Bài giảng ptđa thưc thanh nhân tử

Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử, ứng dụng.
A.Lý thuyết chung.
1) Phân tích đa thức thành nhân tử ( ra thừa số ) là: Biến đổi đa thức đó thành một tích của những
đơn thức, đa thức.
2 ) Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
1) Đặt nhân tử chung;
2) Dùng hằng đẳng thức;
3) Nhóm nhiều hạng tứ;
4) Tách, thêm, bớt;
5 )Phối hợp nhiều phơng pháp
B. Nội dung
Phần I: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
I. Phơng pháp đặt nhân tử chung
1. Phơng pháp .
Tìm nhân tử chung là những đơn thức, đa thức có maởt trong tất caỷ các hạng tử.
Phân tích mỗi hạng tử thành tích nhân tử chung và một nhân tử.
Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc.
2.Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) 3xy + x
2
y
2
5x
2
y
b) 2x(y z) + 5y(z y)
c) 10x
2
(x + y) 5(2x + 2y)y
2
Bài Làm

a) 3xy + x
2
y
2
5x
2
y = xy(- 3 + xy 5x)
b) 2x(y x) + 5y(z y) = 2x(y z) 5y(y z) = (y z)(2x 5y)
c) 10x
2
(x + y) 5(2x + 2y)y
2
= 10x
2
(x + y) 10y
2
(x + y) = 10(x + y)(x
2
y
2
)
= 10(x + y)(x + y)(x y) = 10(x + y)
2
(x y)
3. Bài tập tự luyện
Bài tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 12xy
2
12xy + 3x
b) 15x 30 y + 20z

c)
7
5
x(y 2007) 3y(2007 - y)
d) x(y + 1) + 3(y
2
+ 2y + 1)
Bài tập 2: Tính giá trị của các biểu thức sau
a) 23,45 . 97,5 +23,45 . 5,5 -,23,45 . 3
b) 2x
3
(x y) + 2x
3
(y x ) + 2x
3
(z x) (Với x = 2006 ; y = 2007 ; z = 2008)
II) Phơng pháp dùng hằng đẳng thức
1. Phơng pháp
Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử Nguyễn Thanh Hùng Tr ờng THCS Tiên
Nha năm 2006
1
Sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi đa thức thành tích các nhân tử hoặc luỹ thừa của một đa thức
đơn giản.
+
Những hằng đẳng thức :
(A + B)
2
= A
2
+ 2AB + B

2
(A - B)
2
= A
2
- 2AB + B
2
A B = (A + B)(A B)
(A + B)
3
= A
3
+ 3A
2
B + 3AB
2
+ B
3
(A - B)
3
= A
3
- 3A
2
B + 3AB
2
- B
3
A
3

+ B
3
= (A + B)(A
2
AB + B
2
)
A
3
- B
3
= (A - B)(A
2
+ AB + B
2
)
(A + B + C)
2
= A
2
+ B
2
+ C
2
+ 2AB + 2BC + 2CA
A
n
B
n
= (A B)(A

1

n
+ A
2

n
B + + AB
2

n
+ B
1

n
)
A
k2
B
k2
= (A +B)(A
12

k
- A
22

k
B + - B
12

k
)
A
12
+
K
+ B
12
+
K
= (A + B)(A
k2
A
12

k
B + A
22

k
B
2
- +B
k2
)
(A + B)
n
= A
n

+ n A
1

n
B -
2.1
)1(

nn
A
2

n
B
2
+ +
2.1
)1(

nn
A
2
B
2

n
+ nAB
1

n

+ B
n
(A - B)
n
= A
n
- n A
1

n
B +
2.1
)1(

nn
A
2

n
B
2
- +(-1)
n
B
n
2.Ví dụ .
Ví Dụ 1. Phân tích đa thức tành nhân tử
a) x
2
+ 6xy

2
+ 9y
4
b) a
4
b
4

c) (x 3)
2
- (2 3x)
2
d) x
3
3x
2
+ 3x - 1
Bài Làm
a) x
2
+ 6xy
2
+ 9y
4
= x
2
+ 2x3y
2
+ (3y)
2

= (x + 3y
2
)
2
b) a
4
b
4
= (a
2
)
2
(b
2
)
2
= (a
2
+ b
2
) (a
2
b
2
) = (a
2
+ b
2
) (a + b) (a b)
c) (x 3)

2
- (2 3x)
2
= [(x 3) + (2 3x)][(x 3) (2 3x)]= (- 2x 1)(- 5 + 4x)
d) x
3
3x
2
+ 3x - 1 = (x 1)
3
Ví dụ 2. Phân tích đa thức thành nhân tử
a) a
3
+ b
3
+ c
3
3abc
b) (a + b + c)
3
a
3
b
3
c
3
Bài Làm
a) a
3
+ b

3
+ c
3
3abc = (a + b)
3
3ab(a + b) + c
3
3abc
= ( a + b + c)[(a + b)
2
(a + b)c + c
2
] 3abc( a + b +c)
= (a + b + c)( a
2
+ b
2
+ c
2
ab bc ca)
b) (a + b + c)
3
a
3
b
3
c
3
= (a + b)
3

+ c
3
+ 3c(a + b)(a + b + c) a
3
b
3
c
3

= 3(a + b)(ab + bc + ac + c
2
) = 3(a + b)(b + c) (c + a)
3. Bài tập tự luyện
Bài 1. Phân tích đa thức thành nhân tử
a) (x 15)
2
16
Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử Nguyễn Thanh Hùng Tr ờng THCS Tiên
Nha năm 2006
2
b) 25 (3 x)
2

c) (7x 4)
2
( 2x + 1)
2
d) 9(x + 1)
2
1

e) 9(x + 5)
2
(x 7)
2
f) 49(y- 4)
2
9(y + 2)
2
Bài 2. Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 8x
3
+ 27y
3
b) (x + 1)
3
+ (x 2)
3
c) 1 y
3
+ 6xy
2
12x
2
y + 8x
3
d) 2004
2
- 16
III/ Phân tích đa thức thành nhân tử, bằng phơng pháp nhóm nhiều hạng tử.
1. Phơng pháp

Sử dụng tính chất giao hoán, kết hợp để nhóm các hạng tử thích hợp vào từng nhóm.
Ap dụng phơng pháp phân tích đa thức khác để giải toán.
2. Ví dụ
Ví dụ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x
2
3xy + x 3y
b) 7x
2
7xy 4x + 4y
c) x
2
+ 6x y
2
+ 9
d) x
2
+ y
2
z
2
9t
2
2xy + 6zt
Bài Làm
a) x
2
3xy + x 3y = (x
2
3xy) + (x 3y) = x(x 3y) + (x 3y)= (x 3y) (x + 1)

b) 7x
2
7xy 4x + 4y = (7x
2
7xy) (4x 4y) = 7x(x y) 4(x y)=(x y) (7x 4)
c)x
2
+ 6x y
2
+ 9 = (x
2
+ 6x + 9) y
2
= (x + 3)
2
- y
2
= (x + 3 + y)(x + 3 y)
d)x
2
+ y
2
z
2
9t
2
2xy + 6zt = (x
2
2xy + y
2

) (z
2
6zt + 9t
2
)
= (x y)
2
(z 3t)
2
= (x y + z 3t)(x y z + 3t
Ví dụ 2. Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x
2
y + xy
2
+ x
2
z + xz
2
+ y
2
z + yz
2
+ 2xyz
b) x
2
y + xy
2
+ x
2

z + xz
2
+ y
2
z + yz
2
+ 3xyz
Bài Làm
a) x
2
y + xy
2
+ x
2
z + xz
2
+ y
2
z + yz
2
+ 2xyz
= (x
2
z + y
2
z + 2xyz) + x
2
y + xy
2
+ xz

2
+ yz
2

= z(x + y)
2
+ xy(x + y) + z
2
(x + y) = (x + y)(xz + yz + xy + z
2
)
= (x + y) [(xz + xy) + (yz + z
2
)]
= (x + y) [x(z + y) + z(z + y)]
= (x + y)(y + z)(x + z)
b) x
2
y + xy
2
+ x
2
z + xz
2
+ y
2
z + yz
2
+ 3xyz
= (x

2
y + x
2
z + xyz) + ( xy
2
+ y
2
z + xyz) + (x
2
z + yz
2
+ xyz)
= x(xy + xz + yz) + y(xy + yz + xz) + z(xz + yz + xy)
= (xy + yz + xz)( x + y + z)
Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử Nguyễn Thanh Hùng Tr ờng THCS Tiên
Nha năm 2006
3
3. Bài Tập
Bài tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x
4
+ 3x
2
9x 27
b) x
4
+ 3x
3
9x 9
c) x

3
3x
2
+ 3x 1 8y
3
Bài tập 2: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x(y
2
z
2
) + y(z
2
y
2
) + z(x
2
y
2
)
b) xy(x y) xz( x + z) yz (2x + y z )
c) x(y + z )
2
+ y(z + x)
2
+ z(x + y)
2
4xyz
d) yz(y +z) + xz(z x) xy(x + y)
IV. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phơng pháp
1. Phơng pháp

Vận dụng linh hoạt các phơng pháp cơ bản đã biết và thờng tiến hành theo trình tự sau :
- Đặt nhân tử chung
- Dùng hằng đẳng thức
- Nhóm nhiều hạng tử
2. Vớ dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 5x
3
- 45x
b) 3x
3
y 6x
2
y 3xy
3
6axy
2
3a
2
xy + 3xy
Bài làm
a) 5x
3
45x = 5x(x
2
9) = 5x(x +3) (x 3)
b) 3x
2
y 6x
2
y 3xy

3
6axy
2
3a
2
xy + 3xy
= 3xy(x
2
2y y
2
2ay a
2
+ 1)
= 3xy [( x
2
2x + 1) (y
2
+ 2ay + a
2
)]
= 3xy [(x 1)
2
(y + a)
2
]
= 3xy [(x 1) + (y + a)] [(x 1) (y + a)]
= 3xy(x + y + a 1) (x y a 1)
3. Bài tập
Bài tập 1. Phân tích đa thức thành nhân tử .
a) 2a

2
b + 4ab
2
a
2
c + ac
2
4b
2
c + 2bc
2
4abc
b) 8x
3
(x + z) y
3
(z + 2x) z
3
(2x - y)
c) [(x
2
+ y
2
)(a
2
+ b
2
) + 4abxy]
2
4[xy(a

2
+ b
2
) + ab(x
2
+ y
2
)]
2
Bài tập 2. Phân tích đa thức thành nhân tử (x + y + z)
3
x
3
y
3
- z
3
Hớng dẫn
(x + y + z )
3
x
3
y
3
- z
3
=[(x + y + z)
3
x
3

] (y
3
+ z
3
)
= (x + y + z x) [(x+ y + z)
2
+ (x + y + z)x + x
2
] (y + z)(y
2
yz + z
2
)
= (y+z)[ x
2
+ y
2
+ z
2
+2xy + 2xz + 2yz +xy + xz + x
2
+ x
2
y
2
+ yz z
2
]
= (y + z)(3x

2
+ 3xy + 3xz + 3yz)
= 3(y +z)[x(x + y) + z(x+y)]
Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử Nguyễn Thanh Hùng Tr ờng THCS Tiên
Nha năm 2006
4
= 3( x + y)(y + z)(x + z)
V/ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử
1. Phơng pháp
Ta phân tích một hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử thích hợp, để xuất hiện những nhóm số hạng mà ta có thể
phân tích thành nhân tử bằng phơng pháp dùng hằng đẳng thức, đặt nhân tử chung
2. Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành thành nhân tử x
2
6x + 8
Bài làm
Caựch 1: x
2
6x + 8 = (x
2
2x) (4x 8) = x(x 2) 4(x 2) = (x 2)(x 4)
Caựch 2: x
2
6x + 8 = (x
2
6x + 9) 1 = (x 3)
2
1 = (x 3 + 1)(x 3 1) = (x 2)(x 4)
Caựch 3: x
2
6x + 8 = (x

2
4) 6x + 12 = (x 2)(x + 2) 6(x 2) = (x 2)(x + 2 6) = (x 2)(x 4)
Caựch 4: x
2
6x + 8 = (x
2
16) 6x + 24 = (x 4)(x + 4) 6(x 4) = (x 4)(x + 4 6) = (x 4)(x 2)
Caựch 5: x
2
6x + 8 = (x
2
4x + 4) 2x + 4 = ( x 2)
2
2(x 2)= (x 2)(x 2 2) = (x 2)(x 4)
3. Bài tập
Bài 9 : Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x
2
+ 7x +10
b) x
2
6x + 5
c) 3x
2
7x 6
d) 10x
2
29x + 10
Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x

3
+ 4x
2
29x + 24
b) x
3
+ 6x
2
+ 11x + 6
c) x
2
7xy + 10y
d) 4x
2
3x 1
VI/ Phơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử.
Phơng pháp
Ta thêm hay bớt cùng một hạng tử vào đa thức đã cho để làm xuất hiện n nhóm số hạng mà ta có thể
phân tích đợc thành nhân tử chung bằng các phơng pháp: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, ...
Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử.
x
4
+ 64 = x
4
+ 64 + 16x
2
16x
2
= (x
2

+ 8)
2
(4x)
2
= (x
2
+ 4x + 8)(x
2
4x + 8)
Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x
4
+ 4y
4

b) x
5
+ x + 1
Bài làm
a) x
4
+ 4y
4
= x
4
+ 4y
4
+ 4x
2
y

2
4x
2
y
2
= (x + 2y)
2
(2xy)
2
= (x + 2y + 2xy)(x + 2y - 2xy)
b) x
5
+ x + 1 = (x
5
+ x
4
+ x
3
) (x
4
+ x
3
+ x
2
) + (x
2
+ x + 1)
= x
3
(x

2
+ x + 1) x
2
(x
2
+ x + 1) + (x
2
+ x +1)
= (x
2
+ x + 1)(x
3
x
2
+1)
Bài tập
Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x
5
+ x
4
+ 1
b) x
8
+ x
7
+ 1
c) x
8
+ x + 1

d) x
8
+ 4
Bài 12: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x
3
+ 5x
2
+ 3x 9
b) x
3
+ 9x
2
+ 11x 21
Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử Nguyễn Thanh Hùng Tr ờng THCS Tiên
Nha năm 2006
5