi qua M0(x0 ; y0) và có vectơ chỉ

phương 

u=(a; b) là:

















bt

y

at

x

0
0

với a2+b2

 0, tR

c) Phương trình chính tắc của đường thẳng:

Phương trình chính tắc của đường thẳng D đi qua M0(x0 ; y0) và có vectơ chỉ

phương 

u=(a; b) là: xax0 yby0 (a2+b2  0)

 Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng – Chùm đường thẳng:

1) Vị trí tương đối của hai đường thẳng: Cho 2 đường thẳng

D1:A1x+B1y+C1 = 0 (1) và D2:A2x+B2y+C2=0 (2) (A21 B210 và A22 B22 0).

Giải hệ gồm (1) và (2) ta có kết quả sau:

Hệ có duy nhất nghiệm A1B2A2B10D1và D2 cắt nhau.

Hệ vô nghiệm A1B2A2B1=0 và B1C2B2C10 D1 //ø D2.

Hệ có vô số nghiệm

A1B2A2B1=B1C2 B2C1=C1A2C2A1= 0 D1D2.

2, Chùm đường thẳng : Hai hoặc nhiều đường thẳng cùng đi qua một điểm I, tạo nên
chùm đường thẳng có tâm I.

Nếu D1:A1x+B1y+C1=0 và D2:A2x+B2y+C2=0 cắt nhau tại I

(A1B2 A2B1) thì phương trình của chùm đường thẳng tâm I là:

m(A1x+B1y+C1 )+ n(A2x+B2y+C2) = 0 (với m2+n2  0).

Góc giữa hai đường thẳng – khoảng cách từ một điểm tới

một đường thẳng

1.

Góc giữa hai đường thẳng:

Cho 2 đường thẳng D1:A1x+B1y+C1=0 và D2:A2x+B2y+C2 =0. Nếu gọi  (00  

900) là góc giữa D

1 và D2 thì: 2

2
2
2
2
1
2
1

2
1
2
1

B
A
.
B
A

B
B
A
A
cos









Hệ quả: D1 ^D2 A1A2 + B1B2 = 0
2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

a) Công thức: Khoảng cách từ M(x0;y0) đến D:Ax+By+C=0 là:

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

2 2
0
0

B
A

C
By
Ax
)
,
M
(
d






D (A2+B20)

b) Hệ quả: Nếu D1 : A1x+B1y+C1=0 và D2 : A2x+B2y+C2 = 0 cắt nhau thì phương

trình các phân giác tạo bởi (D1) và (D2) là: 2
2
2
2

2
2
2
2

1
2
1

1
1
1

B
A

C
y
B
x

A
B

C
y
B
x
A











 ĐƯỜNG TRỊN:

1.Phương trình của đường trịn:

a) Phương trình đường trịn (C) tâm I(a;b) bán kính R có dạng:
(xa)2+(yb)2=R2

b) Phương trình đường trịn tâm O bán kính R :
x2+y2 = R2

c) Phương trình x2+y2+2Ax+2By+C = 0 với A2+B2

C>0 là phương trình của

một đường trịn (C) có tâm I(A;B) và bán kính R= A2 B2 C


 .

2.Phương tích của một điểm đối với một đường tròn:

Cho (C) : F(x,y) = x2+y2+2Ax+2By+C = 0. Phương tích của một điểm M(x

0 ; y0) đối

với (C) là: P M/(C)= F(x0,y0) =x y 2Ax0 2By0 C
2

0
2

0    

3.Trục đẳng phương của hai đường tròn khác tâm:

a) Tập hợp các điểm có cùng phương tích đối với 2 đường tròn khác tâm (C1) và

(C2) là một đường thẳng d vng góc với đường thẳng nối 2 tâm I1 và I2 của (C1)

và (C2) và gọi là trục đẳng phương của (C1) và (C2).

b) Cho hai đường trịn:

(C1):F1(x,y)=x2+y2+2A1x+2B1y+C1=0và(C2):F2(x,y)=x2+y2+2A2x+2B2y+C2=0 khác

tâm,

phương trình của trục đẳng phương của (C1) và(C2) là:

F1(x,y)= F2(x,y) 2(A1 A2)x+2(B1 B2)y+C1 C2 = 0
4. Tiếp tuyến của 1 đường tròn :

Cho (C):F(x;y)=(xa)2+(yb)2R2=0 và điểm M(x0;y0), để viết phương trình tiếp

tuyến của (C) đi qua M ta tìm phương tích của M đối với (C):

Nếu P M/(C) < 0 thì M nằm trong (C),

qua M không kẻ được tiếp tuyến nào với (C).

 Nếu P M/(C) = 0 thì M thuộc (C), qua M kẻ được một tiếp tuyến với (C) và tiếp

tuyến này đi qua M có vectơ pháp tuyến 

IM= (x0 - a; y0 - b).

 Nếu P M/(C) > 0 thì M nằm ngồi (C), qua M ta kẻ được 2 tiếp tuyến với (C),

phương trình các tiếp tuyến này thực hiện như sau:

 Gọi D là đường thẳng qua M và có vectơ pháp tuyến n=(A;B)D:

A(x-x0)+B(y-y0) = 0 (1) với A2+B20.

 D tiếp xúc (C) d(I,D)= A2 B2
C
Bb
Aa





với C=-(Ax0+By0). Bình phương 2 vế, chọn hai cặp A, B thỏa phương trình này

và thay vào (1) để có hai phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua M.

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

 ElÍP:

1)Định nghĩa : Tập hợp các điểm M của mặt phẳng sao cho MF1+MF2=2a

(2a không đổi và a> c> 0) là một đường elíp.

F1,F2: cố định là hai tiêu điểm và F1F2=2c là tiêu cự của elíp.

MF1, MF2: là các bán kính qua tiêu.

2) Phương trình chính tắc của elíp: 1

b
y
a
x

2
2
2
2



 với b2 a2 c2.
3) Các yếu tố:

 Tiêu cự: F F1 2 2c

 Tọa độ tiêu điểm: F1( ;0), ( ;0)c F c2

 Độ dài trục lớn: 2a
 Độ dài trục bé: 2b

 Tọa độ các đỉnh: A1(a;0), ( ;0)A a2 ; ( ;0), B ( ;0)B1 b 2 b

 Tâm sai: eac (<1)

 Phương trình đường chuẩn: 1: ; 2:

a a

x x

e e

D  D 

 Baùn kính qua tiêu:M x y( ; ) ( )0 0  E

cx

MF a

a

   , MF2 a cx0

a

 

4) Tieáp tuyến của elíp (E): 1
b
y
a

2
2
2
2



 :

Tại M0(x0;y0)(E) có phương trình: xax yb2y 1
0
2
0




Đi qua M(x1; y1) là D:A(xx1)+B(yy1)=0 với điều kiện:

D tiếp xúc (E)A2a2+B2b2 =C2 A2+B20,C=(Ax1+By1)0

 HYPEBOL:

1.Định nghĩa : Tập hợp các điểm M của mặt phẳng sao cho MF1MF2=2a (2a

không đổi và c > a> 0) là một Hypebol.

F1, F2 : cố định là 2 tiêu điểm và F1F2=2c là tiêu cự.

MF1, MF2: là các bán kính qua tiêu.

2.Phương trình chính tắc của hypebol: 1

b
y
a
x

2
2
2
2



 ,b2 c2 a2.
3) Các yếu tố:

 Tiêu cự: F F1 2 2c

 Tọa độ tiêu điểm: F1( ;0), ( ;0)c F c2

 Độ dài trục thực: 2a
 Độ dài trục ảo: 2b

 Tọa độ các đỉnh: A1(a;0), ( ;0)A a2

 Taâm sai: eac (>1)

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

 Phương trình đường chuẩn: 1: ; 2:

a a

x x

e e

D  D 

 Bán kính qua tiêu:M x y( ; ) ( )0 0  E

 x0 0 thì: 1 0

cx

MF a

a

  , MF2 a cx0

a

 

 x0 0 thì: 1 0

cx

MF a

a

  , 2 0

cx

MF a

a

 

4) Tiếp tuyến của elíp (H): 22 22 1

x y

a  b  :

Tại M0(x0;y0)(H) có phương trình: 02 02 1

x x y y
a  b 

Đi qua M(x1; y1) là D:A(xx1)+B(yy1)=0 với điều kiện:

D tiếp xúc (H)A2a2-B2b2 =C2 A2+B20,C=(Ax1+By1)0

 PRABOL:

1, Định nghóa:

Parabol là tập hợp tất cả các điểm M của mặt phảng cách đều một đường thẳng D

cố định và một điểm F cố định không thuộc D

+D gọi là đường chuẩn của Parabol

+ F gọi là tiêu điểm của Parabol

+ Điểm M thuộc Parabol thì MF gọi là bán kính qua tiêu
2, Phương trình chính tắc của Parabol (P): y2 2px



3, Các yếu tố:

 Tham số tiêu: p
 Tiêu điểm: F( ;0)2p

 Phương trình đường chuẩn: D:x 2p

 Bán kính qua tiêu: ( ; ) ( )0 0 0

p

M x y  P  MF x 

4, Phương trình tiếp tuyến của Parabol: y2 2px



 Tiếp tuyến tại điểm M x y( ; ) ( )0 0  P có phương trình là:y y0 p x x(  0)

 Đường thẳng Ax By C  0là tiếp tuyến của (P)

pB2 2AC

 

Chú ý:Ngoài dạng chính tắc y2 2px

 Parabol còn có các phương trình dạng:

2 2 , 2 2 , 2 2

y  px x  py x  py

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN

I.VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TỐN :

1.Định nghóa: 

AB là một đoạn thẳng định hướng.
2. Hai véctơ bằng nhau: có cùng hướng và cùng độ dài.

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

3.Hai véctơ đối nhau: ngược hướng và có cùng độ dài.

4.Cộng véctơ: A B C, , ta có: ACAB BC 

Nếu ABCD là hình bình hành, thì AB AD   AC

Tính chất: a b b a    ; (a b  )  c a  (b c  )

0 0

a   a a

    

; a ( a) 0
5.Trừ véctơ: OA OB BA   

6.Tích 1 số thực với 1 véctơ:

 bka b k a



 vàø








0
k
nếu
hướng
ngược

b
,
a

0
k
nếu
hướng
cùng

b
,
a




 acùng phương b  kR: b=ka.

 Tính chaát: m a b(  )ma mb ;(m n a ma na )  

m na( ) (mn a); 1.a a; 1. aa

7.Tích vơ hướng: a.b|a|.|b|cos(a,b)

8.Véctơ đồng phẳng: 3 vectơ đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với 1
mặt phẳng.

c
,
b
,

a   đồng phẳng  m,nR :cmanb

9.Phân tích 1 véctơ theo 3 véctơ không đồng phẳng:

Với e1,e2,e3




khơng đồng phẳng và véctơ a, có duy nhất 3 số thực x1, x2, x3:
a= x1e1 x2e2 x3e3








10.Định lý: a) Với M là trung điểm AB, G là trọng tâm của ABC, O tùy ý thì:

 MAMB0




 2






CA CB

GAGBGC 0




 (OA OB OC)
3

OG   





b) G là trọng tâm tứ giác, tứ diện ABCD
 OG 41(OA OB OC OD)












II. HỆ TOẠ ĐỘ ĐÊCAC TRONG KHƠNG GIAN

TỌA ĐỘ CỦA VÉCTƠ VÀ CỦA ĐIỂM

1.Hệ toạ độ Đêcác vng góc trong khơng gian:

Ba trục tọa độ x’Ox, y’Oy và z’Oz vng góc đơi một tạo nên hệ tọa độ Oxyz
với Ox là trục hoành, Oy là trục tung và Oz là trục cao. Trên Ox, Oy và Oz lần
lượt có các vectơ đơn vị i (1;0;0),j (0;1;0)và k(0;0;1).

2.Tọa độ của véctơ: u (x; y; z)   u xi yj zk   .
3.Tọa độ của điểm: M(x; y; z)  OM (x; y;z) 

x: hoành độ; y: tung độ; z: cao độ của M hoặc 
OM.

4.

Các kết quả : Trong hệ tọa độ Oxyz cho A(xA; yA;zA;) và B(xB;yB;zB)

vaø 

a = (x1; y1; z1) vaø b= (x2; y2; z2). Ta coù:

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

a) 

a  b= (x1  x2; y1  y2; z1  z2)

b) k

a = (kx1; ky1; kz1) (k là số thực).

c) Tích vơ hướng:

a .b = x1 x2+ y1 y2+ z1z2.
Hệ quả:

 |a|



= 2

1
2
1
2

1 y z

x   .

 cos(a;b)



= 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

x x y y z z
x y z . x y z

 

   

 a ^ b  x1 x2+ y1 y2+ z1z2. = 0




a =b  x1=x2; y1=y2 vaø z1=z2




a ,b cùng phương

2
1
2
1
2
1
z
z
y
y
x
x
a
.
k
b
:
R

k    







 Tọa độ của vectơ: AB(xB  x yA; B y zA; B zA)



 Khoảng cách:

2
A
B
2
A
B
2
A

B-x ) (y -y ) (z -z )

AB  

 Điểm M chia AB theo tỉ số k ( k1) 



MA = k.MB


k
1
OB
K
OA
OM







( k1). Khi đó tọa độ của M là:




















k
1
kz
z
z
k
1
ky
y
y
k
1
kx
x
x
B
A
M
B

A
M
B
A
M

; M là trung điểm AB
















2
z
z
z
2y
y
y

2
x
x
x
B
A
M
B
A
M
B
A
M

III. TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA 2 VÉCTƠ VÀ ÁP DỤNG
1.Tích có hướng của 2 véctơ:

Định nghiã: Cho a = (x1; y1; z1) vaø b = (x2; y2; z2)

1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2

, ; ;y z z x x y

ab
y z z x x y
 
  
 

 

 Các tính chất:

 a cùng phương b  a b, 0

 a b ,  ^ a vaø a b ,  ^ b

2. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng-chùm mặt phẳng:

 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:

Trong khoâng gian Oxyz cho hai mặt phẳng:

1 1 1 1 1

( ) : A x B y C z D   0 vaø ( ) :2 A x B y C z D2  2  2  2 0

Ta có:( )1 cắt ( )2  A B C1: 1: 1A B C2: 2: 2

1 1 1 1

1 2

2 2 2 2

( ) //( ) A B C D

A B C D

     

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

1 1 1 1

1 2

2 2 2 2

( ) //( ) A B C D

A B C D

     

 Chùm mặt phẳng: Cho 2 mp (1): A1x+B1y+C1z+D1=0,

(2): A2x+B2y+C2z+D2=0 cắt nhau theo giao tuyến (D). Mỗi mặt phẳng qua

giao tuyến (D) đều có phương trình dạng:

m(A1x+B1y+C1z+D1)+ n(A2x+B2y+C2z+D2) = 0 (m2+n20)

VI.PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG:

1. Phương trình tổng quát của đường thẳng: Nếu đường thẳng (D) là giao tuyến

của 2 mặt phẳng thì phương trình tổng quát là:















0 D

z

C

y

B

x

A

0 D

z

C

y

B

x

A

2
2
2
2

1
1
1
1

, Với A1:B1:C1A2:B2:C2

VT chỉ phương của (D) laø 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

B C C A A B

u ( ; ; )

B C C A A B





2. Phương trình tham số của đường thẳng:

+ Véctơ chỉ phương của đường thẳng: Một véctơ u( ; ; )a b c khác 0nằm trên 1 đường

thẳng song song hay trùng với (D), được gọi là VTCP của đường thẳng (D).

+ Phương trình tham số: của đường thẳng (D) đi qua điểm M0(x0;y0; z0) và có

VTCP u( ; ; )a b c

laø: 00
0

 



 

  


x x at
y y bt
z z ct

2 2 2
(a b c 0)

+ Phương trình chính tắc:của đường thẳng (D) đi qua điểm M0(x0; y0; z0) và có

VTCP u( ; ; )a b c laø: x x0 y y0 z z0 (*)

a b c

  

  (a2b2c20)

Chú ý: Từ (*) có thể suy ra 3 mặt phẳng chứa (D) lần lượt song song Oz, Oy hoặc

Ox. Từ đây có thể tìm hình chiếu vng góc của (D) lên (Oxy):z=0; lên (Oxz):y=0

hoặc lên (Oyz): x=0.

VII .VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG:
1.Vị trí tương đối của 2 đường thẳng: Cho 2 đường thẳng: (D1) đi qua M1(x1; y1; z1)

có vectơ chỉ phương u=(a1;b1;c1) và (D2) đi qua M2(x2; y2; z2) có vectơ chỉ phương v



=(a2;b2;c2).

Tacó:

1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1
1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1
1 2 1 1 1 2 2 2 1 2
1 2

1. ( ) //( ) : : : : ( ) : ( ) : ( )
2. ( ) ( ) : : : : ( ) : ( ) : ( )

3. ( ), ( ) : : : : , . 0

4. ( ),( )

D D      

D  D      

 

D D     

D D

 

 

a b c a b c x x y y z z

a b c a b c u v M M

caét nhau và

chéo nhau 1 2

1 2 1 2

, . 0

5. ( ),( ) , . 0

 

   

 

D D  

 
  

  

u v M M

đồng phẳng

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

2.Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng :

 Cho (D) đi qua M0(x0;y0;z0) và có VTCP u=(a; b; c) và

(): Ax+By+Cz+D=0 có VTPT n=(A; B; C). Ta coù:

0 0 0

1. ( ) ( ) 0

0
2. ( ) //( )

0
0
3. ( ) ( )

D    

  



D  

   



  



D   

   



Aa Bb Cc
Aa Bb Cc
Ax By Cz D

Aa Bb Cc
Ax By Cz D




caét

 Đặc biệt: d ^() a:b:cA:B:C
VIII. KHOẢNG CÁCH

1. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0)

đến mp():AxByCzD0 là:

  0 0 0

0,( ) 2 2 2

  



 

Ax By Cz D

d M

A B C



2. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng:

Khoảng cách từ điểm M1 đến đường thẳng (D) đi qua điểm M0 và có VTCP phương

u laø:

0 1
1

,
( , ) M M u

d M

u

 

 

D 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 



3. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau:

(D1) đi qua M1 và có VTCP u


và (D2) đi qua M2 và có véctơ chỉ phương



v. Khoảng

cách giữa (D1) và (D2) là:

1 2

, .

( , )

 
 

D D 

 
 
 

 

 

u v M M
d

u v

IX.GÓC:

1.Góc giữa 2 đường thẳng: Cho (D1) có VTCP u


=(a1; b1; c1) và (D2) có VTCP



v=

(a2; b2; c2). Gọi  là góc giữa (D1) và (D2).

Ta có: 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

.
cos

| | .| |

 

 

 

   

u v a a b b c c

a b c a b c

u v


X.MĂT CẦU:

1. Phương trình mặt cầu

 Phương trình mặt cầu tâm I a b c



; ;



và có bán kính R laø:

(x a)2 (y b)2 (z c)2 R2

     

 Phương trình x2y2z22ax2by2cz d 0

với a2 b2 c2 d 0

    là phương trình mặt cầu có tâm

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

I



a b c; ;



, bán kính R a2 b2 c2 d

   

2. Vị trí tương đối của nặt phẳng và mặt cầu

Trong không gian Oxyz cho mặt cầu ( )S và mặt phẳng ( ) có phương trình:

2 2 2 2

( ) : (S x a ) (y b ) (z c ) R

( ) : Ax By Cz D   0. Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm I a b c



; ;



lên mặt

phẳng ( ) +Nếu:

2 2 2

( ,( )) Aa Bb Cc D

IH d I R

A B C

   

  

  thì

( ) ( )  S 

+ Neáu: ( ,( )) 2 2 2

Aa Bb Cc D

IH d I R

A B C

   

  

  thì

 

( ) ( )  S  H , ( ) gọi là mặt phẳng tiếp

diện của mặt cầu ( )S

+ Neáu: ( ,( )) 2 2 2

Aa Bb Cc D

IH d I R

A B C

   

  

  thì

( ) ( )  S là một đường trịn có tâm làH

và bán kình 2 2

r  R  IH

có phương trình là: 2 2 2 2

( ) ( ) ( )

Ax By Cz D

x a y b z c R

   




     



B. Bµi tËp

HÌNH HỌC PHANG

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho 3 điểm A(-1; 5), B(5; 2), C(2; -4)

a) CMR: A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác. Tính chu vi và diện tích tam giác ABC

b) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

c) Viết phơng trình đờng trung tuyến AM của tam giác ABC

d) Tìm điểm M trên trục Ox để tam giác ABM vuông tại A
Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC
với A(4; 4), B(2; -1), C(-2; -4)

a) Viết phơng trình các đờng cao AH, BK của tam giác ABC. Tìm tọa độ trực tâm
của tam giác ABC

b) Viết phơng trình đờng thẳng qua A và song song với BC
c) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua BC

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho hai đờng thẳng:
(d1): x + 2y + 1 = 0, (d2): x + 3y +3 = 0

a) Xác định tọa độ giao điểm I của (d1) và (d2)

b) Tính khoảng cách từ điểm I đến gốc tọa độ
c) Tính góc giữa hai đờng thẳng (d1) và (d2)

d) Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua điểm M(2; 2) và vng góc với (d1)

Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC
với A(2; 4), B(2; -1), C(-1; 3)

a) Viết phơng trình tổng quát của đờng thẳng BC
b) Tính diện tích của tam giác ABC

Bài 5: Lập pt của đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a) (C) có tâm I(1;2) và tiếp xúc với (D):x2y+7=0. Kết quả:(x+1)2+(y2)2= 54

b) (C) có đường kính AB với A(1;1), B(7;5). Kết quả:(x4)2+(y3)2=13

c) (C) đi qua 3 điểm A(2;4), B(5;5) và C(6;2). Kết quả:(x2)2+(y1)2=25

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

d) (C) tiếp xúc với Ox, Oy và đi qua M(4;2).

Kết quả:(x10)2+(y10)2=100 hoặc (x2)2+(y2)2=4

Bài 6: Cho đường trịn (C): x2+y2+4x+4y

17=0.

1, Tìm tọa độ tâm và tính bán kính của (C)

2, Lập phương trình tiếp tuyến d với (C) biết:

a) d tiếp xúc với (C) tại M(2;1). Kết quả:4x+3y11=0.

b) d đi qua điểm A(1;5). Kết quả: 3x4y+23=0 V 4x+3y11=0.

c) d song song với (D):3x4y+2007=0 Kết quả:3x4y+23=0 V 3x4y27=0

Bài 7: Cho đờng trịn (C) có pt: x2 y2 2x 4 1 0

    

a) Tìm tọa độ tâm và tính bán kính của (C)
b) Viết phơng trình tiếp tuyến của đờng tròn (C)
biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1; -1)

c) Tìm tọa độ giao điểm của đờng trịn (C) với đờng thẳng (d) có phơng trình:

1
1

x t

y t

 





Bài 8: Lập phơng trình chính tắc của Elíp biết:
a) Độ dài trục bé bằng 8 và tiêu cự bằng 4
b) Độ dài trục lớn bằng 8 và tâm sai 3

e

c) Tiêu điểm F1( 3;0) và đi qua điểm (1; 3)
2

M

Bài 9: Cho Elíp (E) có phơng trình : 16x2 25y2 400

a) Xỏc nh ta độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh và tính tâm sai của (E)
b) Tìm tọa độ điểm M trên (E) sao cho MF1 = 2MF2

c) Viết phơng trình tiếp tuyến của (E) biết tiếp tuyến song song với ng thng

3x2y 5 0

d) Viết phơng trình tiếp tuyến của (E) biết tiếp tuyến đi qua điểm N(2; 6)
Bài 10: Cho Elíp (E) có phơng trình : 2 2

3x 5y 30

a) Xác định độ dài các trục, tọa độ các tiêu điểm, và tính tâm sai của (E)
b) Viết phơng trình tiếp tuyến với (E) tại điểm M( 5; 3)

c) Một đờng thẳng (d) đI qua tiêu điểm F2 của (E) song song với trục tung, cắt (E)

tại hai điểm A, B. Tính khoảng cách từ A và B đến tiêu điểm F1

Bài 11: Lập phương trình chính tắc của (H) trong các trường hợp :
a) Trục thực bằng 10, tiêu cự bằng 26.

b) Tiêu cự bằng 26, phương trình một tiệm cận là x
12

5
y 
c) Taâm sai e= 2 ñi qua M(5;3).

d) Có một tiêu điểm F ( 7;0 ) và đi qua A (-2;12).
Bài 12: Cho ( H ) : 9x2–16 y2–144=0

a) Xác đinh tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh và phương
trình các đường tiệm cân của( H)

b) Tìm M ( H ) sao cho MF1=2MF2

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại điểm có hồnh độ x = 5

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

Baøi 13: Cho (H ) : 1
24
y
25
x2 2



 .

a) Tìm tọa độ đỉnh, tiêu điểm, tâm sai của (H)

b) Tìm M trên ( H ) có hồnh độ x=10 và tính khoảng cách từ
M đến hai tiêu điểm.

c) Tìm k để đường thẳng y=kx – 1 có điểm chung với ( H ).
Bài 14: Cho ( H ): 1

4
y
5
x2 2




a) Xác định các tiêu điểm, tâm sai và phương trình các đường
chuẩn của (H).

b) Lập phương trình tiếp tuyến ( d ) taïi M (5;4).

c) Lập phương trình tiếp tuyến ( d/ ) qua N (2;1).

d) Lập phương trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến song
song với đường thẳng 4x - 3y +2008 = 0

Bài 15:Cho Parabol (P) có phương trình: y2 4x



a) Xác định tham số tiêu, tọa độ tiêu điểm, phương trình
đường chuẩn của các (P):

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm A(9; 6)
c) Vieát phương trình tiếp tuyến của (P) biết tiếp tuyến đi qua
điểm B(-2; 1)

Baøi 16: Cho (P) : y2=12x.

a) Tìm tọa độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của (P)
b) Tìm điểm M trên (P) có hồnh độ x=2. Tính khoảng cách
từ M đến tiêu điểm.

c) Qua I(2, 0) vẽ đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm A, B.
Chứng minh rằng tích số khoảng cách từ A, B đến trục Ox
là hằng số.

d) Viết phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm M0(P) có

hoành độ x0=3 và tung độ y0<0.

e) Viết phương trình tiếp tuyến của (P) đi qua điểm M(12;0)

f) Viết phương trình tiếp tuyến của (P) biết tiếp tuyến song
song với (d):3x4y+2007=0. Tìm tọa độ tiếp điểm.

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN:

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

Bài 1: Cho bốn điểm A(0;-1;0);B(0;0;2);C(1;0;0);D(-1;1;-2)
a.Chứng minh rằng A,B,C,D là bốn đỉnh của một tứ diện
b.Chứng minh AC ^BD

c.TÝnh gãc t¹o bëi hai c¹nh AB,CD cđa tø diƯn

d.Tính thể tích tứ diện và độ dài đờng cao hạ từ nh A ca t din

Bài 2 . Viết phơng trình mặt phẳng trong các trờng hợp sau:
a.Đi qua điểm A(1;0;2) và song song với mặt phẳng xOy
b,Đi qua điểm M(2;-1;-3) và vuông góc với trục Ox

c.i qua im N(-1;2;3) v vng góc với đờng thẳng AB biết A(2;3;4),B(-3;2;0)
d.Đi qua điểm I(-1;2;4) và song song với mặt phẳng (P):2x-3y+5z-2008=0

e.(P) lµ mặt phẳng trung trực của AB biết A(1;3;2),B(-1;1;0)
g.Đi qua 3 điểm không thẳng hàng A(-1;2;3),B(2;-4;3),C(4;5;6)

h.Đi qua hai điểm A(3;1;-1) ,B(2;-1;4) và vuông góc với mặt phẳng 2x-y+3z+4=0
i.Đi qua điểm A(2;-3;2) ,song song với trục Oz và vuông góc với mặt phẳng
2x -3y+4z-2009=0

k.Đi qua điểm I(-2;3;1) và vuông góc với 2 mặt phẳng
(P):2x+y+2z+5=0;(Q):3x+2y+z-3=0

Bài 3: Cho 2 mặt phẳng (P) 3x-(m-3)y+2z-5=0 vµ (Q) (m+2)x-2y+mz-10=0

Tìm m để 2 mặt phẳng :

a.song song víi nhau; b.Trïng nhau; c.Cắt nhau.

Bài 4: .Viết phơng trình mặt phẳng

1 .i qua im M(1;0;3) và chứa đờng thẳng là giao tuyến của 2 mặt phẳng
x-y+z-3=0 và 3x+y+2z-5=0

2. Đi qua giao tuyến 2 mặt phẳng x-3z+1=0 và 2y+3z-5=0 đồng thời vng góc với
mặt phẳng 2x-y-1=0

3.Đi qua giao tuyến với 2 mặt phẳng 3x-y+3z+8=0 và -2x-y+z+2=0 đồng thời song song
với mặt phẳng x+2y-z+1=0

Bài 5.: Lập phơng trình đờng thẳng trong cỏc trng hp sau

1. Đi qua A(2;0;-1) và có vectơ chỉ phơng là u(1;3;5)

2. Đi qua B(1;-2;4) và song song với trục Oz
3. Đi qua C(2;3;-1) và D(1;2;4)

4 .i qua điểm A(4;3;1) và song song với đờng thẳng























D

t

z

t

y

t

x

2

3

2

1 :

5. Đi qua điểm B(1;-2;1) và song song với đờng thẳng























D

0

4

5

2

0

3 :

z

y

x

z

y

x

6. Đi qua điểm C(-2;1;0) và vng góc với mặt phẳng (P):x2y 2z10
7. Đi qua A(2;-1;1) và vng góc với 2 đờng thẳng















D

0

2

0

1 :

z

x

y

x

vµ













D

0

1

2 :

z

y

x

Bài 6.: Viết phơng trình hình chiếu vng góc của đờng thẳng























D

t

z

t

y

t

x

1

3

9

4

12 :

lªn mặt phẳng (P):3x+5y-z-2=0

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

Bi 7:.Vit phng trỡnh đờng thẳng D đi qua giao điểm của đờng thẳng d v mt phng

(P);vuông góc với d và nằm trong mặt phẳng (P) biết:

3
2
1

2
1
:

y z

x

d vµ (P):2x+y+z-1=0

Bài 8: .Cho 2 đờng thẳng

















D

















D

tz

ty

tx

t

z

ty

tx

23

21

2 :

32

3

21 :

2

1

1.Chøng minh D1 vµ D2 chÐo nhau

2.Lập phơng trình đờng thẳng vng góc chung của D1 và D2

Bài 9.: 1.Tìm tọa độ điểm đối xứng của A(2;-3;1) qua mặt phẳng (P):x+3y-z+2=0

2.Tìm tọa độ điểm đối xứng của B(2;-1;1) qua ng thng

D

t

z

t

y

t

x

2

1

2

1 :

Bài 10.: Lập phơng trình mặt phẳng (P ) trong các trờng hợp sau.

1.i qua im A(1;2;-3) và vng góc với đờng thẳng





















D

t

z

t

y

t

x

2

4

2

6

1 :

2.Chứa đờng thẳng























D

t

z

t

y

t

x

2

3

1 :

1 và song song với đờng thẳng





















D

0

5

2

0

3

2 :

z

y

x

z

y

x

3.Chứa đờng thẳng

2
2
3
2
2
1
:  






D x y z và vuông góc với

mặt phẳng (Q):3x+2y-z-5=0

Bi 11 : .Cho 2 đờng thẳng

4
4
2
2
2
:

2
2
2
1
1
: 2
1





D







D x y z x y z

1.Chøng minh r»ng D1 và D2 song song với nhau.
2.Viết phơng trình của mặt phẳng chứa D1 và D2

Bi 12: .Lp phng trỡnh ca đờng thẳng d trong các trờng hợp sau

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

1. Song song với đờng thẳng





















D

t

z

t

y

t

x

2

3

2

1 :

1 và cắt cả 2 đờng thẳng

1
3
3
2
1
:

4
2
1
2
3
1
: 3
2





D







D x y z x y z

2 .Đi qua điểm A(1;01) và cắt cả 2 đờng thẳng

1
3
3
2
1
:

4
2
1
2
3
1
: 2
1






D






D x y z x y z

3. Đi qua A(3;-2;-4) và song song với mặt phẳng (P):3x-2y-3z-7=0
Và cắt đờng thẳng

2
1
2
4
3
2
:  





D x y z

4. Cắt 2 đờng thẳng

1
3

3
2
1
:

4
2
1
2
3
1
: 2
1





D






D x y z x y z

và nằm trong mặt phẳng (P):x+y+x-5=0

Bi 13:.Tớnh khoảng cách từ điểm M0 đến đờng thẳng d trong các trờng hợp sau.

a.M0(2;3;1)

2
1
2
1
1
2
:






 y z

x
d

b.M0(2;3;-1)

















0

2

3

0

1

2 z

y

x

z

y

x

d

Bài 14: .Cho 2 đờng thẳng

1
3
3
2
1
:

4
2

1
2
3
1
: 2
1





D






D x y z x y z

1.Chøng minh D1 vµ D2 chÐo nhau.
2.TÝnh khoảng cách giữa D1 và D2

Bi 15. Cho 2 ng thẳng

















D

















D

tz

ty

tx

t

z

ty

tx

23

21

2 :

32

3

21 :

2

1

1.Chøng minh D1 vµ D2 chéo nhau
2.Tính khoảng cách giữa D1 và D2

Bi 16.Tớnh gúc các cặp đờng thẳng đờng thẳng sau

























D

t

z

t

y

t

x

4

3

1

2

1 :

1 vµ

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

4

2

1

2

3

1 :

02

32

01

2 :

2

1 









D



















D

x

y

z

zx

zy

x

Bài 17 Tính góc giữa đờng thẳng d và mặt phẳng (P) biết

(P

:)

2x

y-

2z

1-

0

2

3

1

2

1 :



























t

z

t

y

t

x

d

2. (P): x y-z 2 0

2
3
1

1
4

:   







 y z

x
d

Bµi 18. Tìm tâm và bán kính mặt cầu trong các trờng hỵp sau.

1. 2 2 2 6 2 4 2 0









y z x y z

x

2. 2 2 2 4 8 2 4 0

y z x y z

x

Bài 19 .Trong không gian cho 4 ®iĨm A(-2;1;4) ,B(0;4;1),C(5;1;-5),D(-2;8;-5)

1.Chứng minh A,B,C,D là 4 đỉnh của một tứ diện.
Viết phơng trình mặt cầu (S) ngoi tip t din ABCD..

3.Viết phơng trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) trong trờng hợp 2 tại điểm A.
4. Viết phơng trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) trong trờng hợp 2 biết (P)

song song với mặt phẳng (Q):x+y+z+2008=0

Bài 20 .Cho mặt phẳng (P):x+4y+5z+18=0

và mặt cầu (S) : 2 2 2 4 6 4 32 0








y z x y z

x

1.Chứng minh mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đờng trịn (C).Tìm tâm
và bán kính của đờng tròn (C).

MỘT SỐ ĐỀ TỰ LUYỆN ( Thời gian 150 phỳt )

Đề số 1

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

Bài 1: Cho hµm sè :

2 1

x x

y

x

 




1, Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

2, Tìm trên đồ thị hàm số các điểm sao cho tiếp tuyến tại đó vng góc
với tiệm cận xiên của đồ thị hm s

Bài 2: 1, Tính tích phân sau: 2 2 3
0

sin xcos xdx





2, Giải phơng trình sau: 24(Ax31 Cxx4) 23Ax4

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho Elíp (E) có tiêu điểm F1( 3;0)và đi qua điểm (1; 3)

M

1, Viết phơng trình chính tắc của Elíp và tìm tiêu điểm F2

2, Đờng thẳng (d) qua tiêu điểm F2 của Elíp và vng góc với Ox
cắt Elíp tại hai điểm A, B. Tính độ dài của đoạn thẳng AB và
viết phơng trình các tiếp tuyến của Elớp ti cỏc im A, B

Bài 4: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phơng trình:
(S): x2  y2 z2  2x 4y 6z 2 0 ; (P): 4x3y 12z 1 0

1, Xác định toạ độ tâm và bán kính của mặt cầu (S)

2, Lập phơng trình mặt phẳng (Q) // (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S)

Bài 5: Từ các số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 có thể lập đợc bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số phân biệt

§Ị sè 2

Bài 1: Cho hàm số: y x42mx2 2m1
1, Tìm mđể hàm số có 3 cực trị

2, Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m2

3, Viết pttt với đồ thị (C) biết tiếp tuyến qua đi qua điểm A(0; -3)
Bài 2: 1, Cho hàm số f x( ) (2  x2)cosx2 sinx x

a, TÝnh f x''( )

b, Giải phơng trình: f x( ) f x''( ) 0

2, Tìm nguyên hàm F x( ) cđa hµm sè:

3
2

( )

2 1

x
f x

x x



 

biÕt F(0) 2

Bài 3: Trong mắt phẳng Oxy cho Elíp có phơng trình: 9x2 25y2 225
1, Xác định toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh và tìm tâm sai của Elíp

2, Tìm toạ độ điểm M trên Elíp sao cho MF1 2MF2 ( F F1, 2 là các tiêu điểm )
Bài 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 4 điểm:

A



1; 4;3



, B



1;2;3



, C



0; 3;3



, D



1;1;2



1, CMR AB và CD chéo nhau. Tính khoảng cách giữa AB và CD

2, Viết phơng trình mặt phẳng ( ) qua AB vµ song song víi CD.
Tính góc giữa BC và mặt phẳng ( )

3, Viết phơng trình mặt cầu qua 4 điểm A, B, C, D

Bài 5: Giải bất phơng trình A22x 2Ax2 12Cx3 20 0

x

    , ( Èn x *)

§Ị sè 3

Bài 1: Cho hàm số y2x3  3(2m1)x2 6 (m m1)x1
1, Tìm mđể hàm số đạt cực đại tại x0

2, Khảo sát hàm số víi m0

3, BiƯn luận theo k số nghiệm của phơng trình :

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

2x3 3x2 1 k 0

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y 5 x x 2
Bài 3: Cho Hypebol có phơng trình: 4x2  9y2 36

1, Xác định toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh và phơng trình của các đờng tiệm cận
2,Viết pttt với (H) biết tiếp tuyến song song với đờng thẳng: x y  2 0

Bài 4: Trong không gian Oxyz cho đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P)
có phơng trình: (d): 12 9 1

4 3 1

x y z

  ; (P): 3x5y z  2 0

1, CMR (d) cắt (P). Tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P)
2, Viết phơng trình hình chiếu vng góc của (d) trên (P)
Bài 5: Tìm hệ số của x11 trong khai triển

1 n

x x
x

 



 

 

BiÕt hiệu số giữa hệ số của hạng tử thứ 3 và hạng tử thứ 2 của khai triển là 44
2, Tính tích phân sau: 2

2cos
3 2sin

x

I dx

x

Đề số 4

Bµi 1: Cho hµm sè:

x
y

x



 có đồ thị (C)

1, Khảo sát và vẽ đồ thị (C)

2, Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trc Ox, Oy v ng thng x1

1 1

e x
x

e

I dx

e






3
2
2

ln( )

I

x x dx

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho Parabol (P) có phơng trình: y2 8x

1, Xác định toạ độ tiêu điểm và phơng trình đờng chuẩn của Parabol

2,Viết phơng trình tiếp tuyến của (P) biết tiếp tuyến vng góc với đờng thẳng x 2y 5 0

Bài 4:Trong không gian Oxyz cho điểm A( 1; 2; -1 ), đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phơng trình:
(d): 2 2

1 3 2

x y z

  (P): 2x y z   1 0

1, Tìm điểm B đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P)

2, Viết phơng trình đờng thẳng qua A, cắt đờng thẳng (d) và song song với mặt phẳng (P)

Bài 5: Từ 12 học sinh u tú của một trờng trung học , ngời ta chọn ra một đoàn đại biểu 5 ngời

( gồm trởng đoàn, một th ký và 3 thành viên ) đi dự trại hè quốc tế.

Hỏi có tất cả bao nhiêu cách chọn đồn đại biểu nói trên ?

§Ị sè 5

Bµi 1: Cho hµm sè: 1 3 2 (2 1) 2

y x  mx  m x m

1, Khảo sát hàm sè víi m2

2, Tìm m để hàm số đồng biết trên khoảng



2;0



Bµi 2: 1, Cho hµm sè: y 2ex e2x

  . CMR: y'' 3 ' 2 y  y 0

2
0

( x 2)

I 



e  x  xdx

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho đờng trịn (C) có phơng trình : x2 y2 4x 2y 4 0
1, Tìm tâm và bán kính của đờng trịn (C)

2, Viết phơng trình tiếp tuyến của đờng tròn (C) biết tiếp tuyến qua điểm A



1;5



Bài 4: Trong không gian Oxyz cho hai đờng thẳng ( )D1 và ( )D2 có phơng trình:
( ) : 1 3 0

2 2 0

x y
y z

  



D 

  



2

2 2
( ) : 3

x t

y
z t

 



D  

 


1, CMR ( )D1 vµ ( )D2 chÐo nhau vµ tính khoảng cách giữa ( )D1 và ( )D2

2, Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa ( )D1 vµ song song víi ( )D2

Bµi 5: Trong khai triĨn nhÞ thøc 3

2
2

n
x

x

 



 

 

víi x0, h·y tìm số hạng không phụ thuộc x
biết : Cn12Cnn2 100

Đề số 6

Bài 1: Cho hµm sè

2 ( 4) 2 1

x m x m

y

x

   





1, Tìm m để đồ thị hàm số nhận điểm I



2;1



làm tâm đối xứng
2, Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m3.

Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị song song với ng thng y x 4

Bài 2: 1, Tính tích phân sau:

2 2

1 7 12

x

I dx

x x



 



2, Tính thể tích của vật thể trịn xoay sinh ra từ phép quay hình phẳng giới hạn bởi
hình phẳng giới hạn bởi các đờng: ycos 2x, y0, x0, x2

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A

2;1

, B



2;3



1, Lập phơng trình đờng trịn (C) đi qua hai điểm A, B và có tâm thuộc Ox
2, Viết phơng trình tiếp tuyến của đờng trịn (C) biết tiếp tuyến song song với AB

Bài 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phơng trình:
(S): (x 3)2 (y2)2(z 1)2 100 (P): 2x 2y z  9 0

1, CMR mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đờng tròn (C).
Viết phơng trình của (C)

2, Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đờng trịn (C)
Bài 5: 1, Tính tích phân sau:

(1 )n

I 



x dx

2, CMR:

0 1 1 1 2 1 2 1

...

2 3 1 1

n
n

n n n n

C C C C

n n





   

Đề số 7

Bài 1: ( 3,5 điểm )

Cho hµm sè 1

x
y

x




 có đồ thị (C)

1, Khảo sát và vẽ đồ thị (C)

2, Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(0; 1)
3, Tìm các điểm thuộc đồ thị (C) có toạ độ là các s nguyờn

Bài 2: ( 2 điểm )

( x )sin

I e x xdx









2, Tìm m để hàm số yx3 3mx23(m2 1)x m đạt cực tiểu tại x2

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

Bµi 3: ( 1,5 ®iĨm )

Trong mặt phẳng Oxy cho Hypebol (H) có phơng tr×nh 3x2 y2 12

1, Tìm toạ độ các đỉnh, tiêu điểm, tâm sai và phơng trình các đờng tiệm cạn của Hypebol (H)
2, Tìm k để đờng thẳngy kx cắt Hypebol tại hai điểm phân biệt

Bµi 4: ( 2 ®iĨm )

Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A

3; 2; 2 



, B



3;2;0



, C



0;2;1



, D



1;1;2



1, Viết phơng trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là tứ diện .
2, Viết phơng trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phăng (BCD).
Tìm toạ độ tiếp điểm của mặt phng (BCD) v mt cu ú

Bài 5: ( 1 điểm )

Gi¶i bÊt phơng trình : 41 31 5 22 0

x x x

C C A

Đề số 8

Bài 1: ( 3,5 điểm ) Cho hàm số 2

m

y x

mx

  



1, Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu
2, Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng



0;



3, Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m1
Bài 2: ( 2 điểm ) Tính các tích phân sau: 2

sin

I x xdx







2
0

J 



 x dx

Bài 3: ( 2 điểm ) Trong mặt phẳng Oxy cho Elíp (E) có tiêu cự 2c = 8, tâm sai 4

e vµ
các tiêu điểm nằm trên trục Ox

1, Viết phơng trình chính t¾c cđa ElÝp (E)

2, Viết phơng trình các tiếp tuyến của (E) biết tiếp tuyến qua điểm 0;15

A

.
Bài 4: ( 2,5 điểm ) Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) có phơng trình:

(S): x2y2z2 2x 4y 4z0

1, Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của mặt cầu (S)

2, Gọi A, B, C lần lợt là giao điểm ( khác gốc toạ độ ) của mặt cầu (S) với các trục Ox, Oy, Oz.
Viết phơng trình mặt phẳng (ABC)

3, T×m h×nh chiếu H của điểm O lên mặt phẳng (ABC).
Chøng minh r»ng H là trực tâm của tam giác ABC

Đề số 9

Bài 1: ( 4 ®iĨm )

Cho hµm sè yx4 2x2

1, Khảo sát và vẽ độ thị (C) của hàm số

2, Tính diện tích hình phẳng gới hạn bởi đồ thị (C) và ttrục hoành

3, Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phơng trình: x4 2x2 m 0

  

Bµi 2: ( 1,5 ®iĨm )

cos

I xdx







2, Xác định m để đồ thị hàm số y x 3 3mx23(2m 1)x1 nhận điểm I(1; 2) làm điểm uốn
Bài 3: (2,5 điểm )

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho Parabol (P): y2 16x
1, Tìm toạ độ tiêu điểm và viết phơng trình đờng chuẩn của (P)

2, Viết phơng trình các tiếp tuyến của (P) tại điểm có hồnh độ bằng 4

3, Giả sử đờng thảng (d) đi qua tiêu điểm của (P) cắt (P) tại hai điểm A, B có hồnh độ tơng ứng

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

lµ xA, xB. CMR: AB x AxB 8

Bài 4: ( 2 điểm ). Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) và đờng thẳng D có phơng trình:
(S): x2y2z22x 4z 4 0

D: 2 2 3 0

2 1 0

x y z

x y

   




  



1, Chứng minh rằng đờng thẳng D không cắt mặt cầu (S)

2, Viết phơng trình tiếp diện của mặt cầu (S) biết tiếp diện vng góc với đờng thẳng D

MỤC LỤC

Nội dung Trang

Phần Đại số giải tích
+Tóm tắt lý thuyết

-Đạo hàm

-Ứng dụng của đạo hàm
-Nguyên hàm –Tích phân
-Đại số tổ hợp

1-25
1-16

1-2
3-11
12-15
15-16

+Bài tập

-Đạo hàm - Ứng dụng

-Nguyên hàm-Tích phân
-Đại số tổ hợp

17-25

17-19
20-22
23-25

Phần hình học giải tích
+Tóm tắt lý thuyết

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

-Hình học phẳng
-Hình học không gian

26-31
31-35

+Bài tập

-Hình học phẳng
-Hình học khoâng gian

36-41

36-38
39-41

Đề tự luyện 42-46

</div>

De cuong on tap tot nghiep doc







<sub></sub>



<sub></sub>



<sub></sub>













<sub></sub>



<sub></sub>



<sub></sub>

<sub></sub>



<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>



dx

)

x

(

g



<sub></sub>













































)x(vv

dx)x('u

du

dx)x('v

dv

)x(uu

<sub></sub>











sin(

ax



)b

a

1

dx).b

ax

cos(





