Phương pháp tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.08 MB, 8 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Trang | 1

PHƢƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO

CÁC DỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN

1. Phƣơng pháp

Phƣơng pháp:

Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản.

Khi tìm ta thường chia cả tử và mẫu cho , trong đó là bậc lớn nhất của tử và
mẫu.

Khi tìm trong đó ta thường tách và sử dụng

phương pháp nhân lượng liên hơn.

+ Dùng các hằng đẳng thức:

Dùng định lí kẹp: Nếu ,n và lim vn = 0 thì lim un = 0

Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trƣờng hợp sau đây:

 Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0.

 Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa
cao nhất của tử và của mẫu.

 Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là + nếu hệ số cao nhất của tử
và mẫu cùng dấu và kết quả là – nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu.

Ví dụ 1. Cho dãy số với , trong đó là tham số. Để có giới hạn bằng 2 thì

giá trị của tham số là?

A. -4. B. 2. C. 4. D. 3.

Hƣớng dẫn giải 
Chọn B.

Dễ thấy với thì .

Thật vậy:

Nếu thì .



 lim ( )

( )

f n
g n

k

n k

 limk f n( )mg n( ) lim ( )f n lim ( )g n  



a b



a b



 a b;



3a3b





3a23ab3b2



 a b

 un vn

(un)

2
2

4 2

5
n

n n

u

an

 


 a (un)

a

a

2
2

4 2

lim lim 2

2 5

n

n n

u

n

 

 


0

a

4 2

lim lim
5
n

n n

u     

a

2
2

4 2 4

lim lim

5
n

n n

u

an a

 

 

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Trang | 2

Do đó để thì .

Ví dụ 2. Tìm hệ thức liên hệ giữa các số thực dương và để: .

A. . B. . C. . D. .

Hƣớng dẫn giải 
Chọn D.

Từ kết quả đã trình bày trong phần ví dụ, ta thấy cần phải nhân chia với biểu thức liên hợp. Ta
có:

Suy ra . Do đó để

Ví dụ 3. Tìm các số thực và sao cho .

A. . B. . C. . D. .

Hƣớng dẫn giải

Chọn A.

Ta có . Để hữu hạn thì

( xem lại phần ví dụ ).

phần Ví dụ). Ta có . Vậy .

2. Bài tập

Câu 1. Cho dãy số

 

un thỏa mãn





1
2

2 1 , .

1 2 1








   

 

  



n
n

n

u

u n

u

Tính u2018.

A. u2018 7 5 2 B. u20182 C. u2018  7 5 2 D. u2018  7 2

Hƣớng dẫn giải 
Chọn A.

limun 2 4 2 a 2

a   

a b 2 2

lim( n an 5 n bn3)2
2

a b  a b 2 a b 4 a b 4





2 2

5 3

a b n

n an n bn

 

     

    

2 2

5 3

1 1

a b
n

a b

n n n n

 


    



2 2



lim 5 3

a b
n an  n bn  



2 2



lim n an 5 n bn3 2

2
2

a b

    a b 4

a b 3 3

lim( 1n an b ) 0
1

a
b

 

 


1
0

a
b



 


1
1

a
b

 

  


0
1

a
b



 




3 3



lim 1n an b 0  b lim



31n3 an



lim



31n3 an



a



3 3



</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Trang | 3

Câu 2. Cho dãy số (xn) xác định bởi 1 1, 1 2 , 1

2 n n n

x  x  x x  n

Đặt

1 2

1 1 1

n

S

x x x

   

   . Tính limSn.

A.  B.  C. 2 D. 1

Hƣớng dẫn giải 
Chọn C.

Từ công thức truy hồi ta có: xn1xn,  n 1, 2,...
Nên dãy (xn) là dãy số tăng.

Giả sử dãy (xn) là dãy bị chặn trên, khi đó sẽ tồn tại limxn x

Với x là nghiệm của phương trình: 2

1
0

xx    x x x vơ lí
Do đó dãy ( )xn khơng bị chặn, hay limxn  .

Mặt khác:
1

1 1 1 1

( 1) 1

n n n n n

x   x x   x x 

Suy ra:

1 1 1

n n n

x   x x 

Dẫn tới:

1 1 1 1

2 lim 2 lim 2

n n

n n n

S S

x x  x  x

       

Câu 3. Cho dãy (xk) được xác định như sau: 1 2 ...

2! 3! ( 1)!
k

k
x

k

   


Tìm limun với n 1n 2n ... 2011n

n

u  x x  x .

A.  B.  C. 1 1

2012!

 D. 1 1

2012!


Hƣớng dẫn giải 
Chọn C.

Ta có: 1 1

( 1)! ! ( 1)!

k

k k  k nên

1
1

( 1)!
k

x

k

 


Suy ra 1 1 1 0 1

( 2)! ( 1)!

k k k k

x x x x

k k

 

     

 

Mà: x2011n x1n x2n  ... x2011n n 2011x2011

Mặt khác: lim 2011 lim 2011 2011 2011 1 1
2012!
n

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Trang | 4
Vậy lim 1 1

2012!
n

u   .

Câu 4. Cho dãy (xk) được xác định như sau: 1 2 ...

2! 3! ( 1)!
k

k
x

k

   

 .
Tìm limun với n 1n 2n ... 2011n

n

u  x x  x .

A. . B. . C. 1 1

2012!

 . D. 1 1

2012!


Hƣớng dẫn giải

ChọnC

Ta có: 1 1

( 1)! ! ( 1)!

k

k k  k nên

1
1

( 1)!
k

x

k

 

 .

Suy ra 1 1 1 0 1

( 2)! ( 1)!

k k k k

x x x x

k k

 

     

  .

2012!
n

x  x x   .

Vậy lim 1 1
2012!
n

u   .

Câu 5. Cho hàm số f n

 

a n 1 b n 2 c n3



n *



với a b c, , là hằng số thỏa mãn
0.

a  b c Khẳng định nào sau đây đúng?

A. lim

 

x f n   B. xlim f n

 

1 C. xlim f n

 

0 D. xlim f n

 

2

Hƣớng dẫn giải

ChọnC

Câu 6. Cho a b,  , ( , ) 1;a b  n



ab1,ab2,...



. Kí hiệu rn là số cặp số ( , )u v   sao cho

naubv. Tìm lim n 1
n

r
n ab

  .

A. . B. . C. 1

ab . D. ab1.

Hƣớng dẫn giải

ChọnC

Xét phương trình 0;n 1

n



 

 

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Trang | 5
Gọi ( ,u v0 0) là một nghiệm nguyên dương của (1). Giả sử ( , )u v là một nghiệm nguyên dương
khác ( ,u v0 0) của (1).

Ta có au0bv0 n au bv,  n suy ra a u u(  0)b v v(  0)0 do đó tồn tại k nguyên dương
sao cho uu0kb v,  v0 ka. Do v là số nguyên dương nên 0

1 v

v ka k
a


    . (2)
Ta nhận thấy số nghiệm nguyên dương của phương trình (1) bằng số các số k nguyên dương
cộng với 1. Do đó 0 1 0 1

1 1

n

v n u

r

a ab b a



   

     

    .

Từ đó ta thu được bất đẳng thức sau: 0 1 0 1
1.
n

u u

n n

r

ab b   a ab b  a

Từ đó suy ra: 1 u0 1 rn 1 u0 1 1.

abnbna n abnbnan

Từ đây áp dụng nguyên lý kẹp ta có ngay lim n 1

n

r
n ab

  .

Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: chuyển chế độ Rad +

9
cos 5

lim

2 10

x

x x  và so đáp án.

Câu 7. Cho dãy số xác định bởi với mọi . Gọi là tổng số hạng đàu

tiên của dãy số . Tìm .

A. . C. . B. . D. .

Hƣớng dẫn giải 
Chọn B.

Cách 1: Ta có . Đặt .

Khi đó: . Vậy là một cấp số nhân có công

bội . Gọi là tổng số hạng đầu tiên của .

Ta có: . Suy ra: .

Vậy .

Cách 2: Sử dụng MTCT. Nhập vào màn hình: .
Bấm r, máy hỏi A? nhập , máy hỏi X? nhập , máy hỏi Y? Nhập , bấm =
liên tiếp ta thấy giá trị của A ngày một tăng cao.

(un) u13, 2un1un1 n1 Sn n
(un) limSn

limSn   limSn 1 limSn   limSn  1

2un un 1 1

1 1

2 2

n n

u  u

   vn un1





1 1

1 1 1 1

1 1 1

2 2 2 2

n n n n n

v u    u    u   v

 

vn

1
2

q Tn n

 

vn

1
1
.

1
n
n

q

T v

q




 1

1
1

2
.

1
1

2
n

v

 
   


 1

1
2 . 1

2
n

v    

    
 

  Sn  Tn n 1

1
2 . 1

2
n

v     n

    
 

 

limSn  

1 1

: :

2 2

A A X Y  X  X Y

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Trang | 6

Câu 8. Cho dãy số xác định bởi với mọi . Tìm .

A. . B. . C. . D. .

Hƣớng dẫn giải 
Chọn C.

Sử dụng MTCT.

Dùng cách tìm dạng phân số của số thập phân vơ hạn tuần hồn ta được .

Vậy giới hạn của dãy số trong trường hợp này bằng .

Bổ sung: Cho dãy số được xác định bởi , , với ,

trong đó là các số thực cho trước, . Người ta chứng minh được rằng .

Câu 9. Cho dãy số xác định bởi với mọi . Tìm .

A. . C. . B. . D. .

Hƣớng dẫn giải

Chọn B.

Giả sử dãy có giới hạn hữu hạn . Khi đó ta có: .

Tuy nhiên đến đây ta khơng cịn căn cứ để kết luận hay .

Ta sử dụng MTCT tương tự như bài tập trên thì thấy rằng giới hạn của dãy số là . Vậy chọn

Chọn B.

Câu 10. Cho dãy số xác định bởi với mọi . Khi đó bằng.

A. . B. 0. C. 1. D. 2.

Hƣớng dẫn giải 
Chọn C.

Ta có

(un) 1

1 1, 2 2, 2

n n

n

u u

u  u  u     n1 limun

 3

5
3

4
3

 

1, 6 1, 66666667 5



5
3

 

un u1a u2 b

1
2

n n

n

u u

u      n 1

a b ab lim 2

3
n

a b
u  

(un)

1 1

1
,

4 2

n

n n

u

u  u  u  n1 limun

1
lim

4
n

u  lim 1

2
n

u  limun 0 limun  

L 2

L

LL  2L2 L

1
2

L
L






 


L 1

L

9
2

1, 706192802.10

X

Y X



 

(un) u11,un1un2n1 n1

1
lim n

n

u
u



</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Trang | 7

; ; ;.

Dự đốn . Khi đó . Vậy .

Suy ra .

Nhận xét: Ở bài này sẽ phải bấm phím = liên tiếp khá nhiều lần, do khi chưa đủ lớn thì

chênh lệch giữa và là khá xa nên giá trị của khá xa so với .
2

1 1

u  u2  1 2.1 1 22 u3 222.2 1 9  32
2

n

u n un1un2n 1



n1



1
n

u n  n





2
1

lim n lim 1

n

n
u

u n

   

n





n n2





2
2

n
n



</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Trang | 8
Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,

giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sƣ phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng.

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng
xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và
Sinh Học.

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường
Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn 
Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG.

- Bồi dƣỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh 
Trình, TS. Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc 
Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chƣơng trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả
các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư
liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và
Tiếng Anh.

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

</div>

Phương pháp tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản

<b>PHƢƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO </b>

<b>CÁC DỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN </b>

<b>1. Phƣơng pháp </b>















<b>2. Bài tập </b>

 

































 





 

 

 

 









 

 

 

 

















<i>Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai </i>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về