Đề cương ôn tập học kì 2 môn Toán lớp 11

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 1

<b>A. ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH </b>

<b>CHƯƠNG III: CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN </b>

<b>I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT </b>

<b>1. CẤP SỐ CỘNG </b>

<b>a) Định nghĩa: </b>

Gọi

 

_un là cấp số cộng cơng sai d, ta có cơng thức truy hồi sau: u u_n d; n N*
n 1     với
d là số không đổi.

<b>b) Công thức số hạng tổng quát: </b>





u_n u n 1 d; n 2

1

     .

<b>c) Tính chất các số hạng của CSC: </b>

k 1 k 1
k

u u

u ;k 2

2

  

  (trừ số hạng đầu và số hạng cuối).

<b>d) Tổng của n số hạng đầu của một CSC: </b>Cho (u )_n là một CSC. Khi đó:









n u u_n n 2u n 1 d

1 1

S_n u u ... u

1 2 n ₂ ₂

 

 __   __

      .

<b>2. CẤP SỐ NHÂN </b>

<b>a) Định nghĩa: </b>

 

_un là cấp số nhân cơng bộ q, ta có cơng thức truy hồi sau: u u q; n_n N*

n 1    với q là số
không đổi.

<b>b) Công thức số hạng tổng quát: </b>

n­1

u_n u q ; n 2

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 2

<b>c) Tính chất các số hạng của CSC: </b>

2

u u .u ;k 2

k  k 1 k 1  

Hay u u .u

k  k1 k1 (trừ số hạng đầu và số hạng cuối).

<b>d) Tổng của n số hạng đầu của một CSC: </b>

Cho (u )_n là một CSN. Khi đó:
n

1 q

S_n u u ... u_n u ;q 1

1 2 _{1 1 q}

S_n nu khi q 1
1



     



 

.

<b>II. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP </b>

<b>1. Dạng 1: Chứng minh một dãy số là một cấp số cộng, cấp số nhân </b>

<i>a) Phương pháp chứng minh một dãy số là một CSC: </i>

Để chứng minh dãy số (u )_n là một CSC ta xét hiệu Hu_{n 1}_ u_n

- Nếu H là hằng số thì (u )_n là một CSC có cơng sai dH.
- Nếu H phụ thuộc vào n thì (u )_n khơng là CSC.

<b>Ví dụ</b>: Chứng minh dãy số

 

_un với u 20n 9

n   là một CSC. Tìm số hạng đầu và cơng sai
của CSC đó.

Hướng dẫn giải:

Ta có u u 20 n



1



9 ­ 20n­9





20 u u 20

n1 n       n1 n  . Vậy

 

un là một CSC
với u 11

1 và d = 20.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 3

Để chứng minh dãy số (u )_n là một CSN ta xét thương n 1
n

u

T , n 1

u


  

- Nếu T là hằng số thì (u )_n là một CSN có cơng bội qT.
- Nếu T phụ thuộc vào n thì (u )_n khơng là CSN.

<b>Ví dụ</b>: Xét xem dãy số

 

_un với u



n 1 .5



n 1
n



  có là một CSN khơng? Nếu là CSN tìm số

hạng đầu và cơng bội.
Hướng dẫn giải:

Ta có









n 1 1

u _n _{1 1 .5} _n ₂

n 1 _5.

n 1

u _n _{1 .5} n 1

n

 

  

  

 _

 phụ thuộc n nên

 

un không là CSN.

<b>2. Dạng 2: Xác định công sai và số hạng đầu của một CSC hoặc CSN </b>

<i>a) Phương pháp xác định công sai và số hạng đầu của một CSC: </i>

- Ta thiết lập một hệ phương trình mà u₁và d phải thỏa. Giải hệ này ta được u₁và d.

<b>Ví dụ:</b> Tìm số hạng đầu và cơng sai của CSC

 

_un biết 2 3 5
4 6

u u u 10

u u 26

   



  

 (1).

Hướng dẫn giải:

Áp dụng công thức u_nu₁ 



n 1 d



, ta có

(1)



 

 





 



1 1 1 1 1

1

1 1

u d u 2d u 4d 10 u 3d 10 u 1

2u 8d 26 d 3

u 3d u 5d 26

 _{ } _ _ _ _ _ _

     

  

_ _ _

  

    _ __

 



.

Vậy

 

_un đã cho có u₁1, d3.

<i>b) Phương pháp xác định công bội và số hạng đầu của một CSN: </i>

- Ta thiết lập một hệ phương trình mà u₁và q phải thỏa. Giải hệ này ta được u₁và q.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 4

sáu của CSN đó.
Hướng dẫn giải:
Ta có:

1 1

1
2

3

1

4 1 2 2

1

4 4

u u

u q 4

u 4 q 2

q q

u 2

u 16 u q 16

u q.q 16 q 4

 

 

 

  

      

   

 _ _ _ _

    

        _

    

  _ _ _ _

 



.

Vậy

 

_un đã cho có 5 5

1 6 1

u  2; u u .q  ( 2).( 2) 64.

<b>3. Dạng 3: Dùng công thức </b>u_n<b> và </b>S_n<b> của CSC, CSN để chứng minh hay tính tổng </b>

<i>a) Phương pháp dùng công thức </i>u_n<i> và </i>S_n<i> của CSC để chứng minh hay tính tổng </i>

Ta thường dùng linh hoạt các công thức:

- Nếu (u )_n là một CSC có cơng sai d thì du_{n 1}_ u_n





n 1

u u  n 1 d



1 n



1





n

n 2u n 1 d

n u u

S

2 2

 _{ } 

 _ _

 

Để biến đổi, rút gọn và tính tốn.

- Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành một CSC   a c 2b.

<b>Ví dụ: </b>Cho ba số a, b, c theo thứ tự lập thành một CSC. Chứng minh: 2 2

a 2bcc 2ab (2).

<i>Hướng dẫn giải: </i>

Ta có VT(2) = 2





2 2 2



2



2





2

a  a c .ca acc c  a ac c a a c c 2abVP(2).

Vậy 2 2

a 2bcc 2ab.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 5

- Nếu (u )_n là một CSN có cơng bội q thì n 1
n

u

q , n 1

u


 

n 1
n 1

u u q ; n2

n
n 1

n 1

1 q

S u ;q 1

1 q

S nu khi q 1



 



 

để biến đổi, rút gọn và tính tốn.

- Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành một CSN 2

ac b

  .

<b>Ví dụ: </b>Tính tổng _

n

A 9 99999 ... 99...9 .

Hướng dân giải:
Ta có









 











n

2 3 n

2 n

n

n 1

A 9 99 999 ... 99...9

10­1 10 1 10 1 ... 10 1

10 10 ... 10 ­n

1­10

10. ­n

1­10

10 10 9n

9

    
       
   

 


<b>II. BÀI TẬP TỔNG HỢP </b>

<b>Bài 1.</b> Tìm u₁, d, tính S50 của cấp số cộng biết:

a) 2 5

3 6

u u 27

u u 33

  



  

 ; b)

1 5

4

u 2u 0

S 14

  


 

 ; c)

1 5 3
1 6

u u u 10

u u 7

   


  

 ; d)

6
2 2
2 4

u 8

u u 16

 


  


<b>Bài 2.</b> Định x để 3 số sau lập thành một cấp số cộng: 2

103x; 2x 3; 74x.

<b>Bài 3.</b> Cho 3 số a, b, c lập thành một cấp số cộng. Chứng minh: 2 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 6

<b>Bài 4.</b> Tìm u₁, q của cấp số nhân biết:

a) u4 = 64, và u6 = 1024; b) 1 3 5
2 4

u u u 21

u u 10

    



  


<b>Bài 5.</b> Cho ba số 2, 14, 50. Phải cộng thêm mỗi số cùng một số nào để ba số mới lập thành
cấp số nhân.

<b>Bài 6.</b> Cho 3 số a, b, c lập thành một cấp số nhân.

Chứng minh: 2 2 2

(a b c)(a  b c) a b c

<b>Bài 7.</b> Cho ba số 2 , ,1 2

ba b bc lập thành một CSC. Chứng minh a, b, c lập thành một CSN.

<b>Bài 8.</b> Ba số a, b, c lập thành một CSC và b, c, a lập thành một CSN. Tính a, b, c biết:

a) a  b c 18 b) abc125

<b>Bài 9.</b> Tìm 4 số hạng của một CSN biết rằng tổng của ba số hạng đầu bằng 148

9 , đồng thời
theo thứ tự chúng là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một CSC.

<b>Bài 10.</b> Tính các tổng

a) _

n

A 9 99999 ... 99...9 b) _

n

B 6 66666 ... 66...6

c) C1002992982972 ... 221 2

<b>Bài 11.</b> Định m để phương trình 4





2

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 7

<b>CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN </b>

<b>I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT </b>

<b>1. ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN </b>

a) Giả sử

0 0

xlim f (x)x L, lim g(x)xx M. Khi đó









0

0

0

x x

x x

x x

lim f (x) g(x) L M,

lim f (x).g(x) L.M,

f (x) L

lim , (M 0)

g(x) M






  



 

b) Nếu f (x)0 và

0

xlim f (x)x L thì x x0

L 0, lim f (x) L



  (dấu của f(x) được xét trên

khoảng đang tìm giới hạn, với xx₀.

Chú ý: Định lý trên vẫn đúng cho trường hợp xx , x₀ x , x₀    , x .

<b>2. ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN MỘT BÊN </b>

_

0 0 0

xlim f (x)x L xlim f(x)x xlim f (x)x L

   

<b>3. CÁC QUY TẮC TÌM GIỚI HẠN VƠ CỰC CỦA HÀM SỐ </b>

+) Nếu

 

0

xlim f xx  thì x x0

 

1

lim 0

f x

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 8

<b>4. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN: </b>

1

u

S ,| q | 1

1 q

 



<b>Chú ý:</b> Các giới hạn cơ bản:

1.

0

xlim Cx C (C = const)

2. Nếu h/s f(x) x/đ tại điểm x0 thì

0

0
xlim f (x)x f (x )

3.

0 n

x x

1

lim 0

x

  (với n > 0)

<b>5. HÀM SỐ LIÊN TỤC </b>

<b>a) Định nghĩa: </b>

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và x₀K.

Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x₀nếu

 

0

0
xlim f (x)x f x .
<b>b) Một số định lý cơ bản: </b>

<b>Định lý 1: </b>

0

xlim f (x)x xlim g(x)x₀ xlim f (x).g(x)x₀





+ ∞

L > 0

+ ∞

- ∞ - ∞

+ ∞

L < 0

- ∞

- ∞ + ∞

0

xlim f (x)x x x0

lim g(x)


Dấu
của
g(x)

0

x x

f (x)
lim

g(x)


L > 0

0

+ + ∞

- - ∞

L < 0

+ - ∞

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 9

<b>- </b>Hàm số đa thức liên tục trên .

- Hàm phân thức hữu tỉ và các hàm lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định
của chúng.

<b>Định lý 2: </b>

Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại x₀ là những hàm số liên tục tại x₀
(trường hợp thương thì mẫu phải khác 0 tại x₀).

<b>Định lý 3: </b>

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên



a; b



và f(a).f(b)<0 thì tồn tại ít nhất một điểm c



a; b



sao
cho f(c) = 0.

<b>II. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP </b>

<b>1. Dạng 1: Tìm giới hạn của hàm số. </b>

<b>Phương pháp: </b>

-Sử dụng các quy tắc đã học để tính.

- Nếu giới hạn của hàm số cần tính có một trong bốn dạng 0
0;



; ; 0.∞ thì ta phải

khử dạng đó, bằng cách phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi giản ước hoặc nhân lượng
liên hợp hoặc chia cả tử và mẫu cho xk_{với k là mũ cao nhất của tử hoặc mẫu...Cụ thể:}

<b> Dạng </b>0

0<b>: </b>

- Nếu tử, mẫu là những đa thức thì ta đặt thừa số



xx₀



làm nhân tử chung và rút gọn
nhân tử này ta sẽ đưa được giới hạn về dạng xác định.

- Nếu tử hay mẫu có chứa căn thức thì nhân tử và mẫu với lượng liên hợp của tử hoặc mẫu
và cũng rút gọn thừa số



xx₀



ở tử và mẫu ta sẽ đưa được giới hạn về dạng xác định.

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 10

2 2 3 3

2 2

a b a b

a b ;a b

a b a ab b

 

   



 

+ Nếu PT f(x) = 0 có nghiệm x0 thì f(x) = (x-x0).g(x)
+ Liên hợp của biểu thức:

1. a b là a b 2. a b là a b
3.3

ab là 3 2 3 2

a  a.bb 4. 3

ab là 3 2 3 2

a  a.bb

<b>Ví dụ: </b>Tìm các giới hạn sau:

a)
4
3 2
x 2
x 16
lim
x 2x



 b) _x ₁ 2

2 3x 1

lim

x 1



 



Hướng dẫn giải:

a)





















2 2

4

3 2 2 2

x 2 x 2 x 2

x 2 x 2 x 4 x 2 x 4

x 16 4.8

lim lim lim 8

x 2x _x _x ₂ x 4

  
    

   
 _
Vậy
4
3 2
x 2
x 16
lim 8.
x 2x




b)





























2 ₂

x 1 x 1

x 1

4 3x 1

2 3x 1

lim lim

x 1 _x _{1 2} _3x ₁

3 3 3

lim

8

x 1 2 3x 1 1 1 2 3.1 1

 

 
 

 _ _ _
 
   
     

Vậy ₂

x 1

2 3x 1 3

lim .

x 1 8



 

 


<b> Dạng </b>

:

- Chia cả tử và mẫu cho xk_{với k là mũ cao nhất của tử hoặc mẫu.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 11
k
x
1
lim 0
x

  với k ngun dương.

<b>Ví dụ: </b>Tìm các giới hạn sau:

a)

4

4 2

x

3x 16x 2

lim

x 2x 4



 

  b)

2

3
x

x 5x 1

lim

10 2x



 



Hướng dẫn giải:

a)

4 ₃ ₄

4 2

x x

2 4

16 2

3

3x 16x 2 _x _x 3 0 0

lim lim 3

2 4

x 2x 4 ₁ 1 0 0

x x

 
 
   
  
  _ _  
Vậy
4
4 2
x

3x 16x 2

lim 3

x 2x 4



 



  .

B)

2 ₂ ₃

3

x x

3

1 5 1

x 5x 1 _x _x _x 0 0 0

lim lim 0

10

10 2x ₂ 0 2

x
 
 
   
  
 _ 
Vậy
2
3
x

x 5x 1

lim 0
10 2x


 



<b> Dạng </b>:

- Nếu xx₀ thì ta quy đồng mẫu số để đưa về dạng 0
0<b>. </b>

<b>- </b>Nếu x  thì ta nhân và chia với lượng liên hợp để đưa về dạng 

.

<b>Ví dụ: </b>Tìm các giới hạn sau:

a) ₃

x 1

1 3

lim

1 x 1 x



 _

 _ _

 _

    b)





2

xlim 4x 3x 1 2x

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 12

a) Ta có















2

3 3

x 1 x 1

2

3 2 2

x 1 x 1 x 1

1 3 1 x x 3

lim lim

1 x 1 x 1 x

x 1 x 2

x x 2 x 2

lim lim lim 1

1 x 1 x 1 x x 1 x x

 

  

 

 _ _   _{ }

 _ __ _ _

  

  

      

 _{ } _ _ _ _{ }

 _

 __ _   



      

 

Vậy ₃

x 1

1 3

lim 1

1 x 1 x



 _

 _ __{ }

 _

   

b) Ta có



2





2



2

2

x x

2

x x

2

4x 3x 1 4x

lim 4x 3x 1 2x lim

4x 3x 1 2x

1
3

3x 1 _x 3 3

lim lim

2 2 4

3 1

4x 3x 1 2x

4 2

x x

 

 

  

   

  




   



   _{ } _

Vậy



2



x

3

lim 4x 3x 1 2x

4

     .

<b> Dạng </b>0.∞

- Để khử dạng này thì ta cần thực hiện một số biến đổi như đưa thừa số vào trong dấu căn,
quy đồng mẫu số,...ta có thể đưa giới hạn đã cho về dạng quen thuộc.

<b>Ví dụ: </b>Tìm giới hạn sau:



3



2
x 1

x

lim x 1

x 1



   .

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 13





















_



_



_





_



_



3 2
2

x 1 x 1

2

2 2

x 1 x 1

x x

lim x 1 lim x x 1 x 1

x 1 x 1 x 1

x x 1 x x 1

lim x x 1 lim x x 1 3.0 0

x 1 x 1 x 1

 
 
 
 
    

  
 
       
  

Vậy



3



2
x 1

x

lim x 1 0

x 1



    .

<b>2. Dạng 2: Tính tổng của CSN lùi vơ hạn </b>

- Sử dụng công thức u1

S ,| q | 1

1 q

 

 .

<b>Ví dụ: </b>Tính tổng

 

n

2 n 1

1

1 1

S 1 ... ...

10 10 10 



      

Hướng dẫn giải:

Đây là tổng của CSN lùi vô hạn với u₁ 1 và q = 1
10

 .

Vậy S 1 10

1 11

1
10

  
 _

  _ __
.

<b>3. Dạng 3: Xét tính liên tục của hàm số </b>

<b>3.1 Xét tính liên tục của hàm số dạng: </b>

 

 









0

0

g x x x

f x

a x=x

 _


 


o Tìm

 

0

xlim g xx

 

 .Hàm số liên tục tại x0 xlim g xx₀

 

a

 

 _ _ .

<b>Ví dụ: </b>Cho hàm số:

 









2

x 1

x 1

f x x 1

a x=1

 

 _


_ 

 a là hằng số. Xét tính liên tục của hàm số

tại x0 = 1.

Hướng dẫn giải:

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 14

Ta có f(1) = a.







_

_

2

x 1 x 1 x 1

x 1 x 1

x 1

lim lim lim x 1 2

x 1 x 1

  

 



   

 

Nếu a=2 thì hàm số liên tục tại x0 = 1.
Nếu a2 thì hàm số gián đoạn tại x0 = 1.

<b>3.2 Xét tính liên tục của hàm số dạng: </b>

 

 









 





0
0
0

g x x<x
f x a x=x
h x x>x



 




o Tìm :

 

 

 

 

 

0 0

0 0

x x x x

x x x x

0

lim f x lim g x

lim f x lim g x

f x
 
 
 
 
    

 
    

 _ _ _ _ _
 _ _ _ _




. Hàm số liên tục tại x = x0

 

 

 

0 0

0
xlim f xx xlim f xx f x a

   

 _ _ _ _  .

<b>Ví dụ 1:</b> Cho hàm số:

 









2

x 1 x 0
f x

x x 0

  


 _



 . Xét tính liên tục của hàm số tại x0 = 0.

Hướng dẫn giải:

Hàm số xác định với mọi x thuộc R.
Ta có f(0) = 0

 

 





 

x 0 x 0

2

x 0 x 0 x 0 x 0

lim f x lim x 0

lim f x lim x 1 1 0= lim f x lim x

 
   
 
   
 _{ } _
 
 _ _{  }  _
   
.

Vậy hàm số khơng liên tục tại x0 = 0.

<b>Ví dụ 2:</b> Cho hàm số:

 









2

ax 2 x 1
f x

x +x­1 x 1

  


 _



 . Xét tính liên tục của hàm số trên toàn

trục số.

Hướng dẫn giải:

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 15

Ta có f(1) = a+2

 





 





x 1 x 1

2

x 1 x 1

lim f x lim ax 2 a 2

lim f x lim x x 1 1

 

 

 

 

 _{ } _ _{ }

 

 _{ } _{  }

 

.

Hàm số liên tục tại x0 = 1 nếu a = -1.
Hàm số gián đoạn tại x0 = 1 nếu a  -1.

Vậy hàm số liên tục trên toàn trục số nếu a = -1.
Hàm số liên tục trên   ;1

 

1;



nếu a  -1.

<b>3.3 Sử dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm </b>

Phương pháp chung: Cho PT: f(x) = 0. Để c/m PT có k nghiệm trên



a; b



:
B1: Tính f(a), f(b)  f(a).f(b) < 0

B2: Kiểm tra tính liên tục của hàm số f(x) trên



a; b



B3: Kết luận về số nghiệm của PT trên



a; b



<b>Ví dụ: </b>CMR phương trình 7 5

x 3x  2 0 có ít nhất một nghiệm

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số

 

7 5

f x x 3x 2 liên tục trên R nên f(x) liên tục trên [0;1]

Và

 

 

   

f 0 2 0

f 0 .f 1 0

f 1 2 0



   _ 

  

Nên phương trình f x

 

0 có ít nhất một nghiệm x₀

 

0;1 .

<b>III. BÀI TẬP TỔNG HỢP </b>

<b>Bài 1</b>: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng 

):

a)

3

3 2

x

x 5x 1

lim

2x 3x 1



  

  b)

3

x

3x 2

lim

2x 1



 

 c)

3 2
2
x

5x x 1

lim

3x x



 

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 16

d)

5 3

2 3

x

x 2x 4x

lim

1 3x 2x


 
 
2
3 2
x
5x 1
e) lim

2x 3x 1



 
f)
2 2
x

x 2x 4x 1

lim

2 5x



  



<b>ĐS</b>: a) -1/2 b) - c) -  d) - e) 0 f) -1/5

<b>Bài 2</b>: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng: a.):

<b>a)</b> 3 2

xlim ( 2x  x 3x1) b)

4 3

xlim ( x  x 5x3)

c) 2

xlim 4x x 2

 

d) 2

xlim x 3x2 e)





2

xlim 3x x 2x

 

f)



2



xlim 2x  x x

<b>ĐS</b>: a) + b) -  c) +  d) + e) -  f) + 

<b>Bài 3</b>: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Giới hạn một bên):

a)
x 3
x 1
lim
x 3




 b)

_

_

2

x 4
1 x
lim
x 4



 c) x 3

2x 1
lim
x 3




 d) x 2

2x 1
lim
x 2


 

 e) 2

x 0

2 x x

lim
x x




f)

x 1
3x 1
lim
x 1





<b>ĐS</b>: a) -  b) -  c) + d) + e) 1 f) +

<b>Bài 4</b>: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng 0
0):
a/
2
x 3
x 9
lim
x 3



 b/

2
x 1

x 3x 2

lim

x 1



 

 c) _x ₃ 2

x 3

lim

x 2x 3



 
d)
3
2
x 1
x 1
lim
x 1



 e)

2
2
x 1

x 2x 3

lim

2x x 1



 

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 17

f)

x 2

2 x

lim

x 7 3





  g)

2
x 3

x 9

lim

x 1 2





  h) x 4

2x 1 3

lim
x 2

 

i)
x 1

x 2 1

lim

x 5 2



 

  k)

2

x 2

x 3x 2

lim
2 x


 


<b>ĐS</b>: a) 6 b) -1 c) -4 d) 3/2 e) 4/3 f) -6

g) 24 h) 4/3 i) 2 k) 0

<b>Bài 5</b>: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng 0. ):

a)





₂

x 1

2x 3

lim x 1

x 1







 b)

2
x 3

2x 1

lim x 9.

x 3








 c/





3

2
x 2

x

lim x 8

2 x



  

<b>ĐS</b>: a)0 b) + c) 0

<b>Bài 6</b>: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng  - ):

<b>a) </b>



2



xlim x 1 x

  b)



2 2



xlim x 2x x 1

  

c)



2



xlim 4x  x 2x d)





2 2

xlim x  x x 1
<b>ĐS</b>: a) 1/2 b) 1 c) 1/4 d) 1/2

<b>Bài 7:</b> Tính các giới hạn sau:

1,



2



xlim2 x  5 1 2, x 3

x 1
lim
x 2




 3,

3 2

xlim ( x  x  x 1) 4,

3
3 2
x

2x 3x 4

lim

x x 1


 
  
5,
2 2
x

x x 4x 1

lim

2x 3



  

 6, x 0

1 1

lim 1

x x 1




 _

 _{ }

 _

   7,

2

xlim ( 4x  x 2x)

8,



2 2



xlim x  x x 1 9, x 1 2

x 3

lim

x 2x 3





  10,

3 2

3 2

x 3

2x 5x 2x 3

lim

4x 13x 4x 3



  

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 18

11,

3

x 0

(x 3) 27

lim
x

 
12,
x 2

x 2 2

lim

x 7 3



 

  13, _x ₇ 2

2 x 3

lim

x 49



 



<b>ĐS</b>: 1)2 2)4 3)+ 4)-2 5)1/2 6)-1 7) -2

8)



2 2





2 2



x x

1 1

lim x x x 1 ; lim x x x 1

2 2

          

9) -1/2 10) 11/17 11)27 12)3/2 13) -1/56

<b>Bài 8</b>: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Áp dụng

x 0
sin x
lim 1
x
  )
a)
x 0
sin 3x

lim
x

 b) _x ₀ 2

sin x sin 2x
lim
3x

c)
2
x 0

1 cos x
lim

x sin x




d) _n

x 0

sin x.sin 2x....sin nx
lim

x


<b>ĐS</b>: a) 3 b) 2/3 c) 1 d) n!

<b>Bài 9</b>: Tính tổng

1/

 

n

2 n 1

1

1 1

S 1 ... ...

10 10 10 



      

2/ S = 1 2 2 ₂ ... 2_n ...

100 100 100

    

3/

 

n 1
n

1

1 1 1

, , ,..., ,...

3 9 27 3






<b>Bài 10</b>: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau:

a)

n 1

1 1 1 1

1, , , ,..., ,...

2 4 8 2



 _


  __{ }_

  b)

n 1

1 1 1 1

1, , , ,..., ,...

3 9 27 3



 
 
 
 

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 19

<b>Bài 11:</b> Xét tính liên tục của các hàm số sau:

a)

2

x 4

khi x 2

f (x) ₂ _x

4 khi x 2

 
 _

  
 


tại x0 = 2

b)

2

x 4x 3

khi x<3

f (x) _x ₃

5 khi x 3

  


  

 _



tại x0 = 3

c)

2

2x 3x 5

khi x 1

f (x) _x ₁

7 khi x 1

  
 _

  
 _


tại x0 = 1

d)

2 x 1

khi x 3

f (x) ₃ _x

3 khi x 3

  
 _

  
 _


tại x0 = 3

e/

2

x 2

khi x 2

f (x) x 2

2 2 khi x 2

 
 _

_ 
 


tại x0 = 2

f)

x 2

khi x 2

f (x) x 1 1

3x 4 khi x 2

 
 

_  
 _ _


tại x0 = 2

<b>ĐS:</b> a) liên tục ; b) không liên tục ;

c) liên tục ; d) không liên tục ; e) liên tục ; f) liên tục

<b>Bài 12:</b> Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng:

a)

2

x 3x 2

khi x 2

f (x) _x ₂

1 khi x 2

  
 _

  
 _


b)





2

1 x

khi x 2

x 2

f (x)

3 khi x 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 20

c)

 

2

x x 2

khi x 2

f x _x ₂

5 x khi x 2

  

 _



  

 _ _



d)

 

2

2

x khi x 0
f x x khi 0 x 1

x 2x 1 khi x 1

 




_  

   



<b>ĐS:</b>

a) hs liên tục trên R

b) hs liên tục trên mỗi khoảng (-; 2), (2; +) và bị gián đọan tại x = 2.
c) hsliên tục trên R

d) hs liên tục trên mỗi khoảng (-; 1), (1; +) và bị gián đọan tại x = 1.

<b>Bài 13:</b> Tìm điều kiện của số thực a sao cho các hàm số sau liên tục tại x0.

a)

 

2

x x 2

khi x 1

f x x 1

a khi x 1

  

 _{ }



_ 

 _{ }



với x0 = -1

b)

2

x khi x 1
f (x)

2ax 3 khi x 1

 


 _

 

 với x0 = 1

c)

x 7 3

khi x 2

f (x) _x ₂

a 1 khi x 2

  

 _



  

 _ _



với x0 = 2

d)

2

3x 1 khi x 1
f (x)

2a 1 khi x 1

  


 

  

 với x0 = 1

<b>ĐS</b>: a) a = -3 b) a = 2 c) a = 7/6 d) a = 1/2

<b>Bài 14: </b>

a) CMR phương trình sau có ít nhất hai nghiệm: 3

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 21

b) CMR phương trình sau có it nhất một nghiệm âm: 3

x 1000x0,10
c) CMR: Phương trình x4_-3x2_{+ 5x – 6 = 0 có nghiệm trong khoảng (1; 2).}
d) Chứng minh phương trình 2

x sin xx cos x 1 0 có ít nhất một nghiệm x₀



0;



.
e) Chứng minh ptrình m x



1

 

3 x 2



2x 3 0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

<b>Bài 15: CM: </b>

a) 4

x 5x 2 0 có ít nhất một nghiệm.
b) 5

x 3x 7 0 có ít nhất một nghiệm.

c) 3 2

2x 3x  5 0 có ít nhất một nghiệm

d) cosx = x có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; /3)

e) 3 2

x 3x  1 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt.

g)



2





3 2

1m x1 x   x 3 0 ln có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-2; -1) với mọi m.

h)





3



2



4

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 22

<b>CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM </b>

<b>I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT </b>

<b>1. BẢNG ĐẠO HÀM </b>

<b>Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ bản </b> <b>Đạo hàm của hàm số hợp </b>

 

C = 0 (C là hằng số)

 

x = 1

(kx)’= k (k là hằng số)

 

n

x = n.xn-1 (nN, n2)

 

n

U =n.Un-1_._U

2

1 1

x x


 
 _ _{ }
 
 

(x0)

2

1 U

U U



 _ 

 _ _{ }
 

  (U0)

( x )= 1
2 x

(x>0)

 

U

U

2 U

 _

 (U0)





















2

2

2
2

sin x ' cos x
cos x ' sin x

1

tan x ' 1 tan x

cos x
1

cot x ' 1 cot x

sin x


 

  

    

















'

2

'

2

sin U ' U 'cos U

cos U U 'sin U

U '
. tan U '

cos U
U '
cot U

sin U


 


 

<b>2. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM </b>(Ký hiệu U = U(x), V=V(x)).



UV



UV



U.V '



U'.VV'.U

(k.U)k.U(k là hằng số) U U'.V ₂V'.U

V V



 _ 

 _ _
 

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 23

<b>3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP:</b> g(x) = f[U(x)] , g 'x = f '_u. U_x

<b>4. ĐẠO HÀM CẤP CAO CỦA HÀM SỐ </b>

Đạo hàm cấp 2: f (x)  f (x) _

Đạo hàm cấp n: (n ) (n 1)

f (x) _f  (x)__

<b>5. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ </b>

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0 có hồnh độ x0 có dạng:

<b>y = f’(x0) (x – x0) + f(x0) </b>

f’(x₀) = hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong (C): y = f(x) tại điểm M



x ,f x₀

 

₀



<b>II. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN </b>

<b>1. Dạng 1: </b>Tính đạo hàm, đạo hàm cấp cao của các hàm số Sử dụng các quy tắc và bảng đạo
hàm để tính.

<b>Ví dụ: </b>Tính đạo hàm của các hàm số sau

a) 3

yx b) 2

y3x 1 c) y x1 d) y 1

1 x




<b>ĐS</b>: a) y’=3x2 _{b) y’= 6x c) y’ =} 1

2 x1 d)





2
1
y '

1 x




<b>2. Dạng 2: </b>Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = f(x)

<b>* Loại 1: Tiếp tuyến tại điểm </b>M



x ,f x₀

 

₀



Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0 có hồnh độ x0 có dạng:

<b>y = f’(x0) (x – x0) + f(x0) (*) </b>

<b>* Loại 2: Tiếp tuyến với hệ số góc k </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 24

<b>Phương pháp: </b>

B1<b>: </b>Tiếp tuyến d’ // d nên k_{d '}k_d

B2: Gọi x0 là hồnh độ tiếp điểm. Khi đó ta có f’(x0)= k_d_ (3)
B3: Giải (3) tìm x0. Từ đó suy ra f(x0).

B4: Thay các kết quả vừa tìm vào pt dạng (*) ta được pt tiếp tuyến cần lập.

<i><b>+ </b>Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d cho trước </i>
<b>Phương pháp: </b>

B1<b>: </b>Tiếp tuyến d’ // d nên _{d '}

d

1
k

k

 

B2: Gọi x0 là hồnh độ tiếp điểm. Khi đó ta có f’(x0)= k_d_ (4)
B3: Giải (4) tìm x0. Từ đó suy ra f(x0).

B4: Thay các kết quả vừa tìm vào pt dạng (*) ta được pt tiếp tuyến cần lập.

<b>* Loại 3: Tiếp tuyến đi qua điểm A cho trước </b>

<b>Phương pháp: </b>

B1:Gọi d là tiếp tuyến cần viết và M



x , y₀ ₀



là tiếp điểm.
Khi đó phương trình d có dạng:

 



0 0 0

yy f ' x xx

B2: Cho d đi qua A ta được y_Ay₀f ' x

 

₀ x_Ax₀



 y_Af (x )₀ f ' x

 

₀ x_Ax₀



(5)
B3: Giải (5) tìm x₀y ?₀ .

Suy ra phương trình tiếp tuyến cần viết.

<b>Ví dụ: </b>Gọi (C) là đồ thị hàm số:y f (x) 1
x

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 25

a) Tại điểm có hồnh độ bằng -2
b) Tại điểm có tung độ bằng 3

c) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng : y = -1

9x + 2014.

d) Biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng ': y =1

4x – 4.
e) Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-8;0).

<b>ĐS</b>:

a) y = -1

4x -1
b) y = -9x+6;
c) y = -1

9x +
2

3, y =

-1
9x -

2
3

d) y = -4x+4, y = -4x-4 ;
e) y = - 1

16x -
1
2.

<b>III. BÀI TẬP TỔNG HỢP </b>

<b>Bài 1</b>: Tìm đạo hàm các hàm số sau:

1. 3

yx 2x1 2. 5 x

y 2x 3

2

  

3. 4

2

2

y 10x

x

  4. 3

y(x 2)(x1)

5. 2

y5x (3x1) 6. 2 3

y(x 5)

7. 2 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 26

9. 2 3

y(x1)(x2) (x3) 10.y ₂2x

x 1





11.

2

2x 6x 5

y

2x 4

 



 12. 2

5x 3

y

x x 1




 

13. 2

y x 6x7 14.y x 1 x2

15. 2

y(x1) x  x 1 16.

2

x 2x 3

y
2x 1
 


2

3x 2x 1

17.y

2x 3

 



 18) y =

3x 2

y

x



 ₂3x 2

x x 2


 
19)
3
3 2
a b
y
x x
x

  20) 3 3

y abx

21)

2 2 3

3 3 2

y(a b ) 22) 23 2

yx x
23)

2

3 4

(x 2)

y

(x 1) (x 3)




  24)

7 2

y(x x)

25) 2

y x 3x2 26) y 1 x

1 x






27) y 1

x x

 28/ y= x 2

1x

29/ y= x (x2_- _x _{+1) 30/ y=} 1 x

1 x





31/ y = (2x+3)10_{32/ y = (x}2_+3x-2)20

<b>Bài 2</b>: Tìm đạo hàm các hàm số sau:

1) 2

y3sin x.sin 3x 2) 2

y (1 cot x)

3) 2

ycos x.sin x 4)y­ 1 sin x
2 sin x






5) 4 x

y sin

2

 6)y sin x cos x
sin x cos x




</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 27

7) 3

y cot (2x )

4



  8) 2

y 2tan x

9) y cos x₃ 4cot x

3sin x 3

   10) 2 x

y­ 1 cos

2

 

11)y 1₂ ₂

(1 sin 2x)



 12) y =

4

sin 3x
13)y = cos ( x3 _{) 14) y= 5sinx-3cosx}
15)y = x.cotx 16) 3 2

ycot 1x
17)y= sin(sinx) 18) 2

ysin (cos 3x)
19) y x sin x

1 tan x



 20)

sin x x

y

x sin x

 

21) y tanx 1
2



 22) y 12 tan x

<b>Bài 3:</b> Tìm đạo hàm các hàm số sau tại điểm đã chỉ ra:

a)y = x2_{+ x ; x0 = 2} _{b) y =}1

x; x0 = 2
c) y = x 1

x 1



 ; x0 = 0 d) y = x - x; x0 = 2

e) y = x3_{- x + 2; x0 = -1} _{f) y =}2x 1

x 1



 ; x0 = 3

g) y = x.sinx; x0 = π

3 h) y = 4cos2x + 5 sin3x; x0 =
π
3

i) Cho f (x) 3x1, tính f ’’(1) k)Cho y = xcos2x . Tính f”(x)

l) Cho f x

  

 x10



6.TÝnh f '' 2 

 

m)f x

 

sin 3x. Tính f '' ; f '' 0 f ''

 

2 18

 _  _

_{ }  _

 _  _

 

   

     

<b>Bài 4</b>: Tìm đạo hàm các hàm số sau:

ax b

y

cx d






2

ax bx c

y

dx e

 





2
2

ax bx c

y

mx nx p

 



</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 28

Áp dụng: y 3x 4

2x 1




 

2

x x 2

y

2x 1

  




2
2

x 3x 4

y

2x x 3

 



 

<b>Bài 5:</b> Cho hai hàm số: 4 4

f (x)sin xcos x và g(x) 1cos 4x
4

 .

Chứng minh:f '(x)g '(x) ( x  ).

<b>Bài 6:</b> Cho 3 2

y x 3x 2. Tìm x để:
a) y’ > 0 b) y’ < 3

<b>ĐS: </b>a) x 0

x 2

 

 

 b) 1 2  x 1 2

<b>Bài 7:</b> Giải phương trình: f’(x) = 0 biết rằng:

a) f(x) = cos x + sin x + x. b) f(x) = 3 sin xcos xx
c) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x d) f(x) = 2x4_{– 2x}3_{– 1}

<b>Bài 8:</b> Cho hàm số f (x) 1x. Tính : f (3)(x3)f '(3)

<b>Bài 9:</b>

a) Cho y = 2

2xx ; chứng minh 3

y y  1 0

b) Cho y = x 3

x 4



 ; chứng minh2(y’)2=(y -1)y’’

c) Cho f(x)=

2
2

cos x

1sin x; c/m f ( )4 3f '( )4 3

 

 

d) Cho hàm số:

2

x 2x 2

y

2

 

 . Chứng minh rằng: 2y.y’’ – 1 =y’2

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 29

- Tính giá trị của biểu thức: A= y’’’ +16y’ + 16y – 8.

<b>Bài 10</b>: Chứng minh rằng f '(x)0 x  , biết:

a/ 2 9 6 3 2

f (x) x x 2x 3x 6x 1

3

      b/ f (x)2xsin x

<b>Bài 11:</b> Cho hàm số

2

x x

y

x 2




 (C)

a) Tính đạo hàm của hàm số tại x = 1.

b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hồnh độ x0 = -1.

<b>Bài 12:</b> Cho hàm số y = f(x) = x3_{– 2x}2_(C)

a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) > 0.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hồnh độ x0 = 2.

c) Viết phtrình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = - x + 2.

<b>Bài 13:</b> Gọi ( C) là đồ thị hàm số : 3 2

yx 5x 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C )
a) Tại M (0;2).

b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 1.

c) Biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y =1

7x – 4.
d) Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1;0).

<b>Bài 14:</b> Cho đường cong (C): y x 2

x 2




 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)

a) Tại điểm có hồnh độ bằng 1
b) Tại điểm có tung độ bằng 1

3

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 30

d) Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-1;2).

<b>Bài 15</b>: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

1) y x 1

x 2




 2) 2

2x 1

y

x x 2




  3) 2

x
y

x 1





4) 2

yx x 1 5) 2

yx sin x 6) 2

y (1 x ) cos x
7) y = x.cos2x 8) y = sin5x.cos2x

<b>ĐS: </b>

1)





3

6
y ''

x 2





2)





3 2

3
2

4x 10x 30x 14

y ''

x x 2

  



 

3)









2
3
2

2x x 3

y ''

x 1






4)





3

2 2

2x 3x

y ''

x 1 x 1




 

5)



2



y '' 2x sin x4x cos x

6) 2

y ''4x sin x(x 3) cos x
7) y’’ = -4sin2x – 4xcos2x

8) y’’ = -29sin5x.cos2x – 20cos5x.sin2x

<b>Bài 16</b>: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau:

a) y 1

x 1



 b) y = sinx

<b>ĐS: </b>a)  

 





n
n

n 1

n!

y 1

x 1 

 

 b)

 n

y sin x n

2

 _


</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 31

<b>B. HÌNH HỌC </b>

<b>I. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP </b>

<b>Dạng 1: </b>Chứng minh hai đường thẳng a và b vng góc

<b>Phương pháp 1:</b> Chứng minh góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 0

90 .

<b>Phương pháp 2: </b>a b u.v 0 (u, v  lần lượt là vectơ chỉ phương của a và b).

<b>Phương pháp 3:</b> Chứng minh a  ( ) b hoặc b  ( ) a

<b>Phương pháp 4: </b>Áp dụng định lí 3 đường vng góc ( a  b a b ' với b’ là hình chiếu
của đt b lên mp chứa đt a).

* <b>LƯU Ý: </b>Trong các phương pháp trên thì phương pháp 3 là thông dụng nhất.

<b>Dạng 2: </b>Chứng minh đường thẳng d vng góc với mp (P).

<b>Phương pháp 1:</b> Chứng minh: d  a và d  b với a  b = M; a,b  (P)

<b>Phương pháp 2:</b> Chứng minh d // a, a  (P)

<b>Phương pháp 3:</b> Chứng minh: d  (Q)  (P), d  a = (P)  (Q).

<b>Phương pháp 4:</b> Chứng minh: d = (Q)  (R) và (Q) (P), (R)  (P).

<b>Dạng 3: </b>Chứng minh hai mp (P) và (Q) vng góc.

<b>Phương pháp 1: </b>Chứng minh (P)  a  (Q).

<b>Phương pháp 2: </b>Chứng minh (P) // (R)  (Q).

<b>Phương pháp 3:</b> Chứng minh (P) // a  (Q).

<b>Dạng 4: </b>Tính góc giữa 2 đt a và b.

<b>Phương pháp:</b> - Xác định đt a’// a, b’// b ( a’  b’ = O)

- Khi đó: (a, b) = (a’, b’).

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 32

<b>Phương pháp:</b> Gọi góc giữa đt d và mp(P) là 

+) Nếu d  (P) thì  = 900_.

+) Nếu d khơng vng góc với (P): - Xác định hình chiếu d’ của d lên mp(P)
- Khi đó:  = (d,d’)

<b>Dạng 6: </b>Tính góc  giữa hai mp (P) và (Q).

<b>Phương pháp 1:</b>

Xác định a  (P), b  (Q).
Tính góc  = (a,b)

<b>Phương pháp 2:</b> Nếu (P)  (Q) = d

Tìm (R)  d

Xác định a = (R)  (P)
Xác định b = (R)  (Q)
Tính góc  = (a,b).

<b>Dạng 7: </b>Tính khoảng cách.

Tính khoảng từ một điểm M đến đt a:

<b>Phương pháp:</b> d(M, a)MH (với H là hình chiếu vng góc của M trên a).
Tính khoảng từ một điểm A đến mp (P):

<b>Phương pháp:</b> - Tìm hình chiếu H của A lên (P).

- d(M, (P)) = AH

Tính khoảng giữa đt  và mp (P) song song với nó: d(, (P)) = d(M, (P)) (M là điểm thuộc ).

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 33

<b>+)Phương pháp 1: </b>Nếu a  b :

Dựng (P)  a và (P)  b
Xác định A = (P)  b

Dựng hình chiếu H của A lên b

AH là đoạn vng góc chung của a và b

<b>+)Phương pháp 2: </b>

Dựng (P)  a và (P) // b.

Dựng hình chiếu b’ của b lên (P). b’ // b, b’  a = H
Dựng đt vng góc với (P) tại H cắt đt b tại A.
AH là đoạn vuông góc chung của a và b.

<b>+)Phương pháp 3: </b>

Dựng mp (P)  a tại I cắt b tại O

Xác định hình chiếu b’ của b trên (P) (b’ đi qua O).

Kẻ IK  b’ tại K.

Dựng đt vng góc với (P) tại K, cắt b tại H.
Kẻ đt đi qua H và song song với IK, cắt đt a tại A.
AH là đoạn vng góc chung của a và b.

<b>II. BÀI TẬP MINH HỌA </b>

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA(ABCD) và SAa 2.

<b>1.</b> CMR: Các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 34

<b>3.</b> Tính góc  giữa SC và mp (ABCD), góc  giữa SC và mp (SAB).

ĐS: 0 0

45 , 30

   

4.Tính tang của góc  giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD).
ĐS: tan 2

<b>5. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) </b>

ĐS: a 6 / 3

6.Tìm đường vng góc chung của các đường thẳng SC và BD. Tính khoảng cách giữa hai

đường thẳng ấy.

ĐS: a / 2
Hướng dẫn:

<b> </b>

1. Chứng minh tam giác SBC vuông tại B: cần chứng minh BC  (SAB)
2. Chứng minh BD  (SAC)

3. - Góc giữa SC và (ABCD) là góc giữa SC và AC. Vậy đó chính là góc SCA của tam giác SAC
vng cân tại A.

- Góc giữa SC và (SAB) là góc giữa SC và SB. Vậy đó chính là góc CSB của tam giác SBC vng
tại B có BC = a và SB = a 3.

<b>H</b>

<b>O'</b>
<b>A'</b>

<b>O</b>

<b>C</b>
<b>A</b>

<b>B</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 35

4. Góc giữa (SBD) và (ABCD) là góc giữa SO và AC. Vậy đó chính là góc SOA của tam giác SOA
vng tại A có AO = a 2

2 và SA = a 2. (với O là tâm của hình vuông ABCD)

5. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)là đoạn AH với H là chân đường cao kẻ từ A
của tam giác SAB.

6. Đường vng góc chung của các đường thẳng SC và BD là đoạn OO’ với O’ là chân đường
cao kẻ từ O của tam giác SOC (Ở đây OO’//AA’ (vì cùng vng góc với SC) và O’ chính là
trung điểm của A’C).<b> </b>

<b>III. BÀI TẬP TỔNG HỢP</b>

<b>Bài 1:</b> Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. SA  (ABC).

a) Chứng minh: BC  (SAB).

b) Gọi AH là đường cao của SAB. Chứng minh: AH  SC.

<b>Bài 2:</b> Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng. SA  (ABCD). Chứng minh rằng:

a) BC  (SAB).
b) SD  DC.
c) SC  BD.

<b>Bài 3:</b> Cho tứ diện ABCD có AB=AC, DB=DC. Gọi I là trung điểm của BC.

a) Chứng minh: BC  AD.

b) Gọi AH là đường cao của ADI. Chứng minh: AH  (BCD).

<b>Bài 4:</b> Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng, tâm O và SA = SC = SB = SD = a 2.

a) Chứng minh SO  (ABCD).

</div>
<span class='text_page_counter'>(36)</span><div class='page_container' data-page=36>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 36

<b>Bài 5:</b> Cho tứ diện ABCD có AB  CD, BC  AD. Gọi H là hình chiếu của A lên mp(BCD).
Chứng minh:

a) H là trực tâm BCD.
b) AC  BD.

<b>Bài 6:</b> Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng các cặp cạnh đối diện của tứ diện vng góc
với nhau từng đơi một.

<b>Bài 7:</b> Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, tâm O và AB = SA = a, BC = a 3, SA 

(ABCD).

a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.
b) Gọi I là trung điểm của SC. Chứng minh IO (ABCD).

c) Tính góc giữa SC và (ABCD).

<b>Bài 8:</b> Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng, tâm O và SA (ABCD) . Gọi H, K lần lượt
là hình chiếu vng góc của A lên SB, SD.

a) Chứng minh BC  (SAB), BD  (SAC).

b) Chứng minh SC  (AHK).

c) Chứng minh HK  (SAC).

<b>Bài 9:</b> Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA = AB = AC = a, SA 

(ABC).

Gọi I là trung điểm BC.
a) Chứng minh BC  (SAI).
b) Tính SI.

c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC).

</div>
<span class='text_page_counter'>(37)</span><div class='page_container' data-page=37>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 37

2a.

a) Chứng minh rằng: (SBC)  (SAB).

b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC).
c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC).

</div>
<span class='text_page_counter'>(38)</span><div class='page_container' data-page=38>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc 1

Website <b>HOC247</b> cung cấp một môi trường <b>học trực tuyến</b>sinh động, nhiều <b>tiện ích thơng minh</b>,
nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những <b>giáo viên nhiều năm kinh </b>

<b>nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹnăng sư phạm</b>đến từcác trường Đại học và các

trường chuyên danh tiếng.

<b>I.</b>

<b>Luy</b>

<b>ệ</b>

<b>n Thi Online</b>

- <b>Luyên thi ĐH, THPT QG:</b>Đội ngũ <b>GV Giỏi, Kinh nghiệm</b> từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây
dựng các khóa <b>luyện thi THPTQG </b>các mơn: Tốn, NgữVăn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.
- <b>Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: </b>Ơn thi <b>HSG lớp 9</b> và <b>luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán</b> các

trường <i>PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An</i> và các trường Chuyên

khác cùng <i>TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.</i>

<b>II.</b>

<b>Khoá H</b>

<b>ọ</b>

<b>c Nâng Cao và HSG </b>

- <b>Toán Nâng Cao THCS:</b> Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho các em HS THCS

lớp 6, 7, 8, 9 u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ởtrường và đạt điểm tốt

ở các kỳ thi HSG.

- <b>Bồi dưỡng HSG Toán:</b> Bồi dưỡng 5 phân môn <b>Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học </b>và <b>Tổ Hợp</b> dành cho
học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: <i>TS. Lê Bá Khánh Trình, TS. Trần </i>
<i>Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn</i>cùng đơi HLV đạt
thành tích cao HSG Quốc Gia.

<b>III.</b>

<b>Kênh h</b>

<b>ọ</b>

<b>c t</b>

<b>ậ</b>

<b>p mi</b>

<b>ễ</b>

<b>n phí</b>

- <b>HOC247 NET:</b> Website hoc miễn phí các bài học theo <b>chương trình SGK</b> từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các
môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham
khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

- <b>HOC247 TV:</b> Kênh <b>Youtube</b> cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi miễn
phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, NgữVăn, Tin Học và Tiếng Anh.

<i><b>Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai </b></i>

<i><b> H</b><b>ọ</b><b>c m</b><b>ọ</b><b>i lúc, m</b><b>ọi nơi, mọ</b><b>i thi</b><b>ế</b><b>t bi </b><b>–</b><b> Ti</b><b>ế</b><b>t ki</b><b>ệ</b><b>m 90% </b></i>

<i><b>H</b><b>ọ</b><b>c Toán Online cùng Chuyên Gia </b></i>

<i><b>HOC247 NET c</b><b>ộng đồ</b><b>ng h</b><b>ọ</b><b>c t</b><b>ậ</b><b>p mi</b><b>ễ</b><b>n phí </b></i>

</div>

<!--links-->