Gián án Cuộc thi olympic toán học Bancăng

Cuộc thi olympic toán học Bancăng
Kì trước chúng tôi đã giới thiệu 5 bài toán dành cho THCS của cuộc thi Olympic
Toán học Ban-căng các năm 1997, 1998. Sau đây xin được tiếp tục giới thiệu 5
bài toán nữa, của các năm 1999 và 2001.
Bài 1 (1999) : Cho các số thực a, b, c khác nhau và hai số thực x, y thỏa mãn a
3
+ ax + y = 0, b
3
+ bx + y = 0, c
3
+ cx + y = 0. Chứng minh rằng : a + b + c = 0.
Bài 2 (1999) : Đặt a
n
= 2
3n
+ 3
6n + 2
+ 5
6n + 2
. Tìm ƯCLN(a
o
, a
1
, a
2
, ..., a
1999
).
Bài 3 (2001) : Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn a
3
+ b

3
+ c
3
=
2001.
Bài 4 (2001) : Cho tam giác ABC có ∠ C = 90
o
, CA ≠ CB,đường cao CH và
đường phân giác CL. Chứng minh rằng : Với điểm X nằm trên đường thẳng CL
(X khác C) ta có ∠ XAC ≠ XBC và với điểm Y nằm trên đường thẳng CH (Y
khác C) ta cũng có ∠ YAC ≠ YBC.
Bài 5 (2001) : Cho A = 44...4 (2n chữ số 4) và B = 88...8 (n chữ số 8). Chứng
minh rằng A + 2B + 4 là số chính phương.