Cuc va Doi Cuc

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (74.02 KB, 6 trang )

CỰC VÀ ĐỐI CỰC

A) lý thuyết

<b>I)Đường tròn trực giao</b>

1) Định nghĩa

- Cho hai (O1),(O2) cắt nhau taị hai điểm A,B; 1, 2 lần

lượt là tiếp tuyến của (O1), (O2) và qua A. Khi đó góc giữa hai

đường thẳng 1, 2 được gọi là góc của hai đường trịn.

-Hai đường tròn gọi là trực giao khi và chỉ khi góc của chúng
bằng 900

2)Các định lý
a)Định lý 1

(O1), (O2) cắt nhau tại A , 1, 2 lần lượt là tiếp tuyến

của (O1), (O2) và qua A . Khi đó O1) và (O2) trực giao

 1 qua O2

 2 qua O1

b)Định lý 2

Cho (01,r1) và (01,r2). (01)và (02) trực giao

r12+r22 = O2O12

c)Định lý 3

(O1,R1) trực giao (O2,R2)

 PO2/(O1)=R22

 PO1/(O2)=R12

d)Định lý 4

Cho (O),(O’), MN là đường kính của (O) và cắt (O’)
tại P,Q. Khi đó: (O) trực giao (O’)  (MNPQ)= -1

1)Hai điểm liên hợp
a)Định nghĩa

(O) và hai điểm M,M’. Khi đó M,M’ gọi là liên hợp
đối với (O) nếu đường trịn đường kính MM’ trực giao với
(O)

b)Định lí 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

c)Định lí 2

Cho (O),  khơng đi qua O . Khi đó tồn tại duy nhất
điểm M sao cho với mọi M’ thuộc  ta có M,M’ liên hợp đối

với (O)

2)Cực và đối cực
a)Định nghĩa

-Đường thẳng  nói trong định lý 1 ở trên gọi là đường
đối cực của M đối với (O)

-Điểm M nói trong định lý 2 ở trên gọi là cực của
đường thẳng  đối với (O)

3)Tính chất

a)Đối cực của M đi qua M’  đối cực của M’ đi qua M

b)Khi M chạy trên 1 đường thẳng cố định thi đối cực của M
luôn đi qua một điểm cố định

c) quay quanh một điểm cố định thi cực của  chạy trên
một đường thẳng cố định

4)Cách vẽ cực và đối cực
a)Tam giác tự liên hợp

Bài toán:Cho tức giác ABCD nội tiếp (O), E,F,K là giác
của AB,CD; AD,BC; AC,BD

CMR:E,K liên hợp đối với (O)
E,F liên hợp đối với (O)
F,K liên hợp đối với (O)

EFK gọi là tam giác tự liên hợp

b)Vẽ đối cực
Nguyên tắc
Cho (O),M khác O

+)Lấy M’ sao cho M,M’ liên hợp đối với (O) hoặc
+)Lấy M’,M’’ sao cho M,M’ liên hợp với (O)

M,M’’ liên hợp với (O)
Khi đó  trùng M’M’’

-) M thuộc (O) thì đối cực của M là tiếp tuyến của (O)
tại M

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

-) M nằm trong (O) thì:

+ dựng dây cung AB bất kì qua M của (O) , qua
A,B vẽ hai tiếp tuyến cắt nhau tai M’, đối cực của M là đường
thẳng qua M và vng góc OM

+ dựng tứ giác có M là giao hai đường chéo, khi
đó đối cực của M là đường thẳng qua các giao điểm của các cạnh
đối của tứ giác

+ dựng giao của các tiếp tuyến của (O) tại các
đỉnh đối của tứ giác , khi đố đường thẳng qua các giao điểm đó là
đối cực của M

c)vẽ cực

Nguyên tắc

Cho (O),  không đi qua O
+)Lấy M’ Trên 

Đối cực của M’ giao với đường thẳng qua O vng góc
với  tại cực của 

+)Lấy M’,M’’ trên  , đối cực của M’ giao đối cực M’’ là
cực của 

B) BÀI TẬP

CMR:(O1) trực giao (O2)

 tập hợp các điểm M thỏa mãn PM/(O1)+PM/(O2)= 0 là

đường trịn đường kính O1O2

(O) trực giao với (O1) và (O2). CMR: PO/(O1)=PO/(O2)

ABC ngoại tiếp (I), tiếp xúc với các cạnh BC,CA,AB tại
A1,B1,C1 A2,B2,C2 là giao của IA,IB,IC với (I) . Tiếp của (I) tại

A2,B2,C2 cắt BC tại A3,B3,C3 .CMR: A3 ,B3,C3 thẳng hàng

Gợi ý: Chứng minh A3,B3,C3 cùng thuộc đối cực của một điểm

bằng việc chứng minh A3,B3,C3 cùng liên hợp với điểm đó

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Tứ giác ABCD nội tiếp (O) và ngoại tiếp (I). K là giao điểm
hai đường chéo . CMR: O,I,K thẳng hàng

Cho (I) nội tiếp ABC tiếp xúc với các cạnh BC,CA,AB tại
D,E,F . AD cắt (I) tại L , EF cắt BC tại K.

a)CMR:KL là tiếp tuyến của (I)

b)Gọi J là giao của EF và AD . CMR: IJ vng góc AL
Gợi ý: Chứng minh K,L liên hợp với (I)

Cho ABC nội tiếp (O) , điểm M bất kì nằm trong  ,
AM,BM,CM cắt (O) tại A1,B1,C1 . B1C1 cắt BC tại A2, C1A1 cắt CA

tại B2 ,A1B1 cắt AB tại C2 CMR: A2,B2,C2 thẳng hàng và OM

vng góc A2B2C2

Cho (I) nội tiếp tứ giác ABCD , tiếp xúc với các cạnh
Ab,CD,BC,AD tại M,N,P,Q . E,F là giao của MP,NQ và MQ, NP

a) CMR: MN,PQ,AC,BD đồng quy
b) CMR: B,D, F thẳng hàng

A,C,E thẳng hàng

Cho ABCD nội tiếp (O); (AOB),(COD) giao nhau tại L khác
O . CMR: góc ILO bằng 900

Gợi ý:Dùng tâm đẳng phương chứng minh IL là đối cực của
S đối với (O)

Cho ABC vuông cân tại A , (I) nội tiếp  tiếp xúc BC tại
D, Ah là đường cao, K là trung điểm AH , N là giao DK và (I)
.CMR: (NBC) tiếp xúc (I)

ABC nội tiếp (O) , tiếp tuyến tại B,C cắt nhau tại S, ó cắt
BC tại M , N thuộc BC . AN là đường đối trung của tam giác ABC
khi và chỉ khi thỏa mãn một trong các điếu kiện sau:

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

+) N thuộc AS

áp dụng bài đã biết trên giải bài sau:

ABC nội tiếp (O), (I) tiếp xúc các cạnh BC,CA,AB tại
D,E,F sao cho OI vng góc AD . CMR AD là đường đối trung
của  ABC

ABC vuông tại C ,(I) tiếp xúc BC,CA,AB tại A’,B’,C’, K là
giao của B’C’ và đường thẳng qua A’ vng góc AA’ .CMR: BC
đi qua trung điểm AK

Gợi ý: đường trịn đường kính AK trực giao (I)

Tứ giác ABCD nội tiếp (O) , OH vng góc AC . CMR: góc BHC
=góc DHC

Cho (O) , dây AB , (O1),(O2) tiếp xúc trong với (O) ,tiếp xúc

AB và tiếp xúc với nhau tại T . Tiếp tuyến tại T của (O1) và (O2)

cắt (O) tại C .CMR: T là tâm đường tròn nội tiếpABC

Cho (O) , hai dây AC,BD , OH vng góc AC, OK vng

góc BD và góc BHA=góc DHA .CMR: góc AKB = góc CKB

Gợi ý: Dùng kết hợp hàng điểm điều hòa

Cho (O) và hai điểm P,Q , gọi P, Q là đối cực của P,Q đối với

(O); M,N là hình chiếu của P,Q lên P, Q. CMR:PO chia PM=

QO chia QN

Gợi ý: OS vuông góc PQ, BA vng góc AS sau sử dụng
tam giác đồng dạng

Cho (O), hai đường kính XY,ZT ,M thuộc (O); A,B là hình
chiếu của M lên XY,ZT; N là cực của AB với (O) ; H,K là hình
chiếu của N lên XY,ZT .CMR:HK tiếp xúc (O) tai M

Gợi ý: Chứng minh đường trịn đường kính MH,MK trực
giao (O)

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

SA,SB là hai tiếp tuyến của (O)(A,B là các tiếp điểm ) ,OS 
AB= H , K là trung điểm của SH .  K :  OS . M   ,

</div>