chung minh bat dang thuc

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (234.23 KB, 69 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Lời nói đầu

Nhằm tổng hợp các kiến thức về bất thức đại số và hình học trong chương
trình PTCS, cung cấp thêm tư liệu phục vụ cho công tác thực tập giảng dạy của
sinh viên. Chúng tôi tiến hành viết tiểu luận về đề tài “ Các bất đẳng thức đại số và
hình học trong chương trình PTCS.

Nội dung tiểu luận này bao gơm các mục:
I. Bất đẳng thức

II. Một số phương pháp thường dùng chứng minh bất đẳng thức
III. Vận dụng bất đẳng thức trong việc giải toán

IV. Rèn luyện các hình thái tư duy trong q trình dạy bài tốn bất đẳng
thức

V. Dự đốn và phân tích các sai lầm học sinh thường mắc phải trong
quá trình giải các bài toán về bất đẳng thức

VI. Kết luận

Tiểu luận này sẽ không tránh khỏi những sai sót, vì vậy chúng tơi rất mong
nhận được ý kiến đóng góp của bạn đọc.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC

I. BẤT ĐẲNG THỨC .

1. Định nghĩa:

Cho hai số a và b ,ta nói

a lớn hơn b , kí hiệu a> b , nếu a-b >0 .
a nhỏ hơn b , kí hiệu a2. Các bất đẳng thức cơ bản:

i) a2 0.
- a2 0 .

ii) |a|  0. Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0.

- |a|  a  |a| . Xảy ra dấu đẳng thức khi a =0.

|a+b|  |a| + |b| .Xảy ra dấu đẳng thức khi a.b 0.

|a − b|≥|a|−|b| .Xảy ra dấu đẳng thức khi a.b 0 vaø |a|  |a|

(các điều kiện này cịn có thể diễn đạt là a  b  0 hoặc a  b  0).
iii) a2+b2  2ab.

+) Bất đẳng thức Côsi:Cho hai số a,b ,a  0 và b  0.
Khi đó a + b  2

√

ab hoặc là (a + b)2  4ab ,hoặc là

(

a+b2

)

2  ab .
+) 1a+1

b 
4

a+b với ab > 0 .
+) ab+b

a  2 với ab > 0.

+) Bất đẳng thức Bunhiacôpxki : (ax + by)2  (a2 +b2)(x2 +y2).
3. Các bất đẳng thức được phát triển:

i) a>b b<a
ii) Tính chất bắt cầu :

a>b ,b>c a>c

iii) Tính chất đơn điệu của phép cộng : cộng cùng một số vào hai vế của bất
đẳng thức.

a>b  a+c > b+c với mọi số thực c.

iv) Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều, được bất đẳng thức mới cùng 
chiều với bất đẳng thức đã cho:

a > b,c > d  a+c > b+ d.

Chú ý: Không được trừ từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều.

v) Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngược chiều , được bất đẳng thức mới 
cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ :

a > b, c < d  a – c > b – d
vi) Tính chất của phép nhân:

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

+) Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thức

đổi chiều:

a > b , c<0  a.c <b.c

vii) Nhân từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm :
a >b ≥0 ,c > d ≥ 0  a.c ≥ b.d.

viii) Nâng lên lũy thừa bậc nguyên dương hai vế của bất đẳng thức :
a>b>0  an > bn ;

a > b  an > bn với n lẻ ;
|a| > |b|  an >bn với n chẳn .

ix) So sánh hai lũy thừa cungcơ số với số mũ nguyên dương:
Nếu m>n>0 thì :

a>1 an < am ;
a=1 an = am ;
0<a<1 an > am .

x) Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức nếu hai vế cùng dấu :
a > b ,a.b >0  1a < 1b .

Chú ý 2: Ngoài các bất đẳng thức chặt cịn, ví dụ a>b, ta cịn có những bất đẳng
thức khơng chặt. Chẳng hạng a ≥ b (tức là a > b hoặc a = b).Trong các tinh chất
trên, nhiều “>” hoặc dấu “<” có thể thay thế bằng các dấu “≥” hoặc “”.

4.Các bất đẳng thức trong hình học phẳng

i) Quan hệ giữa đường xiên và đường vng góc, giữa đường xiên và hình chiếu

_Trong một tam giác, đường vng góc ngắn hơn mọi đường xiên.
AH  d, B  H  AH < AB.

_Trong một tam giác, trong hai đường xiên kẻ từ một điểm đến một đường
thẳng,đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn và đường xiên nào lớn
hơn thì có hình chiếu lớn hơn.

BH < CH  AB < AC.

ii) Các bất đẳng thức trong tam giác và qui tắc các điểm

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

a) Trong tam giác ABC bất kì, có:
+) AB - AC< BC < AB + AC.

+) A ^B C  A ^C B  AC  AB.
 b) Xét n điểm A1;A2;A3;….;An, ta có:

A1An  A1A2 + A2A3 + ……An-1An.
c) Quan hệ giữa cạmh và góc trong tam giác :

Tam giác ABC và A’B’C’ có AB = A’B’,AC = A’C’ thì :
BC  B’C’  ^A  ^A ' .

iii) Các bất đẳng thức trong đường trịn

Cho đường trịn tâm O bất kì, có AB là đường kính, CD và EF là hai dây bất kì
của đường trịn (O), OH và OK lần lượt là khoảng cách từ tâm O đến dây CD và
EF. Thế thì ta có các bất đẳng thức sau:

+) AB  CD.

+) CD  EFOHOK.

+) C D  E F  CD EF.

+) C ^O D  E ^O F  C D  E F .

Chú ý: Các bất đẳng thức trên vẫn đúng với CD là dây cung của đường trịn tâm
O’ có cùng bán kính với đường tròn tâm O,nghĩa là:

C ^O ' D  E ^O F  C D  E F  CD EF O’HOK

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

II.

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG CHỨNG MINH BẤT

ĐẲNG THỨC.

1. Các phương pháp thường dùngchứng minh các bất đẳng thức đại số
a) Dùng định nghĩa:

Để chứng minh a > b , ta xét hiệu a – b và chứng minh rằng a – b > 0.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng (x – 1).(x – 2). (x – 3).(x – 4) ≥ -1.

Giải :

Xét hiệu (x – 1).(x – 2). (x – 3).(x – 4) – (-1) = (x2 – 5x + 4)(x2 – 5x + 6) + 1.
Đặt x2 – 5x + 5 = y , biểu thức trên được viết lại :

(y – 1)(y + 1) +1 = y2 ≥ 0.
Vậy (x – 1).(x – 2). (x – 3).(x – 4) ≥ -1.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với ba số a , b , c bất kì ta có :
a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca .

Giải:

Xét hiệu : A = a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca

2A = 2a2 + 2b2 + 2c2 – 2ab – 2bc – 2ca

= a2 - 2ab + b2 + a2 – 2ca + c2+ b2 – 2bc + c2
=(a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2

b) Chứng minh bất đẳng thức dùng các phép biến đổi tương đương
Ví dụ: Cho các số dương a và b thỏa mãn điều kiện a+ b =1.
Chứng minh rằng :(1+ 1a )(1+ 1b )  9.

GiảI :

Ta có : (1+ 1a )(1+ 1b )  9 ⇔ (a+1
a )(

b+1

b )  9

⇔ ab + a + b + 1  9ab
⇔ ab + a + b  8ab

⇔ 2  8ab ⇔ 1 4ab

⇔ (a + b)2  4ab ⇔ (a - b)2  0 (hiển nhiên ).
Vậy (1+ 1a )(1+ 1b )  9.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

c) Dùng các tính chất của bất đẳng thưc
Ví dụ:

Cho a +b>1.chứng minh rằng:a4+b4> 1
8

Giải: ta có:a+b>1>0 (1)
 (a+b)2 >1 a2 +2ab +b2 >1 (2)
Mặt khác: (a-b)2 0 a2 –2ab +b2 0 (3)
Cộng từng vế của (2) và(3): 2(a2 +b2)>1

a2 +b2 > 1

2 (4)

Bình phương hai vế của (4):a4 +2a2b2 +b4 > 1

4 (5)

Mặt khác:(a2-b2)20 a4-2a2b2 +b40 (6)
Cộng từng vế của (5) và (6):2(a4+b4) > 1

4 a4 +b4>
1
8 .
d) Dùng phương pháp phản chứng

Vídụ:

Cho a2+b2 2. Chứng minh rằng: a+b 2
Giải:

Giả sử :a+b>2

(a+b)2>4 (1)

Mặt khác ta có:

2ab a2 +b2 a2+b2+2ab  2(a2+b2)
Mà: 2(a2+b2) 4.

Do đó : a2+b2+2ab 4 (mâu thuẩn với (1) )
Vậy a+b 2.

e) Phương pháp qui nạp toán học:
Phương pháp :

Giả sử cần chứng minh một bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n khác 0 ta
làm như sau:

Chứng minh bất đẳng thức đúng với n =1

Giả sử bất đẳng thức đúng với số tự nhiên k1, ta chứng minh bất đẳng thức đúng
với n = k+1

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Ví dụ:chứng minh rằng :2n>n3 (1) với mọi số tự nhiên n 10.

Giải:

a) Bất đẳng thức (1) đúng đến n =10 vì 210 =1024>103.
b) Giả sử (1) đã đúng với n = k ,tức là ta đã có 2k>k3 (k10)
ta cần chứng minh rằng 2k+1 >(k+1)3

xét hiệu 2k+1 –(k+1)3 = 2k.2 - k3 –3k2 –3k –1= 2(2k-k3)+k3-3k2
-3k-1>0

ta có:k3 –3k2 –3k –1 =k(k2 – 3k – 1) - 1= kk(k - 3)-1
do k10 ⇒ k(k-3) 70 ⇒ kk(k - 3)-1669 >0.
vậy 2k+1> (k+1)3

.
Bài tập tương tự :
a) Dùng định nghĩa:

1) Cho a , b là hai số dương. Chứng minh rằng :
a2+b2

¿a

3
+b3
2 ≥

a+b
2 ⋅

❑
❑

2) Cho a, b, c, d, e l à c ác s ố th ực :

Ch ứng minh r ằng :a2 +b2+c2+d2 +e2a(b+c+d+e)
3) Cho abc=1 và a3>36

Chứng minh rằng: a2
3 +b

+c2 >ab+bc+ca.
4) Cho a2+b2+c2=1.

Chứng minh rằng:abc+2(1+a+b+c+ab+bc+ca)  0
b) Dùng các phép biến đổi tương đương

1) Chứng minh rằng với mọi a,b,c ta có:
a2+b2+c2

3 ≥

( a+b+ c)2
3

2)Cho a và b là hai số dương:

Chứng minh :+)(a+b).(a3+b3)2(a4+b4).
+) (a+b)(a4+b4)(a2+b2)(a3+b3).
3)cho a, b, c là các số dương và ab < 1 .
Chứng minh rằng :

ab < a+cb+c

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Chứng minh rằng : ab < a+cb+d<c
d

c) Dùng tính chất của bất đẳng thức.

1)cho a và b cùng dấu. Chứng minh rằng:
a) Nếu a>b th ì 1a<1

b
b) ab + ba  2

2)Cho a,b,c là ba số dương . Chứng minh rằng: a+ca + b
b+a+

c
a+b<2
3)Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác :

Chứng minh rằng: a+b − c1 + 1
b+c −a+

c+a −b≥

1
a+
1
b+
1
c
4)Cho x  0, y 0,z  0.

Chứng minh rằng: (x+y)(y+z)(z+x)  8xyz.
d) Dùng phương pháp phản chứng:

1)Cho a3+b3 = 2 . Chứng minh rằng: a+b  2.

2)Chứng minh rằng nếu có các bất đẳng thức: a+b+c >0, abc> 0 và
ab+bc+ca >0 thì a>0, b>0, c>0.

3)Chứng minh rằng khơng có các số dương a, b, c nào để xảy ra các bất
đẳng thức sau:

4a(1-b)>1, 4b(1-c)>1, 4c(1-a)>1
4)Cho các số dương a, b, c, d .

Chứng minh rằng: trong các bất đẳng thức sau có ít nhất một bất
đẳng thức sai:

c+d>a+b ,ab+cd>(a+b)(c+d), ab(c+d)>(a+b)cd
e) Dùng phương pháp qui nạp toán học:

a. Chứng minh rằng:n2>n+5 với mọi số tự nhiên n3 
b. Tìm mọi số tự nhiên n sao cho :

i. 2n >n2
ii. 5n5n3+2

Cho a và b là hai số dương . Chứng minh rằng: a

n

+bn
2 ≥

(

a+b
2

)

n

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

a) Vận đụng quan hệ giữa đường xiên và đường vng góc,giữa đường xiên
và hình chiếu.

Ví dụ 1:

Cho tam giác ABC,có AB  AC; AH là đường cao, D là điểm nằm trên đường
AH.Chứng minh rằng DB  DC.

Lời giải:

Bh và CH lần lược là hình chiếu của AB và AC trên đường thẳng BC.
AB AC  BH  CH.

Mặt khác BH và CH lần lược cũng là hình chiếu của BD và CD trên đường
thẳng BC.

BH  CH  DB  DC(đpcm).
Ví dụ 2:

Cho điểm A nằm ngồi đường trịn (O). từ A vẽ các tuyến ABC (B,C nằm
trên (O)).Chứng minh rằng AB +AC  2OA.

Lời giải:

Vẽ OH  BC, HBC BH=CH(định lí đường kính và dây cung).
Ta có AH OH  AHOA.

Do đó AB+AC = AH–BH+AH+CH=2AH.
AH  OA  2AH  2OA.
 AB+AC  2OA.

b)Vận dụng các bất đẳng thức trong tam giác và qui tắc các điểm

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Ví dụ 1

Cho tứ giác ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.M là điểm nằm
trong tứ giác ABCD(M  O).Chứng minh rằng MA+MB+MC+MD > AC+BD.
Lời giải:

Xét  MAC, ta có:

MA+MC>AC. (1)

Xét  MBD,ta có:

MB+MD > BD. (2)

Từ (1) và (2) suy ra MA+MB+MC+MD > AC+BD(đpcm).
Ví dụ 2

Cho nửa đường trịn (O;R),đường kính AB và một dây cung CD,Vẽ AP và BS
vng góc vớI CD.Chứng minh rằng OP = OS > R.

Lời giải:

Vẽ OH  DC, H  DC.

AP DC, BS  DC, OH  DC OH // AP // BS.
Tứ giác ABSP là hình thang(AP//BS), mà OA=OB=R

HP=HS.

HP=HS,OH  PS  O thuộc đường trung trực của PS.

 OP = OS

AP // BS  P ^A B+S ^B A =180o

 P ^A B 90o hoặc S ^B A 90o.
khơng mất tính tổng quát, giả sử P ^A B 90o
Xét  PAO, ta có P ^A O 90o

 P ^A O là góc lớn nhất trong các góc của  PAO
 P ^A O > O ^P A

O
M
D
C
B
A
C
P D H

S

O B

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

 OP > OA, OA=R
Do vậy OP = OS > R ( đpcm).

c)Vận dụng các bất đẳng thức trong đường trịn
Ví dụ 1

Cho tứ giác nội tiếp đường trịn (O;R),có góc BAD tù và AC BD.Chứng minh
rằng SABCD < 2R2.

Lời giải:

Trong đường (O;R) có góc BAD tù.Suy raBD là dây không qua tâm

 BD < 2R ( trong đường trịn đường kính là dây cung lớn nhất).

Mặt khác AC là dây bất kỳ của đường tròn (O;R)

AC2R.

Tứ giác ABCD có AC BD
SABCD = AC . BD2 .
Do đó SABCD =

AC . BD
2 <

2 R .2 R

2 = 2R2.
Vậy SABCD < 2R2 (đpcm).

Ví dụ 2

Cho đường tròn (O), hai dây AB và CD của đường tròn cắt nhau tại điểm M
nằm bên ngồi đường trịn .Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và
CD.Cho biết AB > CD, chứng minh rằng MH > MK.

Lời giải:
O
D
C
B
A

K H M D

C

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Hai tam giác MOH và MOK là các tam giác vng nên ta có:
MH2 + OH2=MK2 + OK2(=OM2).

Mặt khác ta có AB > CD
OH < OK
OH2 < OK2
MH2 < MK2

MH < MK (đpcm).
 Các bài tập tương tự:

1) Cho tam giác ABC, D là điểm nằm trong tam giác ABC sao cho
AD=AB.Chứng minh rằng AB < AC.

2) Cho tam giác ABC, các góc B và C nhọn. Điểm M nằm giữa B và C.Gọi d 
là khoảng cách từ B và C đến đường thẳng AM.Chứng minh rằng d  BC.
3) Cho tam giác ABC cân tạI A,trên hai cạnh AB và AC lấy hai điểm M và N

sao cho AM = AN.Chứng minh rằng BN > BC+MN2 .

4) Cho tam giác đều ABC.Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM= 13
BC.Chứng minh rằng góc BAM nhỏ hơn 20o.

5) Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là một điểm nằm trên cạnh BC sao 
cho MB < MC.Lấy điểm O trên đoạn thẳng AM. Chứng minh rằng

A ^O B> A ^O C .

6) Trên dây cung AB của một đường tròn tâm O, lấy hai điểm C và D chia dây
này thành ba đoạn bằng nhau AC= CD=DB. Các bán kính qua C và D cắt
cung nhỏ AB lần lược tại E và F. Chứng minh rằng A E<E F .

III. VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG VIỆC GIẢI TOÁN :

1.Áp dụng chứng minh bất đẳng thức vào giải phương trình và hệ phương
trình đặc biệt.

Ví dụ: Giải phương trình :
x2+y2+z2=x(y+z)
Giải:

Trước hết ta chứng minh rằng:

x2+y2+z2xy+xz (1)

bất đẳng thức (1) tương đương với 2x2+2y2+2z2 –2xy-2xz  0
x − z¿

+y2+z2
x − y¿2+¿

⇒¿

0

xảy ra dấu đẳng thức ở (2) ,tức la xảy ra dấu đẳng thức ở (1),khi và chỉ

khi x=y=z=0.đó là nghiệm của phương trình.

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

1)Giải phương trình: 4x+2x=3x+1
2)Gải hệ phương trình:

xy+yz+zx=1
x2+y2+z2=1

2.Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN).
Phương pháp:

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, ta cần :
+ Chứng minh rằng A k với k là hằng số.
+ Chỉ ra dấu “ =” có thể xảy ra.

Kí hiệu:

mina là GTNN.
maxA là GTLN.

a)Các dạng bài tập tìm GTNN , GTLN thường gặp.
i)tam thức bậc hai :

ví dụ:Tìm giá trị nhỏ nhất của A=2x2-8x+1
giải :

A = 2x2 –8x+1=2(x2- 4x+4)-7
= 2(x-2)2 –7 -7

⇒min A=−7 ⇔ x=2 .

Vậy GTNN của A là –7 khi và chỉ khi x=2.
ii)Đa thức có dấu giá trị tuyệt đối :

ví dụ : Tìm GTNN của

A=(3x-1)2 - 43x- 1+5
Giải:

Đặt 3x- 1 = y

Khi đó A =y2 – 4y +5 =(y-2)2 +11

⇒ minA =1 ⇔ y=2 ⇔ 3x- 1=2 ⇔ x=1 hoặc x =
-1

3 .

Vậy GTNN của A là 1, khi và chỉ khi x=1 hoặc x = - 13 .
iii) Đa thức bậc cao:

Ví dụ: Tìm GTNN của A = x(x-3)(x-4)(x-7) (1)
Giải:

(1) ⇔ A = (x2 – 7x)(x2 – 7x +12)
Đặt x2 – 7x +6 = y

Suy ra : A = (y – 6)(y + 6)
= y2 – 36  - 36

⇒ minA = -36 ⇔ y=0 ⇔ x2 – 7x + 6 =0 ⇔ x= 1 hoặc 
x= 6.

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

iv) Phân thức có tử là hằng số ,mẫu là tam thức bậc hai.
Ví dụ: Tìm GTNN của A = 2

6 x −5 − 9 x2
Giải:

A = −2

9 x2−6 x +5 =

−2

(3 x −1)2+4
Ta thấy : (3x – 1) 2 0 ⇔ (3x – 1) 2 +4  4

Do đó : 1

(3 x −1)2+4 
1
4
⇒ −2

(3 x −1)2+4 
− 2

4 =

− 1

2 =
-1
2
⇒ minA = - 12 ⇔ x = 13 .

Vậy GTNN của A là - 12 khi và chỉ khi x = 13 .
v) Phân thức có mẫu là bình phương của một nhị thức:

Ví dụ: Tìm GTNN của A= 3 x
2

− 8 x+6
x2−2 x+1
Giải: A=

x −1¿2
¿

3 (x2−2 x +1)−2(x −1)+1

= 3 -

x −1¿2
¿

x −1+

Đặt y = x −11 .
Suy ra A = 3- 2y +y2
= (y-1)2 +2 2

⇒ minA = 2 ⇔ y = 1 ⇔ 1

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Vậy GTNN của A là 2 khi và chỉ khi x = 2.
vi) Các phân thức dạng khác:

ví dụ: Tìm GTNN và GTLN của A = 3 − 4 x
x2+1 .
Giải:

Để tìm GTNN , ta viết A dưới dạng :

A = x
2

−4 x+4 − x2−1
x2+1 =

x − 2¿2
¿

¿
¿
 -1

⇒ minA = -1 ⇔ x= 2 .

Vậy GTNN của A là -1 khi và chỉ khi x= 2 .
Để tìm GTLN, ta viết dưới dạng :

2 x+1¿2
¿
¿

x2−4 x+4 − x2−1
x2+1 =4 −¿

=  4.
⇒ max A = 4 ⇔ x = −1

2 .
Vậy GTNN của A là –1 khi và chỉ khi x = 2.
GTLN của A là 4 khi và chỉ khi x = −1

2 .
  Bài tập tương tự:

i)Tam thức bậc hai :

1) Tim GTLN của B = -5x2 – 4x +1.

2) Tìm GTNN của biểu thức A = (x – 1)2 + (x -3)2
3) Cho tam thức bậc hai P= ax2 +bx +c.

a) Tìm GTNN của P nếu a>0.
b) Tìm GTLN của P nếu a<0.
ii)Đa thức có dấu giá trị tuyệt đối.

1)Tìm GTNN của B= |x − 2|+|x − 3| . |x − 1|−|x − 2|

2) Tìm GTLN của biểu thức T= |x − 1|−|x − 2| .

3) Tìm GTNN của biểu thức P = |x − 2 y +1|+|x −2 y| .
iii)Đa thức bậc cao.

1) Tìm GTNN của B =2x2 +y2 – 2xy – 3x +3

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

iv)Phân thức có tử là hằng số , mẫu là tam thức bậc hai .
1)Tìm GTNN của A = 3

− 5+4 x − 4 x2 .
2) Tim GTLN của A = 4

25 x2−10 x+7 .

v)Phân thức có mẫu là bình phương của một nhị thức .
1) Tìm GTNN của :

a)A = 2 x
2

− 16 x +4
x2−8 x +22 .
b) B = x

6
+27

x4− 3 x3+6 x2− 9 x+9 .
c) C = x

6
+512
x2

+8 .
d) D =

2 x − 1¿2
¿

4 x2− 6 x+3

.
vi)Các phân thức dạng khác :

1) Tìm GTNN và GTLN của .
a)A = 27 −12 x

x2+9 .
b) B = 8 x +3

4 x2+1 .
c) C = 2 x +1

x2+2 .

b)Tìm GTLN và GTNN của một biểu thức biết quan hệ giữa các biến .
Ví dụ: Tim GT NN của A = x3 y3 + xy, biết rằng x = y =1.

Giải:

Sử dụng điều kiện đã cho để rút gọn biểu thức A

A = (x + y)( x2 –xy + y2 ) + xy = x2 – xy + y2 + xy = x2 + y2.
Thay y = 1 – x vào A.

A = x2 + ( 1 – x )2 = 2( x2 - x ) + 1 = 2( x - 1
2 )2 +

1
2

1
2 .

⇒ min A = 12 ⇔ x = 12 và y = 12 .

Vậy GTNN của A là 12 khi và chỉ khi x = 12 và y = 12 .
Bài tập tương tự:

1) Cho x + y + z = 3.

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

2) Tìm GTNN và GTLN của:

a) Biểu thức A biết rằng A( A – 1) 2.

b) Biểu thức A = 2 – x – y – z, biết rằng ( 2 – x –y – z )2 = 4 – x2 –y2 – z2.
3) Cho các số dương x và y thoả mãn 1

x2+
1
y2=

2. Tìm GTNN của:
a) A = xy.

b) B = x + y.

c) Vài điểm chú ý khi tìm GTNN và GTLN của một biểu thức:

i) Chú ý 1: Khi tìm GTNN vàGTLN của biểu thức ta có thể đổi biến.
Ví dụ: Tìm GTNN của biểu thức A = ( x – 1)2 + ( x – 3)2.

Ta có thể đặt x – 2 = y.

Khi đó A = ( y + 1)2 + ( y – 1 )2 = y2 + 2y + 1 + y 2 – 2y + 1 
= 2y2 + 2.

⇒ A = 2y2 + 2 2.

⇒ min A = 2 ⇔ y = 0 ⇔ x = 2.
Vậy GTNN của biểu thức A là 2 khi và chỉ khi x = 2.

ii) Chú ý 2: Khi tìm cức trị của biểu thức, nhiều khi ta thay điều kiện biểu
thức này đạt cực trị bởi điều kiện tương đương là biểu thức khác đạt cực
trị.

Chẳng hạn: - A lớn nhất ⇔ A nhỏ nhất.

B1 lớn nhất ⇔ B nhỏ nhất, với B > 0.
C lớn nhất ⇔ C2 lớn nhất, với C > 0.
Ví dụ: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:

A =
x2+1

¿2
¿
x4
+1
¿
.
Giải:

+ Cách 1:

Chú ý rằng : A lớn nhất ⇔ 1

A nhỏ nhất.
A nhỏ nhất ⇔ 1

A lớn nhất.
Ta có: A1 = x

2
+1¿2

¿
¿
¿

= x
4

+2 x2+1

x4+1 = 1 +
2 x2
x4+1 .
Tìm GTLN của A:

Ta có :2x2 0 và x4 > 0.
Nên 2 x

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Suy ra A1 ≥1+0 =1.

⇒ min A1 = 1 ⇔ x = 0.
⇒ max A = 1 ⇔ x = 0.
Tìm GTNN của A:

Ta có :2x2  x4 +1

Mà x4 +1 > 0 n ên 2 x
2

x4

+1  1.
Suy ra A1  1+1=2.

⇒ max A1 =2 ⇔ x2 = 1.

⇒ min A = 12 ⇔ x = ±1 .
GTNN cảu A là 12 khi và chỉ khi x = ±1 .
+cách 2:

Tìm GTNN của A :
A =

x2+1¿2−2 x2
¿

x2
+1¿2

¿
¿
¿

= 1 -

x2+1¿2
¿

2 x2

 1.
⇒ max A = 1 ⇔ x = 0.

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

A =

x2+1¿2
¿

x2−1

¿2
¿

x2+1¿2
¿

x2−1¿2
¿

x2+1¿2
¿

2¿
¿
¿

2¿

x2+1

¿2+¿

¿
¿

2 x4
+2

⇒ min A = 12

Vậy GTNN của A là 12 khi và chỉ khi x = ±1 .
GTLN của A là 1 khi và chỉ khi x = 0.

iii)Chú ý 3: Nhiều khi ta cần tìmm cực trị của một biểu thức trong từng khoảng
của biến sau đó so sánh giá trị cực trị đó để tìm GTLN – GTNN trong toàn bộ tập
xác định của biểu thức.

Ví dụ: Tìm GTLN của biểu thức
A ¿ y

5 −(x + y) , với x , y là các số tự nhiên .
Giải:

Xét x+y 4.
- Nếu y = 0 thì A = 0.

- Nếu 1 y 3 thì A ¿ y

5 −(x + y) 3.
- Nếu y = 4 thì x = 0 v à A = 4.

X ét x+y 6 th ì A ¿ y

5 −(x + y) 0.

So sánh các giá trị trên của A , ta thấy max A = 4 ⇔ x=0 và y = 4.
iv)Chú ý 4: Khi tìm GTNN -GTLN của một biểu thức , người ta sử dụng các bất
đẳng thức đã biết .

Ví dụ:Cho x2 + y2 = 52.

Tìm GTLN của A = |2 x+3 y| .

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Ta nhận thấy 2x + 3y và x2 + y2 là các thành phần của bất đẳng thức
Bunhiacôpxki (ax + by)2 (a2 +b2)(x2 +y2).

Theo bất đẳng thức trên ta có :(2x + 3y)2 (22 +32)(x2 +y2), với a =2, b=3.
Theo bất đẳng thức trên : (2x + 3y)2  (22 + 32).52

⇔ (2x + 3y)2  13.13.4.
⇔ 2x + 3y  26.

⇒ max A = 26 ⇔x
2=

y
3 .
⇒ thay y = 3 x2 vào x2 + y2 = 52 ta đựợc :x2 + 9 x2

4 =52⇔ x=± 4 .
Vậy max A = 26 ⇔ x = 4, y = 6 hoặc x = - 4, y = - 6.

Chú ý : Nếu tìm GTLN của B = 2x + 3y, ta có :
B = 2x + 3y  2x + 3y  26.
Vậy max B = 26 ⇔x

2=
y

3 ⇔ x = 4, y = 6 (B = 2x + 3y  0 ).
v) Chú ý 5: Trong các hằng bất đẳng thức, cần chú ý đến hai mệnh đề sau cho ta
gia trị lớn nhất của tích, gia trị nhỏ nhất của tổng :

- Nếu hai số dương có tổng khơng đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ
khi hai số đó bằng nhau.

- Nếu hai số dương có tích khơng đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và
chỉ khi hai số đó bằng nhau.

Để chứng minh hai mệnh đề trên, ta dùng bất đẳng thức (a+b)2  4ab.
-Nếu hai số a và b có a + b = k (k là hằng số) thì từ (a+b)2  4ab,
Ta có ab  k2

4 .

⇒ max (ab) = k2

4 ⇔ a = b.

- Nếu hai số dương a và b có ab = k (k là hằng số ), thì “ a + b ” nhỏ nhất khi và
chỉ khi (a + b)2 nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất của (a + b)2 = 4k khi và chỉ khi a = 
b.

Ví dụ : Tìm GTLN của A = (x2 – 3x +1)(21 + 3x – x2)

Giải Các biểu thức (x2 – 3x +1) và (21 + 3x – x2) có tổng khơng

đổi( bằng 22) nên tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi x2 – 3x +1=21 + 3x – x2
⇔ x2 – 3x –10 = 0 ⇔ x=5 hoặc x = -2. Khi đó A = 11.11=121

Vậy max A =121 ⇔ x = 5 hoặt x = -2.

Chú ý 6 : Trong các ví dụ trên, ta chỉ ra tất cả các giá trị của biến để xảy ra dấu
đẳng thức, tuy nhiên u cầu của bài tốn tìm GTNN, GTLN khơng địi hỏi thì chỉ
cần chứng tỏ tồn tại giá trị của biến để xảy ra dấu đẳng thức.

Ví dụ: Tìm GTNN của biểu thức : A =

|

11m−5n

|

, vớI m, n là các số nguyên

dương.

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Ta thấy 11m tận cùng bằng 1, còn 5n tận cùng bằng 5.nếu 11m > 5n thì 
11m - 5n tận cùng bằng 6, ngược lại 11m < 5n thì tận cùng bằng 4.

Ta chỉ ra một trường hợp A = 4, vớI m = 2, n = 3 thì A = 112 – 53 =

|121− 125|=4 .

Như vậy min A = 4 ⇔ m = 2, n = 3.

Ta thấy (2, 3) là cặp giá trị của m v à n để A = 4.

- Nhận xét :Việc tìm ra, mọi giá trị của m và n để A = 4, rõ ràng là một việc
khó khăn hơn nhiều .

IV. RÈN LUYỆN CÁC HÌNH THÁI TƯ DUY TRONG QUÁ TRÌNH 
DẠY CÁC BÀI TỐN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC

Để giải các bài tốn nói chung và các bài tốn về bất đẳng thức nói riêng
thì người làm tốn phải thực hiện các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp,
tương tự hóa, khái qt hóa, trừu tượng hóa …để tìm ra lời giải đúng cho bài tốn.
Do đó trong q trình giảng dạy người dạy có thể giúp học sinh rèn luyện các hình
thái tư duy thơng qua việc giải các bài toán về bất đẳng thức.

1.Rèn luyện tư duy phân tích

Rèn luyện cho học sinh cách phân tích tìm cách giải cho bài tốn.
Ví dụ: Chứng minh bất đẳng thức a+b2 

√

ab (a,b >0).
Phân tích:

Để có a+b2 

√

ab thì cần có (a+b)2  4ab.
Để có (a+b)2  4ab thì cần có (a+b)2-4ab 0.
Để có (a+b)2-4ab 0 thì cần có (a-b)2  0.

Mà (a-b)2  0 là bất đẳng thức đúng.Vậy bất đẳng thức a+b

2 

√

ab được chứng minh.
2. Rèn luyện tư duy tổng hợp

Để giải một bài toán, bắt buộc học sinh phải thực hiện việc tổng hợp các kiến
thức đã học có liên quan đến bài tốn, liên kết cái đã biết với cái cần tìm nhằm tìm
ra hướng giải cho bài tốn.

Ví dụ:

Cho a, b là hai số thỏa mãn a + b  2. Chứng minh: a3 + b3  a2 + b2.

Trong ví dụ này, các kiến thức có liên quan:

a3 + b3 = (a + b)(a2 –ab + b2).
a2 –ab + b2  0.

a + b  2.

Liên kết cái đã biết vớI cái cần tìm:

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Vì a2 –ab + b2  0  2(a2 –ab + b2)  0.

Mà 2(a2 –ab + b2) = a2 + b2 + (a - b)2  a2 + b2.
Suy ra a3 + b3  a2 + b2, điều cần chứng minh.
3. Rèn luyện tư duy trừu tượng hóa, cụ thể hóa

Trong quá trình giải các bài tốn về bất đẳng thức, có nhiều tình huống học
sinh cần tư duy trừu tượng để tách ra những đặc điểm chung của một lớp các bài
tốn, nghiên cứu và tìm ra cách giải chung cho lớp các bài tốn đó để áp dụng vào
việc giải các bài toán tương tự sẽ gặp sau này.

Ví dụ:

Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) x2 + 3x +3 > 1

2 .
b) 3x4 – 4x2 + 2  2

3 .
Giải:

a) x2 + 3x +3 = (x + 3

2 )2 +
3
4 

3
4 >

1
2
 x2 + 3x +3 > 1

2 .
b) 3x4 – 4x2 + 2 = 3(x2 - 4

3 +
2
3 )
= 3(x - 32 )2 + 2

9 
= 3(x - 32 )2 + 2

3 
2
3 .
Vậy 3x4 – 4x2 + 2  2

3 .
Nhận xét:

Hai bài tốn trên nhìn bề ngồi khác nhau, tuy nhiên chúng vẫn có điểm giống
nhau là vế trái của bất đẳng thức có thể viết dưới dạng tổng của một bình phương
với một số thực và vế phải là một số thực, để chứng minh các bất đẳng thức có
dạng này ta so sánh số thực ở vế phải với số thực ở vế trái. Nắm được đặc điểm
này ta có thể đưa ra một cách giải chung cho lớp các bài toán tương tự như hai bài
tốn trên,có dạng chung là ax2 + bx + c  d,với a > 0.

Cách giảI chung cho dạng này là :
Biến đổI vế trái: ax2 + bx + c = a(x + b

2 a )2 + c – (
b

2 a )2, rồI chứng tỏ
c – ( 2 ab )2  d.

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Trong q trình giảng dạy, người dạy có thể đưa ra các bài tập có dạng tương
tự nhau, các bài tập có tính quy luật để giúp học sinh rèn luyện tư duy khái quát
hóa tương tự hóa.

5. Phát triển tư duy học sinh thông qua khai thác các bài toán về bất đẳng 
thức

Ví dụ 1

Chứng minh bất đẳng thức sau:
4 . 73 +¿ 3

7 . 10+¿

10 .13+¿ …+
3
73 .76 >

3
13 .
Phân tích :

Ta thấy vế trái của bất đẳng thức là tổng của các phân số khá phức tạp. Tuy
nhiên các phân số này có quy luật riêng, thừa số cuối ở mẫu của phân số trước
bằng thừa số đầu ở mẫu của phân số sau, tử số của các phân số là một số không
đổi và bằng hiệu hai thừa số ở mẫu. Dạng chung của các phân số này là

m

b. (b+m) , mỗi phân số dạng này có thể phân tích thành hiệu của hai phân số:
1

b−
1
b+m .

Vậy vế trái của bất đẳng thức được phân tích như sau:
VT= 4 . 73 +¿ 3

7 . 10+¿

10 .13+¿ …+
3

73 .76 =
1
4−

1
7 +

1
7 -

1
10
+ 101 - 131 +…+ 731 - 761

= 14− 1
76 =

18
76 =

9
38
VP= 133 = 399 > 389 .

 4 . 73 +¿ 3

7 . 10+¿

10 .13+¿ …+
3
73 .76 >

3
13 .

Với cách phân tích trên ta có thể chứng minh các bất đẳng thức tương tự,ví dụ
như:

90 . 9474 +¿ 4

94 . 98+¿

98 .102+¿ …+

146 .150 <
1
4 .

8. 113 +¿ 3

11.14+¿

14 . 17+¿ …+

197 .2000 >
1
136 .

Chúng ta có thể phát triển lên các dạng tốn khó hơn từ dạng tốn này,ví dụ như:
Chứng tỏ:

a) 153 . 8+¿ 15

8. 13+¿
15

13 .18+¿ …+
15

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

b) 1
22+¿

32+¿ …
+1
502 < 1.
c) 241 +¿ 1

48+¿
1

80+¿ …
+1
10608 <

25
103 .
Ví dụ :Tìm GTNN của B = a3 + 3

a2 , với a>0.
a) Phân tích, tìm lời giải :

Dựa vào đặc điểm các số hạng và điều kiện của bài toán để tìm GTNN
của B ta áp dụng “bất đẳng th ức Côsi”.

B = 12 a3 + 1
2 a2 +

1
a2 +

a2 5
5

√

12a

3⋅1

2a

2⋅ 1
a2⋅

1
a2⋅

1
a2=5⋅

√

14 .

⇒ min B = 5⋅

√

5 1

4 ⇔

2 a3 =
1

2 a2 ⇔ a5 = 2 ⇔ a =
5

√

2 .

b)Lời giải:

Ta có : B = a3 + 3
a2 =

2 a3 +
1

2 a2 +
1
a2 +

1
a2 +

1
a2 .
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho năm số :

12 a3 + 1

2 a2 +
1
a2 +

1
a2 +

a2 5
5

√

12a
3⋅ 1

2a
2⋅ 1

a2⋅ 1a2⋅ 1a2=5⋅
5

√

14 .
⇒ min B = 5⋅

√

5 1

4 ⇔

2 a3 =
1

2 a2 ⇔ a5 = 2 ⇔ a =
5

√

2 .

Vậy GTNN của B là 5⋅

√

5 1

4 ⇔ a =
5

√

2 .
c)Khai thác bài toán :

+) Tìm GTNN của B = a2 + 2
a3 .

+)Tổng quát : Tìm GTNN của B =an + n

an+1 , với a>0, nN.

V. DỰ ĐỐN VÀ PHÂN TÍCH CÁC SAI LẦM HỌC SINH THƯỜNG MẮC
PHẢI KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC

1. Vận dụng các bất đẳng thức cổ điển mà không để ý tới điều kiện để bất
đẳng thức đúng

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

So sánh a + 1a và 2.
- Lời giải sai:

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số a và 1a ta có:

a + 1a 2.

√

a .1

a = 2.
Dấu bằng xảy ra khi :

a = 1a ⇔ a2 = 1
⇔ a = 1 hoặc a = -1.

-Nhận xét: Bài giải sai lầm vì khơng để ý đến điều kiện của các số a, b trong
bất đẳng thức Côsi. Điều kiện là a, b 0.

-Lời giải đúng là:

+) Nếu a = 0 thì 1a vơ nghĩa.

+) Nếu a > 0 thì áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho hai số dương a và b ta có a
+ 1a 2.

√

a .1

a = 2.Suy ra a +
1

a 2.

Dấu đẳng thức xảy ra khi a = 1a ⇔ a = 1.
+) Nếu a < 0 thì a + 1a < 0 <2

Tóm lại:

+) a = 0 ta không so sánh được.
+) a = 1 thì a + 1a = 2.

+) a > 0,a 1 thì a + 1a > 2.
+) a < 0 thì a + 1a < 2.
Ví dụ 2

Chứng minh rằng với mọi số thực a ta có a(1- a) 14 .
- Lời giải sai :

Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho hai số a và a-1 ta có:
a+1− a2

√

a .(1− a)

⇔ 1

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Nhận xét: Sai lầm của bài giải này giống sai lầm của bài giải ở ví dụ 1. Chỉ
áp dụng được bất đẳng thức Côsi nếu a và 1- a không âm,nghĩa là

a [0;1].

- Lời giải đúng là: a(1- a) 14 ⇔ a – a2 1
4
⇔ a2 – a + 1

4 0

⇔ (a - 12 )2 0, bất đẳng thức này
đúng vớ mọi số thực a.

2. Sử dụng sai sót các quy tắc suy luận khi từ bất đẳng thức này suy ra bất
đẳng thức kia.

Ví dụ 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = (x – 1)2 + (x – 3)2
- Lời giải sai:

(x – 1)2 0. (1)

(x – 3)2 0. (2)

Từ (1) và (2) ⇒ A = (x – 1)2 + (x – 3)2 0

⇒ minA = 0.

- Nhận xét: Không thể kết luận giá trị nhỏ nhất của A bằng 0 vì khơng đồng
thờ xảy ra dấu đẳng thức ở (1) và (2).

- Lời gải đúng:

A = x2 – 2x + 1+ x2 -6x + 9 = 2(x2 – 4x + 5)
= 2(x- 2)2 + 2 2.

⇒ minA = 2.

minA = 2 ⇔ x – 2= 0 ⇔ x = 2.
Ví dụ 2

Nếu x y >1 thì x +

√

y ≥

√

x+ y .
-Lời giải sai:

Với x y >1 ta c ó :

x y (1)

√

x ≥

√

y (2)

Trừ (1) cho (2) ta có:

x -

√

x y −

√

y ⇔ x +

√

y ≥

√

x+ y .

-Nhận xét: Bài giải sai lầm khi trừ từng vế của hai bất đẳng thức cùng
chiều.

-Lời giải đúng:
Với x y >1 ta có:

x y

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Mặt khác

√

x+

√

y > 1 ⇔

√

x+

√

y - 1>0 (2’)
Ta xét : x -

√

x - y +

√

y = x – y –(

√

x −

√

y )

=
y

√

x −√¿

√

y¿2−¿

√

x¿2−¿
¿

= (

√

x −

√

y )(

√

x+

√

y - 1) (3’)

Từ (1’),(2’) và(3’) suy ra x -

√

x - y +

√

y 0 ⇔ x +

√

y ≥

√

x+ y (đpcm).
3. Áp dụng máy móc bất đẳng thức

Ví dụ 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x2 +y2 +3.
- Lời giải sai:

x2 +y2 +3= x2 + 1 +y2 + 2.

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương x2 + 1 v à y2 + 2 ta c ó:
x2 + 1 +y2 + 2 2

√

x2+1 .

√

y2+2 ≥2

√

2
⇒ minB = 2

√

2 .

- Nhận xét: Khơng tìm được bộ (x;y) nào để giá trị của B bằng 2

√

2 .
- Lời giải đúng:

x2 0, y2 0 ⇒ x2 +y2 0
⇔ x2 +y2 +3 3

⇒ minB = 3 ⇔ x = y = 0.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là 3 khi và chỉ khi x = y = 0.

Ví dụ 2: Tìm GTNN của M =(1 + 3 yx ).(1 + 3 zy ).(1 + 3 xz ), vớI
x>0,y>0,z>0.

- Lời giải sai:

Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số:
(1 + 3 yx ) 2

√

x

3 y (1).

Tương tự ta có : 1 + 3 zy

√

y

3 z (2).
Tương tự ta có : (1 + 3 xz )

√

z

3 x (3).

Nhân từng vế với nhau của (1), (2) và (3) ta được:

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Vậy min M = 8

√

3
9 .

Nhận xét :không thể chỉ ra được bộ cặp (x, y, z) để cho M = 8

√

3
9 .
- Lời giải đúng :

M =(1 + 3 yx ).(1 + 3 zy ).(1 + 3 xz )
= (3 y +x

3 y )⋅(
3 z+ y

3 z )⋅(

3 x +z

3 x )

= 271 .(3y + x ).(3z + y).(3x + z). xyz1
 Áp dụng bất đẳng thức côsi cho bốn số: y, y, y và x .
3y + x = y + y + y + x 4 4

√

y3⋅ x (1).
Tương tự : 3z + y = z + z + z +y 4 4

√

z3⋅ y (2).
 Tương tự: 3x + z = x + x + x +z 4 4

√

x3⋅ z (3).
Nhân từng vế của (1), (2) và (3) vớI nhau ta được :

(3y + x ).(3z + y).(3x + z) 64xyz.
⇔ (3y + x ).(3z + y).(3x + z). xyz1 64.
⇔ 1

27 .(3y + x ).(3z + y).(3x + z).
1
xyz

64
27 ..
⇒ min M = 6427 ⇔ x = y = z.

Vậy GTNN của M là 6427 khi và chỉ khi x = y = z.

VI.KẾT LUẬN

“ Các bài toán về bất đẳng thức là những bài tốn khó. Để giải được các bài toán
về bất đẳng thức, bên cạnh việc nắm vững khái niệm và các tính chất cơ bản của
bất đẳng thức còn phải nắm được các phương pháp chứng minh bất đẳng thức. Có
nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ta phải căn cứ vào đặc thù của
mỗi bài toán mà sử dụng phương pháp cho thích hợp. Mỗi bài tốn chứng minh
bất đẳng thức có thể áp dụng được nhiều phương pháp giải khác nhau, cũng có bài
phải kết hợp nhiều phương pháp một cách thích hợp”(1).Ngồi ra trong q trình 
giải các bài tốn về bất đẳng thức cịn phải chú ý để tránh những sai lầm.

Trong quá trình giảng dạy, người dạy phải nắm vững các kiến thức về bất
đẳng thức để có thể giúp học sinh học tốt về bất đẳng thức.

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29></div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Thực hành giải toán: Vũ Dương Thụy, Phạm Gia Đức, Hồng Ngọc Hưng, 
Đặng Đình Lăng.NXB Giáo dục,1998.

2. Phương pháp giải toán cấp III_ đại số sơ cấp : Nguyễn Đức Đồng, Lê 
Hồng Hóa, Võ Khắc Thương, Lê Quan Tuấn, Nguyễn Văn Vĩnh.NXB Đại
học quốc gia, 1999.

3. Chuyên đề bất đẳng thức và cực trị trong hình học phẳng: Nguyễn Đức 
Tấn. NXB Giáo dục.

4. Bộ sách giáo khoa và sách bài tập lớp 6, 7,8,9: NXB Giáo dục.

5. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 6,7,8,9: Bùi Văn Tuyên. NXB 
Giáo dục.

6. Tốn khó và đại số lớp 10: Nguyễn Văn Minh, Nguyễn Văn Thông.NXB 
Hà NộI, 1997.

7. Các phương pháp và kĩ thuật chứng minh bất đẳng thức: Trần Phương 
NXB TP HCM.

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

MỤC LỤC

Trang

I. Bất đẳng thức 3

II. Một số phương pháp thường dùng chứng minh bất đẳng thức 5
III. Vận dụng bất đẳng tức trong việc giải toán 13
IV. Rèn luyện các hình thái tư duy trong q trình dạy bài tốn bất đẳng 21
thức.

V. Dự đoán và phân tích các sai lầm mà học sinh thường mắc phải trong 25
quá trình giải các bài toán về bất đẳng thức

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32></div>
(33)<div class='page_container' data-page=33></div>
(34)<div class='page_container' data-page=34></div>
(35)<div class='page_container' data-page=35></div>
(36)<div class='page_container' data-page=36></div>
(37)<div class='page_container' data-page=37></div>
(38)<div class='page_container' data-page=38></div>
(39)<div class='page_container' data-page=39></div>
(40)<div class='page_container' data-page=40></div>
(41)<div class='page_container' data-page=41></div>
(42)<div class='page_container' data-page=42></div>
(43)<div class='page_container' data-page=43></div>
(44)<div class='page_container' data-page=44></div>
(45)<div class='page_container' data-page=45></div>
(46)<div class='page_container' data-page=46></div>
(47)<div class='page_container' data-page=47></div>
(48)<div class='page_container' data-page=48></div>
(49)<div class='page_container' data-page=49></div>
(50)<div class='page_container' data-page=50></div>
(51)<div class='page_container' data-page=51></div>
(52)<div class='page_container' data-page=52></div>
(53)<div class='page_container' data-page=53></div>
(54)<div class='page_container' data-page=54></div>
(55)<div class='page_container' data-page=55></div>
(56)<div class='page_container' data-page=56></div>
(57)<div class='page_container' data-page=57></div>
(58)<div class='page_container' data-page=58></div>
(59)<div class='page_container' data-page=59></div>
(60)<div class='page_container' data-page=60></div>
(61)<div class='page_container' data-page=61></div>
(62)<div class='page_container' data-page=62></div>
(63)<div class='page_container' data-page=63></div>
(64)<div class='page_container' data-page=64></div>
(65)<div class='page_container' data-page=65></div>
(66)<div class='page_container' data-page=66></div>
(67)<div class='page_container' data-page=67></div>
(68)<div class='page_container' data-page=68></div>
(69)<div class='page_container' data-page=69></div>

chung minh bat dang thuc

<b>Lời nói đầu</b>

<b>CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC</b>

<b>I. BẤT ĐẲNG THỨC .</b>

√

(

)

<b>MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG CHỨNG MINH BẤT </b>

<b>ĐẲNG THỨC.</b>

(

)

|

<sub>|</sub>

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

<sub>√</sub>

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

<sub>√</sub>

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

<b>TÀI LIỆU THAM KHẢO</b>

<b>MỤC LỤC</b>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về