de thi thu dai hoc 2010

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Phơng pháp tính Tích phân</b>

<b>Mi Thy cụ vào </b>

<b> để có </b>

<b>nhiều tư liệu cùng loại</b>

<b>I. Tính tích phân bằng ph ơng pháp đổi biến:</b>

<b>Những phép đổi biến phổ thơng:</b>

- Nếu hàm có chứa dấu ngoặc kèm theo luỹ thừa thì đặt t là phần bên trong dấu ngoặc
nào có luỹ thừa cao nhất.

- Nếu hàm chứa mẫu số thì đặt t là mẫu số.

- Nếu hàm số chứa căn thức thì đặt t là phần bên trong dấu căn thức.

- NÕu tÝch ph©n chøa dx

<i>x</i> thì đặt <i>t=ln x</i> .

- Nếu tích phân chứa <i>_ex</i> _{thì đặt}

<i>t=ex</i> .

- NÕu tÝch ph©n chøa dx

√<i>x</i> thì đặt <i>t=</i>√<i>x</i> .

- NÕu tÝch ph©n chøa dx

<i>x</i>2 thì đặt <i>t=</i>

1

<i>x</i> .

- Nếu tích phân chứa cos xdx thì đặt <i>t=sin x</i> .

- Nếu tích phân chứa sin xdx thì đặt <i>t=cos x</i> .

- NÕu tÝch ph©n chøa dx

cos2<i>_x</i> thì đặt <i>t=tgx</i> .

- NÕu tÝch ph©n chøa dx

sin2<i>_x</i> thỡ t <i>t=cot gx</i> .

<b>Bài tập minh hoạ:</b>

1.



0
1

<i>( x +1)</i>(<i>x</i>2+2 x −1)3dx 2.

∫

0

1

<i>x .</i>√3 <i>1− x dx</i> 3.

_∫

1

√<i>e</i>

dx

<i>x .</i>

√

<i>1 − ln</i>2<i>_x</i> 4.

∫

0
1

<i>ex</i>_dx

<i>ex− 1</i>

5.

_∫

0
1

dx

√<i>x</i>

√

1+√<i>x</i> 6.

∫

₀

<i>π</i>
2

cos xdx

sin2<i>_{x − 5 sin x +6}</i> 7.

∫

0
<i>π</i>
2

4 sin3xdx

<i>1+cos x</i> 8.

∫

₀

<i>π</i>
4

<i>e</i>tgxdx
cos2<i>_x</i>

9.

_∫

<i>π</i>
4
<i>π</i>
2

dx

sin4<i>x</i> 10.

0
1

<i>x</i>3.

<i>1 x</i>2dx

<b>II. Tính tích phân bằng ph ơng pháp tích phân từng phần:</b>

Công thức:



<i>a</i>
<i>b</i>

<i>f (x)dx=uv</i><i>_ab</i>

<i>a</i>
<i>b</i>

vdu <b>. Nh vy việc chọn đợc u và dv có vai trị quyết nh</b>

trong việc áp dụng phơng pháp này.

<i><b>Ta th</b><b> ờng gặp ba loại tích phân nh</b><b> sau:</b></i>

<b>Loại 1: </b>

<i>a</i>
<i>b</i>

<i>P_n</i>(<i>x ). sin f (x).dx</i>

∫

<i>a</i>
<i>b</i>

<i>P_n</i>(<i>x ). cos f (x). dx</i>

∫

<i>a</i>
<i>b</i>

<i>P_n</i>(<i>x). ef ( x)</i>. dx

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>Lo¹i 2: </b>

_∫

<i>a</i>
<i>b</i>

<i>P(x ). lnn_{f (x).dx}_u=lnn_{f (x )}</i> _{: Tính n lần tích phân từng phần.}

<b>Loại 3: </b>

<i>a</i>
<i>b</i>

<i>ex_{.sin x .dx}</i>

<i>a</i>
<i>b</i>

<i>ex_{. cos x . dx}</i>

{

Đây là hai tích phân mà tính tích phân này phải tính luôn cả

tích phân còn lại. Thông thờng ta làm nh sau:

- Tính



<i>a</i>
<i>b</i>

<i>ex_{. sin x . dx}</i>

:

_Đặt

<i>u=ex</i> . Sau khi tích phân từng phần ta lại có tích phân

<i>a</i>
<i>b</i>

<i>ex. cos x . dx</i>

.

Ta lại áp dơng TPTP víi u nh trªn.

- Từ hai lần TPTP ta có mối quan hệ giữa hai tích phân và d dng tỡm c kt qu.

<b>Bài tập minh hoạ:</b>

1.



0
<i></i>
2

(<i>x</i>2<i> x+1</i>)<i>. sin x . dx</i> 2.

∫

1
<i>e</i>

<i>x</i>3. ln2<i>x . dx</i> 3.

_∫

0
<i>π</i>

<i>x</i>2<i>. cos3 x . dx</i>

4.

_∫

0
<i>π</i>
2

<i>e3 x.cos 5 x .dx</i> 5.

_∫

0
<i>π</i>
2

<i>e2003 x. sin 2004 x . dx</i> 6.

_∫

0
<i>π</i>
2

<i>e2 x</i>.sin2<i>x . dx</i>

Ngoài ra ta xét thêm một vài bài tích phân áp dụng phơng pháp TPTP nhng khơng theo
quy tắc đặt ở trên:

1.

_∫

1
<i>eπ</i>

<i>cos (ln x ) . dx</i> 2.

_∫

0
2

<i>x</i>8. dx

(<i>x</i>4<i>−1</i>)3 3.

∫

1
<i>e</i>

(

<i>ln xx</i>

)

3

. dx 4.

_∫

0
1

<i>x</i>2<i>ex</i>.dx
(<i>x +2)</i>2 5.

∫

0
<i>π</i>
2

<i>1+sin x</i>
<i>1+cos x. e</i>

<i>x</i>

dx

<b>III. Tích phân hàm phân thức hữu tỷ: </b>
<b>Phần 1: Tích phân hữu tỷ cơ bản.</b>

1. a.Dạng:

_∫

❑
❑

<i>A</i>

<i>ax +b</i> dx=

<i>A</i>

<i>a</i> ln|<i>ax+b</i>|+<i>C</i>

b.D¹ng:

<i>ax+b</i>

<i>cx+d</i> dx=¿

∫

<i>a</i>
<i>c</i>dx +

∫

<i>A</i>

<i>cx+d</i> dx

∫

¿

c. D¹ng:

ax2+<i>bx +c</i>

<i>dx+e</i> dx=¿

∫

(<i>Ax+B) dx +</i>

∫

<i>C</i>

<i>dx+e</i> dx

∫

¿

2. a.D¹ng:

_∫

dx

ax2

+<i>bx+c</i>

- NÕu <i>Δ>0</i> :

(<i>x − x</i>1)<i>−</i>(<i>x − x</i>2)dx

<i>a</i>(<i>x − x</i>1) (<i>x − x</i>2)

=¿.. .

dx

<i>a</i>₍<i>x − x</i>₁_{) (}<i>x − x</i>₂₎=¿

1

<i>x</i>₂<i>− x</i>₁

∫

¿

∫

¿

- NÕu <i>Δ=0</i> :

dx

<i>a</i>

(

<i>x −</i> <i>b</i>

<i>2a</i>

)

2=¿.. .

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

- NÕu <i>Δ<0</i> :

∫

dx

<i>( x − α )</i>2+<i>β</i>2 Đặt <i>( x )= . tgt</i>

3. Dạng: <i>I=</i>



<i>Ax+B</i>

ax2

+<i>bx +c</i> dx

Phân tích: <i>I=</i>



<i>Ax+B</i>

ax2+<i>bx +c</i> <i>dx=m.</i>

(ax2+<i>bx+c</i>)<i>'</i>

ax2+<i>bx +c</i> <i>dx +n .</i>

dx

ax2+<i>bx+c</i>

<i>m. ln</i>|ax2+<i>bx+c</i>|+<i>n.</i>



dx
ax2

+<i>bx +c</i>

<b>Bài tập minh hoạ:</b>

1.

_∫

0
1

<i>2004 x −2003</i>

<i>2003 x+2004</i> dx 2.

∫

₁

2

dx

<i>6+x</i>2+<i>5 x</i> 3.

∫

0
4

dx

<i>x</i>2<i>−6 x +9</i> 4.

∫

0
1

dx

<i>x</i>2+<i>x +1</i>

5.

_∫

1
2

<i>2 x+3</i>

<i>6+x</i>2+<i>5 x</i> dx 6.

∫

0
1

<i>4 3 x</i>

<i>x</i>2+<i>x +1</i>dx

<b>Phần 2: Tích phân hữu tỷ tổng quát. </b>

_∫

<i>a</i>
<i>b</i>

<i>A (x )</i>
<i>Q(x)</i>dx

<b>- B</b>

<b> íc 1: NÕu bËc cđa A(x) lín h¬n bËc cđa B(x): Chia chia A(x) cho B(x). Ta ph¶i tÝnh </b>

tÝch ph©n:

∫

<i>a</i>
<i>b</i>

<i>P(x )</i>
<i>Q(x)</i>dx

<b>- B</b>
<b> íc 2:</b>

+ Nếu Q(x) chỉ toàn nghiệm đơn: <i>Q(x)=</i>(<i>x − a</i>1) (<i>x − a</i>2).. .(<i>x − an</i>) , ta tìm <i>A , A . . . A</i> sao

cho :

<i>P(x)</i>

<i>Q( x)</i>=

<i>A</i>₁

<i>x − a</i>1

+ <i>A</i>2

<i>x − a</i>2

+. .+ <i>An</i>

<i>x −an</i>

+ Nếu Q(x) gồm cả nghiệm đơn và nghiệm bội: <i>Q(x)=( x − a) ( x −b ) (x −c )</i>2 _{, ta tìm}

<i>A , B , C , C</i> sao cho :

<i>P(x)</i>
<i>Q( x)</i>=

<i>A</i>
<i>x − a</i>+

<i>B</i>
<i>x − b</i>+

<i>C</i>₁

<i>( x −c )</i>2+

<i>C</i>₂

(<i>x − c )</i>

+ Nếu Q(x) gồm nhân tử bậc hai đơn và nhân tử bậc hai đơn:

<i>Q(x)=( x − a)</i>(<i>x</i>2+<i>px+q</i>) , ta t×m <i>A , B , C</i> sao cho :

<i>P(x)</i>
<i>Q( x)</i>=

<i>A</i>
<i>x − a</i>+

<i>Bx+C</i>

<i>x</i>2+<i>px+q</i>

+ Nếu Q(x) gồm nhân tử bậc hai đơn và nhân tử bậc hai bội:

<i>Q(x)=</i>(<i>x − a</i>)(<i>x</i>2+<i>px+ q</i>)2 , ta t×m <i>A , B</i>1<i>, C</i>1<i>, B</i>2<i>, C</i>2 sao cho :

<i>P(x)</i>
<i>Q( x)</i>=

<i>A</i>
<i>x − a</i>+

<i>B</i>₁<i>x+C</i>₁
(<i>x</i>2+<i>px+q</i>)2

+ <i>B</i>2<i>x+C</i>2

<i>x</i>2

+<i>px+q</i>

<b>Bài tập minh hoạ:</b>

1.



2
3

<i>4 x</i>2

+<i>16 x 8</i>

<i>x</i>3<i>4 x</i> dx 2.

∫

1

2

<i>3 x</i>2_{+3 x+3}

<i>x</i>3<i>− 3 x+2</i> dx 3.

∫

2
5

<i>x +1</i>
<i>x</i>3<i>− x</i>2dx

<b>IV. Tích phân hàm vơ tỷ đơn giản:</b>

1.D¹ng:

_∫

<i>a</i>
<i>b</i>

<i>n</i>

√<i>ax +b . dx ;</i>



<i>a</i>
<i>b</i>

dx

<i>n</i>

<i>ax +b</i> : Đổi <i>nax+b=( ax+b )</i>

1
<i>n</i>

2.Dạng:

_∫

<i>a</i>
<i>b</i>

❑

√

ax2

+<i>bx+c . dx</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

-- NÕu a<0 : Tích phân có dạng



<i>a</i>

<i>b</i>

<i>a</i>2<i>_{u du}</i> <b>_{đặt u=asint}</b>

3.D¹ng:

_∫

<i>a</i>
<i>b</i>

dx

❑

√

ax2

+<i>bx+c</i>

- NÕu <i>Δ>0</i> :

(<i>x − x</i>1)<i>−</i>(<i>x − x</i>2)dx

√

<i>a</i>(<i>x − x</i>1) (<i>x − x</i>2)

=¿.. .

dx

√

<i>a</i>(<i>x − x</i>1) (<i>x − x</i>2)

=¿ 1

<i>x</i>₂<i>− x</i>₁

∫

¿

∫

¿

- NÕu <i>Δ=0</i> :

dx

√<i>a</i>

(

<i>x −</i> <i>b</i>

<i>2 a</i>

)

=¿

dx

√

<i>a</i>

(

<i>x −</i> <i>b</i>

<i>2 a</i>

)

2=¿

∫

¿

∫

¿

- NÕu <i>Δ<0</i> : Víi a>o:

∫

dx

√

<i>(x −α )</i>2+<i>β</i>2 Đặt (<i>x </i>)=<i> . tgt</i>

Hoặc chứng minh ngợc công thức:

du

<i>u</i>2+<i>a</i>2=ln

|

<i>u+</i>

<i>u</i>

2

+a2

|

+<i>C</i>

Với a<0:

dx

<i></i>2<i>_{( x )}</i>2 Đặt (<i>x </i>)=<i> . sin t</i>

<b>Bài tập minh hoạ:</b>

1. <i>I=</i>



0
3

dx

<i>x</i>2<i> 3 x +2</i> 2. <i>I=</i>

∫

0
1

dx

√

<i>x</i>2+<i>2 x +1</i> 3. <i>I=</i>

∫

0
1

dx

√

<i>x</i>2+<i>x+1</i> 4. <i>I=</i>

∫

0

1

dx

√

<i>− x</i>2<i>−2 x+3</i>

5. <i>I=</i>

_∫

0
1

√

<i>x</i>2+<i>x +1. dx</i> 6. <i>I=</i>

0
1

<i> x</i>2<i>2 x +3 .dx</i>

4.Dạng



<i>a</i>
<i>b</i>

dx
(<i>x+)</i>

ax2+bx+c Đặt <i>( x+ α )=</i>
1

<i>t</i>

BTMH: 1.

_∫

0
1

dx
(<i>x+1 )</i>❑

√

<i>x</i>2+<i>x +1</i> 2.

∫

0
1

dx
(2 x +4)❑

√

<i>x</i>2+2 x

5.D¹ng:

_∫

❑
❑

<i>R</i>

(

_√

<i>n(ax +b )m;</i>

<i>q(ax +b)p</i>

)

. dx <b> Đặt </b> <i>_{t=(ax +b)}</i>1<i>s</i> <b> với s lµ BCNN cđa n vµ q.</b>

BTMH:

_∫

0
1

dx

3

√

<i>(2 x +1)</i>2<i>−</i>❑

_√

<i>(2 x+1)</i>

∫

0
1

dx
❑

√

(<i>1 −2 x</i>)<i>−</i>4

_√

(<i>1 −2 x</i>)

∫

0
1 6

√<i>x</i>

1+√3<i>x</i> dx

<b>V. Tích phân hàm số l ợng giác:</b>

1.Dạng:



<i>a</i>
<i>b</i>

<i>f (sin x ;cos x ) dx</i>

<b>- Nếu f là hàm lẻ theo sinx: Đặt t=cosx.</b>
<b>- Nếu f là hàm lẻ theo cosx: Đặt t=sinx.</b>

<b>- Nếu f là hàm chẵn theo sinx và cosx: Đặt t=tgx.</b>

<b>Bài tập minh hoạ:</b>

1.

₀

<i></i>
2

sin3<i>_x</i>

cos3<i>_x</i> dx _2.

∫

0
<i>π</i>
6

cos3<i>_x</i>

<i>4 +sin x</i>dx 3.

∫

₀

<i>π</i>
4

dx

<i>sin x . cos</i>3<i>_x</i> _4.

∫









<b>4</b>
<b>0</b>

<b>2</b>

<b>x</b>
<b>cos</b>
<b>x</b>
<b>sin</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

2.D¹ng:

_∫

<i>a</i>

sin<i>m_{x . cos}n_{x . dx}</i>

- NÕu m và n chẵn: Hạ bậc.
- Nếu m lẻ: Đặt t=cosx.
- Nếu n lẻ: Đặt t=sinx.

<b>Bài tập minh hoạ:</b>

1.

_∫

0
<i>π</i>
2

sin3<i>x . cos</i>2<i>x . dx</i> 2.

_∫

0
<i>π</i>

2

sin4<i>x . cos</i>2<i>x . dx</i> 3.

_∫

0
<i>π</i>
2

sin4<i>x</i>
cos2<i>x</i> dx

4.

_∫

0
<i>π</i>
2

dx

cos4<i>x . sin</i>4<i>x</i>

<b>3.D¹ng:</b>

_∫

<i>a</i>
<i>b</i>

<i>R (sin x ;cos x ). dx</i> <b> trong đó R là hàm hữu tỉ theo sinx, cosx.</b>

Đặt <i>t=tg</i> <i>x</i>

2 <i>dx=</i>

2 dt

<i>1+t</i>2 ; <i>sin x=</i>
<i>2t</i>

<i>1+t</i>2 ; <i>cos x=</i>
<i>1− t</i>2

<i>1+t</i>2 ; tgx=
<i>2 t</i>
<i>1 −t</i>2

Cơ thĨ lµ hµm: <i>I=</i>

_∫

<i>a</i>
<i>b</i>

dx

<i>a sin x +b cos x +c</i>

<b>Bài tập minh hoạ:</b>

1. <i>_I=</i>



0
<i></i>
4

dx

<i>sin x+cos x+1</i> 2. <i>I=</i>

∫

₀

<i>π</i>
2

<i>(1+sin x )</i>
<i>sin x . (cos x+1)</i> dx

3. <i>_I=</i>

_∫

0
<i>π</i>
2

dx
<i>( cos x+2 )</i>

4.D¹ng: <i>I=</i>

_∫

<i>a</i>
<i>b</i>

<i>a sin x +b cos x</i>
<i>c sin x+d cos x</i>dx

<i><b>Ph©n tÝch: (Tư sè)=A.(MÉu sè)+B.(MÉu sè)’</b></i>

<i>I=</i>

_∫

<i>a</i>
<i>b</i>

<i>a sin x +b cos x</i>

<i>c sin x+d cos xdx=A</i>

∫

<i>_a</i>

<i>b</i>

<i>dx+B .</i>

_∫

<i>a</i>
<i>b</i>

<i>c cos x − d sin x</i>

<i>c sin x +d cos xdx= A</i>

∫

<i>_a</i>

<i>b</i>

<i>dx +B .</i>

_∫

<i>a</i>
<i>b</i>

<i>d (c sin x +d cos x )</i>
<i>c sin x+d cos x</i> <b>Bài </b>

<b>tập minh hoạ: </b> <i>_I=</i>



0
<i></i>
2

<i>3 sin x − 2 cos x</i>
<i>4 sin x+ 3 cos x</i>dx

5.D¹ng: <i>I=</i>

_∫

<i>a</i>
<i>b</i> <i>_a</i>

1<i>sin x +b</i>1<i>cos x +c</i>1

<i>a</i>₂<i>sin x +b</i>₂<i>cos x +c</i>₂dx

<i><b>Ph©n tÝch: (Tư sè)=A.(MÉu sè)+B.(MÉu sè) +C</b></i>’

<i>I=A</i>

_∫

<i>a</i>
<i>b</i>

<i>dx+B</i>

_∫

<i>a</i>
<i>b</i> <i>_a</i>

2<i>cos x − b</i>2<i>sin x</i>

<i>a</i>₂<i>sin x +b</i>₂<i>cos x +c</i>₂<i>dx ++ C</i>

∫

<i>_a</i>

<i>b</i>

dx

<i>a</i>₂<i>sin x+b</i>₂<i>cos x+c</i>₂

¿<i>A</i>

∫

<i>a</i>
<i>b</i>

<i>dx+B</i>

_∫

<i>a</i>
<i>b</i> <i>_d</i>

(<i>a</i>2<i>sin x +b</i>2<i>cos x +c</i>2)

<i>a</i>₂<i>sin x +b</i>₂<i>cos x +c</i>₂ +<i>C . J</i>

J l tớch phõn tớnh c.

<b>Bài tập minh hoạ: 1.</b> <i>_I=</i>

_∫

0
<i>π</i>

2

<i>sin x − cos x+1</i>

<i>sin x+2 cos x +3</i> dx 2. <i>I=</i>

∫

₀

<i>π</i>
2

<i>sin x+1</i>

<i>3 sin x − 4 cos x+5</i>dx
<b>VI. Phép đổi biến đặc biệt:</b>

<i>I=</i>

_∫

<i>a</i>
<i>b</i>

<i>f (x)dx</i>

Khi sử dụng các cách tính tích phân mà khơng tính đợc ta thử dùng phép đổi biến:

<i>t=(a+b)− x</i> .Thực chất của phép đổi biến này là nhờ tính chất chẵn lẻ ca hm s f(x).

<b>Bài tập minh hoạ:</b>

1. <i>I=</i>



<i></i>

<i></i>
2

<i>cos x</i>

<i>ex</i>₊₁dx 2. <i>I=</i>

∫

<i>−1</i>
1

ln3₍<i>_{x +}</i>

√

<i>x</i>2

+1)dx 3. <i>I=</i>

∫

0
<i>π</i>

<i>x sin x</i>

1+cos2<i>x</i>dx 4. <i>I=</i>

∫

<i>−1</i>
1

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

2. NÕu f(x) lµ hµm số lẻ và liên tục trên [<i>a ;a</i>] th×:

<i>f (x)dx=</i>¿0

∫

<i>− a</i>

<i>a</i>

¿

3.

<i>f (sin x)dx=</i>¿

∫

0
<i>π</i>
2

<i>f (cos x)dx</i>

∫

0
<i>π</i>
2

¿

4.

<i>x . f (sin x)dx=</i>¿<i>π</i>

∫

0
<i>π</i>
2

<i>f (sin x)dx</i>

∫

0
<i>π</i>
2

</div>

<!--links-->
Đề thi thử đại học 2010 môn sinh học

• 5
• 412
• 2