Chuyên đề Hàm số lũy thừa Hàm số mũ và Hàm số Lôgarit

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.54 MB, 10 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

I. LUỸ THỪA

Dạng 1: Tính giá trị và rút gọn biểu thức

Phương pháp: Sử dụng các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên, hữu tỉ hoặc lũy thừa với số mũ thực

Bài 1: Tính các biểu thức :

a) 4 3 2

3 3

A     b)

3 2

1 1

109

5 4

B

 

   
    

   

 

10 9

4 1

3 2

1 1

.27 0, 2 .25 128 .

3 2

C

 

   

     

    d)

6 12

1 2

5 11
3 .2
5 .25 3 .18

3 .2

A    

ĐS: A0;B0;C8;D13
Bài 2 : Rút gọn biểu thức :









1 1 2

2 2 2

. 0, 1

1
1

a a

A a a

a a

a



  

 

 

    

   

 

ĐS: 2

Bài 3 : Cho biểu thức :

4 4

3 3

a b ab
A

a b




 Tính A khi a = 5 ; b = 2 ĐS: 5 2

Dạng 2: Tập xác định và đạo hàm của hàm số lũy thừa

Phương pháp:

- Hàm số yx có tập xác định dựa vào  . Cụ thể:

 Khi *

N

 thì hàm số xác định với mọi x

 Khi  

 

N thì hàm số xác định với mọi x0

 Khi Z thì hàm số xác định với mọi x0

- Hàm số yx có đạo hàm với mọi x > 0 và

 

' 1
.
x x
Ví dụ mẫu: Tìm tập xác định và tính đạo hàm của hàm số





y x  x b) 4

2 6

y x

Giải

a) Vì 3Znên hàm số xác định khi 2 2 0 2

0
x

x x

x



   




Vậy tập xác định D 



 

 2;



Đạo hàm



 

3 1 2











3 1

' 3 2 . 2 ' 2 3 1 2

y  x  x  x  x  x x  x 

b) Hàm số xác định khi 2x   6 0 x 3
Vậy tập xác định D



3;



Đạo hàm













4 4

2 6 ' 1

4 2 6 2 2 6

x
y

x x



 

 

Bài tập luyện tập: Tìm tập xác định và tính đạo hàm của các hàm số

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

a) y



x1



8 b)





3 2

y x  x c) y



2x5



3

d) 5 3

2 1

y x  x e) 4 2

2 7 5

y x  x f) 2 6

1
x
y

x



 

   

g) y



x1



3 h)





2
2 5
4

y x i) 1

4
y

x



II. LOGARIT

Dạng 1: Tính giá trị biểu thức, rút gọn biểu thức, chứng minh đẳng thức

Phương pháp: Sử dụng các công thức liên quan đến logarit

log

1) log

2) log 1 0
3) log 1
4) a

N
a

a

a
b

b N a b

a

a b

  





5) log ( . ) log log 6) log log log
1

7) log log 8) log log
log

9) log 10) log .log log
log

N

a a a a a a

N

a a a a

c

a a b a

c

b

b c b c b c

c

b N b b b

N

b

b b c c

a

 

    

 

 

Ví dụ mẫu: Tính giá trị của biểu thức

log 3
1
8
A   

  b) Blog 72 log 36  6 c)

1 9 3

1
log 343 log 49 log

C  

Giải

 





2 2

log 3

3
log 3 log 3

3 3

1 1

2 2 3

8 27

A         
 





6 6 6 6

log 72 log 3 log 72.3 log 6 3

B    

c) 1 2 1

3 2 1

1 9 3 3 3 3 3 3

3
3

log 343 log 49 log log 7 log 7 log 7 3log 7 log 7 2 log 7 0

C 



          

Ví dụ mẫu:

a) Cho log 52 a. Tính log 12504 theo a
b) Cho log 202  b. Tính log 520 theo b

Giải

 

4
2

2 2

4 2

2 2

log 2.5

log 1250 1 4 log 5 1 4

log 1250

log 4 log 2 2 2

a

 

   

2 2

2 2 2

20
log

log 5 4 log 20 2 2

log 5

log 20 log 20 log 20

b
b

 

   

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Bài 1: Tính các lơgarít sau:
a)log 273 b) 1

log 3 c)

3 2

1
3

1
log

81 d)

log 5

log 3
1
25
 
 

  g) 2

4
log

a a h)

2
1
log

a

a i)ln 1
e

Bài 2: Rút gọn biểu thức:

8 8 8

7 7 7

) log 12 log 15 log 20

) log 36 log 14 3log 21

1 1

) lg lg 4 4 lg 2

8 2

) lg 72 log 2

a A
b B
c C
d D

  

  

  

 

3
2

9 8

2 1
4
5 27

log 2
log 3

log 2 log 27

) log 4.log 2

) log .log 9

) 4 9

) 27 4

e E

f F
g G
h H




 

Bài 3: Rút gọn biểu thức:

a) 3 3 27

1
log 2 log 3log 4

16
81

A   b) 5 5 2008

log 4 2log 3log 1
2

B  

log 2 log 3log 4 2
16
2

1 a a

a

C
a

  

 

    d) C31 log 4 9 42 log 3 2 53 2log 4 5

Bài 4: Tính các biểu thức sau theo a và b :

1) Cho alog 52 , blog 32 . Tính log 452 theo a và b.

2) Cho alog 53 , blog 32 . Tính log 1003 theo a và b.

3) Cho 1

2
log 3

a , blog 52 . Tính log2 0,3 theo a và b.
4) Cho log 330 a; log 530 b. Tính log 830 theo a và b.
5) Cho log 35 = a. Tính 3

5
27
log

25 theo a và b.

Bài 5:

1) Chứng minh rằng log 1 log

log
a

a
ab

N

b

N   với a, b, N > 0, ab 1.

2) Chứng minh rằng

1 1 1

...

loga loga logan 2 loga

n n

x x x x



    với a, x > 0, a, x 1

3) Cho x, y > 0 và x2 + 4y2 = 12xy. Chứng minh: lg(x+2y) – 2 lg2 = (lgx + lg y) / 2

Dạng 2: Tập xác định và đạo hàm của hàm số logarit

Phương pháp:

- Hàm số yloga x với a0,a1 xác định khi x0

- Hàm số yloga x với a0,a1 có đạo hàm với mọi x > 0 và



log



' 1
.ln

ax

x a

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Đặc biệt

 

' 1

ln x

x



Ví dụ mẫu: Tìm tập xác định và tính đạo hàm của hàm số





3
log

y x x b) ln2 4

x

y

x





Giải

a) Hàm số xác định khi 2 1

0
x
x x

x


    



Vậy tập xác định D 



 

 1;



Đạo hàm













2 2

' 2 1

ln 3 ln 3

x x x

y

x x x x

 

 

 

b) Hàm số xác định khi 2 4 0 2 1

x

     


Vậy tập xác định D 



2;1



Đạo hàm





2 4

6 1 6

' .

2 4 1 2 4 (1 )(2 4)

1
x

x
x

y

x x x x x

x


 

   

 

  

    



Bài tập luyện tập: Tìm tập xác định và tính đạo hàm của các hàm số sau

a) y =





log x 3x4 b) y = 1

2
log

x
x



 c) y =

2
log

4
x x

x
 



d) y = log2(x2 + x – 6) + ln(x + 2) e)y =



4 2



log x 3x 4 - logx f) y =





ln x 3x

III. Hàm số mũ

Dạng : Tập xác định và đạo hàm của hàm số mũ

Phương pháp: 
- Hàm số x

ya với a0,a1 xác định với mọi x

- Hàm số x

ya với a0,a1 có đạo hàm với mọi x và

 

ax 'axlna

Đặc biệt

 

x ' x
e e

Ví dụ mẫu: Tính đạo hàm của hàm số

a) 2 3 1

2x x

y   b) sinx

ye

Giải

a) Đạo hàm 2 3 1



2







2 3 1

' 2x x .ln 2. 3 1 ' 2 3 .2x x .ln 2

y    x  x  x  

b) Đạo hàm sin





sin

' x sin ' xcos

y e x e x

Bài tập luyện tập: Tính đạo hàm của các hàm số sau

a) y = x.ex b) y = x7.ex c) y = (x – 3)2x d) y = 5x.sin3x

e) y = etanx f) y = x2 3x 2

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

IV. PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƢƠNG TRÌNH LOGARIT 
A. Phƣơng trình mũ

Vấn đề 1: Đưa về cùng cơ số 
Phương pháp:

( )

( ) ( )

( ) log , 0, 1, 0
( ) ( ), 0, 1

f x

a
f x g x

a b f x b a a b

a a f x g x a a

     

    

Ví dụ mẫu Giải các phương trình sau

a) 1 1

2 .3x x 5 b) 2 8 1 3

2x  x 4 x

Giải

a) Ta có : 1 1

3 15 15

2 .3 5 2 .2. 5 6 log

3 2 2

x

x x x x

x

        

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất log615

x

b) Ta có:

8 1 3
8 2(1 3 )
2

2 4

2 2

8 2(1 3 )

5 6 0

2 3.

x x x

x x

  



 

    

   

     

Vậy phương trình có hai nghiệm x = -2, x = -3.

Bài tập luyện tập

Bài 1: Giải các phương trình sau

a) 254x = 53x – 1 b) 2 3 4 1

3x  x 9x

c) 5x + 5x+1 + 5x+2 = 3x + 3x+3 + 3x+1 d) 2x + 2x - 1 + 2x - 2 = 3x – 3x - 1 + 3x – 2

ĐS: a) x = -1/5; b) x = 1, x = -2; c) x = 0; d) x = 2

Bài 2: Giải các phương trình sau

a) 3x.2x+1 = 72 b) 62x+4 = 3x.2x+8

c) 8.3x + 3.2x = 24 + 6x d) 4.3x+2 + 5.3x – 7.3x+1 = 60

ĐS a) x = 2; b) x = 4 c) x = 1; x = 3 d) x = 1

Vấn đề 2 : Đặt ẩn phụ 
Phương pháp:

Phương trình 2

.a x .ax 0

    Đặt ta tx, 0 ta được 2

.t .t 0

    . 
Phương trình .ax.ax  0. Đặt t a tx, 0 ta được .t 0

t



    .

Phương trình 2

 

. x . x . x 0

a ab b

    Đặt , 0

x
a

t t

b
 
  

  ta được 
2

.t .t 0

    .

Phương trình .ax.bx  0 với a b. 1. Đặt ta tx, 0 ta được .t 0

t



    .

Ví dụ mẫu: Giải các phương trình:

a) 9x12.3x270 b) 1 1

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Giải
a) Ta có : 9x12.3x27 0

 

3x 212.3x270

Đặt t3x, t > 0.

Ta được phương trình: 2 3

12 27 0

9
t

t t

t



    




Với t = 3 thì 3x   3 x 1
Với t = 9 thì 3x   9 x 2

Vậy phương trình có hai nghiệm: x1;x2.

b) Ta có: 1 1 10

10 10 99 10.10 99

x x x

x

      

Đặt t10x, t > 0.

Ta được phương trình: 10 2 10

10 99 10 99 10 0

0,1 ( )
t

t t t

t loai

t




       

 


Với t = 10 thì 10x 10 x 1

Phương trình có nghiệm duy nhất: x1.
c) Ta có

49 35 7 7

5.49 12.35 7.25 0 5. 12. 7 0 5. 12. 7 0

25 25 5 5

x x x x

x x x                 

       

       

Đặt 7 , 0

5
x
t   t

 

Ta được phương trình: 2

5 12 7 0 7

5
t

t t

t




   

 


Với t = 1 thì 7 1 0

5
x

x
    
 

 

Với t = 7
5 thì

7 7

5 5

x

x
    
 

 

Vậy phương trình có hai nghiệm: x0;x1.

Bài tập luyện tập

Bài 1 : Giải phương trình :

a) 49x + 4.7x – 5 = 0 (ĐS: x = 0) b) 3x+2 + 9x+1 = 4 (ĐS: x = -1) 
c) 22x + 1 +3. 2x = 2 (ĐS: x = -1) d) 92x +2 - 4.32x + 1 + 3 = 0 (ĐS: PTVN)

e) 52x + 4 – 110.5x + 1 – 75 = 0 (ĐS: x = -1) f) 3 2

2 3 5 0

2 3

x x

      

   

    (ĐS: x = 0, x =1)

g) 1

3x2.3x 5 0 (ĐS: x = 1; x = log32) h) 6 3

3. 2 0

x x

e  e   (ĐS: x = 0, x = ln3

2)

Bài 2 : Giải các phương trình :

a) 6.9x -13.6x + 6.4x = 0 (ĐS: x =



1) b)27x12x 2.8x (ĐS: x = 0) 
c) 32x+4 + 45.6x – 9.22x+2 = 0 (ĐS: x = -2) d) 3.8x4.12x18x2.27x0

(ĐS: x = 1)

Bài 3 : Giải các phương trình :



2 3

 

x 2 3



x 4 (ĐS: x =



1) b)



6 35

 

6 35



x x

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Vấn đề 3 : Lơgarit hố

Phương pháp: ( ) ( )



( )



( )

log log ( ) ( ) log , , 0, , 1
f x g x f x g x

a a a

a b  a  b  f x g x b a b a b

Ví dụ mẫu: Giải phương trình 1 2 3 2

2x 5x x

Giải

Vì hai vế của phương trình đề dương nên lấy logarit cơ số 5 ở 2 vế ta được PT:





1 log 2 3 2

x x  x 



x1 log 2



5 



x1



x2



    x 1 x 2 log 25

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 1 và x = 2 + log52.

Bài tập luyện tập: Giải các phương trình

a) 3 .2x x2 1 (ĐS: x = 0; x= -log23) b) 5 .8 1 100
x

x x 

(ĐS: x = 2; x= -log52-1)

1
5 .8 500

x
x x



 (ĐS: x = 5; x= -log52) d) 3 .8 1 36

x
x x 

(ĐS: x = 2; x= -log32 +1) 
Vấn đề 4 : Dùng tính đơn điệu

Phương pháp:

- Phương trình f x( )a với f(x) tăng hoặc giảm trên tập D thì có khơng q 1 nghiệm trên D. 
- Nếu với f(x) tăng hoặc giảm trên tập D thì f(u) = f(v)  u = v với u, v  D

Ví dụ mẫu: Giải phương trình 2x  11 x

Giải
Ta có: 2x   11 x 2x x 11

Vì



2xx



'2 ln 2 1 0,x   xnên hàm số f x( )2xx tăng trên R
Mặt khác x = 3 là một nghiệm của phương trình

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.

Bài tập luyện tập Giải các phương trình :

a) 3x + 4x = 5x b)5x = 1 – 3x

c) 2 32 1
x
x  

d)32-x = x + 2

B. Phƣơng trình lơgarit :

Vấn đề 1 : Đưa về cùng cơ số

Phương pháp: với a > 0, a 1 ta ln có log ( ) ( )

log ( ) log ( ) ( ) ( ) 0
b

a

a a

f x b f x a

f x g x f x g x

  

   

Ví dụ mẫu: Giải các phương trình

a) log2xlog4xlog8x11 b) log5xlog25xlog 5 3

Giải
a) Điều kiện: x > 0

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

2 3

2 4 8

2 2 2

2
2

log log log 11

1 1

log log log 11

2 3

log 11
6

log 6

2 64.

x x x

x
x
x

  

   

 

  

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 64.
b) Điều kiện: x > 0

Khi đó:

2 1

1
2

5 25 5 5 5

5 5 5

5 5

2
3

5 5

2
3

log log log 3 log log log 3

1 1

log log 2. .log 3

2 2

log log 3
2

2
log log 3

3
log log 3

x x x x

x x

x
x
x
x

    

  

 

Vậy phương trình có nghiệm 3

x

Bài tập luyện tập: Giải các phương trình :

a) 2 4 8

log log log

x x x b)log4



log2x



log2



log4x



2

c) log (2 x 3) log (2 x 1) log 52 d) 2

2 1 1 2

2 4

log (x  3) log 52 log (x 1) log (x1)

e) 2 2

3 3

log (x2) log x 4x 4 9 f) 2 2

2 2

log (x1) log x 2x 1 6

ĐS: a) x = 8; b) x = 16; c) x = 2; d) x = 2 e) x = -29; x = 25; f) 3; x = -5

Vấn đề 2 : Đặt ẩn phụ

1) Giải các phương trình :
a) 2

3 3

log x4log x 3 0 b) log52 x4log25x 3 0

c) log5xlog 5x 2 d)log 2 log4 7 0

x  x 

2
2

2 2

log (4 ) log 8
8
x

x   f) 2

3 3

log x log x 1
x

   

 
 

Hướng dẫn

a) Điều kiện: x > 0. Khi đó đặt t = log3x ta được phương trình t2 – 4t + 3 = 0

b) Điều kiện: x > 0. Khi đó đặt t = log5x ta được phương trình t2 – 2t – 3 = 0
c) Điều kiện: x > 0, x  1. Chú ý rằng

1
log 5

log

x

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

e) Điều kiện: x > 0. Chú ý rằng 2





2 2

log (4 )x  2 log x ;

f) Điều kiện: x > 0, x  1/3. Chú ý rằng

3
3

3 3

3
log

1 log
3

log

log 3 1 log

x

x x x



 


2) Giải các phương trình :

a) 1 2 1

5 lg x1 lg x  b)

1 2

1
4 ln x2 ln x 

c) 1

5 25

log (5x1) log (5x  5) 1 d) 1

3 3

log (3x1) log (3x  3) 6
Hướng dẫn

a) Điều kiện: x > 0, x  105, x  10-1 . Khi đó đặt t = logx ta được phương trình 1 2 1
5t1t 

d) Điều kiện: x > 0. Khi đó 1

3 3 3 3

log (3x1) log (3x   3) 6 log (3x1) 1 log (3  x1)6

Vấn đề 3 : Mũ hoá

Giải các phương trình :

a) log5x (x + 4) = 1 b) 2

5 5

2 x 3log 2log (3x5 x)
Hướng dẫn

IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Vấn đề 1: Bất Phương trình mũ

Phương pháp: Sử dụng tính chất hàm số mũ y = ax

tăng khi a > 1 và giảm khi 0 < a < 1. Hơn nữa, hàm số 
mũ ln nhận giá trị dương với mọi x.

Bài 1: Giải các bất phương trình (Đưa về cùng cơ số)

a) 16x – 4 ≥ 8 b) 1 2 5

9
3

x

  

 

  c)

6
2
9x3x

d) 2 6

4x x 1 e)

4 15 4

3 4
1

2 2

2
x x

x

 



  

 

  f) 5

2x + 2 > 3. 5x
Bài 2: Giải các bất phương trình (Đặt ẩn phụ)

a) 22x + 6 + 2x + 7 > 17 b) 52x – 3 – 2.5x -2 ≤ 3 c) 1 1 1 2
4x 2x 3

d) 5.4x+2.25x ≤ 7.10x e) 2. 16x – 24x – 42x – 2 ≤ 15 f) 4x +1 -16x ≥ 2log

g) 9.4-1/x + 5.6-1/x < 4.9-1/x

Vấn đề 2: Bất Phương trình logarit

Phương pháp: Sử dụng tính chất hàm số logarit y = loga x với x > 0 tăng khi a > 1 và giảm khi 0 < a < 1.

Bài 1: Giải các bất phương trình (Đưa về cùng cơ số)

a) log4(x + 7) > log4(1 – x) b) log2( x + 5) ≤ log2(3 – 2x) – 4

c) log2( x2 – 4x – 5) < 4 d) log1/2(log3x) ≥ 0

e) 2log8( x- 2) – log8( x- 3) > 2/3 f) log2x(x2 -5x + 6) < 1
Bài 2: Giải các bất phương trình (Đặt ẩn phụ)

a) log2

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc 1

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, 
nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh

nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các

trường chuyên danh tiếng.

I.

Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây

dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên 
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho các em HS THCS

lớp 6, 7, 8, 9 u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt
ở các kỳ thi HSG.

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho

học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS. Trần

Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt

thành tích cao HSG Quốc Gia.

III.

Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các

môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham
khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi miễn

phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh.

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

</div>