Bài soạn Cuộc thi Toán mở rộng Canada

Cuộc thi Toán mở rộng tại Canada
(COMC : Cuộc thi Toán mở rộng tại Canada)
COMC là cuộc thi Toán được tổ chức hằng năm, bắt đầu từ năm 1996 (vào
ngày 27 tháng 12), liên tục được duy trì từ đó đến nay dưới sự đồng tài trợ của
Hội Toán học Canada (CMS : Canadian Mathematical Society) và Trung tâm
Giáo dục Toán học và Máy tính (CEMC : Centre for Education in Mathematics
and Computing). Cuộc thi này được tổ chức nhằm mục đích thúc đẩy phong
trào học Toán cho học sinh cả nước, và cũng trên cơ sở kì thi này, người ta
chọn ra những học sinh xuất sắc để tham dự kì thi Vô địch Quốc gia Canada
(CMO : Canadian Mathematical Olympiad). Tuy nhiên, đối tượng tham gia
không chỉ là học sinh THPT (senior) mà còn mở rộng cho các học sinh giỏi ở
các lớp dưới, tương ứng với THCS ở nước ta (junior).
Sau đây, chúng tôi trích giới thiệu cùng bạn đọc bài thi được tổ chức vào ngày
29 tháng 11 năm 2000, thời gian làm bài thi là hai giờ rưỡi, bài thi gồm hai
phần : Phần A có 8 câu ; Phần B khó hơn, gồm 4 câu. Tuy nhiên, để phù hợp
với các bạn học sinh giỏi THCS trong nước, chúng tôi đã bỏ đi ba câu, đó là câu
6 (phần A - phương trình lượng giác mũ), câu 1 (phần B - Hình học giải tích),
câu 4 (phần B - sử dụng kiến thức về tập hợp, tổ hợp).
Bài 1. Cho phép toán * xác định bởi a*b = 1 - a/b , b ≠ 0 . Tìm giá trị (1 * 2) * (3 *
4).
Bài 2. Dãy 9, 18, 27, 36, 45, 54, ... gồm các bội số liên tiếp của 9. Nhân các số
hạng của dãy trên với -1 và 1, thay đổi nhau, ta được dãy -9, 18, -27, 36, -45,
54, ... . Tìm n để cho tổng n số hạng đầu tiên của dãy mới là 180.
Bài 3. Kí hiệu n! = n . (n-1) (n-2) ... 3 . 2 . 1 (đọc là n giai thừa). Tìm n để :
n! = 2
15
. 3
6
. 5
3
. 7

2
. 11 . 13.
Bài 4. Kí hiệu [x] dùng để chỉ số nguyên lớn nhất không lớn hơn x. Tính :
Bài 5. Có bao nhiêu số nguyên dương gồm 5 chữ số mà tích các chữ số này
bằng 2000 ?
Bài 6. Xét dãy ..., a
-3
, a
-2
, a
-1
, a
0
, a
1
, a
2
, a
3
, ... , xác định bởi a
n
với mọi số nguyên
n. Tính a
0
.
Bài 7. Tìm đường kính đường tròn lớn ngoại tiếp ABDE trong hình dưới, biết
tam giác ABC đều, ABDE là hình chữ nhật và đường tròn nội tiếp tam giác ABC
có bán kính bằng 1.
Bài 8. Trong tam giác ABC, các điểm D, E, F tương ứng nằm trên các cạnh BC,
CA, AB sao cho góc AFE = góc BFD , góc BDF = góc CDE và góc CED = góc

AEF .
a) Chứng minh rằng .
b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = 7. Tính độ dài đoạn BD.
Bài 9. (a) A và B (nguyên văn : Alphonse và Beryl) tiến hành một trò chơi như
sau. Ta có hình 1 như ở trên. A bắt đầu trò chơi bằng cách cắt hình 1 thành 2
mảnh dọc theo một đường thẳng, rồi A chuyển mảnh có chứa tam giác đen cho
B, vất đi mảnh kia. Với mảnh nhận được này, B cũng làm tương tự như A,
nghĩa là cũng cắt thành 2 mảnh dọc theo một đường thẳng, rồi B chuyển mảnh
có chứa tam giác đen cho A, vất đi mảnh còn lại. Trò chơi tiếp diễn cho tới khi
người nào nhận một mảnh chỉ có chứa tam giác đen mà thôi, và tuyên bố rằng
người này thắng cuộc.
Hãy chứng minh rằng B luôn luôn có chiến lược để thắng cuộc (A đi trước).
(b) Cũng tiến hành trò chơi với thể lệ như trên, nhưng bằng hình 2, và B đi
trước. Người chơi phải cắt trọn vẹn đường thẳng. Có chiến lược nào để B bảo
đảm thắng cuộc hay không ?
Đáp số các bài tập (xem Hướng dẫn giải ở kì tới)
1. -1 ; 2. 40 ; 3. 16 ; 4. 217 ; 5. 30 ; 6. -17 ; ; 8. (b)5/2.
TS. Nguyễn Văn Nho