Tài liệu HSG TOÁN-HUYỆN HƯƠNG TRÀ 2008-2009

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯƠNG TRÀ
-----------------
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009
MÔN: TOÁN 9. Thời gian làm bài: 120 phút
–––––––––––––––––––
Câu 1: (2 điểm)
Chứng minh rằng tổng các bình phương của ba số nguyên liên tiếp không phải là bình
phương của một số nguyên.
Câu 2: (2 điểm)
Hãy tính giá trị của biểu thức P = a
3
+ b
3
– 3(a + b) + 2008 bết rằng:
3333
2121721217;625625
−++=−++=
ba
(Không sử dụng
máy tính cầm tay).
Câu 3: (3 điểm)
Trên một mặt phẳng tọa độ, cho các điểm M(2; 1), N(3; – 4), P(5; 3) lần lượt là trung
điểm các cạnh AB, BC và CA của tam giác ABC.
a.- Viết phương trình của đường thẳng BC.
b.- Xác định vị trí điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Câu 4: (5 điểm)
a.- Cho x > 0; y > 0. Chứng minh rằng
yx
yxyx
;

411
∀
+
≥+
b.- Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Đặt p =
2
cba
++
. Chứng minh
rằng nếu
cbacpbpap
222111
++=
−
+
−
+
−
thì tam giác đó là tam giác đều.
Câu 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và có độ dài 3 cạnh BC, AC, AB lần lượt bằng a,
b, c.
Chứng minh rằng:
))((.. SinCSinBSinAcbaSinCcSinBbSinAa
++++=++
Câu 6: (4 điểm)
Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ đỉnh A lên đường chéo BD của hình chữ nhật
ABCD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn BH và CD. Chứng minh rằng 4 điểm
A, P, Q và D cùng nằm trên một đường tròn.
––––––––––––––

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯƠNG TRÀ
-----------------
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009
MÔN: TOÁN 9.
–––––––––––––––––––
Câu 1: (2 điểm)
Gợi ý giải:
+ Để ý rằng nếu n là một số nguyên bất kì thì số dư khi chia n
2
cho 3 chỉ có thể là 0
hoặc 1 (1). (Thật vậy: Nếu n = 3k thì n
2
chia hết cho 3; nếu n = 3k
±
1 thì n
2
= 3p + 1 nên n
2
chia 3 dư 1 với k; p là các số nguyên ).
+ Gọi a – 1, a, a + 1 là ba số nguyên liên tiếp. Đặt m = (a – 1)
2
+ a
2
+ (a + 1)
2
thì m =
3a
2

+ 2 (2)
Vậy từ (1) và (2) suy ra tổng các bình phương của ba số nguyên liên tiếp không phải
là bình phương của một số nguyên.
Câu 2: (2 điểm)
Gợi ý giải:
Từ giả thiết suy ra a
3
= 10 + 3a; b
3
= 34 + 3b
Suy ra P = (a
3
– 3a) + (b
3
– 3b) + 2008 = 2052.
Câu 3: (3 điểm)
Gợi ý giải:
a.- + Viết được phương trình của đường thẳng MP là y =
3
2
x –
3
1
+ Đường thẳng BC song song với MP nên phương trình có dạng y =
3
2
x + b. Vì N
thuộc đường thẳng BC suy ra b = – 6.
Vậy phương trình của đường thẳng BC là y =
3

2
x – 6 .
b.-
+ Tương tự ta có PTĐT AC là y = – 5x + 28 và PTĐT AB là y =
2
7
x – 6
+ Giải hệ





−=
+−=
6
2
7
285
xy
xy
ta suy ra tọa độ đỉnh A là A (4; 8)
Tương tự B(0; – 6); C(6; – 2)
+ Gọi d
1
là đường thẳng đia qua A và song song với BC, d
2
là đường thẳng đi qua C
và song song với AB.
Lập luận, xác định được phương trình dường thẳng d

1
là y =
)1(
3
16
3
2
+
x
; phương
trình của đường thẳng d
2
là y =
2
7
x – 23 (2).
Giải hệ phương trình tạo bởi (1) và (2) ta có nghiệm của hệ (x = 10; y = 12) là tọa độ
giao điểm của d
1
và d
2
. Vậy D(10; 12).
Câu 4: (5 điểm)
Gợi ý giải:
a.- Vì x > 0; y > 0 nên
yxyx
+
≥+
411
⇔

...
⇔
(x – y)
2
≥
0
Vậy nếu x > 0; y > 0 thì
yx
yxyx
;
411
∀
+
≥+
. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y.
b.- Từ giả thiết suy ra
2
...
1 acb
ap
−+
==
−
> 0 ;
0
1
;0
1
>
−

>
−
cpbp
Áp dụng kết quả câu a ta có:
cbapbpap
4
)(2
411
=
+−
≥
−
+
−
Tương tự, suy ra
cbacpbpap
222111
++≥
−
+
−
+
−
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
cba
apcp
cpbp
bpap
bapcp
acpbp

cbpap
==⇔





−=−
−=−
−=−
⇔









=
−
+
−
=
−
+
−
=
−

+
−
411
411
411
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Câu 5: (4 điểm)
Gợi ý giải:
Vẽ đường cao AH. Ta có
SinC
c
SinB
b
HC
AH
SinC
HB
AH
BSin
=⇒==
...;
Tương tự, suy ra:
0
>=
++
++
===
k
SinCSinBSinA
cba

SinC
c
SinB
b
SinA
a
Vậy
kSinCSinBSinAcSinCbSinBaSinA ).(...
++==++
(1)
Và (a + b + c) = (SinA + Sin B + SinC).k
Suy ra:
kSinCSinBSinASinCSinBSinAcba ).())((
++=++++
(2)
Từ (1) và (2) ta có đ.p.c.m.
Câu 6: (4 điểm)
Gợi ý giải:
Gọi I là trung điểm của AH. Chứng minh IP
⊥
AD từ đó suy ra I là trực tâm của tam
giác APD. Suy ra DI
⊥
AP (1).
Chứng tỏ được tứ giác DIPQ là hình bình hành, suy ra DI // PQ (2).
Từ (1) và (2) suy ra AP
⊥
PQ suy ra đ.p.c.m.
* Chú ý:
+ Điểm tối đa ở mỗi phần chỉ chấm với những bài làm có chữ viết rõ ràng, trình bày sạch,

đẹp. Điểm tổng cộng của toàn bài không làm tròn.
+ Biểu điểm chi tiết cho từng câu, từng phần tổ chấm thảo luận để thống nhất.
––––––––––––