CAC BAI TOAN VE HE THUC LUONG TRONG DUONG TRON

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ THỨC LƯỢNG

TRONG ĐƯỜNG TRÒN

<b>Bài 1: </b>

M,(O) cố định , đường thẳng  thay đổi qua M cắt (O) tại
A,B .Tiếp tuyến tại A,B của (O) cắt nhau ở S . CMR:S chạy trên
đường thẳng cố định

Gợi ý: S chạy trên trục đẳng phương của (O) và (OM)

<b>Bài 2 : </b>

Cho (O),(O’) ngoài nhau MM’,NN’,PP’,QQ’ lần lượt là các
tiếp tuyến chung trong và ngồi của hai dường trịn ( M,N,P,Q
thuộc (O); M’,N’,P’,Q’ thuộc (O’)) CMR: trung điẻm các đoạn
thẳng MM’,NN’,PP’,QQ’, thẳng hàng

Gợi ý: Các điểm này cùng thuộc trục đẳng phương của hai
(O),(O’)

<b>Bài 3: </b>

Tứ giác ABCD nội tiếp (O) , AB cắt DC tại F,AC cắt BD tại
E. H,K,I,J lần lượt là trực tâm của các tam giác ADE, BCE,
ADF,BCF.CMR: H,K,F thẳng hàng và E,I,J thẳng hàng

Gợi ý: Chứng minh các điểm cùng thuộc trục đẳng phương
của hai đường trịn

<b>Bài 4:</b>

Cho  khơng cắt (O) . M di chuyển trên  , MA,MB là hai
tiếp tuyến của (O) (A,B là các tiếp điểm). CMR:AB luôn đi qua
một điểm cố định I

Gợi ý: Hạ OH vuông góc  ,I thuộc ,hoặc vẽ tiếp tuyến
HK,HL thì I là giao của OH với KL ngồi ra còn là tâm đẳng
phương của (O),(HKOL),(MAOBH)

<b>Bài 5 :</b>

Cho (O) tiếp xúc trong và ngoài với (O1),(O2) tại H,K . (O1),
(O2) cắt nhau tại A,B. CMR: <b>_HBHA</b> <b>KA_KB</b>

Gợi ý: Dùng tâm đẳng phương

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Cho A,B cố định nằm ngoài (O) , một các tuyến qua A thay
đổi cắt (O) tại hai điểm M,N . BM,BN cắt (O) tại hai điểm M’,N’.
CMR:

a) (BMN) luôn qua điểm cố định
b) (B’M’N’) luôn qua điểm cố định
c) M’N’ luôn qua điểm cố định

Gợi ý:

a. Giao (BMN) và AB
b. Giao (BM’N’) và AB

c. Gọi K là giao của M’N’ và AB , chứng minh KN’BN

nội tiếp dẫn đến K cố định

<b>Bài 7: </b>

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) , E,F,K lần lượt là giao của
AD,BC và AB,CD và AC,BD . CMR:

a) PE/(O) +PF/(O)=EF2

b) PE/(O) +PK/(O)=EK2

c) PK/(O) +PF/(O)=KF2

d) O là trực tâm EFK

Gợi ý: a)Lấy giao của (FAD)và EF
b) Lấy giao của (ABK) và FK
c) Lấy giao của (BCK) và EK
d) EK vuông FO

 EO2_=EF2_=KO2_-KF2

Tương tự FK vuông EO

<b>Bài 8 </b>

Cho ABC , E,F lần lượt thuộc cạnh AB,AC sao cho
EF//BC,và EF qua H. AH là đường cao của ABC. CRM: AH là
trục đẳng phương của hai đường tròn đường kính BF,CE.

<b>Bài 9 :</b>

Cho tứ giác ABCD có M,N là trung điểm của AB,CD và O là
giao của AC, BD . H,K là trực tâm AOD, BOC.CMR: HK
vng góc với MN

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>Bài 10 :</b>

Cho ABC , trọng tâm G.CMR: PA/(GBC)=PB/(GCA)=PC/(GAB)

Gợi ý: Dùng vecto

<b>Bài 11: </b>

Cho ABC nhọn , AA’,BB’,CC’ là các đường cao của tam
giác , H là trực tâm tam giác, M là trung điểm BC.B’C’ cắt BC tại
K. CMR: HK vuông góc AM

Gợi ý: Ta có PA/(M)+PK/(M)=AK2

PA/(M)+PH/(M)=AH2

Khi đó HK vng AM  AK2_-KM2_=AH2_-HM2

<b>Bài 12: </b>

Cho  ABC , O, H là tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm
ABC. M,N là trung điểm của AB,AC . BE,CF là các đường cao
ABC, MN giao EF tại K.CMR:HO vng góc AK

Gợi ý: Chứng minh AK là trục đẳng phương của đường tròn
đường kính AO,AH

<b>Bài 13 :</b>

ABC nội tiếp (O) , (I) qua B,C cắt AB,AC tại K,L. KL
giao BC tại S, AS giao (O) tại M.CMR: OM vng góc AS

Gợi ý: OM vuông AS

 OA2_-OS2_=AM2_-SM2

PA/(O) +R2 – R2 – PS/(O)=

<b>Bài 14:</b>

(O) , AB là dây cung, (O1),(O2) là hai đường tròn tiếp xúc với
AB và tiếp xúc trong (O) và cắt nhau tại hai điểm M,N.CMR: MN
đi qua trung điểm cung AB khơng chứa hai đường trịn trên của
(O) .

<b>Bài 15:</b>

 cố định ,A,B,S cố định nằm ngoài  ; (O) thay đổi qua
A,B cắt  tại C,D .CMR: Tâm (SCD) ln chạy trên một đường
trịn cố định

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

ABC có các đường cao AD,BE,CF; H là trực tâm tam giác.
M,N là giao của DE và CF; DF và BE. CMR: Đường thẳng qua A
vng góc với MN đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp BHC.

</div>

<!--links-->