De HSG 10 Hau Loc 4 Thanh hoa 20092010

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (339.74 KB, 5 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Trường thpt hậu lộc 4

---***---Đề thi học sinh giỏi trường năm học 2009-2010 
Mơn thi: Tốn 10

Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời gian phỏt

Câu I.(6 điểm)

Cho phng trỡnh: (x 2) x-

(

2-2mx 2m+

)

= - 2x2+3x 2+
1. Giải phương trình với m=4.

2. Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
Câu II. (6 điểm)

1. Giải hệ phương trình:

2 2

8 (

)(

) 12

x

y

x

y

x

x y

y

́

ï

í

ï

ỵ

+ +

+

=

+

=

2. Giải bất phương trình:

2 3 2 2 4 3 2 2 5 4

x - x+ + x - x+ ³ x - x+

Câu III.(6 điểm)

1. Trong mt phng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(1; 1), B(4; -3). Tìm điểm C
thuộc đường thẳng (d): x-2y-1=0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB
bằng 6.

2. Trong mặt phẳng, cho góc xOy = 600. M,N là hai điểm lần lượt thay đổi trên 2
tia Ox và Oy sao cho : 1 1 2009

2010

+ =

OM ON . Chøng minh r»ng: §êng th¼ng MN

ln cắt tia phân giác của góc xOy tại một điểm cố định.
Câu IV.(2 điểm)

Cho x và y là hai số dương thoả mãn x y+ =2010.
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

2010 2010

x y

P

x y

= +

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Trường thpt hậu lộc 4

---***---đáp án và thang điểm thi học sinh giỏi 
trường năm học 2009-2010

M«n thi: Toán 10

Câu ý Nội dung Điểm

I 1
(3 ®)

* Với m=4 phương trình trở thành:
(x-2)(x2-8x +8) = -2x2+3x+2

Û(x-2)( x2-6x+9)=0

Ûx-2=0 hc x2-6x+9=0

Ûx=2 hc x=3.

1
1
1
2

(3 ®)

Ta cã:

(x-2)(x2-2mx+2m) = (x-2)(-2x-1) (1)

Û(x-2)[x2-2(m-1)x+2m+1]=0

Ûx-2=0 hc x2-2(m-1)x+2m+1=0 (2)

Để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt thì cần và đủ là phương
trình (2) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 2

, 2

( 1) (2 1) 0

2 2( 1)2 2 1 0

m m

́D = - - + >
ï

- - + + ạ

ù
ợ

4 hoặ 0

9
2

m c m

m

> <

ù
ớ

ạ
ù
ợ

0.5
0.5
0.5

0.5
0.5

0.5

II 1

(3đ) Đặt

2
2

u x x
v y y

́ = +

ï
í

= +

ï
ỵ

Khi đó hệ trở thành:

8
12
u v
uv

+ =
́
í

=
ỵ

Suy ra u, v là nghiệm của phương trình t2-8t+12=0 Ût=2 hoặc t=6
TH1 : Nếu u=2 thì v=6, khi đó ta có hệ :

2
2

2
6

x x
y y

ù
ớ
ù
ợ

+ =
+ =

1 ặ 2

3 ặc 2

x ho c x
y ho y

́
í
ỵ

= =

-= - =

Khi hệ có các nghiệm: (1;-3), (1;2), (-2;-3), (-2;2).
TH2: Nếu u=6 thì v=2, khi đó ta có hệ:

0.5

0.5
0.5

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

2
2

6
2

x x
y y

ù
ớ
ù
ợ

+ =
+ =

3 ặ 2

1 Æc 2

x ho c x
y ho y

= - =

́
í

= =

-ỵ

Khi đó hệ có các nghiệm: (-3;1), (-3;-2), (2;1), (2;-2)

Vậy hệ đã cho có các nghiệm: (1;-3), (1;2), (-2;-3), (-2;2), (-3;1),
(-3;-2), (2;1), (2;-2).

0.5

2
(3đ)

* Điều kiện:

2
2

3 2 0

4 3 0

5 4 0

x

́

-

+ ³

ï

-

+ ³

í

ï

-

+

ợ

x

Ê

1 ho

ặc

x

4 (

x

-

1)(

x

-

2)

+

(

x

-

1)(

x

-

3)

2 (

x

-

1)(

x

-

4)

(1)

TH1: Nếu x 1Ê Khi đó:

(1)Û

(1

-

x

)(2

-

x

)

+

(1

-

x

)(3

-

x

)

³

2 (1

-

x

)(4

-

x

)

1 -

x

2 -

x

+

1 -

x

3 -

x

³

2 1

-

x

4 -

x

1 -

x

( 2

-

x

+

3 -

x

-

2 4

-

x

)

³

0

(2)

+ Víi x=1 thoả mÃn (2) nên x=1 là một nghiệm của bpt.
+Với x <1 thì 1- >x 0 nên ta có:

(2) Û

2 -

x

+

3 -

x

-

2 4

-

x

³

0

2 -

x

+

3 -

x

³

2 4

-

x

( 2

-

x

+

3 -

x

)

³

4(4

-

x

)

2 2

-

x

3 -

x

³

11 2

-

x

4(2

-

x

)(3

-

x

)

³

(11 2 )

-

x

2(V× x<1)

97

24 x

không thoả mÃn x<1

TH2: Nếu x³4Khi đó:

0.5

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

(1) Û

x

-

1 x

- +

2 x

-

1 x

- ³

3

2 x

-

1 x

-

4 x

-

1(

x

- +

2 x

- -

3

2 x

-

4)

³

0 x

- +

2 x

- -

3

2 x

-

4

0

( Vì x4 nên x-1>0)
Û

x

- +

2 x

- ³

3

2 x

-

4 2 (

x

-

2)(

x

-

3)

³

2 x

-

11

(3)
+ Nếu 4 11

x

Ê Ê hiển nhiên thoả mÃn (3) v× VP³0³VT
+ NÕu 11

x> ta cã:

(3) Û

4(

x

-

2)(

x

-

3)

³

(2

x

-

11)

97

24 x

kết hợp với điều kiện suy ra bpt cã nghiÖm 11
2

x> .
VËy bpt cã tập nghiệm là: S =

{ }

1 ẩ

[

4;+Ơ

)

0.5

1
(5đ)

Phương trình đường thẳng AB:

1 1

4 3 7 0.

3 4

x y

-= Û + - =

-Gi¶ sư C(x; y). Theo gi¶ thiÕt ta cã: x-2y-1=0 (1)
d(C, (AB)) =6 Û 4 3 7 6

2 2

4 3

x- y
-=
+

Û 4 3 37 0 (2 )

4 3 23 0 (2 )

x y a

x y b

é
ê
ë

+ - =
+ + =

* Giải hệ (1), (2a) ta được (7;3)

C .

* Giải hệ (1), (2b) ta được 43 27

11 11

( ; )

C - - .

0.5
1,5

1
1
III

2
(1®)

Gọi Ot là tia phân giác của góc xOy
Suy ra Ot cố định. Gọi I là giao điểm
của MN với tia Ot. Ta sẽ chứng minh I
là điểm cố định.

M
I
N

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

ThËt vËy:

OMN

S

D =

2
1

OM.ON.sinMON

=
2
1

OM.ON.sin600 = 
2

OM.ON. (1)

OMN

S

D = SDOMI + SDONI =

2
1

OM.OI.sinMOI +
2
1

ON.OI.sinNOI=
=

2
1

(OM+ON).OI.sin300 =
4
1

(OM+ON).OI (2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra 1 1 ( 1 1 ) 2009

3 . 3 2010 3

OM ON

OI OM ON OM ON

= = + =

0.25

IV (2®) 2010 2010 1 1

2010( ) ( )

y x

P x y

y x x y

-= + = + - + (1)

Theo BĐT Côsi ta có

y
x
y

x + +

4
1

.
Đẳng thức xảy ra khi x=y (2)

Theo BĐT Bunhiacỗpski ta cã
2

( x+ y) £2(x+y)=2.2010=4020̃ x+ y £ 4020 (3).
Đẳng thức xảy ra khi x=y.

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra 2010.4 4020 4020
4020

P³ - = .

Đẳng thức x¶y ra khi x=y.

Vậy P đạt GTNN là 4020 khi x=y=1005.

0.5

</div>

De HSG 10 Hau Loc 4 Thanh hoa 20092010

(

)

8

(

)(

) 12

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>x y</i>

<i>y</i>

́

ï

í

ï

ỵ

+ +

+

=

+

+

=

3

2 0

4

3 0

5

4 0

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

́

-

+ ³

ï

-

+ ³

í

ï

-

+

ợ

<i>x</i>

Ê

1

<i>ho</i>

ặc

<i>x</i>

4

(

<i>x</i>

-

1)(

<i>x</i>

-

2)

+

(

<i>x</i>

-

1)(

<i>x</i>

-

3)

2 (

<i>x</i>

-

1)(

<i>x</i>

-

4)

(1

-

<i>x</i>