Gián án Đề khảo sất đội tuyển toán 9 2010 - 2011

UBND HUYỆN LỤC NGẠN
PHÒNG GD VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐỘI TUYỂN
Môn: Toán 9
NĂM HỌC 2010 - 2011
Thời gian làm bài:150 phút
Bài 1:(6.0điểm)
a) Với x, y không âm, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = x -
2 xy 3y 2 x 2008,5+ − +
b) Chứng minh rằng: biểu thức sau có giá trị không phụ thuộc vào x ( với x
≥
0 )
3 6
4
2 3. 7 4 3 x
A x
9 4 5. 2 5 x
− + −
= +
− + +
Bài 2:(2,0diểm) Cho biểu thức :
P =









+
−
+−








+
+
−
+
−
2
10
2:
2
1
36
6
4
2
3
2
x
x
x

xx
xx
x
a) Rút gọn p .
b) Tính giá trị của biểu thức p khi /x / =
4
3
c) Với giá trị nào của x thì p = 7
d) Tìm giá trị nguyên của x để p có giá trị nguyên
Bài 3:(4,0điểm)
a) Chứng minh rằng không có các số nguyên x và y nào thỏa mãn hệ thức: 2008x
2009
+ 2009y
2010
= 2011.
b) Chứng minh rằng nếu : abc = 1 và a
3
> 36 thì :
cabcabcb
a
++>++
22
2
3
Bài 4: (6 điểm) Cho hai nửa đường tròn ( O;R ) và ( O’;R’ ) tiếp xúc ngoài ở A. Tiếp tuyến chung
ngoài TT’có tiếp điểm với đường tròn ( O ) ở T với đường tròn ( O’ ) ở T’, Cắt đường tròn nối tâm
OO’ ở S. Tiếp tuyến chung trong tại A của hai nửa đường tròn cắt TT’ ở M
a) Tính độ dài AM theo các bán kính của hai đường tròn ( O )và ( O’ ).
b) Chứng minh: SO.SO’ = SM
2

và ST.ST’ = SA
2

c) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp
∆
TAT’ tiếp xúc với OO’ tại A và đường tròn
ngoại tiếp
∆
OMO’tiếp xúc với SM tại M
Bài 5. (2 điểm) Cho a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC.
Chứng minh rằng: sin
2
2
A a
bc
≤

………………………Hết………………………….
Phòng ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI
Trường THCS Môn Toán – Năm học 2007-2008
 Thời gian:120 phút(Không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (2,0đ)
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2

2
2 2
2
2
2
2
2
2
§Æt x a; y b víi a, b 0, ta cã:
P = a 2ab 3b 2a 2008,5
= a 2a b 1 3b 2008,5
= a 2a b 1 b 1 2b 2b 2007,5
= a - b -1 2 b b 2007,5
1 1
a - b -1 2 b b 2007,5
4 2
1
a - b -1 2 b
2
= = ≥
− + − +
− + + +
− + + + + − +
+ − +
 
= + − + + −
 ÷
 
 
= + − +

 ÷
 
( )
2
2
2007 2007
1
V× a - b -1 0 vµ b 0 a, b.
2
3
a b 1
a
2
Nªn P = 2007
1
1
b
b
2
2
3 9
x x
2 4
VËy P ®¹t GTNN lµ 2007
1 1
y y
2 2
≥
 
≥ − ≥ ∀

 ÷
 

= +
=


 
⇔ ⇔
 
=
 
=



 
= =
 
 
⇔ ⇔
 
 
= =
 
 
Bài 2: (2,0đ)
( )
( )
2

3 6
6
2
4
4
*TÝnh: 2 3 2 3 7 4 3
2 5 2 5 9 4 5
*Suy ra: A = 1
− = − = −
+ = + = +
Bải giải Điểm
- Nếu y chẵn thì với mọi x
∈
Z có 2008x
2009
+ 2009y
2010
là số chẵn; mà 2011 là số
lẻ, (vô lý) 0,5 điểm
( 0,5điểm )
( 0,5 điểm )
( 0,5 điểm )
( 0,5 điểm )
( 1,0 điểm )
( 1,0 điểm )
( 1,0 điểm )
- Nếu y lẻ thì y
1005
là số lẻ. Đặt y
1005

= 2k + 1 ( k
∈
Z )
⇒
2009y
2010
= 2009(y
1005
)
2
= 2009(2k + 1)
2
= 2009(4k
2
+ 4k + 1) = 4[2009(k
2
+
k)] + 2009.
Ta có 2009y
2010
chia cho 4 dư 1
⇒
2008x
2009
+ 2009y
2010
chia cho 4 dư 1; mà
2011 chia cho 4 dư 3, (vô lý)
Vậy không có các số nguyên x, y nào thỏa mãn hệ thức :
2008x

2009
+ 2009y
2010
= 2011.
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
Bài 4: (4 điểm )
b) Chứng minh:
∆
SO’M ~
∆
SMO suy ra:
2
SO' SM
hay SO.SO '= SM
SM SO
=
( 1 điểm )

∆
SAT~
∆
ST’A suy ra:
2
ST SA
hay ST.ST' = SA
SA ST '
=

( 1 điểm )
c) MA = MT = MT’ nên MA là bán kính đường tròn ngoại tiếp
∆
TAT’ và OO’ MA tại
A.
Do đó đường tròn ngoại tiếp
∆
TAT’ tiếp xúc với OO’ tại A. ( 0,5 điểm )
Gọi M’ là trung điểm của OO’ thì M’M//OT
⇒
SM M’M ở M mà M’M là bán kính đường
tròn ngoại tiếp
∆
OMO’.
Do đó đường tròn ngoại tiếp
∆
OMO’ tiếp xúc với SM tại M
( 0,5 điểm )
Kẻ Ax là tia phân giác của góc BAC, kẻ BM
⊥
Ax và CN
⊥
Ax
Từ hai tam giác vuông AMB và ANC, ta có
sinMAB = sin
2
A
=
BM
AB

⇒
BM = c.sin
2
A
T
O A
M
’
’
O’
S
T’
a) MO, MO’ lần lượt là tia phân giác của hai góc kề bù AMT và AMT’ nên OMO’=90
o
Tam giác OMO’ vuông ở M có MA OO’ nên:
MA
2
= OA.OA’, Suy ra:
MA =
OA.OA' R.R '=
( 1 điểm )
∧
D
N
M
x
C
B
A

sinNAC = sin
2
A
=
CN
AC

⇒
CN = b. sin
2
A
Do đó BM + CN = sin
2
A
( b + c)
Mặt khác ta luôn có BM + CN
≤
BD + CD = BC = a
=> sin
2
A
( b + c )
≤
a ( vì sin
2
A
< 1)
Do b + c
≥

bc2
nên
1 1
2
b c
bc
≤
+

hay sin
2
A

≤

bc
a
2
(đpcm