Tai lieu on thi TN DH CD

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (502.51 KB, 52 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Ch ơng I : ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số
 & vẽ đồ thị của hàm số

---@@@@---Chủ đề i : tính đơn điệu của hàm số Soạn : 5/9/2009
Dạng 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hm s

Phơng pháp:

Bc 1: Tìm TXĐ, tính đạo hàm

 Bớc 2: Tìm các điểm mà ở đó đạo hàm bằng 0 hoặc khơng xác định
 Bớc 3: Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
 Bớc 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến.

Ví dụ 1: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:
a) y=x3−3x2+5 ; b) y=− x4+2x2−3

c) y=2x −3

x+1 ; d) y=

x2−2x+5
x −1

e) y=

√

x2−4
Gỵi ý:

a) y=x3−3x2+5

BBT:

x − ∞ 0 2 +∞
y' + 0 - 0 +

5 +∞
y

− ∞ 1

Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng ( − ∞ ; 0), (2; +∞ ) và nghịch biến trên khoảng (0; 2)
b) y=− x4+2x2−3

D = IR

BBT: x − ∞ -1 0 1 +∞
y' + 0 0 + 0

-2 -2
y

− ∞ -3 − ∞

Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng ( − ∞ ; -1), ,(0; 1) và nghịch biến trên khoảng (-1; 0), (2;
+∞ ).

c) y=2x −3
x+1

TX§ : D = IR\ {−1} .
y'

= 5

(x+1)2 > 0 ∀x∈D
BBT:

x − ∞ -1 +∞
y' + +

+∞

− ∞

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

d) y=x

2−2x

+5
x −1

TX§ : D = IR\ {1} .
y'

=x

2−2x −3

(x −1)2

y'=0⇔x2−2x −3=0⇔
x=−1

¿
x=3

¿
¿
¿
¿
¿
BBT:

x − ∞ -1 1 3 +∞
y' + 0 0

+∞
y

− ∞

Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng ( − ∞ ; 1), (3; +∞ ) và nghịch biến trên khoảng (-1; 1),
(1; 3 ).

e) y=

√

x2−4

TX§ : D =(-∞ ; -2] [2 ; +∞)
y'= x

√

x2−4 . Ta cã : y'≠0,∀x∈D

BBT:

x − ∞ -2 2 +∞
y' - +

+∞ +∞
y

0 0

Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu trong mt khong
Phng phỏp:

Định lí Viét: Nếu PT bậc hai ax2 + bx +c = 0 (a 0) ()
cã hai nghiÖm x1, x2 th×: 1 2 1 2

;

b c

S x x P x x

a a

    

 HƯ qu¶:

1) PT (*) cã hai nghiƯm tr¸i dÊu x1< 0 < x2  P0.
2) PT (*) cã hai ngiÖm cïng dÊu





1 2 1 2

0
0 0

x x x x

P

 


     




3) PT (*) cã hai nghiÖm cïng ©m
1 2

0 0

x x S

P

 


    

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

4) PT (*) cã hai nghiÖm cïng d¬ng

1 2

0 0

x x S

P
 



   

Nhận xét: Đặt : f(x) = ax2 + bx + c (a 0)

1) f(x) = 0 có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 <  < x2 tức là x1  0x2 .
Đặt: t x  ,g t

 

f t







. Dẫn đến g t

 

0 có hai nghiệm trái dấu  Pg 0

2) f(x) = 0 cã hai nghiƯm x1, x2 tho¶ m·n x1x2  tøc lµ x1 x2  0 g t

 

0cã hai

nghiƯm cïng ©m

0
0
0
g
g
g
S
P
 

  




3) f x

 

0cã hai nghiƯm x1, x2 tho¶ m·n  x1x2tøc lµ 0x1  x2 

 g t

 

0cã hai nghiƯm cïng d¬ng

0
0
0
g
g
g
S
P
 

  




Ví dụ 1: Tìm m để hàm số

 

2
1
1
1
x mx
y
x
 


 đồng biến trên khoảng



1;



Gợi ý: TXĐ : D\ 1

 

Ta cã:





2 1

x x m

y

x

  

 



. §Ỉt :

 

2 1

f x x  x m

. Hàm số (1) đồng biến trên



1;







 





0, 1; 0, 1;

y x f x x

         

 

0
0 *
f m
f x

  

 


 ,(*) có hai nghiệm thoả mãn x1 x2 1 2

 

. 
Đặt : t = x- 1, g(t) = f(t + 1). áp dụng nhận xét 2 ĐK (2) tơng đơng với

g(t) = t2 – m cã hai nghiệm không dơng.
Tức là:

0 0 0

g
g
g
m
S m
P m


     

 

 . Vậy với m  ( ; 0



thì hàm số (1) đồng biến trên



1;



.

Ví dụ 2: Tìm m để hàm số











  

2 3 2

1 3

2 6 1 3

3 2

y m x  m x m x

nghịch biến trên (-1 ; 0)
Gợi ý: TX§: D = R

Ta cã:

  











2 2

2 3 6 1

y f x  m x  m x m

. Hµm sè (2) nghịch biến trên (-1 ; 0)

0, 1; 0 .

y x

    

+ Khi m = 2, ta cã

1
12 1 0

y  x   x

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

+ Khi





2 2 0

m  m 

nªn ta cã y   0, x



1; 0

y0có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thoả m·n

 

1 2
1 2
1
0

x x a

x x b

 

Xét TH (a): Đặt : t = x + 1; g(t) = f(t - 1) theo nhËn xÐt (1) ta cã: y f x( )0 cã hai nghiÖm

x1,x2 tho¶ m·n





2 2 2 2

1 1 2 ( ) ( 2) 2 5 10 2 15 0

x  x  g t  m t  m  m tm  m 

cã hai

nghiÖm t1,t2 tho¶ m·n









1 2 2

3;5
2 15
0 0
2
2
m
m m
t t
m
m
  
  
     

 

◦ Xét TH (b): tơng tự dẫn đến









1 1
0
2
2
m m
m
m
   
  

 

KÕt hợp các TH, ta có m

1;5

thì hàm số (3) nghịch biến trên (-1; 0).

Vớ d 3: Tỡm m để hàm số









 

3 2

1 1

1 3 2 4

3 3

y mx  m x m x

nghịch biến trên

; 2

Gợi ý: TXĐ : D = R. Ta có:

 









2 1 3 2 .

y f x mx  m x  m

Hµm sè (4) nghịch biến trên

; 2 y   0, x



; 2



+ Khi m = 0, ta cã : y 2x  6 0 x3tøc là x

; 2

không thoả m·n y 0



loai



+ Khi m0, ta cã



 

2 4 1 0

0, ( ; 2

0
( )
0(*)
m
a
m m
y x
m
b
y
 
 

    


       
 

 

 

 (*) cã hai nghiƯm tho¶ m·n

1 2

2 x x

  

◦ Xét TH (a) : dẫn n

2 6

m

Xét TH (b). Đặt : t = x + 2, g(t) = f(t - 2), theo nhËn xÐt 3 cã
2

( ) 2(3 1) 10 11 0

m

g t m m m





     

 cã hai nghiÖm 0 t1 t2





2
0

2 4 1 0

10 2 6

2 3 1

0 11 2

11 10
0
g
g
g
m
m m
m m
S
m
m

P
m




    

  
   

Kết hợp các TH ta có

10
; )
11

m

thì hàm số (4) nghịch biến trên ( ; 2

.
Bài Tập:

1) Tỡm a để hàm số

3 2

( 1) ( 3) 4

y x  a x  a x

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

2) Tìm m để hàm số

2 2

2 3

x mx m

y

x m

 



 đồng biến trên khoảng (1;).

3) Tìm m để hàm số yx3 3(2m1)x2(12m5)x2 đồng biến trên mỗi khoảng ( ; 1) v
(2;)

4) Tìm các giátrị của m sao cho hµm sè : f(x) = x3 – 3x2 + 3mx -1
a) Đồng biến trên TXĐ của nó.

b) Đồng biến trên khoảng (2; +)
c) Nghịch biến trên khoảng (0; 3)
Gỵi ý :

Ta cã : x¿
'

=3x2−6x+3m=3(x2−2x+m)

f¿ . Đây là một tam thức bậc hai. Do đó:
a) f(x) đồng biến trên TXĐ R của nó khi và chỉ khi :

x¿

'≥0⇔ ∀x∈R:x2−2x

+m≥0⇔Δ'=1−m ≤0⇔m≥1
∀x∈R:f¿

b) f(x) đồng biến trên khoảng (2; +∞) khi và chỉ khi :
x



2;



: f(x)0 x



2;



:x2 2xm0.

Ta đi đến bài tốn: Tìm m sao cho tam thức bậc hai g(x) = x2 – 2x + m luôn không âm với mọi x > 2.
Xét 2 trờng hợp:

+ Δg'=1− m≤0⇔m≥1. Lúc này g(x)≥0 với mọi x thuộc R, do đó g(x)≥0 với

∀x∈(2;+∞) .

+ Δg'=1− m > 0. Lúc này g(x) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 (x1 < x2). Bởi vậy:
g(x)≥0,∀x>2⇔x1<x2≤2 và điều kiện tơng đơng là:

¿
Δ'=1− m>0
g(2)=m≥0 0 m<1

S

2=1<2

{ {

Xét chung 2 trờng hợp, đk m phải thoả mÃn là:

m1

0 m<1

m0

c) f(x) nghịch biến trên khoảng (0 ; 3) khi và chØ khi

x¿

'≤0⇔∀x∈(0;3):x2−2x+m≤0

∀x∈(0;3):f¿ .

Tơng tự câu b) ta có đk tơng đơng là : g(x) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho x1≤0<3≤ x2 , tức là:

¿
g(0)=m≤0

g(3)=3+m≤0
⇔m ≤−3

¿{
¿

Dạng 2: Dùng tính đơn điệu để chứng minh Bất đẳng thức
Phơng pháp:

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

VÝ dô 1: Chøng minh r»ng:
a) x −x

6 <sinx<x ,∀x>0

b) sinx + tanx > 2x , (0<x<π

Gỵi ý:

a) x −x

6 <sinx<x ,∀x>0 (1)

⇔

x −sinx>0, x>0

sinx − x+x

6 >0,∀x>0

¿{
Đặt f(x) = x – sinx với x > 0 (vì cosx ≤1 )
Suy ra hàm số đồng biến khi x > 0

Do đó : f(x)>f(0)=0

Suy ra : x – sinx > 0 (2), ∀x>0 đợc chứng minh.
Đặt : g(x)= sinx − x+x

6 >0,∀x>0 . Ta cã : g(x)

′

=cosx −1+x

2
2

g(x)″=−sinx+x
⇒g' '(x)>0,∀x>0 do (2)

Suy ra hàm số g'(x) đồng biến khi x > 0.
Suy ra g'(x)>g'(0)=0

Suy ra g(x) đồng biến khi x > 0
Suy ra g(x) > g(0) = 0

Suy ra : sinx − x+x

6 >0,∀x>0 ⇒ (®pcm)

b) sinx + tanx > 2x , (0<x<

* Đặt : f(x) = sinx + tanx - 2x , (0<x<π

2) .

Ta cã :

f'(x)=cosx+ 1

cos2x −2≥2

√

cosx.
1
cos2x −2

⇒f'

(x)≥2

√

cosx 2
Mà (0<x<

2) nên 0 < cosx <1 ⇒
1

cosx>1 . Suy ra : f
'

(x)>2−2=0⇒f'(x)>0

0 < x < π

2 víi (0<x<

π

2) ⇒ f'(x) đồng biến với 0<x<

π

Suy ra : f(x) > f(0) = 0

Do đó : sinx + tanx – 2x > 0 vi 0<x<

2 .Ta có đpcm.

Bài tập1:CMR với x > 0 ta cã: eÏ>1+x+x

2
2

(§HKT HN -98)

Gợi ý: BĐT phải chứng minh tơng đơng với

2
ln 1

x
x   x 

 .

XÐt hs:

2
( ) ln 1

x
f x  x   x 

 , cã

2 2

( ) 1 0.

2 2
1

x x

f x

x x x

x



    

 

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Hàm số đồng biến trên R. Do đó với x > 0, ta có:

 

0 0 ln 1

x

f x  f   x x

Lu ý: Với x dơng và nN, ta có BĐT tổng quát sau:
ex >

2 2

1 , ln 1

2! ! 2! !

n n

x x x x

x hay x x

n n

 

         



Bài tập 2: Chứng minh các BĐT sau:

cos 2 , 0

x x

xe   x  x

;

1 1

2 2 , 0

2 2

b a

a b

a b a b

   

    

   

   

Bài tập áp dụng:
Bài 1: Khảo sát tính đơn điệu của các hàm số sau:

a) y=2x −1

x+1 ; b) y=

x2−3x+3

2− x ; c) y=x −

x −2 ;

d) 2x

x2+1 ; e) y = cosx – x ; f) y=x+

√

x

−2x −3

§S:

a) y'= 3

(x+1)2>0,∀x ≠ −1 hàm số tăng trong các khoảng xác định.
e) y'=−sinx −1≤0 hàm số luôn nghịch biến.

f) D=¿∪¿

+ y'=1+ x −1

√

x2−2x −3=

√

x2−2x −3+x −1

√

x2−2x −3

x ≥3⇒y'
=0
x ≤ −1; y'=

√

x

−2x −3−(− x+1)

√

x2−2x −3 =

−4

√

x2−2x −3

(

√

x2−2x −3

√

− x+1

)

<0
+ BBT :

x − ∞ -1 3 +∞
y' - +

1 +∞
y

-1 3

Bài 2: Xác định giá trị của m sao cho hàm số : y = x3 – 2x2 + mx -1
a) Đồng bin trờn R

b) Đồng biến trong khoảng (0 ; 1/3).
Gợi ý:

a) D = R.

y'=3x2−4x+m;a=3>0; Δ'

=4−3m

Hàm số đồng biến trên R ⇔4−3m ≤0⇔m≥4

b) Víi m≥4

3 thì hàm số đồng biến trên R nên đồng biến trong (0; 1/3)

Víi m<4

3; Δ

'

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

0<1

3<x1<x2(1)

¿
x1<x2≤0≤1

3(2)

¿
¿
¿
¿
(1)⇔

3y'

(

)

≥0

S

2>
1
3

⇔
¿m−1≥0

2
3>

1
3

⇔m ≥1

¿{
(2)⇔

3y'(0)≥0
S

2<0

⇔
¿3m≥0

2
3<0

¿{

v« nghiƯm.

Vậy với m≥1 thì hàm số ln đồng biến trong (0 ; 1/3)

Bài 3: Cho hàm số : y = x3 – 3(a - 1)x2 + 3a(a - 2)x +1 trong đó a là tham số. Với các giá trị nào của a thì 
hàm số đồng biến trên tập hợp các giá trị của x sao cho : 1≤|x|≤2

(§H LuËt – Dỵc HN-2001)
Gỵi ý:

+ y'=3

[

x2−2(a −1)x+a(a −2)

]≥

0 ⇔f (x)=x22(a 1)x+a(a 2)0
Ta xét 4 trơng hợp:

TH1: '=(a −1)2−a(a −2)≤0⇔1≤0 : v« nghiƯm

 TH2: x1≤ x2≤−2

⇔
Δ'

=1≥0

1.f(−2)=a2

+2a ≥0
S

2=a −1≤−2

⇔a ≤−2

¿{ {

 TH3:

−1≤ x1≤ x2≤1⇔

 

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

 TH4: 2≤ x1≤ x2

⇔
Δ'=1≥0

1.f(2)=a2−6a

+8≥0
S

2=a −1≥2

⇔a ≥4

¿{ {

KÕt luËn :

a ≥4

¿
a=1

¿
a ≤ −2

¿
¿
¿
¿

Bài 4: Tìm a để hàm số : y = x3 + 3x2 + ax +a nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1
(Khối D - ĐHQGHN-2000)
Gợi ý:

+ D = R.

+ y'=3x2+6x+a⇒y'=0⇔3x2+6x+a=0 (1)

Hµm sè nghịch biến trên đoạn dộ dài bằng 1 khi và chØ khi pt (1) cã 2 nghiƯm ©m x1, x2 tho¶ m·n : {x1 – x2}
= 1

⇔
Δ>0

|

x1− x2

|

⇔
¿Δ>0

√

Δ

3 =1

⇔36−12a=9⇔a=9

¿{
§S : a=9

Bµi 5 : Cho hµm sè : y=(m+1)x

−2 mx−(m3−m2+2)

x −m (Cm)

Trong đó m – tham số . Xác định tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số luôn
nghịch biến trên các khoảng xác định của nó.

(HVTCKT HN - 2001)

Gỵi ý:

Ta cã: y'=(m+1)x

−2m(m+1)x+m3+m2+2
(x −m)2

Để hàm số luôn luôn nghịch biến trong các khoảng xác định ta phải có:
F(x) = (m+1)x2−2m(m+1)x+m3+m2+2≤0,∀x ≠ m

+ Víi m = -1: F(x)=2≤0 suy ra không thoả mÃn (loại)

+ Với m≠ −1 : để

F(x)≤0,∀x ≠ m⇔
m+1<0
Δ'=−2(m+1)≤0

⇔
¿m+1<0

m+1≥0
¿{

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

KL : Kh«ng cã giá trị nào của m thoả mÃn.
Bài 6: Cho hàm số : y=2x

3x+m

2x+1

Với những giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên (-1/2 ; + )

(Khôí B - ĐHNNI-2001)
Bài 7: Cho hµm sè : y=x

−8x

8(x+m) , trong đó m là tham số.

Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số đồng biến trên [1 ; + )

(ĐH Mỏ - ĐC 2001)
Gợi ý:

Ta cã : y'=1

x2+2 mx−8m
(x+m)2

Để hàm số đồng biến trên [1 ; + ∞ ) ĐK là:

¿
x=−m<1
y'≥0∀x∈¿

¿{
¿

⇔
m>−1(1)

x2+2 mx−8m≥0∀x∈¿(2)

¿{
XÐt (2): Cã 2 TH

+ Δ'=m2+8m≤0⇔−8≤ m≤0 . Kết hợp (1) ta đợc : −1≤ m≤0

Δ'=m2+8m≥0

1.f(1)=−6m+1≥0
S

2=− m≤1

⇔0≤ m≤1

¿{ {
¿

(tho¶ (1))

Dạng 3: Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để giải phơng trình, bất phơng trình
Ví dụ 1: Giải phơng trình :

√

4x −1+

√

4x2−1

=1 (1)

(HVNH_§HQG Khối D -2001)
Gợi ý:

ĐK :

4x 10
4x210

x 1

{

Nhn xét rằng số nghiệm của PT (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y =

√

4x 1+

4x21 v ng

thẳng y = 1

+ Xét hàm sè : y =

√

4x −1+

√

4x2

−1

D = [ 1

2;+∞¿

y'= 2

√

4x −1+
4x

√

4x2−1>0,∀x ≥
1

2 . Do đó hàm số ln ln đồng biến với ∀x ≥12 .

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

NhËn thÊy x=1

2 tho¶ m·n PT.

VËy PT cã nghiƯm duy nhất.
Ví dụ 2 : Giải phơng trình:

3 2

log 3 2

2 2 3

x x

Gợi ý:

Đặt :





2 1; 2 2 2 3 0; 0

ux  x v x  x u v

Suy ra: v – u = x2- 3x +2

Phơng trình đã cho tơng đơng với :

 

3 3 3 3 3

log u v u log u log v v u log u u log v v 1

v          

XÐt hµm sè: f t

 

log3tt , cã :

 

1 0, 0

ln 3

f t t

t

     

nên hàm số đồng biến khi t > 0.
Từ (1) có f(u) = f (v), suy ra u = v hay v – u = 0, tức là x2 – 3x + 2 = 0.

PT cã nghiÖm x = 1, x = 2.
 Lu ý:

 Víi PT d¹ng

loga , 0, 0, 1

u

v u u v a

v      , ta thờng biến đổi:

logau logav v u logau u logav v

, vì hàm số f t

 

logatt đồng biến khi t > 0, 
suy ra v = u.

Với các đk trên ta có BPT :

loga ( ) ( )

u

v u f u f v u v

v     

VÝ dơ 3: Gi¶i BPT: log 35

x

log4x.

Gợi ý: ĐK: x > 0

Đặt : log4 4
t

t x x

, BPT trë thµnh :





3 2

log 3 2 3 2 5 1

5 5

t

t t t

t

t  

        

 

Hµm sè :

3 2

( )

5 5

t

f t     

  nghịch biến trên R và f(1) = 1. BPT trở thành : 
f t

 

 f

 

1  t 1, ta đợc : log4 x 1 0x4.

 Lu ý:

 Với BPT dạng logaulogbv, ta thờng giải nh sau: Đặt: tlogau( hoặc tlogbv);đa về BPT
mũ; sử dụng chiều biến thiên của hàm số để suy ra nghiệm.

 Víi PT d¹ng logaulogbv, ta thờng giải nh sau: 
Đặt :

log log

t

a b t

u a

t u v

v b

 


   




 , sử dụng phơng pháp thế để đa về một PT mũ;
tìm t ( thơng thờng có nghiệm t duy nht), suy ra x.

Bài tập t ơng tự: Gi¶i PT, BPT:
a) log2sin x = 2log3 tanx
b)

2
2 2

3 5

log

2 2 3

x x

 



  x2 - x 2

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Khảo sát và lập BBT của hàm số y = f (x) trên TXĐ cña nã.

 Căn cứ vào BBT, xác định dáng điệu đồ thị hàm số y = f(x) trên TXĐ để suy ra các giá trị của m cần
tìm.

Ví dụ 1: Tìm m để PT sau có đúng 2 nghiệm thực phân biệt

1x 8 x

1x

8 x

m.
Gợi ý:

ĐK: 1 x 8. XÐt hs: f x

 

 1x  8 x



1x

 

8 x



trªn



1;8



Ta cã:

 



 





 













 



1 1 7 2 8 1 7 2

2 1 2 8 2 1 8 2 1 . 8 2. 1 8

1 1

7 2

2 1 8

2 1 . 8 . 1 8

x x x x

f x

x x x x x x x x

x

x x

x x x x

    
     
       
 
 
  

        
 

Mµ





2 1x. 8 x. 1x 8 x



 



1
2 1 x 8 x



  >0 với mọi x 



1;8



Do đó, dấu của đạo hàm f

 

x chỉ phụ thuộc vào dấu của nhị thức bậc nhất 7 – 2x.
Ta có BBT:

x -1
7

2 8

 

f x

+ 0

- 

f x

9
3 2
2

3 3

Từ BBT suy ra các giá trị của m cần tìm là

3 3 2

m

Vớ d 2: Tìm m để PT sau có đúng 2 nghiệm thực phân biệt
42x 2x 2 64  x2 6 x m (ĐTTS ĐH – A 2008)
Gợi ý: ĐK: 0 x 6.Xét hàm số :

 

42 2 2 64 2 6

f x  x  x  x  x

trªn



0; 6



. Ta cã:

 

















4 4 4 4

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 6 2 6

2 2 2 6 2 6

f x

x x x x

 
 
 
        


 
Đặt :

 









4 4
1 1
2 6
u x
x x
 

;

 

1 1

2 6

v x

x x

 

 . Ta thÊy : u (2) = v (2) = 0.

Nªn f

2 0. Hơn nữa u(x), v(x) cùng dơng trên (0 ; 2) và cùng âm trên (2 ; 6).
Ta cã BBT:

x 0 2 6

 

f x

+ 0

- 

f x

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

2 62 64 4122 3

Từ BBT suy ra các giá trị của m cần tìm là 2 62 64 m3 26
Ví dụ 3: Tìm m để PT :tan2x + cot2x + m(tanx + cotx) + 3 = 0 có nghiệm.
Gợi ý:

§K: sinx0,cosx0 2





k

x  k Z

  

Đặt : tanx + cotx = t, khi đó t 2.PT đã cho trở thành t2 + mt +1 = 0.

Nhận thấy t = 0 không phải là nghiệm của PT trên . Do đó :





1 1

t

m t

t t



  

XÐt hµm :

1
,

y t

t

 

víi t 2.Ta thÊy: 2
1

, 0 1, 1

y t y t t

t

     

Ta cã BBT :

t - -2 -1 1 2 +
y 0 0

y 
5
2

 

5
2

Từ BBT ta thấy PT ó cho cú nghim khi
5
2

m

hoặc

5
2

m
Bài tập tơng tù:

1) Tìm m để PT mx x 3 m 1 có nghiệm.

2) Tìm m để PT xmm x2 1có đúng 2 nghiệm thực phân biệt.
3) Tìm m để PT x x  x12m



5 x 4 x



có nghiệm.
4) Tìm m để PT 2x x  x 7 2 x27x mcó nghiệm.
5) Tìm m để PT sinx + 2cos2

x
m



(cosx + 2sin2

x

) có nghiệm trong đoạn
0;

---Ch đề ii : cực trị của hàm số Soạn : 15/09/09

Dạng 1: Tìm các cực trị của các hàm số

Ph¬ng pháp : 
Quy tắc 1: Tìm f'(x)

Tỡm các điểm xi(i = 1, 2, 3….) tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhng
khơng có đạo hàm.

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

 Quy tắc 2:

Tìm f'(x)

Tìm các nghiệm xi(i = 1, 2, 3.) của phơng trình f'(x)=0 .
Với mỗi xi , tính f' '

(xi) .
Nếu f' '

(xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại xi.
Nếu f' '(xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại xi.
Ví dụ 1: Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) y = - x3 + 3x2 – 1 ; b) y = x

4
2 − x

c) y=x −3

2− x ; d) y=

x2 x 1

x 2

Gợi ý:

Dùng quy tắc I

a) y = - x3 + 3x2 – 1

x − ∞ 0 2 +∞
y' 0 + 0

+∞ 3

1 − ∞
-1

Vậy hàm số đạt yCT=−1 , tại x = 0 và yCĐ = 3 tại x = 2.

b) y = x

2 − x

+3
+ TX§ : D = R

y'=2x3−2x=2x

(

x2−1

)

y'=0⇔

x=0
¿
x=±1

¿
¿
¿
¿
¿
+ BBT:

x − ∞ -1 0 1 +∞
y' - 0 + 0 - 0 +

+∞ 3 +∞
y 5

2
5
2

Vậy : Hàm số đạt yCT = 5

2 , t¹i x = ±1 và yCĐ =3 tại x = 0.

c) y=x 3

2 x

+ TX§ : D = R \ {2}
+ y'= −1

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

+ BBT :

x − ∞ 2 +∞
y' - -

+∞ +∞

− ∞ 
Vậy hàm số không só cực trị

d) y=x

x 1

x 2

+ TXĐ : D = R \ {2}

y'=x

−4x+3
(x −2)2 ; y

'
=0⇔
x=1

¿
x=3

¿
¿
¿
¿
¿
+ BBT :

x − ∞ 1 2 3 +∞

y' + 0 0

1 +∞
y − ∞ 5

Vậy : Hàm số đạt yCT =5 , tại x =3 và yCĐ =1 tại x = 1.
Ví dụ 2: Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
a) y = x4 – 2x2 + 1 ; b) y = sin2x – x
c) y = sin2x + cos2x ; d) y = sin2x

Gợi ý:

Dùng quy tắc II

Dạng 2: Định m để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x0 hay đạt cực trị bằng y0.

1. Định m để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x0

Phơng pháp:

Gii phng trỡnh f'(x0)=0 để định m.

 Thử lại điều kiện đủ bằng cách dùng lại dấu hiệu I hoặc II.

2. Định m để hàm số y = f(x) đạt cực trị bằng y0

Ph¬ng pháp:

ĐK

f'

(

x0

)

f

(

x0

)

=y0

{

(x0 cha bit nh m)

Th li đk đủ nh phần 1
Ví dụ 1: Định m để hàm số : 
y = f(x) = 1

3 x3 – (m - 1)x2 + (m2 – 3m +2)x +5 đạt cực đại tại x = 0

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

y = f(x) = 1

3 x3 – (m - 1)x2 + (m2 – 3m +2)x +5

D = R
y'

=f'(x) =x2 – 2(m - 1)x + m2 – 3m +2
Hàm số đạt cực đại tại x = 0 nên :

f'(0

)=0⇔m2−3m

+2=0⇔
m=1

¿
m=2

¿
¿
¿
¿
¿
Thư l¹i :

+ Dïng dÊu hiƯu I:

 m = 1: y'=x2; y'=0⇔x=0
BBT : x 0 +∞
y' + 0 +

+∞

− ∞

Nh thế hàm số không đạt cực đại tại x = 0. Nên loại m = 1.

 m = 2:
y'

=x2−2x ; y'=0⇔
x=0

¿
x=2

¿
¿
¿
¿
¿
BBT :

x − ∞ 0 2 +∞
y' + 0 - 0 +

+∞
C§

− ∞ CT
Nh thế hàm số đạt cực đại tại x = 0. Nên nhận m = 2.
Ví dụ 2: Cho hàm số : y=x

+mx+1
x+m

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

y=x

+mx+1
x+m
¿ ¿+D=R{−m

x=− m−1
¿
x=−m+1

¿
¿
¿
¿
y'=x

+2 mx+m2−1
(x+m)2 y

'

=0⇔x2+2 mx+m2−1=0⇔¿
+ BBT:

x − ∞ - m -1 - m - m + 1 +∞
y' + 0 0

C§ +∞
y

CT
− ∞

a) Theo bảng biến thiên ỏ trên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = - m +1 = 2 ⇔ m = -3.
b) yCT = y(- m +1) = 2 (-m +1) + m = - m + 2

⇔ yCT = - m +2 = 3 . Suy ra : m = -1
VËy m = -1.

Dạng 3: Điều kiện để hàm số y = f(x) có cực đại và cực tiểu.
 Phng phỏp:

Tìm TXĐ D
Tính y'=f(x)

iu kin để hàm số có cực đại và cực tiểu là y' đổi dấu 2 lần ⇔ phơng trình :
y'=0 có hai nghiệm phân biệt thuộc D ⇔Δ>0

VÝ dô 1:

Chøng minh r»ng hµm sè : y = x

+2x+m

x2+2 ln ln có một cực đại và một cực tiểu.
Gợi ý:

+ D = R

y'=−2x

+2(2− m)x+4

(

x2+2)2

[− x

+(2− x)x+2

]

(

x2+2)2
y'

=0⇔− x2+(2− x)x+2=0( )

Δ=(2− m)2+8>0∀m

Chứng tỏ phơng trình (*) ln có 2 nghiệm phân biệt.
Do đó hàm số đã cho có mọtt cực đại , cực tiểu.
Ví dụ 2: Cho hàm số : y=x

− m(m+1)x+m3+1
x − m

a) CMR : Hàm số ln có CĐ, CT.
b) Định m để cực yCĐ và yCT trái dấu.
Gợi ý:

a) y=x

2− m(m+1)x+m3+1

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

¿D=R{m
¿
x1=m−1

¿
x2=m+1

¿
¿

¿
¿
¿

¿
y'=x

−2 mx+m2−1
(x − m)2 y

'

=0⇔x2−2 mx+m2−1=0(x ≠ m)⇔¿

Nh thế phơng trình y'=0 ln có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 đều khác m. Nên hàm số ln có cực đại và cực
tiểu.

b) Hai cùc trÞ cho bëi:
y

(

x0)=u

(

x0)

v

(

x0)=
u'

(

x0

)

v

(

x0

)

=2x m(m+1) .
Vì aa > 0 nên:

yC = y(x1) = 2(m - 1) – m(m + 1) = - m2 + m – 2
yCT = y(x2) = 2(m + 1) – m(m + 1) = - m2 + m + 2

Điều kiện đề bài ⇔ yCĐ .yCT < 0

⇔

(

−m2

+m−2) (−m2+m+2)<0
⇔− m2+m+2>0,

(

− m2+m −2<0,∀m

)

⇔−1<m<2

Dạng 4: Định m để hàm số y = f(x) đạt cực đại tại 2 điểm x1, x2 ( hay có yCĐ, yCT )thỏa mãn một điều kiện

cho tríc.

Ph¬ng pháp:
Tìm TXĐ D

Tính y'=f(x)

nh m phơng trình y'=0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn hệ thức cho trớc:

o Nếu thoả một đẳng thức thì thờng dùng hệ thức Viét

o NÕu thoả mÃn BĐT thì thờng dùng cách so sánh 1 số với các nghiệm của phơng trình bËc
hai.

Ví dụ1: Định m để hàm số : y=1

3mx

3

(m1)x23(m2)x+1

3 có hao điểm cực trị x1, x2 thoả m·n: x1+

3x2 = 1.
Gỵi ý:

y=1

3mx

−(m−1)x2−3(m−2)x+1

+ D = R

+ y

'

=mx2−2(m −1)x −3(m −2)
y'=0⇔mx2−2

(m −1)x −3(m −2)=0(1)

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

⇔

m ≠0

Δ'=(m−1)2+3m(m−2)>0
⇔

¿m≠0

4m2−8m

+1>0
¿

⇔
m>1+

√

¿
m<1−

√

¿
¿{

¿
¿ ¿

vµ m≠0 (2)

Ta cã:

¿
x1+3x2=1(a)

S=x1+x2=

2(m −1)
m (b)
P=x1.x2=−3(m−2)

m (c)
¿{ {

GiảI hệ (a) và (b) ta đợc: x1=5m −6

2m ; x2=

− m+2

2m

Tahy vµo (c):

(5m −6)(− m+2)

4m2 =−

3(m −2)

m ⇔7m

−8m −12=0⇔
m=2

¿
m=−6

¿
¿
¿
¿
¿

(đều thoả (2))

§S : m = 2 , m =-6/7.

Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm các cực trị của các hàm số sau:

a) y = 2x3 + 3x2 – 36x – 10 b) y = x4 + 2x2 – 3
c) y = x+1

x d) y=

x2−2x

+3
x −1

e) y = x3 ( 1 - x)2.

Bài 2: Cho hàm số : y = mx3 + 3mx2 – ( m - 1)x – 4. Tìm m để hàm số khơng có cực trị.
Gợi ý:

+ D = R.

+ Ta cã : y'=3 mx2+6 mx−(m−1)

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

⇔Δ'

=9m2+3m(m −1)≤0

⇔12m2−3m ≤0

⇔0<m≤1

§S : 0≤ m≤1

Bài 3: Cho hàm số : y = x3 - 2mx2 – 2. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.
Gợi ý:

+ D = R.
+ Ta cã: y'

=3x2−4 mx; y' '=6x −4m

Để y đạt cực tiểu tại x = 1

⇔

y'(1)=3−4m=0
y''(1)=6−4m>0

⇔
¿m=3

m<3

⇔m=3

¿{

Bài 4: Cho hàm số : y = 2x3 + ax2 – 12x – 13. Tìm a để hàm số có cực đại, cực tiểu và hai điểm này cách 
đều trục tung.

Gỵi ý: 
+ D = R.
+ Ta cã:

6 2 12

y  x  x

Do '=a2+72>0a nên y luôn có 2 điểm cực trị với mọi a.

Gọi x1, x2 là 2 nghiƯm ph©n biƯt cđa pt y’ = 0.

Hai điểm cực trị cách đều trục tung

⇔

|

x1

|

x2

|

⇔
x1=x2(loai)

¿
x1=− x2

¿
¿
¿
¿

¿
¿
¿

Bài 5: Cho hàm số: y = mx4 + ( m2 - 9)x2 + 10. Tìm m để hàm số có 3 cực trị .
Gợi ý:

+ D = R.

+ Ta cã: y'=4 mx3+2

(

m29)x=2x

[

2 mx2+m29

]

.
Yêu cầu bài toán ⇔y'=0 cã 3 nghiƯm ph©n biƯt

g(x)=2 mx2+m29=0 có hai nghiệm phân biệt khác 0.

⇔
m≠0

Δ=0−8m

(

m2−9)>0
g(0)=m2−9≠0

⇔m<−3
¿{ {

hc 0 < m < 3.

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

+ D = R.

+ Ta cã: y'=4x3−4 mx=4x

(

x❑2

− m

)

Để y có 3 cực trị ⇔ m > 0. Lúc đó:
y'

=0⇔
x=0

¿
x=±

√

m

¿
¿
¿
¿
¿

Gọi A, B, C là 3 điểm cực trị thì B

(

0; m4+2m

)

; A

(

m ;m4 m2+2m

)

;C

(

m ;m4 m2+2m

)

Yêu cầu bài toán

BA2=BC2

BA2

=AC2

{

( luụn ỳng vỡ trục tung là trục đối xứng)

⇔

(−

√

m−0

)

(

−m2

)

(−

√

m

)

2
⇔m+m4=4m⇔m

(

m3−3)=0

⇔m=0 ( loại do đk m > 0) hoặc m3 = 3 ⇔m=

√

33
Bài 7: Xác định m để hàm số : y=x

+mx+1

x+m đạt cực đại tại x = 2.
ĐS : m = -3

Bài 8: Cho hàm số : y = f(x) = x3 + ax2 + bx +c có đồ thị (C). Định a, b, c biết rằng (C) có một điểm cực trị (- 
2 ; 0) và đi qua điểm A(1 ; 0)

Gỵi ý:

Ta cã: y = f(x) = x3 + ax2 + bx +c
+ D = R.

+ y'=f'(x)=3x2

+2ax+b

¿
f'(−2)=0

f(−2)=0
f(1)=0

⇔
¿12−4a+b=0
−8+4a −2b+c=0

1+a+b+c=0
¿{ {

Giải ra ta đợc a = 3 , b = 0 , c = -4.
Vậy: y = f(x) = x3 + 3x2 – 4.

Thư l¹i , ta cã: y'=f'(x)=3x2+6x ; y''=f' '(x)=6x+6

Suy ra : f' '(−2)=−12+6=−6≠0⇒ Hàm số đạt cực trị tại x = -2

ĐS: a = 3, b = 0 , c = -4.

Bài 9: Định m để hàm số : y=x

+(m+1)x+2m+1

x+1 đạt cực trị tại 2 điểm x1, x2 sao cho:
x1 < x2 < 2.

Gỵi ý: Ta cã : y=x

2+(m+1)x+2m+1

x+1 ; D = R \ {−1}
y'=x

+2x − m
(x+1)2 ; y

'

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

⇔
Δ'>0
g(−1)≠0

g(2)>0
S

2−2<0

⇔
¿1+m>0
−1− m≠0

8− m>0
−1−2<0

⇔
¿m>−1

m<8
⇔−1<m<8

¿{ { {

Bài 10: Định m để hàm số y= x

+3x+m

x 4 có {yCĐ - yCT} = 4

Gợi ý:

+ D = R \ {4}
+ y'=− x

+8x −m −12
(x −4)2 ; y

'

=0⇔− x2+8x −m −12=0(1), x ≠4

Trớc tiên để hàm số có yCĐ, yCT là PT(1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 khác 4.
⇔

Δ'

=16−(m+12)>0
−(4)2+8(4)−m −12≠0

⇔
¿m<4

m ≠4

⇔m<4(a)
¿{

Lúc đó 2 cực trị cho bởi

 

2 2 1 3 2 2 3 2 2 1

i i

i i CD CT

i i

u x u x

y x x y y x x x x

v x v x


           











2 1

2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

4 2 4

4 2 4 4 4

CD CT

y y x x

x x x x x x x x x x

    

          





8 4 m 12 4 m 3

     

VËy : m = 3

---chủ đề iii: giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Soạn : 20/09/09

D

ạng 1 : T×m giá trị lớn nhất v giá trị nh nht của hàm số y = f(x) liên tụctrên đoạn [a ; b].
 Phơng pháp:

Tớnh o hm y'=f(x)

Tìm các điểm x1, x2, …xi trên (a ; b) tại đó f'(x) .
 Tính f(a), f

(

x1

)

, f

(

x2

)

⋯f

(

xn

)

, f(b).

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Lúc đó : maxf(x)=M

❑ ;

minf(x)=m

❑

VÝ dụ 1: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau đây:
a) f(x) = x3 3x2 - 9x +5 trên các đoạn [-4; 4]; [0; 5].
b) f(x) = sin2x – x trªn

[

−π

2;

π

]

c) f(x) = 2sinx – 4/3 sin3x trªn [0; π ]. (TN THPT 2003 - 2004)
Gỵi ý:

a) * f(x) = x3 – 3x2 - 9x +5 trên đoạn [-4; 4].

Hm s liờn tc trên [-4 ; 4] nên đạt GTLN, GTNN trên đoạn ấy. Ta có:
x=−1

¿
x=3

¿
¿
¿
¿

¿ f

'

(x)=3x2−6x −9
f'(x)=0⇔3x2−6x −9=0⇔¿

(tho¶ m·n)

Ta cã: f(-4) = -71; f(-1) = 10; f(3) = -22; f(4) = -15.
VËy : Max f(x) = 10; Min f(x)= -71.

[-4; 4] [-4; 4]

* f(x) = x3 – 3x2 - 9x +5 trên đoạn [0; 5]
x=1

x=3

f

'

(x)=3x26x 9
f'(x)=03x26x 9=0

(loại)

Ta cã: f(0) = 5; f(3) =-22 ; f(5) = 10.
VËy: Max f(x) = 10; Min f(x)= -22.
[0;5] [0;5]

b)f(x) = sin2x x trên

[

2;

]

Hàm số f(x) liên tục trên đoạn

[

2 ;

]

f'

(x)=2 cos 2x −1
f'(x)=0⇔cos 2x=1

2⇔2x=±

π

3+k2π⇔x=±

π

6+kπ(k∈Z)

V× : x¿∈

[

−π

2 ;

π

]

, nªn chän x=±

π

6 .

Ta cã: f

(

π

)

√

2 −

π

6 ;f

(

π

)

=−

π

2 ; f

(

−

π

)

=−

√

2 +

π

6; f

(

−

π

)

π

VËy : Max f(x) = π

2 ; Min f(x) =

-π

[

−π

2 ;

π

]

[

−

π

2 ;

π

]

c) f(x) = 2sinx – 4/3 sin3x trªn [0; π ].

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

y=g(t)=2t −4

3t
3

y'

=g'(t)=2−4t2
y'=0⇔2−4t2=0⇔t2=1

2⇔t=
1

√

2,(t ≥0)

Ta cã: g(0) = 0; g

(

√

)

=
2

√

3 ; g(1)=
2
3

VËy : Max f(x) = 2

√

3 ; Min f(x) = 0

[0; π ] [0; π ]
 Chó ý : Trên đoạn [a ; b]

Hàm số tăng thì Min y = f(a) ; Max y = f(b)
 Hµm số giảm thì Min y = f(b) ; Max y = f(a)

 Hàm số có cực trị duy nhất tại điểm x0 mà cực trị đó là cực đại thì:

Miny=min

{

f(a), f(b)

}

Maxy=f

(

x0

)

¿
{

 Hàm số có cực trị duy nhất tại điểm x0 mà cực trị đó là cực tiểu thì:

Maxy=min

{

f(a), f(b)

}

Miny=f

(

x0

)

{

Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng phơng pháp khảo sát trực tiếp

Phơng pháp:

Lp bng biến thiên của hàm số trên D, rồi dựa vào đó kết luận.
Ví dụ 1: Tìm GFTLN, GTNN của các hàm số sau:

a) y=x+1

x trªn (0;+∞)
b) y = 4x3 – 3x4

c) y= x

+1
x2

+x+1
Gỵi ý:

a) y=x+1

x trªn (0;+∞)
y'=1− 4

x2
y'=0⇔1− 4

x2=0⇔x=2,(x>0)
+ BBT:

x 0 2 +∞
y' - 0 +

+∞
+∞

2
VËy : Min y = 2 tại x = 2, không có GTLN.
(0;+∞)

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

+ D = R

x=0
¿
x=1

¿
¿
¿
¿
¿

y'=12x2−12x3=12x2(1− x);
y'

=0⇔12x2(1− x)=0
⇔

+ BBT:

x − ∞ 0 1 +∞
y' + 0 + 0 -

− ∞ − ∞

VËy : Max y = 1, kh«ng cã GTNN.

c) y= x

+1
x2+x+1
+ D = R.

+ lim

x →+∞y=x →lim+∞

x2

(

1+ 1
x2

)

x2

(

1+1

x+
1
x2

)

=lim
x→+∞

(

1+ 1

x2

)

(

1+1

x+

1
x2

)

+ y'= x

−1

(

x2

+x+1)2

; y'=0⇔x2−1=0⇔x=±1
+ BBT :

x − ∞ -1 1 +∞
y' + 0 - 0 +

2 1

1 2

VËy : Max y = 2 t¹i x = -1. Min y = 2

3 , t¹i x = 1

 Chú ý: Với kết quả trên ta đợc 2

3≤

x2

x2+x+1≤2,∀x∈R
Nên ta có thể đổi bài thnh dng:

CMR: 2

3

x2

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Dạng 3: Dùng giá trị của hàm số y = f(x)
 Phơng pháp:

Gọi T là miền giá trị của hàm số trên, thì yT Phơng trình f(x) = 0 có nghiệm x.
Viết lại hàm số về dạng phơng trình ẩn x.

Tỡm iu kin phơng trình ẩn x có nghiệm, từ đó suy ra GTLN, GTNN của hàm số.
Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của hm s: y= x

+1
x2+x+1

Gợi ý: Gọi T là miền giá trị của hàm số trên, thì yT Phơng tr×nh x

x2+x+1 = y cã nghiƯm x∈R
(1).

Ta cã : (1)⇔x

+1=y

(

x2+x+1)
⇔(y −1)x2+ü+y −1=0(2)

 y = 1: (2) trë thµnh x = 0. Suy ra PT (1) cã nghiƯm x = 0 . Suy ra : y = 1 (a).
 y ≠1 : (2) cã nghiÖm

⇔Δ'=y2−4(y −1)2≥0
⇔−3y2

+8y −4≥0⇔2

3≤ y ≤2(b)

Víi (a) vµ (b) cho 2

3 y 2 . Miền giá trị cđa hµm sè lµ T=[2/3; 2]

Vậy : Maxy = 2, Min y =2/3 (có thể tính đợc x là nghiệm kép của PT (2) ứng với y = 2;
y = 2/3).

Dạng 4: áp dụng BĐT để tìm GTLN và GTNN.

VÝ dụ 1: Tìm GTLN của hàm số : y = (3 2x)2. x trên đoạn [0 ; 3/2]
Gợi ý:

Hm số xác định trên đoạn [0; 3/2] và 3 – 2x 0 ; 4x ≥0 .
Hàm số : y=1

4(3−2x)
2. 4x

lớn nhất khi (3−2x)2. 4x lớn nhất.
Ta có: tổng 3 số 3 – 2x, 3 – 2x, 4x bằng 6 khơng đổi nên tích lớn nhất khi :
3 – 2x = 4x ⇔x=1

2 . Khi đó: y = 2

.1
2=2

VËy : Max y =2.

VÝ dô 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y=5 sinx 12cos sx5
Gợi ý:

áp dụng BĐT Bunhiacôxki cho 4 số 5, -12, sinx, cosx ta cã:
|5 sinx −12 cosx|≤

√

169 .

√

sin2x+cos2x=13

Nªn −13≤5sinx −12 cosx ≤13⇒−18≤5 sinx −12 cosx −5≤8

VËy : Max y = 8; Min y = -18.

VÝ dơ 3: T×m GTLN, GTNN của các hàm số:
a) y=

|

x23x+2

|

trên đoạn [-10;10]
b) y=

|

x22x+3

|

trên đoạn [0;2].
Gợi ý:

a)

XÐt hµm sè : f(x) = x2−3x+2 .
DƠ thÊy hµm số liên tục trên đoạn [-10;10].
* f'(x)=2x 3, f'(x)=0x=3

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

f(x)=0⇔x2−3x

+2=0⇔
x=1∈[-10;10]

x=2∈[-10;10]
¿

¿
¿
¿
¿

|

f(−10)

|

=132;

|

f(10)

|

=72;

|

f

(

3
2

)

|

4;

|

f (1)

|

=0;

|

f(2)

|

=0
VËy : Max y = 132; Min y = 0

b) XÐt hµm sè : f(x) = x22x+3 ; dễ thấy hàm số liên tục trên đoạn [0; 2]

* f'(x)=2x 2; f'(x)=0x=1

[

0;2

]

* f(x)=0x22x

+3=0(VN)
*

|

f(0)

|

=3;

|

f(2)

|

=3;

|

f(1)

|

=2
Vậy : Max

|

f(x)

|

=3;Min

|

f(x)

|

Bài tập áp dụng:
Bi 1: Cho hàm số y= 14 x4−1

2 x
2

−1

4 . Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

trên [-1;1] .

Baì 2: Cho hàm số y= 13 x3−3
2x

+2x . Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
trên [-1;1] .

Bài 3: Cho hàm số y= 2x −2

x+1 . Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên [0;1] .
Bài 4: Cho hàm số y= 2x −2+8

x . Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên [1;2] .
Bài 5: Cho hàm số y= x+ 1

x −1 . Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên [-1;0] .

Bài 6: Cho hàm số y= sinx −1 . Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trờn [

4; ] .

Bài 7: Tìm GTLN của các hàm số sau:
a) y = 1 + 8x -2x2

b) y=4

3 x
3

x4

Bài 8: Tìm GTLN của các hàm số: 
a) y=(x+2)

x ,(x>0) b) y=x

+2
x,(x>0)

Bài 9: Tìm GTLN, GTNN của hàm số sau: f(x) = x3 3x +3 trên đoạn [-3; 3/2]
Bài 10: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

a) y = x3 3x2 9x +35 trên đoạn [-4; 4]

b) y=x

+x+2

x+2 trên đoạn [-1 ; 3]
c) y=

54x trên đoạn [-1; 1]
d) y=x+

4 x2

e) y=x+

2 x2

Bài 11: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau: 
a) f(x) = 2sin4x + cos4x

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

d) f(x) = sinx+1

sin2x+sinx+1
 Gợi ý:

a) TXĐ : D = R

Ta cã f(x) =

(sin

2x+cos2x

)

2−2 sin2x. cos2x=1−1

2sin
2

2x ,∀x∈R
f(x)≤1,∀x∈R ;f(0)=1 . VËy : Max f(x) = 1.

f(x)≥1

2, x∈R ; f

(

π

)

=1−
1
2=

2 . Min f(x) =
1
2

b) Đặt : t = sinx, ĐK: −1≤t ≤1 . Khi đó : y = f(t) = 2t2 + 2t - 1
+ f'(t)=4t+2;f'(t)=0⇔t=1

+ BBT:

t -1 -1/2 1
f'(t) - 0 +

-1 3
f(t)

-3/2
Min f(t) = -3/2; Max f(t) = 3

Do đó : Min y = -3/2 tại x = − π

6 ; Max y = 3 t¹i x=

π

c) Ta cã: y = 1−sin22x −1

2sin 2x+4

Đặt : t = sin2x, −1≤t ≤1 . Khi đó : y=f(t)=−t2−1

2t+5

+ f'(t)=−2t −1

2; f

'

(t)=0⇔t=−1

+ BBT :

t -1 -1/4 1
f'(t) + 0

81/16
f(t)

9/2 7/2
VËy : Min f(t) = 7/2; Max f(t) = 81/16

Do đó : Min y = 7/2 ; Max y = 81/16
d) f(x) = sinx+1

sin2x+sinx+1
+ TX§ : D = R

+ Đặt : t = sin x, đk : 1t ≤1
Hµm sè trë thµnh : f(t)= t+1

t2+t+1 víi −1≤t ≤1
* f'(t)=−t

2−2t

(

t2

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

⇔f'(t

)=0⇔−t2−2t

=0⇔
t=0∈[−1;1]

t=−2∉[−1;1]
¿

¿
¿
¿
¿

 f(-1) = 0 ; f(1) = 2/3; f(0) = 1
VËy : Max y = 1; Min y = 0

Bài 12: Tìm GTLN, GTNN của hàm số : y=

2 cos 2x+4 sinx trên đoạn

[

0;

]

(TN THPT 2001 -2002)
§S: 2

√

2;

√

2

---Chủ đề iv: đờng tiệm cận của đồ thị hàm số
 Soạn: 25/09/09

Dạng 1: áp dụng định nghĩa tìm tiệm cận
 Phơng pháp:

 Đờng thẳng y = a đợc gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nếu:
lim

x →+∞f (x)=a hc x →− ∞lim f(x)=a

 Đờng thẳng x = x0 đợc gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nếu :
lim

x → x0

−f(x)=+∞ hc

x → x+0¿

f(x)=+∞

lim

hc x → x0

+¿

f(x)=− ∞

lim

hc lim
x → x0

−f(x)=−∞

 Đờng thẳng y = ax + b , đợc gọi là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số nếu:
lim

x →+∞

[

f(x)−(ax+b)

]

hc x →− lim

[

f (x)(ax+b)

]

. Có thể áp dụng công thức:
a = lim

x → ±∞
f(x)

x ;b=x →± ∞lim

[

f(x)−ax

]

(nếu a = 0 thì ta có tiệm cận ngang)
Ví dụ 1: Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của các đồ thị hàm số sau:

a) y=2x −1

x+2 ; b) y=

√

x2

x
Gỵi ý:

a) y=2x −1
x+2
+ D = R \ {-2}
+ V× : lim y

x →+∞

=2 nên đờng y = 2 là tiệm cận ngang.

x → −2

+¿

=− ∞
limy

nên đờng thẳng x = -2 là tiệm cận đứng.

b) y=

√

x

+1
x
+ D = R \ {0}

+ Ta cã :

lim y

x →+∞
=lim

x →+∞

x

√

1+ 1
x2

x =x→lim+∞

√

1
+ 1

x2=1

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

lim y

x →− ∞=x →− ∞lim

− x

√

1+ 1
x2

x =x→ −∞lim

√

x2=−1

, do đó đờng thẳng y = -1 là tiệm cận ngang của

thị hàm số.

+ Vì :

x 0+

y=+;lim

x0y

=

lim

, nờn ng thng x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ví dụ 2: Tìm tiệm cận xiên của đồ th hm s sau: f(x)= x

x21

Gợi ý:

Cách 1: f(x)= x

x2−1=x+

x
x2−1

Đồ thị hàm số có đờng thẳng y = x là tiệm cận xiên vì : lim

x → ±∞

[

f(x)− x

]

=lim

x → ±∞
x
x2−1=0

C¸ch 2: Ta cã:

a=lim
x →+∞

f(x)
x =x →lim+∞

x3

x

(

x2−1

)

b=lim

x →+∞

[

f(x)− x

]

=x →lim+∞

(

x3

x2−1− x

)

=x→lim+∞
x
x2−1=0
Đờng thẳng y = x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
Ví dụ 3: Tìm các đờng tiệm cận của đồ thị hàm số sau:
a) y=2x+1

√

x2+1 ; b) y=

√

4x2− x3
Gỵi ý:

a) y=2x+1

√

x2

+ D = R nên đồ thị khơng có tiệm cận đứng

+ lim

x →+∞y=x →lim+∞

2x+1

√

x2

(

1+ 1
x2

)

=lim
x →+∞

x

(

2+1
x

)

x

√

1+ 1

x2
=lim

x →+∞

(

2+1

x

)

√

1+ 1

x2
=2

Suy ra đồ thị có tiệm cận ngang về bên phải là đờng thẳng y = 2

+ lim

x →− ∞y=x→ −∞lim

2x+1

√

x2

(

1+ 1
x2

)

= lim
x →− ∞

x

(

2+1
x

)

− x

√

1+ 1

x2
= lim

x→ −∞

(

2+1
x

)

−

√

1+ 1

x2
=−2

Suy ra đồ thị có tiệm cận ngang về bên trái là đờng thẳng y = - 2

b) y=

√

34x2− x3

+ D = R nên đồt thị hàm số khơng có tiệm cận đứng.
Ta có:

+ a=lim
x →+∞

y

x=x →lim+∞

√

4x2− x3
x3 =x →lim+∞

❑

√

4x−1=−1
+ b=lim

x →+∞

(y −ax)=lim

x→+∞

(

√

4x2− x3+x

)

=lim
x →+∞

4x2− x3+x3

(

√

34x2− x3

)

2− x3

√

4x2− x3

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

¿ lim
x →+∞

4x2

x2

[

(

√

3 4
x−1

)

−

√

3 4

x1+1

]

= lim

x +

(

4x1

)

3

4x1+1
=4

Vậy tiệm cận xiên là : y= x+4

Dạng 2: Biện luận số tiệm cận của đồ thị hàm số tuỳ theo m

Ví dụ 1: Biện luận theo m các đờng tiệm cận của đồ thị hàm số: y=x

−4x+m
x+2

Gỵi ý:

+ D = R \ {-2}
+ Ta cã: y=x

−4x+m

x+2 =x −6+
m+12

x+2

 Với : m + 12 = 0 hay m = -12. Hàm số có dạng suy biến : y = x – 6( x ≠ −2 ) đồ thị là một
đ-ờng thẳng nên khơng có tiệm cận.

 m≠ −12 : lim
x →+∞

m+12

x+2 =0 nên y = x 6 là tiẹm cận xiên.
Và x → −2

+¿y=+∞

lim

nên có tiệm cận đứng là x = -2

Ví dụ 2: Tuỳ theo m tìm các đờng tiệm cận của đồ thị hàm số : y=2x

−3x − m
x+m
Gỵi ý:

+ D = R \ {-m}

+ y=2x −2m −3+2m

+2m
x+m

+ Víi :

m=0
¿
m=−1

¿
¿
¿
¿

đồ thị khơng có tiệm cận

Víi :

m≠0

¿
m≠ −1

¿
¿
¿
¿

đồ thị có một tiệm cận đứng : x = - m và một tiệm cận xiên : y = 2x – 2m -3.

Dạng3: Tìm m để đờng tiệm cận thoả mãn một điều kiện cho trớc
Ví dụ 1: Tìm m để đờng y=− x

+x+m

x+m có tiệm cận xiên đi qua điểm A(2; 0)
Gợi ý:

+ D = R \ {-m}

+ y=− x+m+1− m

x+m có đờng tiệm cận xiên nếu m≠0
Phơng trình đờng tiệm cận xiên là d: y = - x + m +1( m≠0 )
d đi qua A(2; 0) ⇔0=−2+m+1⇔m=1

§S : m = 1.

VÝ dơ 2: Cho hµm sè : y=x

− x −1

x −2 có đồ thị (C).

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

y=x

2− x −1

x −2 =x+1+
1

x −2

Hµm sè cã tiÖm cËn d1: x = 2

d2: y = x + 1 hay : x – y + 1 = 0
§iĨm A

(

x0; x0+1+

x0−2

)

(C)

Khoảng cách từ A đến d1 là h1=

|

x0−2

|

Khoảng các từ A đến d2 là h2=

|

x0− y0+1

|

√

2 =

√

|

x0−2

|

h1, h2 > 0 nên áp dụng BĐT Cô si ta cã: h1+h2≥2

√

h1.h2=2

√

2=
2
4

√

2=
4

√

Suy ra : h1 + h2 nhá nhÊt khi h1 = h2 = 41

√

2 hay

|

x0−2

|

=¿
1
4

√

2 ⇔x0=2±
1
4

√

2; y0=3±

1
4

√

2±
4

√

Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm các đờng tiệm cận của các hàm số sau:

a) y=3x+4

x −1 ; b) y=2x
2

+7x+4

x+3 ; c) y=x+

√

x

+1 ; d) y=

√

x2+3x+4
§S:

a) TC§ : x = 1; TCN : y = 3
b) TC§ : x = -3 ; TCX : y = 2x +1
c) TCN : y = 0; TCX : y = 2x
d) TCX ë + ∞ lµ : y=x+3

2 ; TCX ë - ∞ lµ : y=− x −
3
2

Bài 2: Hãy xác định tiệm cận xiên của các đồ thị hàm số sau:
a) y=x

−6x+3

x −3 ; b) y=

x2+x+1
x2+1
§S:

a) TCX : y = x – 3
b) TCX : y = x
Bµi 3 : Cho hµm sè y=x

+mx+1

x −1 (Cm) . Tìm m để tim cn xiờn ca (Cm):

a) Đi qua điểm M(1; -3).

b) Tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 8 (đvdt)

Gợi ý:

+ D =
¿
¿R{1

¿
Ta cã: y=x

+mx+1

x −1 =x+m+

m
x −1

ĐK để (Cm) có tiệm cận xiên : m≠0 (*). Khi đó vì: lim

x →+∞

[

y −(x+m+1)

]

=x →lim+∞
m
x −1=0

Nªn : y = x + m + 1

(

m

)

là tiệm cận xiên cđa (Cm) .

(

Δm

)

®i qua M(1 ; -3) 3=1+m+1m=5 thoả đk (*)
b) Gọi A=

(

m

)

OxA( m−1;0) ; B=

(

Δm

)

∩Oy⇒B(0;m+1)

SΔOAB=1

2. OA . OB=
1

2|− m−1|.|− m+1|=
1
2(m+1)

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

Theo giả thiết :

SOAB=81

2(m+1)
2

=8(m+1)2=16
m+1=4

m+1=4

m=5

m=3

(thoả (*))

Bài 4: Cho hàm sè y=x

− x −1

x −2 (C) Chứng minh tích các khoảng cách từ một điểm bất kì trên (C) đến hai

tiệm cận của (C) không phụ thuộc vào vị trí của điểm đó.
Gợi ý:

y=x

2− x −1

x −2 =x+1+
1

x −2

TC§ d1 : x = 2

TCX d2 : y = x + 1 hay x – y + 1 = 0
§iĨm : A

(

x0; x0+1+ 1

x −2

)

(C) Khoảng cách từ A đến d1 là h1=

|

x0−2

|

Khoảng cách từ A đến d2 là h2 =

|

x0− y0+1

|

2 =

|

x02

|

h1.h2=

|

x02

|

.
1

|

x02

|

=
1

2 khụng i vi bt

kì vị trí nào cđa A trªn (C).

Chủ đề v: khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm số đa thức và phân
thức.

Soạn: 05/10/2009
Giảng: 06/10
 Các bớc khảo sát sự biến thiên v v th ca hm s:

Tìm TXĐ của hàm số ; xét tính chẵn , lẻ và tuần hoàn của hàm số(nếu có).
Xét sự biến thiên của hµm sè.

+ Tìm giới hạn tại vơ cực và giới hạn vơ cực (nếu có) của hàm số. Tìm các đờng tiệm cận của
đồ thị (nếu có).

+ LËp BBT cđa hµm sè, bao gåm:

Tính đạo hàm và xét dấu đạo hàm; xét chiều biến thiên ; tìm cực trị (nếu có),
điền kết quả vào bảng.

 Vẽ đồ thị của hàm số.

+ Vẽ các đờng tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có)

+ Dựa vào BBT và các yếu tố xác định ở trên để vẽ. Có thể tìm một số điểm khác ngồi các
điểm đặc biệt để vẽ đồ thị chính xác hơn.

+ Nhận xét đồ thị: chỉ ra trục và tâm đối xứng của đồ thị (nếu có)

Dạng 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số theo các bớc khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
Ví dụ 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y = x3 – 3x2.

b) y = -x3 + 3x2 – 4x + 2
c) y = x4 – 2x2 – 3.
d) y = -x4 – 2x2 + 3.
e) y = 2x −1

x −1

f) y = x+1

2x+4

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

TXĐ: D = R

y’ = 3x2 + 6x ; y’ = 0

⇔
x=0

¿
x=−2

¿
⇒ y=−1
⇒ y=3

¿
¿
¿

Giới hạn tại vô cực : x →− ∞lim (x3+3x2−1)=− ∞ ; lim
x →+∞(x

+3x2−1)=+∞
BBT :

x − ∞ - 2 0
+∞

y’ + 0 - 0 +

3
+∞

− ∞ -1

Hàm số đồng biến trên khoảng ( − ∞ ; - 2 ) và (0 ; +∞ ) ,nghịch biến trên khoảng (-2 ; 0).
Hàm số đạt cực đại tại x = - 2 , yCĐ = 3

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 , yCT = -1 .

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Đồ thị hàm số nhận điểm I (-1 ; 1) làm tâm i xng.
Dạng 2: Một số tính chất của hàm bậc ba

Giảng: 13/10/2009
I.

Mét sè tÝnh chÊt cđa hµm bËc ba

1. Hàm số có cực đại ,cực tiểu ⇔ Δ = b2−4 ac >0

2. Hàm số đồng biến trên ℜ

a>0
0

{

3. Hàm số nghịch biến trên

a<0
0

{

4. tìm giá trị của điểm cực trị ( Đờng thẳng đi hai điểm cực trị) trong trờng hợp hoành độ cực trị là những
số lẻ ,ta thực hiện phép chia đa thức y cho y’ ta đợc:

y=y’.g(x) +h(x)
ta cã:

+Gọi

(

xo; y0

)

là toạ độ điểm cực trịcủa đồ thi hàm số thì y’( x0¿ =0
+Do đó: y ( x0¿ =y’( x0¿ .g( x0¿ + h( x0¿ = h( x0¿

Khi đó : Đờng thẳng đi qua cực đại và cực tiểu của đồ thịhàm số có dạng: y= h(x)

Chú ý: Nếu tìm đợc hai điểm cực trị lần lợt là A (x1; y1) và B (x2; y2)

Thì đờng thẳng đi qua hai điểm cực trị có dạng: x − x1
x2− x1

= y − y1
y2−y1

5. Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng .

Thật vậy, thực hiện phép tinh tiến đồ thị theo véc tơ ⃗OI

Với I là điểm uốn có toạ độ là:

¿
x0=− b

3a
y0=ax03+bx02+cx0+d

¿{
¿

Công thức đổi hệ trục toạ độ là

x=X+x0

y=Y+y0

¿{

Thay x,y vào phơng trình hàm số ta đợc:

Y+

X+x0¿2+c(X+x0)+d

X+x0¿3+b¿

y0=a¿

<=> Y=a X3+g(x).X

Hàm số này là hàm lẻ nên đồ thị nhận điểm I

(

xo; y0

)

làm tâm đối xứng.
6.Tiếp tuyến tại điểm uốn:

Tếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị hàm số có hệ số góc K nhỏ nhất nếu a>0 và lớn nhất nếu a<0 trong tất
cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số:

ThËt vËy, ta cã y’= 3 ax02+2 bx0+c=a

(

x0+

b

3a

)

+3 ac− b

2
3a
* nÕu a>0 th× K ❑NN=3 ac−b

3a đạt đợckhi x ¿−
b

3a
* nÕu a>0 th× K ❑LN=3 ac−b

3a đạt đợckhi x ¿−
b

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

mµ y’’=6ax +b=0 <=> x= − b

3a nªn x ¿−
b

3a chính là hồnh độ điểm uốn => ĐPCM

7. Đồ thị hàm số cắt trục hoành.( Giao điểm của đồ thị với trục hồnh)

*Bài tốn1: Tìm điều kiện để đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại3 điểm phân biệt(hoặc ph ơng trình ax3 + bx2
+ cx + d = o có 3 nghiệm pb) , thông thờng ta sử dụng các cách sau đây:

Cách 1(ph ơng pháp đại số) Hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là nghiệm của phơng trình: ax3 +
bx2 + cx + d = o do đó:

Ta cã ax3 + bx2 + cx + d = o (a 0¿
<=> (x- α )( a x2

+ex+l¿ =0

<=>

x=α
¿

g(x)=ax2+ex+l=0
¿

¿
¿
¿

(*) ycbt <= > pt (*) cã 2 nghiÖm pb x α

<= >
¿
Δ❑>0

g(α)≠0
¿{

Chú ý: Khi đó điểm A (α ;0) là mộtđiểm cố định ca th hm s.

Cách2.Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm pb

<=>

y '=0
y(x1).y(x2)<0

{

* Bài toán2 Đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại 3 điểm pb có hồnh độ dơng( hoặc phơng trình ax3 + bx2 +
cx + d = o có 3 nghiệm dơng pb)

Cách1(ph ơng pháp đại số) Hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hồnh là nghiệm của phơng trình: ax3 + bx2

+ cx + d = o do đó:

Ta cã ax3 + bx2 + cx + d = o (a 0¿
<=> (x- α )( a x2

+ex+l¿ =0

<=>

x=α>0
¿

g(x)=ax2+ex+l=0
¿

¿
¿
¿

(*) ycbt <= > pt (*) cã 2 nghiÖm d¬ng pb

x α <=>
¿
Δg>0

s>0
p.>0
g(α)≠0

¿{ { {
¿

Cách2.Đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại 3 điểm pb có hồnh độ dơng

Cã 2 nghiÖm pb x1, x2

x2

x1

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

<=>

¿
y '=0
y(x1).y(x2)<0

a.y(o)<0
¿{ {

* Bài toán3 Đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại 3 điểm pb có hồnh độ âm
( Hoặc phơng trình ax3 + bx2 + cx + d = o có ba nghiệm âm pb)

Cách1(Ph ơng pháp đại số) Hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hồnh là nghiệm của phơng trình: ax3 + bx2

+ cx + d = o do đó:

Ta cã ax3 + bx2 + cx + d = o (a 0¿
<=> (x- α )( a x2+ex+l¿ =0

<=>

x=α<0
¿

g(x)=ax2+ex+l=0

¿
¿
¿

x α <=>
¿
Δg>0

s<0
p.>0
g(α)≠0

¿{ { {
¿

Cách2 .Đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại 3 điểm pb có hồnh độ âm

<=>

¿
y '=0
y(x1).y(x2)<0

a.y(o)<0
¿{ {

Chú ý: Nếu bài toán yêu cầu: “Tìm giá trị của tham số để phơng trình ax3 + bx2 + cx + d = o (*)
1. Có 3 nghiệm phân biệt

2. Cã 3 nghiệm dơng pb
3. Có 3 nghiệm âm pb

Thì ta có thể sử dụng phơng pháp hám số :
- Đa phơng trình (*) về dạng: f(x)= h(m)

- Lập bảng biến thiên của hàm số y=f(x) ( Trên khoảng ( ;+ hoặc trên khoảng (o ;+) hoặc
trên khoảng ( ;0) ) tuỳ theo yêu cầu của bài toán là 1, 2 hay3.

- Từ bảng biến thiên suy ra giá trị cần tìm của tham số.

Bài toán4 Đồ thị hàm số cắt trục hồnh tai 3 điểm có hồnh độ x1, x2, x3 cách đều nhau.(Lập thành cấp
số cộng)

Cách1. (PP đại số)

*ĐK cần : Hoành độ giao điểm là nghiệm của phơng trình ax3 + bx2 + cx + d = o (*)

Giả sử pt(*) có 3 nghiêm x1, x2, x3 cách đều nhau ,khi đó ta có

¿
x1+x3=2x2

x1+x2+x3=−b

a
¿{

<=> x2=− b

3a

Thay x2=− b

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

*ĐK đủ: Thay giá trị của tham số vừa tìm đợc vào phơng trình (*) , giải pt(*) tìm ra nghiểmồi kết luận.

Cách2: Đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm cáchđều nhau khi và chỉ khi điểm uốn thuộc trục hồnh( Vì điểm uốn

là tâm đối xứng của đồ thị)
ta có x ¿− b

3a là hoành độ điểm uốn
=>y(- b

3a )=0 => Giá trị của tham số

8. Vi ng thng (d) i qua điểm I( x1; y1¿ và có hệ số góc m tiếp xúc với
đồ thị hàm số y=f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (C)

- lp pt ng thng (d): y=m(x- x1+y1

- Đờng thẳng (d) tiÕp xóc víi ( C ) <= > hƯ pt sau cã nghiÖm

ax3+bx2+cx+d=m(x − x1)+y1

3 ax2

+2 bx+c=m
¿{

- Sử dụng pp thế để tìm ra hệ số góc m rồi thay vào phơng trình đờng thẳng(d) ta đợc đờng thẳng cần tìm.
Chú ý : Đờng thẳng (d) trong trờng hợp này cũng chính là tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Do đó có thể sử 
dụng pp trên để giải bài toán “viết pt tiếp tuyến với ( C) đi qua điểm I( x1; y1¿ cho trớc.

9. Đồ thị hàm số y=f(x)= ax3 + bx2 + cx + d (C) tiếp xúc với ng thng y=kx+m

Khi và chỉ khi hệ phơng trình sau có nghiệm:

ax3

+bx2+cx+d=kx+m

3 ax2

+2 bx+c=k
{

Đặc biệt , Đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành có thể sử dụng một trong 2 cách sau

Cách1. Đồ thị ( C ) tiÕp xóc víi trơc hoµnh khi vµ chỉ khi hệ phơng trình sau có nghiệm :

y=0
y '=0

{

( Vì phơng

trình của trục hoành là y=0)

Cỏch2.( PP đại số) Hoành độ giao điểm là nghiệm của pt: ax3 + bx2 + cx + d =0

>(x-¿
x=α

g(x)=ax2+ex+l=0(∗)
¿

αax2+ex+l¿=0⇔¿ ¿

Ycbt <=> pt(*)có một nghiêm x= hoặc có nghiệm kép x

<= >

g=0
g()0

g()=0

{

10. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một điểm duy nhất ( phơng trình ax3 + bx2 + cx + d =0)

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

<= >

¿y '=0
y(x1).y(x2)>0

y ' ≥0(y ' ≤0)∀x
¿

¿{
¿
¿
¿
¿ ¿

11. Đồ thị hàm số có cựcđại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục tung khi và chỉ khi y’=0 có hai nghiệm
x1, x2 trái dấu <=> P<0

12. Đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hồnh khi và chỉ khi

cã hai nghiƯm x1, x2

¿
y '=0
y(x1).y(x2)<0

¿{
¿

ph©n biƯt

13. Đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về một phía đối với trục hồnh khi và chỉ khi

cã hai nghiÖm x1, x2

¿
y '=0
y(x1).y(x2)>0

¿{
¿

ph©n biƯt

14. Đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về một phía đối với trục tung khi và chỉ khi y’=0 có hai nghiệm

x1, x2 cïng dÊu <= >
¿
Δ>0
P>0
¿{

15. Đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu có hồnh độ dơng khi và chỉ khi pt y’=0 có hai nghiệm x1>0, x2 >0

<= >
¿
Δ>0

S>0
P>0
¿{ {

16. Đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu có hồnh độ âm khi và chỉ khi pt: y’=0 có hai nghiệm x1<0, x2 <0 <=

>
¿
Δ>0
S<0
P>0
¿{ {

II. các bài tập th ờng gặp. Giảng: 27/10/2009
Bµi 1.Cho hµm sè: y = x3 – mx + 4 – m

1.Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 3

2.Tìm m để đồ thị có tiếp tuyến có hệ số góc bằng 8 tại điểm có hoành độ
x = 2. Viết pt tiếp tuyến tại điểm đó

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

1.Khảo sát và vẽ đồ thị khi a = 1, b = 2
2.Tìm a, b để hàm số có cực đại và cực tiểu
3.CMR: đồ thị hàm số cắt Ox tại đúng một điểm

Bài 3.Cho hàm số: y = 2x3 + 3(m – 1)x2 + 6(m – 2)x – 1 (Cm)

1.Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 2

2.ViÕt pt tiÕp tun cđa (Cm) qua ®iĨm A(0, -1)

3.Tìm m để (Cm) có CĐ, CT và đờng thẳng đi qua hai điểm đó song song với đờng thẳng y = kx
Bài 4.Cho hàm số: y = x3 - 3(m + 1)x2 + 2(m2 + 4m + 1)x – 4m(m + 1) (Cm)

1.Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 1

2.CMR: (Cm) ln đi qua một điểm cố định

3.Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ dơng

Bài 5.Cho hàm số: y = x3 - (m + 1)x2 - (2m2 - 3m + 2)x + 2m(2m - 1) (Cm)
1.Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 0

2.Tìm điểm cố định của (Cm). Tìm m để (Cm) tiếp xúc với Ox
3.Tìm m để (Cm) đồng biến trên ¿

4.Tìm m để (Cm) tiếp xúc với đờng thẳng y = - 49x + 98
Bài 6.

1.Khảo sát và vẽ đồ thị y = x3 + 3x2 + 3x + 5

2.CMR: khơng tồn tại hai điểm nào đó trên đồ thị mà tiếp tuyến tại hai điểm đó vng góc với nhau
3.Tìm k để trên đồ thị có ít nhất một điểm mà tiếp tuyến của đồ thị tại đó vng góc với y = kx
Bài 7.Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + mx + 1 (Cm)

1.Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 3

2.CMR: (Cm) cắt y = x3 + 2x2 + 7 tại hai điểm A, B phân biệt. Tìm quỹ tích trung điểm I của AB
3.Tìm m để (Cm) cắt y = 1 tại C(0; 1), D, E phân biệt và tiếp tuyến tại D và E vng góc với nhau
Bài 8.Cho hàm số: y = x3 - 3x2 + 2 (C)

1.Khảo sát và vẽ đồ thị

2.Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua A(1, -1)
3.Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình: |x| (x – 3)2 = m
Bài 9.Cho hàm số: y = x3 + (m - 1)x2 – (2m + 1)x - 2 (Cm)
1.Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 1

2.Tìm m để (Cm) tiếp xúc với Ox

3.Tìm m để (Cm) đạt cực trị tại các điểm có hồnh độ x1, x2 thoả mãn x12+x22=2
Bài 10.Cho hàm số: y = mx3 - 3mx2 + (2m + 1)x + 3 - m (Cm)

1.Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 4

2.Tìm m để (Cm) có cực đại và cực tiểu. Chứng minh rằng khi đó đờng thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị
(Cm) luôn đi qua một điểm cố định

Bµi 11.Cho hµm sè: y = 1

3 x3 - 2x2 + 3x + 1 (C)

1.Khảo sát và vẽ đồ thị
2.Chứng minh A(2; 5

3 ) là tâm đối xứng của đồ thị

3.Tìm điểm trên (C) có hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm đó nhỏ nhất
4.Lập phơng trình tiếp tuyến của (C) song song với đờng thẳng y = 3x – 1
Bài 12.Cho hàm số: y = 2x3 + 3(m - 1)x2 + 6(m - 2)x - 1 (Cm)

1.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m = 2

2.Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) biết chúng đi qua
A(0, -1)

3.Tìm m để (Cm) có 2 cực trị và đờng thẳng đi qua hai điểm đó vng góc với đờng thẳng y = x
Bài 13.Cho hàm số: y = x3 - 3x2 – 9x + m (Cm)

1.Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 0

2.Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ lập thành một cấp số cộng.
Bài 14.Cho hàm số: y = 1

3 x3 - 2x2 + 3x (C)

1.Khảo sát và vẽ đồ thị
2.Qua A( 4

9;
4

3 ) kể đợc mấy tiếp tuyến với đồ thị hàm số. Viết các phơng trình tiếp tuyến đó

3.CMR: khơng có tiếp tuyến nào khác của đồ thị hàm số song song với tiếp tuyến đi qua B(2; 2

3 ) của đồ thị

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

Bµi 15.Cho hµm sè: y = m−1

3 x3 + mx2 + (3m – 2)x (C)

1.Tìm m để hàm số:
a.Đồng biến

b.Cắt Ox tại 3 điểm phân biệt
2..Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 3

2 và suy ra đồ thị |y| =
1
6 x3 +

3
2 x2 +

2 x

Bài 16.Cho hàm số: y = x3 + mx2 + 7x + 3 (Cm)
1.Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm CĐ, CT
2..Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 5

3.Tìm m để đồ thị hàm số có một cặp điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ
Bài 17.Cho hàm số: y = f(x) = x3 + x - 1 (C)

1.Khảo sát và vẽ đồ thị

2..Giả sử f(x0) = 0. Chứng minh x02 - x0 < 0
3.Từ đồ thị (C) hãy vẽ đồ thị y = |x|3+|x|−1

Bài 18.Cho hàm số: y = x3 - mx2 + mx + 2m - 3 (Cm)
1.Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 1

2..Tìm m để hàm số có hai cực trị và hai điểm đó nằm về 2 phía của đờng thẳng x – 3 = 0

3.CMR: đồ thị hàm số luôn đi qua hai điểm cố định. Viết pt đờng thẳng (d) đi qua hai điểm cố định đó và tìm
m để (Cm) tiếp xúc với (d)

Bµi 19.Cho hµm sè: y = x3 - 3mx2 + (m – 1)x + 2 (Cm)
1.Chøng minh hµm số luôn có cực trị

2..Tỡm m hm s cú hai cực tiểu tại x = 2. Khảo sát và vẽ đồ thị với m tìm đợc
3.Biện luân theo k số nghiệm của phơng trình: x 2 – 2x – 2 = k

|x −1|
Bài 20.Cho hàm số: y = mx3 – (m – 1)x2 – (2 + m)x + m - 1 (Cm)
1.Khảo sát và vẽ đồ thị (C1) khi m = 1

2..Tìm trên đờng thẳng y = 2 những điểm mà từ đó có thể kẻ đợc 2 tiếp tuyến đến đồ thị (C1)
3.Tìm các điểm mà đồ thị (Cm) đi qua với mọi m

Bài 21.Tìm m để hàm số y= x3−3 mx2+3(m2−1)x+m đạt cực tiểu tại x=2

Bài 22. Tìm m để hàm số y= x3−3 mx2+(m −1)x+2 đạt cực tiểu tại x=2 đạt cực tiểu tại x=2
Bài 23. Cho h/s y x 3 3mx29x1 (1)

a.K/s khi m = 2

b.Tìm m để điểm uốn của (1) thuộc đờng thẳng y = x+1

Bài24.ĐH-CĐ Kd-05:Gọi



Cm



là đồ thị của h/s:

3 2

1 1

(*)

3 2 3

m
y x  x 
a.K/s m=2

b.Gọi M là điểm thuộc



Cm



có hồnh độ bằng 1.Tìm m để tiếp tuyến của



Cm



tại M song song với đờng
thẳng 5x-y=0

Bài25 .ĐH-CĐ Ka-06: cho hàm số y2x3 9x212x 4 (1)
a.K/s và vê đồ thị hàm số (1)

b.Tìm m để pt sau có 6 nghiệm phân biệt :

3 2

2 x  9x 12 x m
Bài26 .ĐH-CĐ Kd-06: Cho h/s y x 3 3x2 ( C )

a.K/s (C)

b.Gọi d là đờng thẳng qua A(3;20) và có hệ số góc là m .Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm phânbiệt.
Bài27 .ĐH-CĐ Kb-07: Cho h/s:y x 33x23(m21)x 3m21(1)

a.K/s m=1

b.Tìm m để h/s có cực đại cực tiểu và các điểm cực trị cách đều gốc toạ độ
Bài28.Cho h/s y=x3 (m1)x2 (m1) (*)x có đồ thị là



Cm



a.K/s m=1

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

Bài 29.Cho h/s yx33x 2
a.K/s gọi (C) là đồ thị

b.ViÕt pttt cđa tt biÕt tt ®i qua A(-2;0)

c.BiƯn ln theo m sè nghiƯm cđa pt x3 3x 2 log2m0

Bµi30.Cho h/s y=

3 2

1(1)
3x  mx 
a.K/s m=1, viết pttt tại điểm uốn
b.Tìm m để (1) tiếp xúc với trục Ox

c.Tìm m để (1) nhận điểm có hoành độ x=1 làm điểm uốn
Bài 31.Cho h/s y=x3mx2 x m (1) (Cm)

a.K/s (1) m=1

b.Tìm m để



Cm



cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt và các hoành độ giao điểm lập thành một cấp số cộng
Bài 32Cho h/s y= x3 mx m  2

a.K/s m=3

b.Gọi (Cm) là đồ thị của h/s đã cho .Chứng tỏ rằngtt của (Cm) tại điểm uốn của nó luôn đi qua một điểm cố

định khi m thay đổi

Bµi 33.Cho h/s y=x3 3(m1)x23(2m1)x 4
a.K/s m=1

b.Tìm m để h/s đã cho đồng biến trên :



0;



Bài 34.Cho h/s y=x3 3x24m

a.Cmr đồ thị h/s ln có điểm hai cực trị .Khi đó xđ m để một trong hai cực trị thuộc trục Ox
b.K/s m=1 (C)

Bµi 35.Cho h/s y=x3 mx21 (Cm)

a.Khi m=3: K/s và vẽ đồ thị hàm số .Tìm trên đồ thị h/s tất cả các cặp điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ
b.Xđ m để đờng cong



Cm



tiếp xúc với đờng thẳng (d):y=5.Khi đó tìm giao điểm cịn lại của (d) với đờng
cong .

Bµi 36.y=(x-1)(x2-2mx-m-1)(1)
a.K/s m=1

b.Tìm m để đồ thị h/s (1) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ lớn hơn -1
Bài 37.Cho h/s y=x33mx21(1)

a.K/s m=1

b.Tìm quỹ tích các điểm cực đại của h/s (1) khi m thay đổi.
Bài 38.Cho h/s y=2x3 3x21(1),( )C

a.K/s

b.Tìm k để (d):y= kx-1 cắt (C) tại ba điểm phân biệt trong đó có hai điểm có hồnh độ dơng
Bài 39. ĐH-CĐ Ka-02: Cho hàm số y =  x33mx23(1 m x m2)  3 m2 (1)

a)Khảo sát vẽ khi m=1

b)Tìm k để pt x33x2k3 3k2 0 có ba nghiệm phân biệt
c)Viết pt đờng tthẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1)
Bài 40. . ĐH-CĐ Kb-03 : Cho hàm số y = x3 3x2m(1)

a.Tìm m để (1) có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc toạ độ.
b.K/s vẽ khi m =2

. Bài 41. ĐH-CĐ Kd-04 :Cho h/s y x 3 3mx29x1 (1)
a.K/s khi m = 2

b.Tìm m để điểm uốn của (1) thuộc đờng thẳng y = x+1

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

Bài 43 Tìm m để hàm số y= m−1

3 x

+mx2+(3m−2)x luôn đồng biến .

Bài 44.Tìm m để hàm số y= −1

3x
3

+(m−1)x2+(m+3)x đồng biến trong khoảng(0;3)

Bài 45Tìm m để hàm số y= 1

3mx
3

−(m−1)x2+3(m−2)x+1

3 đồng biến trong khoảng [2;+ ∞ )

Bài 46. Tìm m để hàm số y= x3+3x2+(m2−2m)x+4m có cực đại và cực tiểu nằm về một phía đối với
trục tung.

Bài 47 Tìm m để hàm số y= 1

3mx

−(m−1)x2+3(m−2)x+1

3 có cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối

víi trơc tung.

Bài 48Tìm m để hàm số y= 1

3mx
3−

(m−1)x2+3(m−2)x+1

3 có cực đại và cực tiểu có hồnh độ dơng..

Bài 49.Tìm m để hàm số y= −1

3x
3

+(m−1)x2+(m+3)x có cực đại và cực tiểu có hồnh độ âm.

Bài 50. Tìm m để hàm số y= m−1

3 x

+mx2+(3m−2)x kh«ng cã cùc trÞ.

Bài 51.Tìm m để hàm số y= x3−3 mx2+3(m2−1)x −(m2−1) cắt trục hồnh độtại 3 điểm pb có hồnh độ
dơng

Bài 52Tìm m để hàm số y= 1

3 x
3

−(m−1)x2+3(m−2)x+1

3 có cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối đờng

th¼ng x=1

Bài 53.Tìm m để hàm số y= x3−3x2−9x+m cắt trục hoành độtại 3 điểm pb .
B i 54:à Cho hàm số : y=x3−3x2+4 .

a) Khảo sát SBT và vẽ đồ thị (C) của hàm số. CMR đồ thị (C) có điểm uốn I là tâm đối xứng.
b) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.

Gỵi ý:
a)

* Chứng minh (C) có I( 1; 2) là tâm đối xứng:
Ta có: ⃗OI=(1;2)

Phép tịnh tiến T⃗OI: Oxy→IXY . Công thức đổi trục cho :

x=X+x1=X+1

y=Y+y1=Y+2

¿{

Thay vào y=x3−3x2+4 , ta đựơc :
Y + 2 = ( X + 1)3 - 3( X + 1)2 + 4
⇔Y=X3

−3X

Đây là hàm số lẻ nên đồ thị nhận I là tâm đối xứng.
b) Hệ số góc của tiếp tuyến tại M( x0; y0) thuộc (C):

¿k=y'

(

x0)=3x02+6xalignl¿❑
k'

=y' '

(

x0

)

=6x0−6

x0 − ∞ -1 +∞
k' - 0 +

+∞ +∞

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

-3

Suy ra hÖ sè gãc k nhá nhÊt b»ng -3 t¹i x0 = 1 hay y0 = 2, tức là tại điểm uốn I.
Phơng tr×nh tiÕp tun cđa (C) cã hƯ sè gãc nhá nhÊt lµ : y – 2 = - 3 (x - 1) hay
y = -3x + 5.

 Tổng quát : Với đồ thị y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠0)

+ a > 0: Tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất.
+ a < 0: Tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất.
B i 54:à Tìm a để đồ thị hàm số y = x4 + ax2 + 1 có:

a) Hai điểm uốn.
b) Không có điểm uốn.
c) Có một điểm n.
Gỵi ý:

+ D = R.

+ y'=4x3+2 ax; y' '=12x2+2a

a) Đồ thị có hai điểm uốn khi và chỉ khi y''=0 cóa hai nghiệm phân biệt và y'' đổi dấu khi đi
qua hai điểm đó ⇔a<0 , khi đó hồnh độ các điểm uốn là x=±

√

− a

6
b) Nếu a ≥0⇒y''≥0 và do đó đồ thị khơng có điểm uốn.

c) Đồ có giá trị nào của a để đồ thị cú mt im un.

Dạng 3: Giao điểm của hàm bậc 4 trùng phơng với trục hoành

Soạn:27/10/20009

Giảng: 3/11/2009

Phơng pháp:

Hàm bậc 4 trïng ph¬ng y = f(x) = ax4 + bx2 + c

Đặt t = x2 ( t 0 ) pt trë thµnh f(t) = at2 + bt + c

 Đồ thị cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt ⇔f(t)=0 cã nghiÖm t1 < 0 < t2
 Đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt ⇔f(t)=0 cã nghiÖm 0 = t1 < t2.
 Đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt ⇔f(t)=0 cã nghiÖm 0 < t1 < t2.

Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 + 6x2 + 9x + m có đồ thị (Cm). Xác định các giá trị của m để 
th (Cm):

a) Cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.
b) Cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Gợi ý: TXĐ : D = R.

y'=3x2+x+; y'=0⇔
x1=−1

¿
x2=−3

¿
¿
¿
¿
¿

+ y(x1) = y(- 3) = m; y(x2) = y(- 1) = m – 4.
+ (Cm) cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất

m<0
¿
x>4

¿
¿
¿
¿
¿

⇔y

(

x1

)

.y

(

x2

)

>0
⇔m(m−4)>0

⇔

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

⇔y

(

x1

)

y

(

x2

)

<0
⇔m(m−4)<0

⇔0<m<4

Ví dụ 2: Cho hàm sồ f(x) = mx4 – 2(m – 1) x2 + m -1 (1). Xác định m để (Cm) :
a) Cắt trục hoành ti hai im phõn bit.

b) Cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.
Gợi ý:

+ D = R.

+ Đặt t = x2 víi t ≥0 , (1) trë thµnh: g(t) = mt2 -2(m - 1) t + m – 1.
Víi m = 0.: g(t) = 0 ⇔2t 1=0t=1

2x
2

2x=
1

Đồ thị cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt.

a) Đồ thị cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt ⇔ f(x) = 0 cã hai nghiÖm
⇔g(t)=0 cã nghiÖm t1 < 0 < t2

⇔ag(t)<0⇔m(m −1)<0⇔0<m<1
Với 0<m<1 đồ thị cắt trục honh ti 2 im phõn bit.

b) Đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt f(x) = 0 có hai nghiệm dơng phân biệt 0 < t1 < t2.
⇔

m≠0

Δ'
>0
P>0
S>0
⇔
¿m ≠0

1− m>0
m−1

m >0

2(m −)
m >0
⇔m<0

¿{ { {

Vởy m < 0 đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.

Chủ đê vi: một số bài toán thờng gặp về đồ thị

Soạn: 
Bài toán 1 : Lập phơng trình tiếp tuyến với dồ thị của hàm số

Dng 1: Lp phng trỡnh tiếp tuyến tại điểm M(x0;y0) thuộc đồ thị (C).

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

 Pttt tại M(x0;y0) có dạng :yf x'( )(0 x x 0)y0 .

 Ta có : x0 =……., y0 =…….

 Tính đạo hàm f’(x)=……… f’(x0)=………

 Thế x0,y0, f’(x0) vào phương trình yf x'( )(0 x x 0)y0 , thu gọn ta được pttt tại M .

Bài tập áp dụng .

Bài 1: Cho hàm số y=x3 3x22 .Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M(1;0) .
Bài 2: Cho hàm số y= x42x2 . Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M(2;-8) .
Bài 3: Cho hàm số y=

2 3

1
x
x



 . Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M(2;1) .
Bài 4: Cho hàm số y=

1
1
x

x
 

. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M(1;1) .

Chú ý : Các trường hợp đặc biệt .

1. Tiếp tuyến tại điểm M có hồnh độ x = x0 .

2. Tiếp tuyến tại điểm M có tung độ y = y0 .

3. Tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành .
4. Tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số và trục tung .
D¹ng 2: Tiếp tuyến tại điểm M có hồnh độ x = x0 .

Phương pháp :

 Pttt tại M có dạng :yf x'( )(0 x x 0)y0 .

 Ta có : x = x0 . Thế x0 vào pt của hàm số y=f(x) để tính y0 .

 Tính đạo hàm f’(x) =……… f’(x0) =………

 Thế x0,y0, f’(x0) vào phương trình yf x'( )(0 x x 0)y0 , thu gọn ta được pttt tại M .

Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho hàm số y =x33x4.Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M có hồnh độ :
x = -2 .

Bài 2: Cho hàm số y =x42x21 . Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M có hồnh độ: x = -2 .
Bài 3:Cho hàm số y =

2
2
x
x



 .Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M có hồnh độ x = -1 .
Bài 4:Cho hàm số y =

2
2
x

x
 

.Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M có hồnh
độ x = -2 .

D¹ng 3: Tiếp tuyến tại điểm M có tung độ y = y0 .

Phương pháp :

 Pttt tại M có dạng :yf x'( )(0 x x 0)y0 .

 Ta có : y = y0. Thế y0 vào pt của hàm số y = f(x) để tính x0 .

 Tính đạo hàm f’(x) =……… f’(x0) =………

 Thế x0,y0, f’(x0) vào phương trình yf x'( )(0 x x 0)y0 , thu gọn ta được pttt tại M .

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

Bài 1: Cho hàm số y =x42x2 . Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M có tung độ y = 1 .
Bài 2: Cho hàm số y =

2 3

1
x
x



 . Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M có tung độ y = 1 .
D¹ng 4: Tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành .

Chú ý : Điểm M nằm trên trục hồnh sẽ có tung độ y0 =0 , tức là M(x0;0) .

Phương pháp :

 Pttt tại M có dạng :yf x'( )(0 x x 0)y0 .

 Ta có : y0=0 . Thế y0 vào pt của hàm số y=f(x) để tính x0 .

 Tính đạo hàm f’(x)=……… f’(x0)=………

 Thế x0,y0, f’(x0) vào phương trình yf x'( )(0 x x 0)y0 , thu gọn ta được pttt .

Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho hàm số y= x42x2 . Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành

.

Bài 2: Cho hàm số y=
2

3
x
x



 . Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số và trục hồnh .
D¹ng 5: Tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số và trục tung .

Chú ý : Điểm M nằm trên trục tung sẽ có hồnh độ x0=0 , tức là M(0;y0) .

Phương pháp :

 Pttt tại M có dạng :yf x'( )(0 x x 0)y0 .

 Ta có : x0=0 . Thế x0 vào pt của hàm số y=f(x) để tính y0 .

 Tính đạo hàm f’(x)=……… f’(x0)=………

 Thế x0,y0, f’(x0) vào phương trình yf x'( )(0 x x 0)y0 , thu gọn ta được pttt .

Bài tập áp dụng

Bài 2: Cho hàm số y=
4

2
x
x



 . Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số và trục tung .
Bài tập tương tự :

Bài 1: Cho hàm số y=x33x2 4 .

a/ Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M(-3;-4) .

b/ Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M có hồnh độ x = 2 .
c/ Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M có tung độ y =- 4 .

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

a/ Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M(-2;-9) .

b/ Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M có hồnh độ x = 2 .
c/ Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M có tung độ y= -1 .

d/ Viết phương trỡnh tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành .
e/ Viết phương trỡnh tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số và trục tung .
Dạng 6: Lập phơng trình tiếp tuyến của đờng cong (C) đi qua điểm M(x1; y1)

Ph¬ng ph¸p:
 C¸ch 1:

 Viết phơng trình đờng thẳng d đI qua điểm M và có hệ số góc k:
y = k (x – x1) + y1 (1)

 Đờng thẳng d tiếp xúc với đờng cong (C) tại điểm có hồnh dộ x0 néu x0 và k là nghiệm của hệ
pt:

f(x)=k

(

x − x1

)

+y1
f'(x)=k

¿{
¿

Ta tÝnh k råi thay vµo (1)

 Cách 2: ( Tỡm honh tip im x0)

Phơng trình tiếp tuyến với (C) tại điểm (x0, y0) là: y=yx0

'

(

x x0)+f

(

x0

)

(1)

 Vì tiếp tuyến trên đi qua M( x1, y1) nên x1, y1 nghiệm đúng (1):
y1=yx0

'

(

x1− x0

)

+f

(

x0)(2)

 Giải phơng trình (2) ta có x0, thế x0 vào phơng trình (1) , ta có phơng trình tiếp tuyến.
Ví dụ 1: Cho parabol y = x2 – 4x + 3 . Viết các phơng trình tiếp tuyến với parabol qua điểm A (3/2;-3)
Gợi ý: Gọi (d) là đờng thẳng qua A có hệ số góc k có pt là:

y=k

(

x − xA

)

+yA⇔y=k

(

x −3

)

−3

ĐK để (d) và parabol tiếp xúc nhau là hệ phơng trình sau đây có nghiệm:

¿
x2−4x

+3=k

(

x −3

)

−3(1)
2x −4=k(2)

¿{
¿

Tõ (1), (2) suy ra: x2−4x+3=(2x −4)

(

x −3

)

−3

⇔x2−3x=0⇔x=0, x=3 đó là hoành độ tiếp điểm.
+ Với x = 0 suy ra k = -4 , tiếp tuyến là : y = -4x+3.

+ Víi x = 3 suy ra k = 2, tiÕp tun lµ : y = 2x – 6.

VÝ dơ 2: Cho (C) : y = 4x3 – 3x. Viết các phơng trình tiếp tuyến với (C) đi qua A(2; -1)
Gỵi ý:

Hồnh độ tiếp điểm là nghiệm của phơng trình: 8x3 – 24x + 5 = 0
⇔

(

x −1

)

(8

x

−20x −10)=0

Ví dụ 3: Tìm tất cả các điểm trên đồ thị hàm số : y=(x −1)2(x −4) mà qua đó ta chỉ kẻ đợc một và chỉ một
tiếp tuyến với đồ thị.

Gỵi ý: 
Ta cã:

y=(x −1)

(x −4)=x3−6x2+9x −4
I

(

m;m3−6m2+9m−4)

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

¿x1=m
x0=m
x3=− m+6

(

x0− m

)

[

2x0
2−

(6+m)x0− m2+6m

]

⇔ { {

§Ĩ cã tiÕp tun duy nhÊt : m=−m+6

2 ⇔m=2

Suy ra: I(2;−2) chính là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

Ví dụ 4: Hãy tìm trên đờng thẳng : y = -2 những điểm mà từ đó kẻ đến đồ thị (C) : 
y = x3 – 3x2 + 2 hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.

Gỵi ý:

Gọi A ( m ; -2) thuộc ng thng y = -2.

Phơng trình tiếp tuyến tại điểm M0( x0 ; y0) thuéc (C): y − y0=f'

(

x0

) (

x − x0

)

⇔y=

(

3x02−6x0

)

x −2x30+3x02+2

TiÕp tuyÕn qua A : -2 =

x0=2
¿

2x0
2

+(1−3m)x0+2=0( )

¿
¿
¿
¿
¿

(

3x02−6x

)

m−2x0
3

+3x02+2
⇔

(

x0−2

)

[

2x0

+(1−3m)x0+2

]

⇔

Hai tiÕp tuyÕn cña (C) không song song với Oy, nên hai tiếp tuyến vuông góc ứng tiếp điểm là nghiệm của
ph-ơng trình:

k1.k2 = -1

⇔y1' .y2'=−1

⇔

(

3x12−6x
1

)(

3x2

2−6x
2

)

⇔

(

x1x2)
2

−18x1x2

(

x1+x2

)

+36x1x2+1=0(**)

Víi x1+x2=3m−1

2 , x1x2=1

(**) ⇔−27m+55=0⇔m=55

27⇒A

(

55
27;−2

)

Dạng 7: Lập phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số y = f(x) có hệ số góc k.
 Phơng pháp:

 TÝnh y'=f(x) .

 Giải phơng trình : f'(x)=k để tìm hồnh độ tiếp điểm x0.

 Thế x0 vào phơng trình y = f(x) để tìm tung độ tiếp điểm y0, phơng trình tiếp tuyến là: y = k (x x0)
+y0.

Dạng 8 :Lập phơng trình tiếp tuyến (d) tiếp xúc với (C) tại 2 điểm.
 Phơng pháp:

Phơng trình của (d) : y = ax + b.

 Phơng trình hồnh độ giao điểm của (d) và (C) là : f(x) = ax + b (1).

 Từ (1) phải có hai nghiệm số kép x1, x2 , từ đó tìm đợc a và b suy ra phơng trình tiếp tuyến.
Ví dụ: Hãy xác định a và b để đờng thẳng (d) : y = ax + b tiếp xúc với đờng cong

Phơng trình hồnh độ giao điểm của (d) và (C) :





 

4 4 3 4 4 4 3 4 0 1

x  x  x ax b   x  x   a x b 

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>







 



















2 2

4 3

4 3 4 3 2 2 2

4 4 , ,

4 4 2 2 2 , ,

x x a x b x u x v x R u v

x x a x b x u v x u v uv x uv u v x u v x R u v

          

 

                

 

§ång nhÊt 2 vÕ:













2 2

2 4

2 0 2 4

2 4 4 2

4 8 2

u v

u v a

u v uv uv b

uv u v b u v

a uv

u v b

u v u v

u v

  



  

 



 

  

  

 

  

       

  

     



  

 

   



VËy a = -4 , b = 4 .

Bài toán 2: Dựa v o à đồ thị biện luận số nghiệm PT : f(x)=m .Sự tơng giao của hai đồ thị.
 Phương phỏp :

1. D¹ng 1:

 Ta có : y = f(x) có đồ thị (C) .

y = m có đồ thị là một đường thẳng d song song với trục hoành .

 Số nghiệm của phương trình f(x) = m bằng với số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d .
 Dựa vào đồ thị hàm số ,ta suy ra số nghiệm phương trình f(x) = m .

2. D¹ng 2:

 Các đồ thị của hai hàm số y = f(x) và y = g(x) cắt nhau tại điểm M(x0; y0) khi và chỉ khi (x0; y0) là
một nghiệm của hệ phơng trình :

¿
y=f(x)
y=g(x)

¿{

. Nh vậy hoành độ giao điểm là nghiệm của phơng trình :

f(x) = g(x).
Chú ý :

◦ Ta dựa vào cực đại và cực tiểu để suy ra số nghiệm .

◦ Bài tốn có thể thay m bằng biểu thức chứa m . VD: g(m)= am+b .

◦ Nhiều bài tốn vế trái khơng phải hàm số f(x) mà nó có dạng h(x)=m , do đó ta phải thực hiện

các phép biến đổi như cộng , trừ ,nhân ,chia hai vế để đưa về dạng f(x)=am+b .
Bài tập áp dụng

Bài 1: Khảo sát và vẽ đồ thị (P) của hàm số : y = x2 – 2x +2.

Dùng đồ thị biện luận theo m, số nghiệm của phơng trình : x2 – 2x + m = 0.
Bài 2: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số : y = x4 – 3x2 + 2.

Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phơng trình: x4 – 3x2 + 2m -1 = 0.

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

Phơng pháp:

Hai ng cong y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phơng trình :

f(x)=g(x)

f'(x)=g'(x)

¿{

cã nghiƯm.

Ví dụ 1: Chứng minh rằng hai đờng cong y = x3 + 5/4x – 2 tiếp xúc với nhau tại một điểm nào đó. Xác định 
tiếp điểm và viết phơng trình tiếp tuyến chung của hai đờng cong đã cho tại điểm đó.

Gỵi ý:

Hồnh độ tiếp điểm của hai đờng cong đã cho là nghiệm của hệ phơng trình:

(I)

¿
x3+5

4 x −2=x
2

+x −2

(

x3+5

4x −2

)

(

x
2

+x −2)

¿{

Ta cã :

(I)⇔
x3− x2+x

4=0
3x2+5

4=2x+1

⇔x=1

¿{

Vậy hai đờng cong đã cho tiếp xúc với nhau tại điểm M

(

2;−
5
4

)

Hệ số góc của tiếp tuyến chung tại điểm M của hai đờng cong đã cho là : y'

(

)

=2 .

Phơng trình tiếp tuyến chung của hai đờng cong tại điểm M là :
y=2

(

x −1

)

−
5

4 hay y=2x −
9

4 .

Ví dụ 2: Cho hàm số y = 2x3 – 3x2 +3. Lập phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song
với đờng thẳng y = 12x + 1.

Gỵi ý:

Phơng trình đờng thẳng song song với đờng thẳng y = 12x +1 có dạng :
(d) y = 12x + b

Để (d) là tiếp tuyến thì hệ phơng trình :

2x33x2+3=12x+b

6x26x=12
{

cú nghim x (x l honh độ tiếp điểm)

Giải phơng trình x2 - x – 2 = 0 đợc x = -1 hoặc x = 2

Với x = -1 ta đựơc b = 10. Phơng trình tiếp tuyến là : y = 12x + 10
Với x = 2 ta đựơc b = -17. Phơng trình tiếp tuyến là : y = 12x – 17.
Ví dụ 3: Cho hàm số y=(2m−1)x − m

x −1 (1) , m là tham số, Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đờng

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

(1) tiÕp xóc víi (2)

⇔

(2m −1)x −m2=x
x −1

m2−2m+1
(x −1)2 =1

⇔
¿x ≠1
(x − m)2=0
(m−1)2
(x −1)2=1

⇔m≠1

</div>

Tai lieu on thi TN DH CD

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

√





 





 

 

 

 

 





 





 









 





 

 

 

















  

  

















 

 





























 

 



















 







