hoäi nghò chaát löôïng laàn iv “naêng suaát chaát löôïng chìa khoaù ñeå caïnh tranh vaø hoäi nhaäp” 211101 boä moân toaùn öùng duïng ñhbk toaùn 4 chuoãi vaø phöông trình vi phaân baøi 5 phöông trình

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (596.71 KB, 16 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG - ĐHBK

---TỐN 4

CHUỖI VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

• BÀI 5: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

NỘI DUNG

---1 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2. TRƯỜNG HỢP

GIẢM CẤP

3 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 HỆ SỐ HÀM

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

GIẢM CẤP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

---VD: Giải phương trình vi phân cấp 2: x x

x
y

y '' '  cos

Phương trình vi phân cấp 2: F(x, y, y’, y’’) = 0

BT Cơsi: PT chuẩn hố + ĐK đầu





 










1
0

0 , '

'
,
,
''

y
x

y

x
y

y
y
x
f
y

Giảm cấp cơ bản: Phương trình F(x, y’, y’’) = 0

Ngun tắc: Đặt u(x) = đạo hàm cấp thấp nhất của ẩn y



x, y ,' y ''



0  u

 

x y'

 

x  u'

 

x y"

 

x : F



x,u,u'



0

F

Nghiệm tổng quát PT vi phân cấp 2 chứa 2 hằng số C1, C2
Đáp số: Nghiệm y C x C sin x x cos x

2
2

1   

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 2

---Tuyến 
tính

(linear): 
y,y’,y’’ 
– bậc 1

Hệ số hàm, k0 thuần nhất (vế phải): y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f(x)
Ví dụ:

Hệ số hằng, k0 thuần nhất (có vế phải): y’’ + py’ + qy = f(x)
Ví dụ:

 

1
sin

cos
sin

'' y x e2 y x x x
xy   x  

 

3
sin

cos
4

'
3

'' y y x x x
y    

PT thuần nhất tương ứng: y’’ + p(x)y’ + q(x)y = 0

 

2
0

sin
'

''y x  e2 y 

xy x

Ví dụ: Tương ứng (1):

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

GIẢI PTVP TUYẾN TÍNH C2 THUẦN NHẤT HỆ SỐ HẰNG 

---x
k
x
k
tn

tq C e C e

y 1 2

2
1
.  

x
k
x
k e

e 1 , 2

sở
cơ
nghiệm
2

PTVPC2 thuần 
nhất hệ số hằng 
y’’ + py’ + qy = 0

PTrình đặc trưng 
k2 + pk + q = 0

 > 0: k1  k2  R

 < 0: N0 phức

 = 0: k1 = k2  R


 i
k
i
m








2
,
1
2
2
0
kx
kx xe
e ,
sở
cơ
nghiệm
2
kx
kx

tn

tq C e C xe

y .  1  2

(thực)
sở
cơ
nghiệm
2



C x C x



e

y  x 1 cos  2 sin 



x
e

x

ex cos  , x sin 

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

y’’’ –y = 0

y’’ – 5y’ + 6y = 0

y’’ – 4y’ + 4y = 0

y’’ – 2y’ + 5y = 0

SƠ ĐỒ GIẢI PTVP TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT CẤP n

---PTVP t/tính thuần nhất L[y] = 0 PT đặc trưng (đại số) ẩn k

Tìm đủ n ng. k1  kn
n hàm cơ sở y1  yn

 






n

i

i
i y x

C
y

1
tq

 k2 – 5k + 6 = 0: N0 2, 3  ytq = C1e3x + C2e2x
 k2 – 4k + 4 = 0: 2 (keùp)  ytq = C1e2x + C2xe2x

 k2 – 2k + 5 = 0  k1,2 = 1  2i:  =1,  = 2 
 Nghieäm tổng quát thuần nhất ytq.tn = ex(C1cos2x + C2sin2x)

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

NGHIỆM (HAØM) CƠ SỞ TƯƠNG ỨNG N0 PT ĐẶC TRƯNG

---



 ytq tn C ek1x

1
.

x
k

e 1

1 nghiệm cơ sở

kx

r

kx

kx xe x e

e

r NCS: , 1








 y C1ekx C2xekx

x
e

x

ex cos , x sin 

NCS
2









e C x C x

y x cos sin
2
1





x
xe

x
e

r x x



 

 cos , cos

:
NCS
2



 



e C x C x x

y x




 cos cos

2
1

k1  R: Nghiệm đơn

k  R: bội cấp r

  i: phức

liên hợp, đơn

  i:

bội cấp r

 2r n0 đơn

PTĐT kn+p

1kn-1

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHÔNG THUẦN NHẤT

---VD: Giải ptrình y’’ – 3y’ + 2y = 2 bằng cách chỉ ra 1 
nghiệm riêng yr kết hợp với nghiệm tổng quát thuần nhất
Nghiệm riêng yr = 1  ytq = C1ex + C

2e2x + 1

PTVP tuyến tính không thuần nhất cấp n (hệ số tuỳ ý):

 

x y  a

 

x y  a

 

x y a

 

x y f

   

x E

a n n n n







 1 1 1 '

0 

 PTVP tuyến tính thuần nhất cấp n tương ứng:

 

  1

 

 1 1

 



0



0 x y a x y a x y' a x y 0 E

a n  n  n  n 

Nghiệm tổng quát (E) = Tổng quát (E0)+ Nghiệm riêng (E)

nhất
thuần
âng

riêng.Kho
nhất

àn
quát.Thua
tổng

nhất
thuần
ng

quát.Khô

tổng y y

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

TÌM NGHIỆM RIÊNG VỚI VẾ PHẢI ĐẶC BIỆT

---Vế phải: ex[P

n(x)cosx + Qm(x)sin x], Pn, Qm – đa thức

2/ Vế phải chứa ex  y

r chứa ex

3/ Vế phải chứa lượng giác  yr chứa 2 hàm: sin x, 
cos x (dù vế phải chỉ có 1 loại hàm!)

1/ Vế phải chứa đa thức  yr chứa đa thức (hệ số chưa 
xác định) bậc cao nhất. Hằng số  Đa thức bậc 0

4/  + i (vế phải)  nghiệm bội cấp r của phương trình 
đặc trưng  Nhân thêm xr vào y

r cần tìm. Không có

hàm mũ   = 0; Khơng có lượng giác   = 0

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

BA TRƯỜNG HỢP HAY GẶP

---y’’+py’+qy=ex[P

n(x)cosx+Qm(x)sinx],

NĐT: nghiệm đặc 
trưng; H: đa thức bậc



n,m



max





 

x
P

:
phải
Vế

Ng.riêng yr:

(*) khi 0  
NĐT cấp r.

 

   




*
x

H
x
x
H
r

VP: đa thức

0



  i

 

x
P
ex



Ng. rieâng yr:

(*) khi   
NĐT cấp r

 

   





*
x
H
e
x
x
H
e
x
r
x



VP: muõ

0

 

Vế phải: Lượng giác

 

x x Q

 

x x
Pn cos   m sin 

Nghiệm riêng yr có dạng:

 





 







*
sin
cos
sin
cos
x
H
x
R
x
x
x
H
x
x
R
r





Bậc R = Bậc H. (*) khi 
i  NĐT bội cấp r





</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

NGUYÊN LÝ CHỒNG CHẤT (SGK, trang 150)

---Nghiệm tổng quát ytq phương trình vi phân tuyến tính có vế 
phải: y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f1(x) + f2(x) biểu diễn qua:

 Nghiệm tổng quát thuần nhất ytq.0: y’’ + p(x)y’ + q(x)y = 0 
 Nghieäm riêng yr.1 của pt: y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f1(x)

 Nghiệm riêng yr.2 của pt: y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f2(x)

Công thức chồng chất: ytq = ytq.0 + yr.1 + yr.2

Ý nghĩa: Tách phương trình có vế phải dạng tổng phức tạp

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

VẾ PHẢI TỔNG QUÁT  BIẾN THIÊN HẰNG SỐ

---Vế phải: y’’ + py’ + qy = f(x)  Tìm yr từ ytq.tn: Biến 
thiên hằng số C1 = C1(x), C2 = C2(x)

VD: y’’ – 3y’ + 2y = lnx

PTVP tuyến tính k0 thuần nhất y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f(x)

& nghiệm tổng quát thuần nhaát ytq.tn = C1y1(x) + C2y2(x).

 

1 2

 

2

 

1

2
2

1
1

'
,

'
'

0
'

C
D

D
x

C
D
D
x

C
x

f
y

x
C

y
x
C

y
x

C x y














Tìm nghiệm riêng phương trình không thuần nhất: Xem

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

PTVP TUYẾN TÍNH C2 HỆ SỐ HÀM (THAM KHẢO)

---N0 cơ sở thứ nhì: y2(x) = C(x)y1(x)

 

2
2
1

1
.

2
1

' y C y C y

y
e
x

C tqtn

dx
x
p











Nghieäm tq 
 y = C1y1
+ C2y2 + yr

PTVPC2 thuần nhất: 
y’’ + p(x)y’+q(x)y = 0

Tìm nghiệm đặc biệt y1: Đoán 
dạng (x, đa thức) hoặc được gợi ý

PTVPC2TT tổng 
quát hệ số hàm y’’ + 
p(x)y’ + q(x)y = f(x)

Ng. rieâng pt k0 tn: 
Biến thiên hằng số C1

= C1(x), C2 = C2(x) 

 







x
f
y

C
y

C

y
C
y

C

'
'
'

0
'

2
2
1

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

PHƯƠNG TRÌNH EULER - COÂSI

---Thuần nhất ax2y’’ + bxy’ + cy = 0  2 nghiệm cơ sở y = xm

PT hệ số hàm: anxny(n) + a

n-1xn-1y(n-1) + … a0y = f(x)  Dễ

tìm nghiệm cơ sở thuần nhất hoặc đưa về hệ số hằng

Dấu hiệu: Hệ số xk của đạo hàm cấp k  y(k) (0  k  n)

2 nghiệm thực phân biệt m1  m2
Nghiệm kép m 
Phức: m1,2 =   i

2
1

m
m

tq C x C x

y  

x
x

C
x

C

ytq  1 m  2 m ln











C x C x



x

ytq   1 cos  ln  2 sin  ln





0
2







c

m
a
b

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

---a/ x2y’’–xy’–8y = 0 b/ 4x2y’’+y = 0 c/x2y’’–3xy’+13y = 0

PTrình Euler: anxny(n) + a

n-1xn-1y(n-1) + … a0y = f(x).

Đổi biến x = et  y’(x) = y’(t).t’(x), y’’(x) = …

VD: Giải phương trình x2y’’ – 2xy’ + 2y = ln2x + ln(x2)

anxny(n) + … + a

0y = 0

PTĐT theo m: g(m) = 0  
n nghiệm (thực, phức)  
n nghiệm (hàm) cơ sở

m  R: đơn  NCS y =xm

m R: bội r  xm,xmlnx …

m

x
y 



















x
x

y

x
x

y
i

ln
sin

ln
cos







</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

BÀI TỐN BIÊN

---Phân biệt với bài tốn Cơsi cấp 2:





 









2
1, '

,
'
,
,
"


 y a

a
y
a
x
y
y
x
f
y
VD:

 











B
b
y
y
b
x
y
y
,
0
0
0
,
0
"
B
b

y( )   C2 sin b B















:
0
,
0
sin
:
0
,
0
sin
:
0
sin
B
b
B
b
k
b

b  1 nghiệm

vơ nghiệm
vơ số nghiệm
Bài toán biên cấp 2, nghiệm cơ sở sin, cos  Vô số nghiệm

VD:

 










B
b
y
y
b
x
y
y
,
0
0
0
,
0
"

 











 y b

a
y
b
x
a
y
y
x
f
y
,
)
(
),
'
,
,

(
''

</div>

hoäi nghò chaát löôïng laàn iv “naêng suaát chaát löôïng chìa khoaù ñeå caïnh tranh vaø hoäi nhaäp” 211101 boä moân toaùn öùng duïng ñhbk toaùn 4 chuoãi vaø phöông trình vi phaân baøi 5 phöông trình

<b>BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG - ĐHBK</b>

<b>---TỐN 4</b>

<b>CHUỖI VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN</b>

<b>• BÀI 5: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2</b>





 

 





 

 

 

 





 

 

 





 











 

 

 

 

   

 

 

 

 









 

 

   

 

 

   

 

 

 

 





 

 

 

 

 

 

 

 

 

 





























 

 

 