Chuyen de Huong phat trien mot bai toan

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (134.84 KB, 8 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Lời nói đầu

Phát triển t duy cho học sinh trong việc học hình là cơng việc cần thiết của
các thày cơ giáo . Nhng con đờng đi đến đích thì lại thật là gian nan , khó nhọc .
Đối với học sinh lớp 8 , một khối lợng kiến thức hình thật là nặng với các em .
Hình học phẳng : nhận biết , chứng minh các loạị tứ giác , Các bài toán về định
lý Ta lét , tam giác đồng dạng... Hình học khơng gian dù mới làm quen song khá
phức tạp . Vậy con đờng hình thành t duy thế nào đây ?

Trong quá trình tự học, tự bồi dỡng hay trong q trình dạy học , tơi
ln luôn định hớng cho các em cách t duy thông qua phân tích một bài tốn rồi
từ đó tìm ra phơng pháp giải quyết nó trong các trờng hợp cụ thể , trong một
hình vẽ cụ thể . Rồi từ đó hớng dẫn cách tổng qt hố các bài bằng cách làm
“lỏng” một vài giả thiết rồi xem kết quả ra sao ? Các bài toán mới chắc chắn làm
cho các em thích thú khi có lời giải trong tay .

Con đờng hình thành bài toán tổng quát là nh thế đấy ! Sau đây là nội
dung chuyên đề :

hớng phát trển một bài tốn hình học lớp 8

, hy vọng sẽ
giúp cho các bạn đồng nghiệp. các em học sinh có cách nhìn “thống” hơn với
bộ mơn hỡnh hc.

Hớng phát triển của một bài toán hình häc

Con đờng đi đến bài tốn tổng qt đối với mơn hình học rất gian nan bởi

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

giúp bạn vợt qua đấy ! Khi bạn cha bằng lòng với một kết quả của một bài tốn
hình thì bạn thử nghĩ xem : Nếu mình làm “lỏng” một chi tiết thì kết quả của nó
có gì sáo trộn khơng? Hãy dũng cảm tấn cơng vào một hệ thức hình học hay một
phơng pháp chứng minh nó , chắc chắn bạn sẽ gặt hái đợc những kết quả khá thú
vị . Bài toán 51 trang 130 sách bài tập toán 8 là một vớ d nh vy .

Bài toán 1 : (bài 51 trang 130 sách bài tập toán 8 )

Cho ABC nhọn với ba đờng cao AA1 , BB1 ,CC1 . Gọi H là trực tâm của tam

giác đó .

CMR : 1 (1)
1

1
1

1
1
1






CC
HC
BB

HB
AA
HA

Gi¶i : gäi SHBC = a , SHAC = b , SHAB = c và SABC = x

Vì ABC nhọn nên trực tâm H nằm ở miền trong tam giác .
Bëi thÕ ta cã : SHBC + SHAC + SHAB = SABC

hay a +b+c=x . DÔ thÊy :

1
1

1
1
1
1
1
1

1
1

1
1
1

1
1






















x
c
b
a

CC
HC
BB
HB
AA
HA
CC

HC
x
c
CC
HC
S

S

BB
HB
x
b
BB
HB
S

S
AA

HA
x

a
AA
HA
S

S

ABC
HAB

ABC
HAC
ABC

HBC

*) H íng ph¸t triĨn :

Với H là trực tâm ABC thì ta có hệ thức (1) . Nếu thay đổi giả thiết : trực
tâm H bằng trọng tâm G thì hệ thức (1) cịn đúng khụng ? Ta i ti bi toỏn 2 .

Bài toán 2 :

Cho ABC với ba đờng trung tuyến AA1 , BB1 ,CC1 . Gọi G là trọng tâm

của tam giác đó .

CMR : 1 1 1 1





CC
GC
BB
GB
AA
GA

C A1

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Do G là trọng tâm của ABC nên : 31
1
1
1

1
1

1   

CC
GC
BB

GB
AA

GA

Bëi thÕ : 1

1
1
1

1
1

1   

CC
GC
BB

GB
AA
GA

Cách 2 : Gọi AN là đờng cao của ABC . GM là đờng cao của GBC.

Khi đó :

x
a
AN
GM

 ( cùng đáy BC )

Vì GM//AN ( cùng vuông góc với BC )
nên

x
a
AA
GA
AA

GA
N
A
GM

1
1

á (Định lý Talet)
Tơng tự ta còng cã : GBBB bx GCCC cx

1
1
1

1 ,

Suy ra : 1

1
1
1
1
1
1













x
c
b
a
x
c
x
b
x
a
CC
GC
BB
GB
AA
GA

*) H ớng phát triển : Trong cách chứng minh thứ 2 , ta không hề nhắc đến dữ
kiện của giả thiết đó là : Trọng tâm G . Phải chăng đây là “lỗ hổng" của bài toán
và để ý trong cách chứng minh hệ thức (1) ta đi đến bài tốn tổng qt .

Bµi toán 3: Gọi M là điểm nằm trong ABC . Các tia AM , BM , CM cắt các

cạnh BC,AC, AB lần lợt tại A1 , B1 , C1 . CMR : 1 (1)

1
1
1

1
1






CC
MC
BB

MB
AA

MA

*/ H ớng dẫn : chứng minh tơng tự nh bài toán 2 ( c¸ch 2 )

*) H ớng phát triển: Quan sát kỹ phơng pháp chứng minh cơng thức (1) ở bài
tốn 2 ta thấy : tỉ số khoảng cách từ M đến BC và từ A đến BC phụ thuộc vào các
diện tích tam giác nhận các khoảng cách các khoảng cách đó làm đờng cao . Bởi
thế dễ dàng tấn công vào công thức (1) cú h thc mi .

Bài toán 4: Gọi M là điểm nằm trong ABC . Các tia AM , BM , CM cắt các
cạnh BC,AC, AB lần lợt tại A1 , B1 , C1 . CMR :

B C

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

)
6
(
2
9
)
5
)

5
(
9
)
4
)
4
(
2
3
)
3
)
3
(
6
)
2
)
2
(
2
)
1
1
1
1
1
1
1

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1















MC
CC
MB

BB
MA
AA
MC
CC
MB
BB
MA
AA
MC
MC
MB
MB
MA
MA
MC
MC
MB
MB
MA
MA
CC
MC
BB
MB
AA
MA
H

íng dÉn gi¶i :

1) Ta cã MAAA ax  AAAA MA xxa  AAMA bxc

1
1
1
1
1
1

T¬ng tù : x

b
a
CC
MC
x
c
a
BB
MB 



1
1
;

2( ) 2

1
1
1













x
c
b
a
x
c
b
x
c
a
x
c
b
CC

MC
BB
MB
AA
MA

2) Tõ MAAA ax

1
1

vµ MAAA bxc  MAMA bac

1 T¬ng tù : c

b
a
MC
MC
b
c
a
MB
MB 




1
1
,
Nhờ bất đẳng thức Cơsi ta có :

2 2 2 6

1
1
1





































c
b
b
c
c
a
a
c
b
a
a
b
c
b

a
b
c
a
a
c
b
MC
MC
MB
MB
MA
MA

3) Từ phơng pháp chứng minh câu 2 , ta đợc :

c
b
c
MC
MC
c
a
b
MB
MB
c
b
a
MA

MA






 1 1

1 , ,

Nhờ bất đẳng thức Nasơnít , ta có :

2
3
1
1
1 








a
c
c
a

c
b
c
b
a
MC
MC
MB
MB
MA
MA

*/ Các bất đẳng thức (4) ,(5) chứng minh tơng tự nhờ các bất đẳng thức (2), (3).
*/ Với các bất đẳng thức trên dấu = xẩy ra  M là trọng tâm của ABC

*/ H íng ph¸t triĨn :

- Sự lật đi, lật lại các tỉ số trong hệ thức (1) giúp ta có những hệ

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Bài toán 5 : Tìm tập tập điểm M nằm trong ABC sao cho : SMAB + SMAC = SMBC

(Bµi 23 trang 123 SGK Toán 8 - Tập 1)

Giải :

Giả sử M là điểm nằm trong ABC sao cho SMAB +SMAC = SMBC

1
1

1
1
1

1
1













CC

MC
BB

MB
AA

MA
Do

CC
MC
BB

MB
AA

MA
S

S
S

S

ABC
MAC
ABC

MAB
ABC

MBC

Bëi thÕ

2
1
1



AA
MA

sử dụng kết quả bài tốn 2, ta có : khoảng cách từ M đến cạnh
BC bằng khoảng cách từ A đến BC . Vậy M thuộc đoạn thẳng song song với BC
cách BC một khoảng bằng1/2 đờng cao hạ từ A xuống BC. Hay M thuộc đờng
trung bình EF của ABC.

*/ H ớng phát triển : Cách chứng minh bài 5 là sự kết hợp giữa hệ thức (1) với
mối quan hệ diện tích của một tam giác bằng tổng hai tam giác còn lại . Nh vậy
nếu điểm M trong tam giác chia thành ba tam giác sao cho một tam giác có diện
tích bằng k lần tổng diện tích hai tam giác cịn lại . Khi đó ph ơng pháp chứng

minh có gì thay đổi khơng ? Ta đi tới bài toán 6 .

Bài toán 6 : Cho ABC , hãy chỉ ra tập hợp của điểm M nằm trong tam giác đó
sao cho :

SMBC = k. (SMAB +SMAC )

Gi¶i : Giả sử M là điểm nằm trong ABC sao cho SMBC = k. (SMAB +SMAC )

Khi đó ta có :

1
1

1
1
1

1
1

1
1
1

1
1














































k
k
AA

MA
AA

MA
k

AA
MA
CC

MC
BB

MB
AA
MA
Do

CC
MC
BB

MB
k
AA
MA
S

S
k

S

S
k
S

S

ABC
MAC
ABC

MAB
ABC

MBC

B C

1 B

E F

B C

1 B

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Vậy M thuộc đờng thẳng (d) song song với BC cách BC một khoảng bằng
1



k
k

đờng cao hạ từ A xuống BC . Giới hạn : đoạn thẳng EF ( E , F là giao của đờng
thẳng d với cạnh AB,AC )

*/ H íng ph¸t triĨn : Dễ thấy từ phơng pháp chứng minh ở bài toán 2 ta thÊy râ

: NÕu SMAB = SMAC = SMBC th× 3

1
1
1

1
1






CC
GC
BB

GB
AA

GA

và M phải là trọng tâm của
tam giác .

Và ta có bài toán 7 :

Xác định vị trí của điểm M nằm trong ABC sao cho SMAB = SMAC = SMBC

Tiếp tục tấn công vào hệ thức ta có bài toán tổng quát hơn .

Bài to¸n 8 :

Xác định vị trí của điểm M nằm trong ABC sao cho SMAB = 2 . SMAC = 3 . SMBC

Giải :

Giả sử điểm M nằm trong ABC sao cho SMAB = 2 . SMAC = 3 . SMBC

11
6
6

2
3
6

1
3

1
2
1
1

1
1

3
1
2
1
1

1
3

1
2

1
1

3
2

1
1
1

1
1

1
1
1

1
1
















































AA
MA
AA

MA

AA
MA
AA

MA

AA

MA
CC

MC
BB

MB
AA

MA
Do

CC
MC
BB

MB
AA

MA
S

S
S

S

ABC
MAC
ABC

MAB
ABC

MBC

Vậy M thuộc đờng thẳng (d1) song song với cạnh BC và cách BC một khoảng

b»ng
11

đờng cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC .

T¬ng tù ,ta cịng cã

11
3
1



BB
MB

Vậy M thuộc đờng thăng (d2) song song với cạnh

B C

1 B

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Nhận xét : Thuật tốn khơng thay đổi khi ta thay đổi tỉ số giữa các tam giác .
Bởi thế ta đi tới bài toán tổng quát .

Bài toán 9 :

Xỏc nh v trớ của điểm M nằm trong ABC sao cho SMAB = k . SMAC = m . SMBC

( víi k , m  R+ )

Giải :

Giả sử điểm M nằm trong ABC sao cho SMAB = k . SMAC = m . SMBC

m
k
km

km
km

m
k
km
m
k
AA

MA
m

k
AA

MA

AA
MA
m
AA
MA
k
AA
MA
CC

MC
BB
MB
AA
MA
Do

CC
MC
m
BB
MB
k
AA
MA
S

S

m
S

S
k
S
S

ABC
MAC
ABC

MAB
ABC

MBC


















































1
1

1
1
1

1
1

1
1
1

1
1

1
1
1
1
1

1
1
1

1
1

Vậy M thuộc đờng thẳng (d1) song song với cạnh BC và cách BC một khoảng

b»ng

m

k
km

km



 đờng cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC .

T¬ng tù ,ta cịng cã

m
k
km

m
BB

MB





1
1

Vậy M thuộc ng thng (d2) song song vi

cạnh AC cách AC một kho¶ng b»ng

m
k
km

m



 đờng cao hạ từ B xuống AC.

VËy ®iĨm M chÝnh lµ giao cđa (d1) vµ (d2)

H

ớng phát triển : Trong việc chứng minh hệ thức (1) có một giả thiết rất quan
trọng đó là : điểm M nằm trong tam giác ABC . Bây giờ ta làm "lỏng" giả thiết
này nhé ! Khi M nằm ngoài tam giác thì hệ thức (1) cịn đúng khơng ? Chắc
chắn bạn thấy ngay khơng có hệ thức (1) nhờ phơng pháp chứng minh nó . Thế
nhng sẽ có hệ thức khác mà cách chứng minh nó có nét tơng tự nh nh cách
chứng minh hệ thức (1). Ta i ti bi toỏn 10 :

Bài toán 10 : Cho điểm M nằm ngoài ABC, giả sử M thuộc phần mặt phẳng
giới hạn bởi các cạnh CB , cạnh AB và AC kéo dài . Gọi các giao điểm của AM ,
BM , CM với các cạnh CB , AC , AB lần lợt là A1 , B1 , C1 .

B C

1 B

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Chøng minh r»ng : 1
AA
MA
CC

MC
BB

1
1

Gợi ý : hình vẽ trong bài này có 4 trờng hợp xẩy ra nhng cách chứng minh lại
cho ta một kết quả . Mời các bạn giải quyÕt nhÐ !

Sau đây là 4 hình vẽ cho 4 trờng hợp , ở đó: d1 // AB; d2 // AC

( gianh giíi chia ra 4 miÒn )

(1) (2)

(3) (4)

Chú ý : Loại trừ các điểm M nằm trên đờng thẳng d1 , d2

TiÓu kÕt

Vì thời gian viết chun đề này khơng nhiều bởi vậy tơi xác định viết nó
trong 2 năm . Hy vọng năm học tới sẽ giải quyết bài tốn 10 và phát trển nó. Rất
mong sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp .

Xin trân trọng cám ơn !

B A C

M
C

1 d2

B C