Lý thuyết và bài tập về Vi phân và đạo hàm cấp cao Toán 11

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Trang | 1

<b>LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP VỀ VI PHÂN VÀ ĐẠO HÀM CẤP CAO </b>

<b>TOÁN 11 </b>

<b>1. Vi phân </b>

 

 

<i>df x</i>  <i>f</i> <i>x dx</i> hoặc <i>dy</i> <i>y dx</i>
<b>2. Đạo hàm cấp cao </b>

Giả sử hàm số <i>y</i> <i>f x</i>

 

có đạo hàm <i>f</i>

 

<i>x</i> .

+ Nếu hàm số <i>f</i>

 

<i>x</i> có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số <i>f x , kí </i>

 

hiệu là <i>f</i>

 

<i>x</i> .

<b>Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai: </b>

Xét một chất điểm chuyển động có phương trình là: <i>S</i> <i>s t</i>

 

.
Khi đó, vận tốc của chất điểm tại thời điểm <i>t</i>₀ là: <i>v t</i>

 

₀ <i>S t</i>

 

₀
Gia tốc của chất điểm tại thời điểm <i>t</i>₀ là: <i>a t</i>

 

₀ <i>S t</i>

 

₀

+ Đạo hàm cấp <i>n n</i>



<i>N n</i>, 2



của hàm số <i>y</i> <i>f x</i>

 

, kí hiệu là <i>f</i> <i>n</i>

 

<i>x hay y</i> <i>n</i> là đạo hàm cấp một
của hàm số <i>f</i><i>n</i>1

 

<i>x</i> , tức là <i>f</i> <i>n</i>

 

<i>x</i>  <i>f</i><i>n</i>1

 

<i>x</i> _

Đạo hàm cấp cao của một số hàm cơ bản
+)



sin



  sin

2

<i>n</i> <i>n</i>

<i>x</i>  _<i>x</i>  _

 

+)



cos



  cos

2

<i>n</i> <i>n</i>

<i>x</i>  _<i>x</i>  _

 

+) Nếu <i>n</i><i>m</i> thì

 

<i>xm</i>  <i>n</i> <i>m m</i>



1 ...

 

<i>m n</i> 1 .



<i>xm n</i>

<i>+) Nếu n</i><i>m</i> thì

 

<i>xm</i>  <i>n</i> 0.
+ ) <i>y</i>sin



<i>ax b</i>



  _sin

2

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>y</i> <i>a</i> <i>ax b</i>  

  _   _

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Trang | 2
 

cos

2

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>y</i> <i>a</i> <i>ax b</i>  

  _   _

 

+ ) <i>y</i> 1
<i>ax b</i>




 

 





1

1 . !.<i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>n a</i>
<i>y</i>

<i>ax b</i> 



 



+ ) <i>m</i>

<i>y</i> <i>ax b</i>

  1 1 1

_

_

1

. 1 ... 1 . . <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i>

<i>m</i>

<i>y</i> <i>n</i> <i>a</i> <i>ax b</i>

<i>m</i> <i>m</i> <i>m</i>



   

  _  _{ }   _ 

   

<b>3. Bài tập </b>

<b>Câu 1: </b> Cho hàm số

 

2
1
<i>x</i>
<i>f x</i>
<i>x</i>


  . Tìm

 30

_{ }

<i>f</i> <i><b>x : </b></i>

<b>A. </b> <i>f</i> 30

 

<i>x</i> 30! 1



<i>x</i>



30<b>. </b> <b>B. </b> <i>f</i> 30

 

<i>x</i> 30! 1



<i>x</i>



31<b>. </b>
<b>C. </b> <i>f</i> 30

 

<i>x</i>  30! 1



<i>x</i>



30<b>. </b> <b>D. </b> <i>f</i> 30

 

<i>x</i>  30! 1



<i>x</i>



31.

<b>Hướng dẫn giải </b>
<b>Chọn B. </b>

Với

  



, , 0

<i>k</i> <i>b</i>

<i>g x</i> <i>x</i> <i>k</i> <i>R k</i>

<i>ax b</i> <i>a</i>

 

 _     _

  . Ta có:

 

_{ }

 





1

. 1 . . !

, .

<i>n</i> <i>_n</i>
<i>n</i>

<i>n</i>

<i>k</i> <i>a n</i> <i>b</i>

<i>g</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>a</i>

<i>ax b</i> 



   



Hàm số

 





2

1
1

1 1

<i>x</i>

<i>f x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

    

    . Nên

 

_{ }









31
30
31
30!
30! 1
1

<i>f</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>



   

  .

<b>Câu 2: </b> Cho hàm số <i>y</i>cos<i>x</i>. Khi đó <i>y</i>(2016)( )<i>x bằng </i>

<b>A. </b><i>cos x</i>. <i><b>B. sin x . </b></i> <i><b>C. sin x</b></i> . <b>D. </b><i>cos x</i>.

<b>Hướng ẫn giải </b>

sin cos( )
2

<i>y</i>   <i>x</i> <i>x</i> ; <i>y</i>  cos<i>x</i>cos(<i>x</i>);

Dự đoán ( )( ) cos( )
2

<i>n</i> <i>n</i>

<i>y</i> <i>x</i>  <i>x</i>  .

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Trang | 3
Dễ thấy MĐ đúng khi <i>n</i>1. Giả sử MĐ đúng khi <i>n</i><i>k k</i>( 1), tức là ta có

( )

( ) cos( )
2

<i>k</i> <i>k</i>

<i>y</i> <i>x</i>  <i>x</i> 

Khi đó ( 1) ( ) ( 1)

( ) [ ( )] [ cos( )] =-sin( )=sin(- )=cos( )

2 2 2 2

<i>k</i> <i>k</i> <i>k</i> <i>k</i> <i>k</i> <i>k</i>

<i>y</i>  <i>x</i>  <i>y</i> <i>x</i>  <i>x</i>   <i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i>   . Vậy
MĐ đúng khi <i>n</i> <i>k</i> 1 nên nó đúng với mọi <i>n</i>.

Do đó (2016)

( ) cos( 1008 ) cos

<i>y</i> <i>x</i>  <i>x</i>   <i>x</i>

<b>Chọn D. </b>

<b>Câu 3: </b> Cho hàm số <i>y</i>cos 22 <i>x</i>. Giá trị của biểu thức <i>y</i><i>y</i>16<i>y</i>16<i>y</i>8 là kết quả nào sau đây?

<b>A. </b>0 . <b>B. </b>8 . <b>C. </b> cos 1

2
<i>x</i>

  . <b>D. </b>

2 ,
3

<i>x</i>  <i>k</i>  <i>k</i>

     .

<b>Hướng ẫn giải </b>

2cos 2 .2sin 2 2sin 4

<i>y</i>   <i>x</i> <i>x</i>  <i>x</i>, <i>y</i>  8cos 4<i>x</i>, <i>y</i> 32sin 4<i>x</i>.

2

16 16 8 32sin 4 8cos 4 32sin 4 16cos 2 8

<i>y</i><i>y</i> <i>y</i> <i>y</i>  <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

2

16cos 2<i>x</i> 8cos 4<i>x</i> 8 0

    .

<b>Chọn A. </b>

<b>Câu 4: </b> Cho hàm số

 

cos 2

3
<i>y</i> <i>f x</i>  _ <i>x</i> _

 . Phương trình

 4

_{ }

8

<i>f</i> <i>x</i>   có các nghiệm thuộc đoạn

0;
2



 

 

  là:

<b>A. </b><i>x</i>0,
3

<i>x</i> . <b>B. </b>

2

<i>x</i> . <b>C. </b><i>x</i>0,
2

<i>x</i> . <b>D. </b><i>x</i>0,
6
<i>x</i> .

<b>Hướng ẫn giải </b>

 

2sin 2
3
<i>f</i> <i>x</i>   _ <i>x</i> _

 , <i>f</i>

 

<i>x</i> 4 cos 2<i>x</i> 3



 

   _  _

 , <i>f</i>

 

<i>x</i> 8sin 2<i>x</i> 3



 

  _  _

 ,

 4

_{ }

16 cos 2
3
<i>f</i> <i>x</i>  _ <i>x</i> _

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Trang | 4

 4

_{ }

1 2

_

_

8 cos 2

3 2

6

<i>x</i> <i>k</i>

<i>f</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>k</i>

<i>x</i> <i>k</i>

 _



 _

  


 

   _  _   

  _{   }



.

Vì 0;
2
<i>x</i>  _

  nên lấy được <i>x</i> 2



 .

<b>Chọn B. </b>

<b>Câu 5: </b> Cho hàm số <i>y</i> 2<i>x x</i> 2 <b>. Mệnh đề nào sau đây là đúng ? </b>

<b>A. </b><i>y y</i>3. 1 0 . <b>B. </b><i>y y</i>2. 1 0 . <b>C. </b>3 .<i>y y</i>2  1 0.. <b>D. </b>2 .<i>y y</i>3  3 0.

<b>Chọn A </b>

<b>Hướng dẫn giải : </b>

Ta có:

2

1
2

<i>x</i>
<i>y</i>

<i>x</i> <i>x</i>


 

 ,



₂



3

1
2

<i>y</i>

<i>x</i> <i>x</i>

 





Thay vào:





 





3

3 2

3
2

1

. 1 2 . 1 1 1 0.

2

<i>y y</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>



       




<b>Câu 6: </b> Cho hàm số

3 3

sin cos
1 sin cos

<i>x</i> <i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i> <i>x</i>




 <b>. Mệnh đề nào sau đây đúng ? </b>

<b>A. </b>2<i>y</i> <i>y</i> 0. <b>B. </b><i>y</i>  <i>y</i> 0. <b>C. </b><i>y</i>  <i>y</i> 0. <b>D. </b>2<i>y</i> 3<i>y</i>0.

<b>Hướng dẫn giải : </b>

Ta có :









2 2

sin cos sin cos sin cos

sin cos
1 sin cos

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>y</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

  

  



cos sin , sin cos

<i>y</i> <i>x</i> <i>x y</i> <i>x</i> <i>x</i>

     

0.

<i>y</i> <i>y</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Trang | 5
<b>Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội </b>
<b>dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, </b>

<b>giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên </b>

danh tiếng.

<b>I. </b> <b>Luyện Thi Online</b>

- <b>Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng </b>

<b>xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và </b>
Sinh Học.

- <b>Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các </b>

<i>trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường </i>
<i>Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn </i>

<i>Đức Tấn. </i>

<b>II. </b> <b>Khoá Học Nâng Cao và HSG </b>

- <b>Toán Nâng Cao THCS:</b> Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS

THCS lớp 6, 7, 8, 9 u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG.

- <b>Bồi ưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng 5 phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp </b>

<i>dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh </i>
<i>Trình, TS. Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc </i>
<i>Bá Cẩn cùng đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia. </i>

<b>III. </b> <b>Kênh học tập miễn phí</b>

- <b>HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả </b>
các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư
liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

- <b>HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi </b>
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và
Tiếng Anh.

<i>Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai </i>

<i> Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90% </i>

<i>Học Toán Online cùng Chuyên Gia </i>

</div>

<!--links-->