Bài soạn Cuộc thi Olympic toán học Mônđôva

Cuộc thi Olympic toán học Mônđôva
Nước Cộng hòa Môn-đô-va (Moldova) thuộc khối Đông Âu, có diện tích 33.843
km
2
, dân số tính đến tháng 7 năm 2003 là 4.439.502 người.
Cuộc thi Olympic Toán học Môn-đô-va (MMO - Moldavian Mathematical
Olympiad) do Bộ Giáo dục phối hợp với ủy ban Olympic Toán học Quốc gia tổ
chức, bắt đầu từ năm 1956. MMO diễn ra trong hai ngày, cho hai cấp học (trước
đó, học sinh đã được sàng lọc qua 3 giai đoạn : tại trường ; huyện, thị xã ; tỉnh).
Đội tuyển MMO tham gia IMO (Olympic Toán học Quốc tế) từ năm 1992 và
BMO (Olympic Toán học các nước vùng Ban-căng) từ năm 1996.
Sau đây chúng tôi sẽ giới thiệu một số bài toán của cuộc thi MMO diễn ra từ
ngày 15 đến 18 tháng 3 năm 2001.
Bài 1. Chứng minh rằng hai tập hợp sau đây bằng nhau :
A = { (m, n) : 17 | (2m + 3n) }
B = { (m, n) : 17 | (9m + 5n) }
với m, n thuộc Z.
Chú ý : a | b là kí hiệu b chia hết cho a.
Bài 2. Gọi M là trung điểm cạnh BC của hình bình hành ABCD, N là giao điểm
của AM và BD, P là giao điểm của AN và CN. Chứng minh rằng :
a) AP = AD ;
b) CP = BD khi và chỉ khi AB = AC.
Bài 3. Trong mặt phẳng, có thể tìm được 100 đường thẳng sao cho có đúng
1998 giao điểm từ 100 đường thẳng đó hay không ?
Bài 4. Giá gốc của một món hàng là 21250 đồng, đã một lần món hàng này
được bán giảm giá. Vào dịp lễ Giáng sinh, người ta giảm giá một lần nữa, giá
món hàng chỉ còn là 19176 đồng. Hỏi mỗi lần người ta đã giảm giá là bao nhiêu
phần trăm, biết rằng số phần trăm của mỗi lần giảm giá là số có một chữ số ?