Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán lớp 12 trường THPT Hồng Lĩnh, Hà Tĩnh năm học 2016 - 2017

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (150.66 KB, 4 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH
TRƯỜNG THPT HỒNG LĨNH

ĐÈ CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HSG CẤP TRƯỜNG LỚP 12
NĂM HỌC 2016 - 2017

MƠN: TỐN

Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1. (4,0 điểm)

y=x3− 3 (a −1) x2+3 (2 a+1) x+1

|

x1− x2|≤ 2

√

5 a) Tìm điều kiện của tham số a để hàm

số đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 thoả mãn

2 x3+x +(2 x −3 )

√

1− x>0 b) Giải bất phương trình
Câu 2. (2,0 điểm)

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm:
x+

√

4 − x2=m+x

√

4 − x2

Câu 3. (2,0 điểm)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a. Mặt bên SAB là
tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy. Biết đường thẳng
AC vng góc với đường thẳng SD. Tính theo a khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAD)
và góc giữa đường thẳng SC với (ABCD).

Câu 4. (2,0 điểm)

ab+a+b=3 Cho hai số thực dương a, b thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P= 3 a

b+1+

3 b

a+1+

ab
a+b−

(

a

2
+b2

)

_________ Hết _______

- Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu.
- Giám thị khơng giải thích gì thêm.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Câu Đáp án Điểm

1.a

y '=3 x2− 6 (a −1) x+3 (2 a+1 ) Ta có

⇔ Hàm số có 2 cực trị y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
a>4

a<0

⇔ Δ>0 ⇔¿ (*)

1,0

|

x1− x2|≤ 2

√

5⇔

(

x1+x2

)

2− 4 x

1x2≤ 20 ⇔ 4 (a −1)2− 4 (2 a+1)≤ 20
4<a ≤5

−1 ≤ a<0
¿

⇔− 1≤ a ≤5 . Kết hợp điều kiện (*) ta được: 1,0

1.b

x ≤ 1 ĐK:
⇔2 x3

+x >2(

√

1− x)3+

√

1 − x Phương trình (1) (2)
y=f (t)=2t3

+t f ' (t )=6 t2+1>0 ,∀ t ∈ R Xét hàm số , ta có:
⇒ Hàm số y = f(t) đồng biến trên R.

1,0

⇔ f (x )>f(

√

1 − x)⇔

√

1− x< x⇔

{

x ≥ 0

x2+x −1>0 ⇒ x >

− 1+

√

5
2 (2)

x ≤ 1 − 1+

√

2 <x ≤1 Kết hợp với điều kiện , suy ra BPT có nghiệm
là:

1,0

−2 ≤ x ≤2 Điều kiện: .

t=x+

√

4 − x2 [−2 ;2] Đặt . Xem t là hàm số của x, xét hàm số t trên :

t '=1− x

√

4 − x2=

√

4 − x2− x

√

4 − x2 t '=0⇔ x=

√

2 , .

[−2 ; 2] Bảng biến thiên của t trên :

−2 ≤t ≤2

√

2 Điều kiện của ẩn t là: (Thí sinh phải trình bày được cách

tìm điều kiện của t, nếu điều kiện sai thì khơng tính điểm)

1,0

x -2 2
t’ + 0

-t

-2

2

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

t2=4 +2 x

√

4 − x2 x

√

4 − x2=t
2
−4
2 −
1
2t
2

+t +2=m Þ . PT trở thành

f (t)=−1

2t

+t+2

[

−2 ;2

√2]

Xét hàm số trên tập .

f ' (t)=− t+1 f ' (t)=0⇔ t=1 ,

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên của f(t), phương trình ban đầu có nghiệm

−2 ≤ m≤5

2 t∈

[

− 2;2

√

]

f (t)=m Û phương trình có nghiệm Û .

1,0

⇒SH⊥(ABCD) SH=a

√

3 H là trung điểm AB ,

d(C , (SAD))=d(B , (SAD))=a

√

3 1,0

AC⊥ (SHD) AC⊥ HD ⇒ ∠AHD =∠DAC ⇒ ⇒AH

AD=
AD
CD

⇒ AD=a

√

2 ⇒CH=a

√

3 , Hai tam giác ADH và DCA đồng dạng

(Thí sinh phải trình bày được cách tính CH)
α ⇒α=450 Gọi là góc giữa SC và (ABCD)

1,0





















2 2 2

3 3

3 2

1 1 1

a b ab a b

a b ab ab

P a b a b ab

b a a b a b ab a b

 -  

   -    -  

      

t a b  Þ ab - t













2 3 3

3. 2 3

3 1

t t t t

P t t

t t t

- - 

-  - 

--   ⇒ Đặt t<3

và

1 12

4 t t t

 

 -    

 





2 2
2

3 2

4 12 0

4 4

t

a b t

t ab t

t t



 

-    Þ  Þ 

 - 

 . Ta

có:

1,0

t -2 1 2 2 
f’(t) + 0

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

-2≤ t <3 Do đó:
2 12

( ) 2

f t t t

t

-   

2≤ t <3 ⇒ f ' (t )=− 2t +1−12

t2 <0 Xét hàm số
với

¿ f(t)≤ f(2)=6 ,∀ t ∈¿ Hàm số y = f(t) nghịch biến trên
3

2 ⇒ P ≤32 Vậy MaxP = khi a = b = 1.

1,0

</div>

Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán lớp 12 trường THPT Hồng Lĩnh, Hà Tĩnh năm học 2016 - 2017

|

√

√

√

√

(

)

|

√

(

)

√

√

√

√

{

√

√

√

√

√

√

√

√

2

√

√

<sub>[</sub>

<sub>√2]</sub>

[

√

]

√

√

√

√







<sub></sub>



<sub></sub>

























Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về