Gián án chuyen de dao ham

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP ĐẠO HÀM
Dạng 1: Tính đạo hàm tại một điểm bằng định nghĩa
Phương Pháp: Để tính đạo hàm của hàm số
( )y f x=
tại điểm x
o
ta thực hiện
B1: Giả sử
x∆
là số gia của đối số tại điểm x
o
, khi đó
( ) ( )
o o
y f x x f x∆ = + ∆ −
B2: Lập tỉ số
y
x
∆
∆
B3: Tìm
0
lim
x
y
x
∆ →
∆
∆
Bài tập
Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau bằng định nghĩa tại nhứng điểm đã chỉ ra

a)
2
( ) 4f x x x= −
tại
0
2x =
b) ( ) 2 1f x x= + tại
0
4x =
c)
( ) 1f x x= +
tại x
0
=1
Bài 2: Tính đạo hàm của hàm số
a)
3
( )f x x=
tại điểm x
0
bất kì b) ( ) 1f x x= + tại điểm x
0
bất kì thuộc
( 1; )− +∞
Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm số nhờ sử dụng quy tắc
Phương pháp: Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm, các công thức tính đạo hàm của hàm
số thường gặp và công thức tính đạo hàm của hàm hợp:
Đạo hàm của các
hàm số thường gặp
Đạo hàm của hàm số

hợp
( )' 0c =
( )' 1x =
1
( )'
n n
x nx
−
=
1
( )' . '
n n
u nu u
−
=
1
( )'
2
x
x
=
1
( )' . '
2
u u
u
=
2
1 1
'

x x
 
= −
 ÷
 
2
1 1
' . 'u
u u
 
= −
 ÷
 
(sin )' cosx x= (sin )' '.cosu u u=
(cos )' sinx x= − (cos )' '.sinu u u= −
2
1
(tan )'
cos
x
x
=
2
1
(tan )' . '
cos
u u
u
=
2

1
(cot )'
sin
x
x
= −
2
1
(cot )' . '
sin
u u
u
= −
Quy tắc tính đạo hàm
1
( )' ' 'u v u v+ = +
( )' ' 'u v u v− = −
( )' ' 'uv u v uv= +
'
2
' 'u u v uv
v v
−
 
=
 ÷
 

( 0)v ≠
( )' . ' (k )ku k u= ∈ ¡

Bài tập
Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số
a)
5 4 3 2
1 2 3
4 5
2 3 2
y x x x x x= + − − + −
b)
5 3
4 2 3y x x x x= − + −
c)
2 4
1 1
0,5
4 3
y x x x= − + −
d)
4 3 2
3
4 3 2
x x x
y x a= − + − +
(a là hằng số)
Bài 2: Tính đạo hàm của hàm số đa thức
3 2
( )y f x ax bx cx d= = + + +
Bài 3: Cho hàm số
( )

ax b
y f x
cx d
+
= =
+
(a, b, c, d là hằng số). Tính
'( )f x
Bài 4: Cho hàm số
2
( )
ax bx c
y f x
mx n
+ +
= =
+
(a, b, c, m, n là hằng số). Tính
'( )f x
Bài 5: Tính đạo hàm của hàm số sau:
a)
7 2
( )y x x= +
b)
2 2
( 1)(5 3 )y x x= + −
c)
3 2 2
(2 3 6 1)y x x x= − − +
d)

(2 1)(3 2)y x x x= − +
e)
2 3
(1 2 )y x= −
f)
2 32
( )y x x= −
g)
2 3 2 2
( 1) ( 1)y x x x x= − + + +
h)
3 2 3 2
(2 3 )(3 2 )y x x x x= − +
Bài 6: Tính đạo hàm của hám số sau:
a)
2 1
1
x
y
x
−
=
−
b)
2
2
1
x
y
x

=
−
c)
2
5 3
1
x
y
x x
−
=
+ +
d)
2
1
1
x x
y
x
+ −
=
−
e)
2
1
1
y x
x
= + −
−

f)
2
2 2
1
x x
y
x
+ +
=
+
g)
2
2 4 5
2 1
x x
y
x
− +
=
+
h)
2
2
1
1
x x
y
x x
+ +
=

− +
i)
2
2 3
5 5
x
y
x x
+
=
− +
k)
2 5
1
( 1)
y
x x
=
− +
Bài 7: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
2
1y x x x= + +
b)
2
1 2y x x= + −
c)
2 2
1 1y x x= + − −
d)

2
1x
y
x
+
=
2
e)
2
1
1
x
y
x
 
−
=
 ÷
+
 
f)
1
1
1
y x
x
= − +
−
g)
2

1
y x
x
 
= −
 ÷
 
h)
1
1
x
y
x
+
=
−
i)
2
2 2
( _ )
x
y a const
x a
=
+
j)
y x x x= + +

Bài 8: Cho hàm số ( ) 3 2f x x x= − . Tính
'(4);f

2
'( )f a
trong đó a là hằng số khác 0
Bài 9: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1)
5sin 3cosy x x= −
2)
2
sin( 3 2)y x x= − +
3)
siny x=
4)
2
cosy x=
5) cos 2 1y x= +
6)
2sin3 cos5y x x=
7)
sin cos
sin cos
x x
y
x x
+
=
−
8) cos2y x=
9)
sin

sin
x x
y
x x
= +
10)
sin(cos ) cos(sin )y x x= +
11)
sin
sin
x x
y
x x
+
=
−
12)
2
(sin cos )y x x= +
13)
2 2
3cos 2 2cos 3y x x= −
14)
2
1 cos2
1 cos2
x
y
x
+

 
=
 ÷
−
 
15)
4 4
cos siny x x= +
16)
1 1
cos sin
y
x x
= −
17)
2
cos 2
4
y x
π
 
= −
 ÷
 
18)
sin cos
cos sin
x x x
y
x x x

−
=
−
Bài 10 Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
1
tan
2
x
y
+
=
b)
3
tan cot 2y x x= +
c)
2
cot 1y x= +
d)
tan3 cot3y x x= −
e)
coty x x=
f)
2
2
1 tan 3
1 tan 3
x
y
x

+
=
−
g)
tan(sin )y x=
h) tany x x=
i) tan coty x x= +
j)
2
1
(1 tan )
2
y x= +
Bài 11: Chứng minh hàn số
6 6 2 2
sin cos 3sin cosy x x x x= + +
có đạo hàm bằng 0
Bài 12: Chứng minh
a)
tany x=
thỏa mãn hệ thức
2
' 1 0y y− − =
b)
cot 2y x=
thỏa mãn hệ thức
2
' 2 2 0y y+ + =
Bài 13: Giải phương trình
' 0y =

trong các trường hợp sau:
a)
sin 2 2cosy x x= −
b)
2
cos siny x x= +
c)
3sin 2 4cos2 10y x x x= + +
d)
tan coty x x= +
Bài 14: Tính
'
6
f
π
 
 ÷
 
biết
cos
( )
cos2
x
f x
x
=
Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Dạng 3.1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )y f x=
tại điểm

0 0
( ; ( ))M x f x
Phương pháp: phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )y f x=
tại điểm
0 0
( ; ( ))M x f x
là
0 0 0
'( )( ) ( )y f x x x f x= − +
3
Chú ý: +) nếu bài toán yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ tiếp
điểm
0
x
, ta vẫn là dạng toán này
+) Nếu bài toán yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ tiếp
điểm
0
y
, ta giải phương trình
0
( )f x y=
để tìm hoành độ tiếp điểm
Dạng 3.2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )y f x=
, biết rằng tiếp tuyến
đó có hệ số góc là k
Phương pháp:
B1: Tính đạo hàm của hàm số

( )y f x=
B2: Gọi
0 0
( ; ( ))M x f x
là hoành độ tiếp điểm. Giải phương trình
0
( )f x k=
để tìm
hoành độ tiếp điểm
0
x
B3: Viết phương trình tiếp tuyến (dạng 3.1)
Dạng 3.3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )y f x=
biết rằng tiếp tuyến
đó đi qua điểm M(a;b).
Phương pháp:
B1: Tính
'( )f x
B2: Gọi
0 0 0
( ; ( ))M x f x
là tiếp điểm. Khi đó phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm
này là
0 0 0
'( )( ) ( )y f x x x f x= − +
Theo bài ra tiếp tuyến này đi qua điểm M nên ta có
0 0 0
'( )( ) ( )b f x a x f x= − +

(1)
B3: Giải phương trình (1) tìm hoành độ tiếp điểm và viết phương trình tiếp tuyến
(dang1)
Bài tập
Bài 1: Gọi (C) là đồ thị của hàm số
3 2
5 2y x x= − +
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến đó
a) song song với đường thẳng
3 1y x= − +
b) vuông góc với đường thẳng
1
4
7
y x= −
c) đi qua điểm A(0;2)
Bài 2. Cho đường cong (C):
2
2
x
y
x
+
=
−
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
a) tại điểm có hoành độ bằng 1 b) tại điểm có tung độ bằng
1
3
c) biết tiếp tuyến đó có hệ số góc là

4
−
Bài 3: Gọi (C) là đồ thị của hàm số
3
3 2y x x= − +
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến đó
a) nhận điểm
(2;4)A
làm tiếp điểm
b) song song với đường thẳng
9 2y x= +
c) đi qua điểm B(0;2)
Dạng 4*:Tính tổng nhờ đạo hàm và tính giới hạn nhờ đạo hàm
4
Bài 1: Tính tổng sau:
a)
2 1
( ) 1 2 3 ...
n
P x x x nx
−
= + + + +
b)
2 2 2 2 2 1
( ) 1 2 3 ...
n
Q x x x n x
−
= + + + +
Bài 2: Tìm giới hạn sau:

a)
2
1
8 3
lim
2 3
x
x
x x
→
+ −
+ −
b)
3
1
3 2
lim
1
x
x x
x
→
− −
−
c)
2 3
1
...
lim
1

n
x
x x x x n
x
→
+ + + + −
−
Bài 3: Chứng minh rằng
a)
1 2 1 1
2 ... ( 1) 2
n n n
n n n n
C C n C nC n
− −
+ + + − + =
b)
0 1 2 1 1
2 3 ... ( 1) 2 2
n n n n
n n n n n
C C C nC n C n
− −
+ + + + + + = +
Bài 4: Tính các tổng sau:
a)
1 2 3 19
20 20 20 20
2 3 ... 19 20S C C C C= − + − + −
b)

1 2 3 29
30 30 30 30
2 3 ... 29 30S C C C C= − + − + −
baitap
1. Tính đạo hàm của các hàm số sau
a)
2
9y x= −
tại
0
1.x = −
b)
2 1y x= −
tại
0
5.x =
c)
sin 2y x=
tại
0
.
6
x
π
=
d)
2
2
x x
y

x
+
=
−
tại
0
1.x =
e)
( )
( 1)( 2)... 2008y x x x x= − − −
tại
0
0.x =
2. Tính đạo hàm của các hàm số sau tại
0
.x
a)
.y x=
b)
1
.y
x
=
c)
.
n
y x=
d)
sin .y x=
e)

cos .y x=
g)
tan .y x=
3. Cho hàm số
( ) .f x x=
a) Chứng minh rằng hàm số đã cho liên tục tại điểm
0
0.x =
b) Tính đạo hàm trái, đạo hàm phải của hàm số tại
0
0.x =
Từ đó suy ra hàm số không có đạo hàm
tại điểm
0
0.x =
4. Chứng minh rằng hàm số
1y x= −
không có đạo hàm tại
1x
=
nhưng liên tục tại điểm đó.
5. Tìm
'
(0)f
của hàm số
2
1
cos 0
( ) .
0 0

x khi x
f x
x
khi x

≠

=


=

6. Tính đạo hàm của hàm số
a)
( )
1 3y x x .= − −
b)
2
3 2y x x .= − +
c)
2
4 3y x x .= + +
7. Tính đạo hàm của các hàm số sau đây
a)
6
2 2.y x x= − +
b)
3 2
( 4).y x x= −
c)

2
(2 1).y x x= −
5