Lý thuyết và bài tập về dạng lượng giác của số phức

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (896.9 KB, 6 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Trang | 1

LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP VỀ DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

1. Kiến thức cần nhớ

a) Định nghĩa Acgumen của số phức.

- Điểm M O biểu diễn số phức z a bi a b



, R



thì số đo mỗi góc lượng giác tia đầu là Ox và tia
cuối OM được gọi là acgumen của số phức z.

- Nếu  là một acgumen của z thì k2 cũng là một acgumen của z với mỗi kZ .
b) Khái niệm về dạng lượng giác của số phức

- Số phức z = a + bi là dạng đại số của z.

- Số phức zr



cosisin



là dạng lượng giác của z, ở đó:
+ r là mơ đun của số phức.

+  là acgumen của số phức.

c) Các phép toán với số phức dạng lượng giác:

Cho hai số phức z1 r1



cos1isin1



,z2 r2



cos2isin2



. Khi đó:







 





 



























1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2

1 1 1

1 1

1 2 1 2
2 2 2 2 2

cos sin cos sin cos cos sin sin

. cos sin . cos sin cos sin

cos sin

z z r i r i r r i r r

z z r i r i r r i

r i

z r

i

z r i r

       

 

   

 

        

        



      



d) Công thức Moivre: Cho số phức zr



cosisin



. Khi đó:



cos sin



n



cos sin



n n

z r i   r ni n

2. Một số dạng toán thường gặp

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Trang | 2
Cho số phức z = a + bi, viết z dưới dạng zr



cosisin



Phương pháp:

- Bước 1: Tính r  a2b2

- Bước 2: Tính  thỏa mãn
cos
sin

a
r
b
r



 




 



Dạng 2: Tính giá trị, rút gọn biểu thức. 
Phương pháp:

Sử dụng các phép toán cộng, trừ, nhân, chia số phức, cơng thức Moivre để tính giá trị và rút gọn các biểu
thức.

3. Bài tập

Bài 1: Cho số phức z thảo mãn z  4i 2 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của z .

A. 1 B. 3 C. 7 D. 8

Lời giải

Giả sử z a bi, ta có: a bi  3 4i  4



a3

 

2 b 4



2 16

Đặt 3 4sin 3 4sin

4 4 cos 4 cos 4

a a

b b

 

   

 



     

 

2 2 2 2

9 16sin 24sin 16 32 cos

3 4

41 24sin 32 cos 41 40 sin cos

5 5

z a b   

   

       

 

       

 

Đặt 3 4 2 2 2





cos = ,sin 41 40sin 1.

5 5 z a b

         

Dấu "" xảy ra khi 2 2 .

2 k 2 k

 

            

Vậy min z 1.
Chọn A.

Bài 2: Cho wsinicos với 0

2



  thỏa mãn w2 1 2 w .
Giá trị của





2018
2

26 w 3

P  là

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Trang | 3

Ta có: 2





2 2

w  1 sinicos   1 1 cos 2isin 2 w  1 2 2cos 2 . 

2 2

2 w  sin cos  2 .

Từ giả thiết: w2 1 2 w cos 2 0

4


 

    vì 0

2



  .

2 2 2 2

w w w 1

2 i 2 2 i 2

        .

Vậy P232018.
Chọn A

Bài 3: Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z sao cho: Số phức z có mơ đun
bằng 1.

A. Đường trịn tâm O, bán kính R1
B. Đường trịn tâm O

 

2; 2 , bán kính R1
C. Đường thẳng y1

D. Đường thẳng x1 
Lời giải

Gọi M là điểm nằm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z a bi với a b, 
Ta có: z  1 OM 1

Tập hợp điểm M là đường trịn tâm O, bán kính R1
Chọn A.

Bài 4: Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z sao cho: Số phức z có phần

thực bằng 1.

A. Đường trịn tâm O, bán kính R1
B. Đường trịn tâm O

 

2; 2 , bán kính R1
C. Đường thẳng y1

D. Đường thẳng x1 
Lời giải

Ta có: a1

Tập hợp điểm M là đường thẳng D x: 1
Chọn D.

Bài 5: Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z sao cho: Số phức z có phần ảo
bằng -1.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Trang | 4
C. Đường thẳng y 1

D. Đường thẳng x1 
Lời giải

Ta có: b 1

Tập hợp điểm M là đường thẳng :y 1
Chọn C.

Bài 6: Tìm trong mặt phẳng tập hợp

 

 các điểm M biểu diễn số phức z sao cho Z z 4
z

  là một số
thực.

A. Trục hoành x Ox ngoại trừ điểm gốc và đường trịn tâm O , bán kính ' R2
B. Trục hoành x Ox ngoại trừ điểm gốc và đường tròn tâm O , bán kính ' R1
C. Đường trịn tâm O , bán kính R1

D. Trục hồnh x Ox ngoại trừ điểm gốc '
Lời giải

Đặt z x yi z,



0



với x y, 

Ta có: Z z 4 x yi 4 x yi 4



2x yi2



z x yi x y



       

 



2 2

 

2 2



2 2

4 4

x x y y x y i

Z

x y

    

 



Z là một số thực:





2 2 2 2

2 2
2 2

4 0 0 4

0
0

y x y y x y

x y

        

 

 

 



  



Do đó

 

 gồm :

- Trục hoành 'x Ox ngoại trừ điểm gốc. 
- Đường tròn tâm O, bán kính R2.
Chọn A.

Bài 7: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z sao cho: z 2 z i .

A. 2 2 8 4

3 3

x y  y  B.



x1

 

2 y1



2 4
C.

2 2

4 3

x  y 

D.3x24y2360

Lời giải

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Trang | 5

Ta có: 2 2 2 4





2 2 8 4 0

3 3

z  z i x y  x  y x y  y 

Cách 2. Ta có: z 2 z i  OM 2OMOB  OM 2BM
Với B

 

1; 0 là điểm biểu diễn số i.

Do đó ta có: OM 2BM MO 2
MB

  

Ta suy ra tập hợp các điểm M là đường trịn Apollonius đường kính IJ , với I J, thuộc trục tung và:
2

O 2

OI IB

J JB


 

2
0;

3
I 

  

  và J

 

0; 2

Phương trình đường trịn :





2 2 2 2 8 4

2 0 0

3 3 3

x y  y  x y  y 

 

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Trang | 6
Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội 
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, 
giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên 
danh tiếng.

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng

xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và 
Sinh Học.

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường 
Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn 
Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS

THCS lớp 6, 7, 8, 9 u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG.

- Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng 5 phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh 
Trình, TS. Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc 
Bá Cẩn cùng đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư
liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi 
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và
Tiếng Anh.

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

</div>

Lý thuyết và bài tập về dạng lượng giác của số phức

<b>LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP VỀ DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC </b>























 

 





 













































 















 

 

 











 







 



 











 

 





<i>Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai </i>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về