KHAI THÁC BÀI TẬP TOÁN PHẦN PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành : Phƣơng pháp dạy học môn Toán

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM Hà NộI 2
KHOA TOáN
********

LÊ THỊ LIỄU

KHAI THÁC BÀI TẬP TỐN
PHẦN PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
TRONG KHƠNG GIAN
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành : Phƣơng pháp dạy học mơn Tốn

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
ThS. Nguyễn Văn Hà

Hà NộI - 2010


Khố luận tốt nghiệp

LỜI CẢM ƠN

Bản khóa luận tốt nghiệp này là bước đầu tiên em làm quen với việc
nghiên cứu khoa học.
Trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận tốt nghiệp em đã
nhận được sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cơ trong tổ phƣơng pháp và các
bạn sinh viên trong khoa.
Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo Nguyễn Văn Hà, thầy
đã trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ, hướng dẫn em hồn thành khóa luận.
Em xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo!

Hà Nội, tháng 05 năm 2010
Sinh viên
Lê Thị Liễu

Lê Thị Liễu

K32G – Toán
1


Khố luận tốt nghiệp

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan tồn bộ kết quả trong khóa luận này là do em nghiên
cứu dưới sự hướng dẫn của các thầy cô trong tổ phƣơng pháp, đặc biệt là
thầy giáo Thạc sĩ Nguyễn Văn Hà.
Và kết quả trong khóa luận này của em khơng trùng lập với bất kì kết quả nào
khác.

Hà Nội, tháng 05 năm 2010
Sinh viên
Lê Thị Liễu

Lê Thị Liễu

K32G – Toán
2

Khoá luận tốt nghiệp

PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hình học là một mơn học khó, nó có tính hệ thống, chặt chẽ, logic, trừu
tượng hố cao. Đặc biệt là phần hình học khơng gian (HHKG). Để giải một
bài tốn HHKG địi hỏi học sinh phải có kiến thức thật chắc và vững.
Với một bài tốn nói chung và bài tốn HHKG nói riêng thì có nhiều
cách giải khác nhau, có thể là phương pháp tổng hợp (PPTH), phương pháp
vectơ, hay phương pháp tọa độ (PPTĐ)... Trong đó có một phần lớn các bài
tốn HHKG có thể giải bằng PPTĐ.
PPTĐ cho ta cách giải nhanh chóng, chính xác và tránh được các yếu tố
trực quan, các suy diễn phức tạp của PPTH, và là phương tiện hiệu quả để giải
các bài tốn hình học.
Vì vậy, trong rất nhiều năm gần đây PPTĐ được xem là nội dung trọng
tâm của chương trình tốn trung học phổ thơng.
Xuất phát từ sự say mê của bản thân, ham muốn học hỏi, tìm tịi,
nghiên cứu sâu hơn về HHKG, với mong muốn có được kiến thức vững hơn
về HHKG để chuẩn bị cho việc giảng dạy sau khi ra trường, cùng với sự động
viên khích lệ của thầy giáo Nguyễn Văn Hà mà em đã chọn đề tài : “Khai
thác bài tập tốn phần PPTĐ trong khơng gian”.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu chủ yếu của đề tài là:
- Cho học sinh thấy được sự tương quan giữa HHKG và HHGT trong
khơng gian.
- Giúp cho học sinh có thêm phương pháp để giải bài toán HHKG.
- Nghiên cứu sâu hơn về HHKG làm tài liệu tham khảo cho học sinh và
giáo viên.

Lê Thị Liễu

K32G – Toán
3


Khoá luận tốt nghiệp
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu với nhiệm vụ:
- Nghiên cứu lý luận chung.
+ Bài toán và bài tập toán học.
+ Phương pháp tọa độ trong khơng gian.
- Hệ thống hố phương pháp giải các dạng bài tập dưới dạng cơ bản và
nâng cao nhằm phục vụ cho việc giảng dạy: “PPTĐ ở lớp 12 THPT theo phân
phối chương trình”.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận : Dựa vào những tài liệu sẵn có,
những thành tựu của nhân loại trên những lĩnh vực khác nhau để vận dụng
vào phương pháp dạy học mơn Tốn.
- Phương pháp quan sát điều tra: Là phương pháp tri giác một hiện
tượng nào đó để thu lượm những số liệu, tài liệu cụ thể đặc trưng cho quá
trình diễn biến của hiện tượng.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Thực chất là đánh giá và khái
quát kinh nghiệm, từ đó phát hiện ra những vấn đề cần nghiên cứu, hoặc
khám phá những mối liên hệ có tính quy luật của hiện tượng giáo dục.
- Phương pháp thực nghiệm giáo dục: Cho phép ta tạo nên những tác
động giáo dục, từ đó xác định và đánh giá kết quả của những tác động đó.
5. Cấu trúc khố luận
Phần 1: Mở đầu
Phần 2: Nội dung, bao gồm 2 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận.

Chương 2: ứng dụng dạy học.

Lê Thị Liễu

K32G – Toán
4


Khoá luận tốt nghiệp

PHẦN 2: NỘI DUNG
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN
A. BÀI TOÁN VÀ BÀI TẬP TOÁN HỌC

1. Khái niệm
Theo G.POLYA: Bài toán là việc đặt ra sự cần thiết tìm kiếm một cách
có ý thức các phương tiện thích hợp để đạt đến một mục đích nhất định trông
thấy rõ ràng, nhưng không thể đạt được ngay.
Bài tập là bài tốn trong đó có những u cầu đặt ra cho người học
nhằm đạt được mục đích dạy học nào đó.
2. Vai trị, ý nghĩa của bài tập tốn học
a. Củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh
Trong thực tế một bài toán chứa đựng nhiều kiến thức về khái niệm
toán học và các kết luận toán học. Khi giải một bài tốn địi hỏi ta phải phân
tích dữ kiện của bài tốn, huy động các kiến thức đã cho trong đề toán và các
kiến thức đã biết khác có liên quan đến bài tốn, tổng hợp lại để đề ra kiến
thức mới nữa…Cuối cùng, chúng ta đi đến được lời giải của bài toán.
Như vậy khi giải một bài tốn khơng những chỉ các kiến thức đã có
trong bài tốn mà cả một hệ thống các kiến thức liên quan tới bài toán cũng
được củng cố qua lại nhiều hơn.

b. Rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh
Đặc điểm nổi bật của mơn tốn là một môn khoa học suy diễn, được
xây dựng bằng phương pháp tiên đề.
Do vậy nên lời giải của bài tốn là một hệ thống hữu hạn các thao tác
có thứ tự chặt chẽ để đi đến một mục đích rất rõ rệt.

Lê Thị Liễu

K32G – Toán
5


Khố luận tốt nghiệp
Vì vậy khi giải một bài tốn nó có tác dụng trực tiếp rèn luyện cho ta
năng lực sử dụng các phép suy luận hợp logic: Suy luận có căn cứ đúng, suy
luận tuân theo quy tắc suy diễn…
Chúng ta biết rằng khơng thể có một phương pháp chung nào để giải
được mọi bài toán.
Mỗi bài toán có một hình, một vẻ khác nhau, muốn tìm được lời giải
của bài tốn chúng ta phải biết phân tích, phải biết cách dự đoán kết quả, kiểm
tra kết quả, biết cách liên hệ tới các vấn đề tương tự gần giống nhau, biết cách
suy luận tổng hợp khái quát hoá…
Như vậy qua việc giải bài toán năng lực tư duy sáng tạo được rèn luyện và
phát triển.
c. Rèn luyện kĩ năng vận dụng các kiến thức toán học cho học sinh
Một trong những yêu cầu của việc nắm vững các kiến thức của bất cứ
của bộ môn khoa học nào là hiểu, nhớ và vận dụng các kiến thức của bộ mơn
khoa học đó vào việc giải quyết các nhiệm vụ đặt ra, tức là giải quyết được
các bài tốn đặt ra trong lĩnh vực khoa học đó.
Trong việc giảng dạy tốn thì bài tốn lại tham gia vào trong mọi tình

huống của q trình dạy học mơn tốn.
Trong giảng dạy khái niệm toán học: Bài toán được sử dụng để tổ chức
gây tình huống để dẫn dắt cho học sinh có thể đi đến định nghĩa khái niệm.
Bài tốn được sử dụng đã nêu ra làm các ví dụ và phản ví dụ minh họa cho
khái niệm. Bài toán được sử dụng để luyện tập, củng cố vận dụng khái niệm.
Trong giảng dạy định lý toán học: Bài tốn có thể được sử dụng để tổ
chức gây tình huống dẫn dắt học sinh phát hiện ra nội dung định lý tốn học.
Bài tốn có thể được sử dụng để cho học sinh tập vận dụng định lý, đặc biệt là

Lê Thị Liễu

K32G – Toán
6


Khoá luận tốt nghiệp
việc tổ chức hướng dẫn học sinh chứng minh định lý chính là việc tổ chức
hướng dẫn học sinh tập tìm ra lời giải của một chương nào đó của mơn học.
Trong luyện tập tốn học : Bài toán là phương tiện chủ yếu trong các
tiết luyện tập tốn học. Trong đó người giáo viên phải xây dựng được một hệ
thống các bài tập có liên quan chặt chẽ với nhau để nhằm giúp học sinh củng
cố các kiến thức và hình thành một số kĩ năng cơ bản nào đó.
d. Bồi dưỡng phát triển nhân cách cho học sinh
Đặc biệt cơ bản trong tính cách của con người là: Mọi hoạt động đều có
mục đích rất rõ ràng. Khi giải một bài tốn ta ln có định hướng mục đích
rất rõ rệt, vì vậy việc giải bài tốn sẽ góp phần tích cực vào việc rèn luyện
năng lực hoạt động của con người.
Để giải một bài tốn nhất là đối với các bài tốn khó ta phải vượt qua
rất nhiều khó khăn, phải kiên trì nhẫn lại và nhiều khi ta phải có quyết tâm rất
lớn để giải bài tốn đó.

Nói theo cách của G.POLYA thì : “Khát vọng và quyết tâm giải được
bài toán là nhân tố chủ yếu của quá trình giải mọi bài toán”.
Do vậy ta thấy rằng : Hoạt động giải toán chính là nhân tố chủ yếu của
q trình hình thành và phát triển nhân cách của con người.
3. Phân loại bài tốn
a. Phân loại theo hình thức bài tốn:
- Bài toán chứng minh: Là bài toán mà kết luận của nó đã được đưa ra
một cách rõ ràng trong đề bài tốn.
- Bài tốn tìm tịi: Là bài tốn trong đó kết luận của nó chưa sẵn sàng
trong đề bài toán.
b. Phân loại theo phương pháp giải toán:

Lê Thị Liễu

K32G – Toán
7


Khố luận tốt nghiệp
- Bài tốn có angơrit giải: Là bài tốn mà phương pháp giải của nó theo
một angơrit nào đó hoặc mang tính chất angơrit nào đó.
- Bài tốn khơng có angơrit giải: Là bài tốn mà phương pháp giải của
nó khơng theo một angơrit nào đó hoặc khơng mang tính chất angơrit nào đó.
c. Phân loại theo nội dung bài toán:
Bài toán số học
Bài toán đại số
Bài tốn hình học
d. Phân loại theo ý nghĩa giải tốn:
- Bài toán củng cố kỹ năng: Là bài toán nhằm củng cố trực tiếp ngay
sau khi học hoặc một vài kiến thức hay kỹ năng nào đó.

- Bài tốn phát triển tư duy: Là bài toán nhằm củng cố một hệ thống các
kiến thức cũng như kỹ năng nào đó hoặc địi hỏi phải có một khả năng tư duy
phân tích, tổng hợp hoặc vận dụng một cách sáng tạo.
4. Phƣơng pháp giải một bài tốn
Phương pháp tìm lời giải của bài toán: Dựa theo 4 bước của G.POLYA.
a. Bước 1: Tìm hiểu đề
Trước khi giải một bài tốn ta phải phân tích đề bài của bài tốn, rồi tìm
hiểu thấu đáo nội dung của bài toán bằng những câu hỏi sau :
- Những cái đã biết ? Cái gì chưa biết của bài tốn ?
- Tìm những yếu tố cố định, những yếu tố không đổi, những yếu tố thay
đổi biến thiên của bài toán.
- Xác định các ẩn và giá trị hằng của bài toán.
- Dữ kiện của bài tốn có đủ để xác định cái chưa biết hay khơng ?
b. Bước 2 : Xây dựng chương trình giải

Lê Thị Liễu

K32G – Toán
8


Khố luận tốt nghiệp
Chúng ta có thể tiến hành xây dựng chương trình giải theo phương
pháp sau:
- Phương pháp đi xi:
Xuất phát từ các giả thiết của bài tốn được lấy làm tiền đề. Bằng suy
luận hợp logic chúng ta tìm ra các hệ quả logic của các tiền đề đó. Tiếp tục
chọn lọc trong đó để lấy ra các hệ quả gần gũi với kết luận của bài toán làm
tiền đề mới. Lại bằng suy luận hợp logic chúng ta tìm ra hệ quả logic mới gần
gũi hơn với kết luận… Cứ tiếp tục quá trình ấy chúng ta tìm ra các hệ quả

logic trùng với kết luận của bài tốn. Khi ấy ta tìm được lời giải của bài tốn.
Phương pháp này được mơ tả theo sơ đồ sau:

A  B
 X
C  D

(trong đó A,C là giả thiết, còn X là kết luận )

- Phương pháp đi ngược:
Đó là q trình xuất phát từ kết luận của bài toán. Bằng suy luận hợp
logic chúng ta đi ngược lên để tìm các tiền đề logic của kết luận này.
Tiếp tục chọn lọc trong đó để lấy ra các tiền đề gần gũi với giả thiết của
bài toán làm kết luận mới. Lại bằng suy luận hợp logic chúng ta tìm ra tiền đề
logic mới của các kết luận mới này… Cứ tiếp tục quá trình ấy chúng ta tìm ra
các tiền đề logic trùng với giả thiết của bài tốn. Khi ấy ta tìm được lời giải
của bài tốn.
Phương pháp này được mơ tả theo sơ đồ sau:

C  A
X 
D  B

(trong đó A,B là giả thiết, còn X là kết luận)

c. Bước 3 : Thực hiện chương trình giải

Lê Thị Liễu

K32G – Tốn

9


Khố luận tốt nghiệp
Đây là q trình tổng hợp lại của bước xây dựng chương trình giải, ta
dùng các phép suy luận hợp logic xuất phát từ giả thiết của bài toán, các mệnh
đề toán học đã biết ta suy dần ra tới kết luận của bài toán.
d. Bước 4 : Nhận xét lời giải và khai thác bài toán
Thử lại kết quả của bài toán, thử lại các lập luận trong lời giải đã tìm
được của bài tốn.
Tìm các cách giải khác nếu có của bài tốn.
Nghiên cứu các bài tốn có liên quan.
Ví dụ 1: Phân tích q trình tìm lời giải bài tốn sau:
Chứng minh rằng nếu ΔABC thỏa mãn điều kiện sinA.sinC = cos2

B
2

thì ΔABC là tam giác cân.
HD :
Để chứng minh một tam giác là tam giác cân có nhiều cách : Hoặc
chứng minh 2 cạnh nào đó bằng nhau, hoặc chứng minh 2 góc nào đó bằng
nhau.
ở đây ta thấy giả thiết của bài tốn cho biết đẳng thức liên hệ về góc, ta
sẽ chứng minh tam giác đó có hai góc nào đó bằng nhau.
Hơn nữa ta thấy trong đẳng thức đã cho thì vai trị của góc A và C là
như nhau. Do đó ta sẽ chứng minh trong ΔABC có góc A = C.
Biến đổi đẳng thức đã cho bằng cách làm mất sự có mặt của góc B
bằng cách thay B = 180o - (A+C).
Sau đó sử dụng cơng thức biến đổi lượng giác, ta có đẳng thức sau :

sinA.sinC = cos2

B
2

Û sinA.sinC = sin2

A +C
2

Lê Thị Liễu

K32G – Toán
10


Khoá luận tốt nghiệp

Û 2sinA.sinC = 1 - cos(A+C)
Û cosA.cosC + sinA.sinC = 1
Û cos(A - C) = 1
Þ A =C
Vậy : ΔABC cân tại B.
Ví dụ 2 : Phân tích tìm lời giải của bài tốn sau :
Tính tổng S = 1 + 2a + 3a 2 + 4a 3 +...+ (n + 1)a n .
HD :
Ta liên hệ với bài tốn tính tổng tương tự đơn giản hơn :
Tính tổng P = 1 + a + a 2 + a 3 +...+ a n .
Ta có :

aP = a + a 2 + a 3 + a 4 ...+ a n+1
 P - aP = 1 - a n+1
1 - a n+1
P=
1-a
(Với a ¹ 1)

Vận dụng cách tính tổng P ở trên ta tính tổng S như sau :
Ta có : aS = a + 2a 2 + 3a 3 + 4a 4 +...+ (n + 1)a n+1
 S - aS = 1 + a + a 2 +...+ a n - a n+1

1 - a n+1
Ta thấy : 1 + a + a + a +...+ a = P =
. Thay vào ta có :
1-a
2

S - aS =

3

n

1 - a n+1
1 - a n+1 - (1 - a)(n + 1)a n+1
- (n + 1)a n+1  S =
1-a
(1 - a) 2

Nhận xét cách giải:
Để tính tổng S (hoặc P) là các tổng hữu hạn gồm n số hạng, ta nhân tổng đó
với a, rồi xét hiệu : aS - S hoặc S - aS.
Từ đây ta tính được S.

Lê Thị Liễu

K32G – Toán
11


Khố luận tốt nghiệp

B. PHƢƠNG PHáP TọA Độ TRONG KHƠNG GIAN (Hình học12)

1. Nội dung chính
+ Phương trình tổng qt của mp :
Ax + By + Cz +D = 0

VTPT của mp là : n = (A; B; C) .

(1)

(với A2 +B2 +C2  0 )

+ Phương trình đường thẳng:

Đi qua M0 = (x 0 ; y0 ; z0 ) với VTCP u = (a; b; c) là:

- Phương trình tham số là:

Lê Thị Liễu

K32G – Toán
12


Khố luận tốt nghiệp
íï x = x 0 + at
ïï
ïì y = y + bt
0
ïï
ïïỵ z = z0 + ct

(t Ỵ R)

- Phương trình chính tắc là:

x - x0
y - y0
z - z0
=
=
a
b
c

(abc  0)

+ Phương trình mặt cầu:

x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 (*)

( a 2 + b2 + c2 > d )

là phương trình mặt cầu có tâm I = (-a; -b; -c) và bán kính R =

a 2 + b2 + c2 - d
2. Mục đích yêu cầu của việc giảng dạy : “PPTĐ trong không gian”
a. Về kiến thức :
- Chương 3 nhằm cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản về khái niệm
về tọa độ trong không gian và những ứng dụng của nó.
+ Tọa độ vectơ và tọa độ điểm.
+ Biểu thức tọa độ của các phép tốn vectơ.
+ Tích vơ hướng của 2 vectơ.
+ Phương trình mặt cầu.
- Giới thiệu về phương trình mặt phẳng trong khơng gian.
+ Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
+ Phương trình tổng quát của mặt phẳng.
+ Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vng góc.
+ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
- Phương trình đường thẳng trong khơng gian.
+ Phương trình tham số của đường thẳng.

Lê Thị Liễu

K32G – Toán
13

Khoá luận tốt nghiệp
+ Điều kiện để hai đường phẳng song song.
+ Điều kiện để hai đường phẳng chéo nhau.
+ Điều kiện để hai đường phẳng cắt nhau.
b. Về kĩ năng
- Xác định được các vectơ trong không gian.
- Vận dụng được các tính chất để giải bài tập.
- Chứng minh được hai mặt phẳng: song song, vng góc.
- Lập được các phương trình đường thẳng, mặt phẳng.
- Xác định được vị trí tương đối.
c. Về thái độ
Học xong chương trình này học sinh sẽ liên hệ được với nhiều vấn đề
thực tế sinh động, liên hệ được với nhiều vấn đề hình học đã học ở lớp dưới,
mở ra một cách nhìn mới về hình học. Từ đó, các em có thể sáng tạo ra nhiều
bài tốn hoặc nhiều dạng toán mới.
Kết luận :
Khi học xong chương này, học sinh cần làm tốt các bài tập sách giáo khoa và
các bài kiểm tra trong chương.
3. Phƣơng pháp giải bài tốn bằng tọa độ
PPTĐ trong khơng gian là phương pháp giải các bài tốn HHKG mà ở
đó ta quy việc giải chúng về khảo sát nhiều phương trình (hệ phương trình).

Các bước giải bài tốn HHKG bằng PPTĐ :
Bước 1: Chọn hệ tọa độ thích hợp.
Bước 2: Chuyển ngơn ngữ hình học sang ngơn ngữ tọa độ.
Bước 3: Giải bài toán bằng kiến thức PPTĐ.

Lê Thị Liễu

K32G – Toán
14


Khố luận tốt nghiệp
Bước 4: Chuyển kết quả từ ngơn ngữ tọa độ sang ngơn ngữ hình học.

CHƢƠNG 2 :ứng dụng dạy học
Nội dung chƣơng trình

Chương 3 : Phương pháp tọa độ trong không gian.

(20 tiết)

Bài 1 : Hệ tọa độ trong khơng gian.

(5 tiết)

Bài 2 : Phương trình mặt phẳng.

(5 tiết)

Lê Thị Liễu

K32G – Toán
15


Khố luận tốt nghiệp
Bài 3 : Phương trình đường thẳng trong khơng gian.

(8 tiết)

Ơn tập chương 3.

(2 tiết)

A. CáC KIếN THứC CƠ BảN

1. Tọa độ của vectơ và của điểm











Ta có : u = (x; y; z)  u = x.i + y.j + z.k





M = (x; y; z)  OM = x.i + y.j + z.k

Nếu A(a; b; c) và B(a‟; b‟; c‟) thì AB = (a' - a; b' - b; c' - c)



2. Tích vơ hƣớng của hai vectơ: u = (a; b; c) và v =  a; b; c 

 

u.v = u . v .cos(u,v) = a.a' + b.b' + c.c'

2
u = u = a 2 + b2 + c2
 
cos(u,v) =

aa' + bb' + cc'
a 2 + b 2 + c2 a'2 + b'2 + c'2

   
với u  0 , v  0

 
u  v  a.a' + b.b' + c.c' = 0


3. Tích có hƣớng của hai vectơ u = (a; b; c) và v =  a; b; c  :
   b c c a a b 
 
;
;
Kí hiệu là  u, v  , được xác định bởi:  u, v  = 


b'
c'
c'
a'
a' b' 

Một số tính chất :

 



 



+  u, v   u ,  u, v   v

 
 



+  u, v  = u . v .sin(u,v)
 
 

+ u , v cùng phương   u, v  = 0
  
  

+ u, v, w cùng phương   u, v  .w  0
1  
- Diện tích tam giác: SABC =  AB,AC
2
Lê Thị Liễu

K32G – Toán
16


Khố luận tốt nghiệp
  
- Thể tích khối hộp : VABCD.A'B'C'D' = AB,AD  .AA'
1   
 AB,AC  .AD

6

- Thể tích tứ diện : VABCD =
4. Phƣơng trình mặt cầu

Mặt cầu tâm I(a; b; c) bán kính R có phương trình:

x - a

2

+  y - b +  z - c = R 2
2

2

2
2
2
Ngược lại phương trình: x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 (*)

là phương trình mặt cầu nếu có điều kiện : a 2 + b2 + c2 > d . Khi đó I(-a; -b; -c)
là tâm của mặt cầu và R =

a 2 + b2 + c2 - d là bán kính của mặt cầu.

5. Phƣơng trình mặt phẳng:

+ Mặt phẳng đi qua điểm M(a; b; c) và VTPT n = (A; B; C) có phương trình

tổng quát là:

A(x - a) + B(y - b) + C(z - c) = 0

+ Mỗi mặt phẳng đều có phương trình tổng qt dạng:
Ax + By + Cz +D = 0
(1) (với A2 + B2 + C2  0 )

Nếu mp(  ) có pt (1) thì n = (A; B; C) là VTPT của mp(  ).
+ Mp(  ) không đi qua O, cắt Ox tại điểm (a; 0; 0), cắt Oy tại điểm (b; 0; 0),
cắt Oz tại điểm (0; 0; c) có phương trình :

x
y z

+ + =1
a
b
c

(abc  0)

Phương trình này gọi là phương trình đoạn chắn của mp(  ).
6. Phƣơng trình đƣờng thẳng :

+ Đường thẳng đi qua M0 = (x 0 ; y0 ; z0 ) với VTCP u = (a; b; c) có:

- Phương trình chính tắc là:

x - x0
y - y0
z - z0
=
=
a
b
c

Lê Thị Liễu

(abc  0)

K32G – Toán
17

Khố luận tốt nghiệp
íï x = x 0 + at
ïï
- Phương trình tham số là ïì y = y 0 + bt
ùù
ùùợ z = z0 + ct

(t ẻ R)

7. V trí tƣơng đối giữa hai mặt phẳng
Cho 2mp   : Ax + By + Cz + D = 0 và  ' : A'x + B'y + C'z + D'  0
Khi đó :

+ ( )  ( ') 

A
B
C
D
=
=
=
A' B' C' D'

+ (a )// (a ')Û

A
B
C D

=
= ¹
A' B' C' D'

+   ,  ' cắt nhau  A : B : C  A‟: B‟: C‟
Đặc biệt     '  AA' + BB' + CC'  0 .


8. Vị trí tƣơng đối giữa đƣờng thẳng d (đi qua M 0 và có VTCP u ) và

đƣờng thẳng d’ (đi qua M'0 và có VTCP u' ).
  
+ d, d‟ cùng nằm trong một mp  u,u' .M0M0'  0
 
 

+ d  d'  u,u' = u,M 0M 0' = 0
r ur
r
íï éu,u'
ù= 0
ïï êë ú
û
+ d//d' Û ïì r uuuuuur
r
ïï ộu,M M 'ựạ 0
0
0ỳ
ùùợ ờở
ỷ

r ur
r
ớù ộu,u'
ựạ 0
ùù ờở ỳ
ỷ
+ d và d‟ cắt nhau Û ïì r ur uuuuuur
ïï éu,u'ù.M M ' = 0
ïïỵ êë ú
û 0 0

  

+ d, d‟ chéo nhau   u,u' .M0 M0'  0
9. Góc
+ Góc giữa 2mp   : Ax + By + Cz + D  0 và  ' : A'x + B'y + C'z + D'  0

Lê Thị Liễu

K32G – Toán
18


Khoá luận tốt nghiệp
cos φ =

AA' + BB' + CC'
A 2 + B2 + C2 A'2 + B'2 + C'2




+ Góc giữa 2 đường thẳng d,d‟ lần lượt có VTCP u(a; b; c), u'(a'; b'; c') là:
 
u.u'
aa' + bb' + cc'
o
cosφ =   =
(0

φ

90
)
u . u'
a 2 + b 2 + c 2 a'2 + b'2 + c'2

u(a; b; c) và mp   có VTPT

+ Góc giữa đường thẳng d có VTCP
 
u.n

Aa + Bb + Cc
n  A; B; C  là: sinφ =   =
u.n
A 2 + B2 + C 2 a 2 + b 2 + c 2
10. Khoảng cách
+ Khoảng cách giữa 2 điểm A (x A ; y A ; zA ), B(x B ; y B ; zB ) là:
AB =

2

2

2

(x B - x A ) + (y B - y A ) + (zB - zA )

+ Khoảng cách từ điểm M(a; b; c) tới mp   : Ax + By + Cz + D  0 là:

d(M,α) =

Aa + Bb + Cc + D
A2 + B2 + C2


+ Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  (đi qua M 0 , có VTCP u ) là:
 
 MM 0 ,u 


d (M,Δ) =

u


+ Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau:  (đi qua M 0 , có VTCP u )

và  ' (đi qua M0', có VTCP u' ) là :
  

 u ,u' .M 0 M 0'


d (Δ,Δ') =
 
 u ,u'


B. các dạng BàI TậP

Lê Thị Liễu

K32G – Toán
19


Khoá luận tốt nghiệp
DạNG 1: CáC BàI TOáN LIÊN QUAN TớI vectơ
Bài tập cơ bản

Bài 1
Cho 2 điểm A(a; b; c) và B(a‟; b‟; c‟). Tìm tọa độ điểm M sao cho:



MA = kMB trong đó k  1.

(Bài

6-Trang81-SGKNC

hình

học12)

Giải
Giả sử M(x; y; z).



MB
MA
Ta có
= (a - x; b - y; c - z);
= (a‟ - x; b‟ - y; c‟ - z).


Khi đó : MA = kMB


x =
a - x = k(a' - x)



 b - y = k(b' - y)   y =
c - z = k(c' - z)




z =

a - ka'
1-k
b - kb'
1-k
c - kc'
1-k

(với k  1)

ỉa - ka' b - kb' c - kc' ÷
ư
;
;
Vậy: im M = ỗỗ
tho món iu kin bi toỏn.
ữ
ỗố 1 - k 1 - k 1 - k ÷
ø
Bài 2
a) Tìm điểm M thuộc Ox sao cho M cách đều 2 điểm : A(1; 2; 3), B(-3; -3; 2).
b) Cho A(2; 0; 4), B( 4; 3; 5 ), C( sin5t; cos3t; sin3t ). Tìm t để AB vng góc
với OC (với O là gốc tọa độ).

(Bài

8-Trang81-SGKNC

học12)

Giải
a) Ta có: M thuộc Ox nên M = (x; 0; 0).
Vì MA = MB nên MA 2 = MB2 hay

Lê Thị Liễu

K32G – Tốn
20

hình


Khoá luận tốt nghiệp

1 - x 

2

+ 22 + 32 =  -3 - x  +  -3 + 22
2

2

 x = -1

.

Vậy M = (-1; 0; 0).



AB = (2; 3; 1), OC = (sin5t; cos3t; sin3t)
b) Ta có:
Đường thẳng AB, OC vng góc
 
 AB.OC  0
 2sin5t + 3cos3t + sin3t  0
3
1
cos3t + sin3t  0
2
2
-π
π

t=
+k

π
24
4
 sin5t   sin(3t + )  
;
2π
3
t =
+ lπ

3
 sin5t +

(k,l   )

Bài 3

r r ur
Xét sự đồng phẳng của 3 vectơ u, v, w trong các trường hợp sau:
r
r
ur
a) u(4; 3; 4), v(2; -1; 2), w(1; 2; 1)
r
r
ur
b) u(1; -1; 1), v(0; 1; 2), w(4; 2; 3)
r
r
ur
c) u(4; 2; 5), v(3; 1; 3), w(2; 0; 1)
(Bài 9-Trang81-SGKNC hỡnh
hc12)

Gii

r r
ổ3 4 4 4 4 3 ữ
ử
ộ
ỗỗ
ữ

=
;
;
= (10; 0; -10)
a) Ta cú: ờu,vự
ở ỳ
ỷ ỗố -1 2 2 2 2 -1 ữ
ữ
ứ
r r ur
ị ộờu,vự
.w = 10 + 0 - 10 = 0
ë ú
û
r r ur
Vậy: u, v, w đồng phẳng.
Tương tự:

Lê Thị Liễu

K32G – Toán
21


Khố luận tốt nghiệp

r r ur
b) u, v, w khơng đồng phẳng.
r r ur
c) u, v, w đồng phẳng.

Bài 4
Cho tứ diện ABCD có A(2; 1; -1), B(3; 0; 1), C(2; -1; 3) và D thuộc
Oy. Biết VABCD = 5. Tìm toạ độ đỉnh D.
(Bài

25-Trang119-SBTNC

hình

học12)
Giải

Giả sử D = (0; y; 0) thuộc trục Oy.
uuur
uuur
uuur
Ta có: AB(1; -1; 2), AD(-2; y - 1; 1), AC(0; -2; 4)
uuur uuur
Þ éêAB,ACù
= (0; -4; -2)
ú
ë
û
uuur uuur uuur
Þ éêAB,ACù
.AD = -4(y - 1) - 2 = -4y + 2
ú
ë
û

Theo giả thiết VABCD = 5.
Mặt khác, ta có: VABCD =

1   
 AB,AC  .AD = 5

6

1
-4y + 2 = 5
6
Û -4y + 2 = 30
Û

Þ y = -7, y = 8
Vậy có hai điểm D trên Oy thoả mãn : (0; -7; 0) và (0; 8; 0).
Bài 5
Cho A(0; 0; -3), B(2; 0; -1) và mp(P) : 3x - 8y + 7z - 1 = 0. Tìm tọa độ
điểm C nằm trên mp(P) sao cho tam giác ABC đều.

Lê Thị Liễu

K32G – Toán
22


Khố luận tốt nghiệp
(Bài

43-Trang125-SBTNC

hình

học12)

Giải
uuur
Ta có: AB = (2; 0; 2) Þ AB = 2 2 .

Giả sử C = (x; y; z).
Tam giác ABC đều khi và chỉ khi AB = AC = BC (với C thuộc mp(P))

hay

íï CA = 2 2 íïï x 2 + y 2 + (z + 3)2 = 8
ïï
ïï
2
2
ï
2
ì CB = 2 2 Û ïì (x - 2) + y + (z +1) = 8
ïï
ïï
ïï C Ỵ (P)
ï 3x - 8y + 7z - 1 = 0
ïỵ
ïỵï

Giải hệ bằng phương pháp thế, ta có 2 nghiệm và do đó có 2 điểm C thoả

mãn :

ỉ 2 2 1ử
C1 = (2; -2; -3), C2 = ỗỗ- ; - ; - ữ
ữ
ỗố 3 3 3ữ
ứ
Bi tp nõng cao

Bài 1
Cho 3 điểm A(1; 0; 0), B(0; 0; 1), C(2; 1; 1)
a) Chứng minh A, B, C không thẳng hàng.
b) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành (hbh).
c) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.
d) Tính độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ đỉnh A.
(Bài

10-Trang81-SGKNC

học12)

Giải



a) Ta có BA = (1; 0; -1), BC = (2; 1; 0) .
Do tọa độ của 2 vectơ đó khơng tỉ lệ nên chúng khơng cùng phương.
Lê Thị Liễu

K32G – Tốn

23

hình


Khố luận tốt nghiệp
Vậy: 3 điểm A, B, C khơng thẳng hàng.



b) Giả sử D(x; y; z) thì BD = (x; y; z - 1) .
Vì ABCD là hbh nên

x = 1 + 2
x = 3
  


BD = BA + BC   y = 0 + 1   y = 1
z - 1 = -1
z = 0


Vậy D = (3; 1; 0).
c) Ta có :

AB = 12 + 02 + (-1) 2 = 2;
BC = 22 + 12 + 02 = 5;
AC = 3
Vậy : Chu vi tam giác ABC bằng

2+ 3+ 5

Nhận xét: BC2 = AB2 + AC2 nên tam giác ABC vuông tại A.
Vậy: Diện tích tam giác ABC là :
S=

1
6
AB.AC =
2
2

d) Từ cơng thức:
SABC =

1
h A .BC
2

 hA =

2SABC
=
BC

30
5

Bài 2

Cho tam giác ABC có: A(1; 2; -1), B(2; -1; 3), C(-4; 7; 5). Tính độ dài
đường phân giác trong của tam giác kẻ từ đỉnh B.
(Bài

23-Trang118-SBTNC

học12)

Lê Thị Liễu

K32G – Tốn
24

hình