Lý thuyết và bài tập về Phương trình chính tắc và phương trình theo hệ số góc của đường thẳng Toán 10

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Trang | 1

<b>LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP VỀ PHƢƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC VÀ </b>

<b>PHƢƠNG TRÌNH THEO HỆ SỐ GĨC CỦA ĐƢỜNG THẲNG TOÁN 10 </b>

<b>I. Lý thuyết </b>

<b>1. Phƣơng trình chính tắc </b>

Đường thẳng d đi qua <i>M x</i>



₀;<i>y</i>₀



và nhận <i>u</i>

 

<i>a b</i>; làm VTCP có phương trình

0
0

<i>x</i> <i>x</i> <i>at</i>
<i>y</i> <i>y</i> <i>bt</i>

 


  
 (2)

Với <i>a b</i>. 0 thì hệ phương trình(2)

0 0

<i>x</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>y</i>

<i>a</i> <i>b</i>

 



0

0
<i>x</i> <i>x</i>
<i>t</i>

<i>a</i>
<i>y</i> <i>y</i>
<i>t</i>

<i>b</i>

 


  _

 


(3)

 Phương trình (3) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng d.

<b>Ví dụ:</b> Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Phương trình chính tắc của đường thẳng qua A(-1;
-2) và B(0;3) là:

<b>A.</b> 5



<i>x</i> 1

 

1 <i>y</i>2



0. <b>B.</b> 1 .
2 5

<i>x</i> <i>t</i>

<i>y</i> <i>t</i>

  


   



<b>C.</b> 1 2.

1 5

<i>x</i> _ <i>y</i>

<b>D.</b> 2.

1 5

<i>x</i> _ <i>y</i>

<b>Lời giải </b>

Đường thẳng AB đi qua A(-1;-2) và có VTCP <i>AB</i>

 

1;5

 phương trình chính tắc của d là: 1 2.

1 5

<i>x</i> _ <i>y</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Trang | 2
<b>2. Phƣơng trình đƣờng thẳng theo hệ số góc </b>

+ Cho đường thẳng d đi qua <i>M x</i>



₀;<i>y</i>₀



và có hệ số góc k
Khi đó d có VTCP là <i>u</i>

 

1;<i>k</i> <i>d</i> có VTPT là <i>n</i>

 

<i>k</i>;1

 Phương trình đường thẳng d: <i>k x</i>



<i>x</i>₀

 

1 <i>y</i><i>y</i>₀



0



0



0

<i>y</i> <i>k x</i> <i>x</i> <i>y</i>

    (4)

 Phương trình (4) gọi là phương trình đường thẳng d theo hệ số góc k.

<b>Ví dụ:</b> Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng d qua A(-1;2) và song song với

:<i>y</i> 5<i>x</i> 2

   có phương trình là:

<b>A.</b> y = 5x -3. <b>B.</b> y = 3x + 5. <b>C.</b> y= -7x -5. <b>D.</b> y = 5x +7.

<b>Lời giải: </b>

Đường thẳng d đi qua A(-1;2) và có hệ số góc k = 5

 

: 5 1 2 5 7.

<i>d y</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i>

  _   _   

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Trang | 3

<b>II. Bài tập </b>

<b>Bài 1:</b> Trong mặt phẳng Oxy, phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua 2 điểm



<i>_A</i>; <i>_A</i>

 

; <i>_B</i>; <i>_B</i>



<i>A x</i> <i>y</i> <i>B x</i> <i>y</i> với



<i>x_B</i><i>x_A</i>



<i>y_B</i><i>y_A</i>



0 không phải là phương trình nào sau đây?

<b>A.</b>

.

<i>A</i> <i>A</i>

<i>B</i> <i>A</i> <i>A</i> <i>B</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>y</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>y</i>

 _ 

  <b>_B.</b>

.

<i>B</i> <i>B</i>

<i>A</i> <i>B</i> <i>A</i> <i>B</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>y</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>y</i>

 



 

<b>C.</b> <i>A</i> <i>A</i> .

<i>B</i> <i>A</i> <i>B</i> <i>A</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>y</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>y</i>

 



  <b>D. </b> <i>_B</i> <i>B_A</i> <i>_B</i> <i>B_A</i>.

<i>x</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>y</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>y</i>

 



 

<b>Lời giải</b>:

<b>Chọn A. </b>

Nhận thấy ở phương án A, VTCP của AB là <i>u</i>



<i>x_B</i><i>x_A</i>;<i>y_A</i><i>y_B</i>



không cùng pương với



<i>_B</i> <i>_A</i>; <i>_B</i> <i>_A</i>



<i>AB</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>y</i>  mâu thuẫn  phương án A khơng phải là phương trình chính tắc của đường
thẳng AB.

Nhận xét: + Phương án B: AB đi qua B và có VTCP là <i>BA</i>

+ Phương án C: AB đi qua A và có VTCP là <i>AB</i>
+ Phương án D: AB đi qua B và có VTCP là <i>AB</i>
 Cả 3 phương án B, C, D đều đúng.

<b>Bài 2:</b> Đường thẳng <i>d</i>:<i>x</i> <i>y</i> 1

<i>a</i> <i>b</i> , với <i>a</i>0, <i>b</i>0, đi qua điểm <i>M</i>



1;6



và tạo với các tia <i>Ox</i>, <i>Oy</i>
một tam giác có diện tích bằng 4 . Tính <i>S</i>  <i>a</i> 2<i>b</i>.

<b>A. </b><i>S</i>10. <b>B. </b><i>S</i> 6. <b>C. </b> 5 7 7

3

<i>S</i>   . <b>D. </b> 74

3
<i>S</i>   .

<b>Lời giải</b>
<b>Chọn A. </b>

: <i>x</i> <i>y</i> 1
<i>d</i>

<i>a</i> <i>b</i> đi qua điểm <i>M</i>



1;6



 

1 6

1 1

<i>a</i> <i>b</i>



   .

Đường thẳng :<i>d</i> <i>x</i> <i>y</i> 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Trang | 4

Từ

 

1 ;

 

2

1 6
1
8
<i>a</i> <i>b</i>
<i>ab</i>

 _{ }

 
 _

1 6
1
8
<i>a</i> <i>b</i>
<i>ab</i>

 _{ }


 
 _

6
1
8
8
<i>b</i>
<i>b</i>
<i>ab</i>

 _{ }

 
 _

4
2
<i>b</i>
<i>a</i>


  _

 (nhận) hoặc

12
3
2

<i>b</i>
<i>a</i>
 


 _{ }
 (Loại)
2 10
<i>a</i> <i>b</i>
   .

<b>Bài 3:</b> Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua 2 điểm <i>A</i>



0; 5



và <i>B</i>

 

3;0

<b>A. </b> 1

5 3
<i>x</i>_{ }<i>y</i>

. <b>B. </b> 1

3 5
<i>x</i> <i>y</i>

   . <b>C. </b> 1

3 5
<i>x</i>_{ }<i>y</i>

. <b>D. </b> 1
5 3

<i>x</i>_{ }<i>y</i>

.

<b>Lời giải</b>
<b>Chọn C. </b>

Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm <i>A</i>



0; 5



và <i>B</i>

 

3;0
1

3 5

<i>x</i> <i>y</i>

 

 3 5 1

<i>x</i> <i>y</i>
   .

<b>Bài 4:</b> Vị trí tương đối của hai đường thẳng lần lượt có phương trình 2
2 3
<i>x</i> <i>y</i>

  và 6<i>x</i>2<i>y</i> 8 0

<b>A. </b>Song song. <b>B. </b>Cắt nhau nhưng không vng góc với nhau.

<b>C. </b>Trùng nhau. <b>D. </b>Vng góc với nhau.

<b>Lời giải</b>
<b>Chọn B. </b>

Ta có

2
2 3
<i>x</i>_{ }<i>y</i>

3<i>x</i> 2<i>y</i> 6 0
    . Do

6 2
3 2



 _{nên hai đường thẳng cắt nhau.}
Mặt khác 6.3 

   

2 .  2 0 nên hai đường thẳng khơng vng góc.

<b>Bài 5:</b> Trong mặt phẳng tọa độ <i>Oxy</i>, cho điểm <i>M</i>



4; 1



, đường thẳng <i>d</i> qua <i>M</i> , <i>d</i> cắt tia <i>Ox</i>, <i>Oy</i> lần
lượt tại <i>A a</i>



; 0



, <i>B</i>



0; <i>b</i>



sao cho tam giác <i>ABO</i> (<i>O</i> là gốc tọa độ) có diện tích nhỏ nhất. Giá trị <i>a</i>4<i>b</i>
bằng

<b>A. </b>14. <b>B. </b>0. <b>C. </b>8. <b>D. </b>2

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Trang | 5

Ta có phương trình đường thẳng <i>d</i> có dạng: <i>x</i> <i>y</i> 1

<i>a</i> <i>b</i> ( theo giả thiết ta có <i>a</i>0,<i>b</i>0)
Do <i>d</i> đi qua <i>M</i>



4; 1



nên ta có 4 1 1

<i>a</i> <i>b</i>

Mặt khác diện tích của tam giác vng <i>ABO</i> là 1
2

<i>ABO</i>

<i>S</i>  <i>ab</i>

Áp dụng BĐT Cơ si ta có 1 4 1 2 4 1. 4

<i>a</i> <i>b</i> <i>a b</i> <i>ab</i>

    4 1 8

2

<i>ab</i> <i>ab</i>

   

Vậy diện tích của tam giác vuông <i>ABO</i> nhỏ nhất bằng 8 khi <i>a</i>, <i>b</i> thỏa mãn hệ phương trình

4 1

8

4 1 2

1
<i>a</i>
<i>a</i> <i>b</i>

<i>b</i>
<i>a</i> <i>b</i>

 

 _ _

 _

 _{ }


  


4 8 4.2 0

<i>a</i> <i>b</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Trang | 6

Website <b>HOC247</b> cung cấp một môi trường <b>học trực tuyến</b> sinh động, nhiều <b>tiện ích thơng minh</b>, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những <b>giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, </b>

<b>giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sƣ phạm</b> đến từ các trường Đại học và các trường chuyên
danh tiếng.

<b>I. </b> <b>Luyện Thi Online</b>

- <b>Luyên thi ĐH, THPT QG:</b> Đội ngũ <b>GV Giỏi, Kinh nghiệm</b> từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng

xây dựng các khóa <b>luyện thi THPTQG </b>các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và
Sinh Học.

- <b>Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: </b>Ơn thi <b>HSG lớp 9</b> và <b>luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán</b> các

trường <i>PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An</i> và các trường
Chuyên khác cùng <i>TS.Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn </i>
<i>Đức Tấn.</i>

<b>II.</b> <b>Khoá Học Nâng Cao và HSG </b>

- <b>Toán Nâng Cao THCS:</b> Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho các em HS

THCS lớp 6, 7, 8, 9 u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG.

- <b>Bồi dƣỡng HSG Toán:</b> Bồi dưỡng 5 phân môn <b>Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học </b>và <b>Tổ Hợp</b>

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: <i>TS. Lê Bá Khánh </i>
<i>Trình, TS. Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc </i>
<i>Bá Cẩn</i> cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.

<b>III. </b> <b>Kênh học tập miễn phí</b>

- <b>HOC247 NET:</b> Website hoc miễn phí các bài học theo <b>chƣơng trình SGK</b> từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư
liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

- <b>HOC247 TV:</b> Kênh <b>Youtube</b> cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và
Tiếng Anh.

<i>Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai </i>

<i> Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90% </i>

<i>Học Toán Online cùng Chuyên Gia </i>

</div>

<!--links-->