Đề thi Olympic 10 - 3 môn Toán lớp 10 năm 2019 THPT Phạm Văn Đồng có đáp án | Toán học, Lớp 10 - Ôn Luyện
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (115.35 KB, 6 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
<b>SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐẮK LẮK</b>
<b>TRƯỜNG THPT PHẠM VĂN ĐỒNG</b>
<b>KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 10-3 LẦN THỨ IV NĂM 2019</b>
<b>ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MƠN:TỐN. LỚP:10</b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>
<b>ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN</b>
<b>Câu 1: (4,0 điểm)</b>
Giải phương trình sau:16<i>x</i>2 33<i>x</i> 7 2(7 <i>x</i> 6) <i>x</i>2 2<i>x</i> 0 .
<b>Đáp án câu 1:</b>
<b>Câu</b> <b>NỘI DUNG</b> <b>Điểm</b>
<b>1</b>
Xét phương trình: 16<i>x</i>2 33<i>x</i> 7 2(7 <i>x</i> 6) <i>x</i>2 2<i>x</i> 0 (1)
Điều kiện: <i>x</i> 2 <i>x</i>0
Ta có:
1 4(<i>x</i>2 2 ) 2<i>x</i> <i>x</i>2 2<i>x</i>12<i>x</i>2 25<i>x</i> 7 00,5
Đặt <i>t</i> <i>x</i>2 2 (<i>x t</i>0)Phương trình đã cho trở thành
2 2
4<i>t</i> 2(7<i>x</i> 6)<i>t</i>12<i>x</i> 25<i>x</i> 7 0
4 1
2
3 7
2
<i>x</i>
<i>t</i>
<i>x</i>
<i>t</i>
1,0
Với
4 1
2
<i>x</i>
<i>t</i>
ta được
2 <sub>2</sub> 4 1
2
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
Giải phương trình ta được
4 13
6
<i>x</i>
1,0
Với
3 7
2
<i>x</i>
<i>t</i>
ta được
2 3 7
2
2
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
Giải phương trình ta được
17 2 11
5
<i>x</i>
1,0
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm
4 13
6
<i>x</i>
và
17 2 11
5
<i>x</i>
0,5
<b>Câu 2: (3,0 điểm)</b>
<i>Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA và AB của tam giác đó, lần lượt lấy các điểm</i>
',
<i>A</i> <i><sub>B</sub></i><sub>'</sub><sub> và </sub><i>C</i>'.<sub> Gọi </sub><i>Sa</i>, <i>Sb</i>, <i>Sc và S tương ứng là diện tích của các tam giác AB C</i>' ', <i>BC A</i>' ',
' '
<i>CA B</i> <i><sub> và ABC. Chứng minh bất đẳng thức </sub></i>
3
.
2
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>S</i> <i>S</i> <i>S</i> <i>S</i>
Dấu đẳng thức xảy ra khi
nào?
</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>
<b>Câu 3:</b>
<b>(4,0</b>
<b>điểm)</b>
Cho
, ,
<i>a b c</i><sub>là</sub>
các số
thực
dương
thỏa
mãn
3
<i>a b c</i> <sub>. </sub>
Chứng minh rằng 2 2 2
3
1 1 1 2
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>
<sub>.</sub>
<b>Đáp án câu 3:</b>
<b>Câu</b> <b>NỘI DUNG</b> <b>Điểm</b>
<b>3</b> Ta có:
2 2
2 2
1 1 2 2
<i>a</i> <i>ab</i> <i>ab</i> <i>ab</i>
<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>
<i>b</i> <i>b</i> <i>b</i>
1,0
Hồn tồn tương tự ta có
2
1 2
<i>b</i> <i>bc</i>
<i>b</i>
<i>c</i>
<sub>; </sub>1 2 2
<i>c</i> <i>ac</i>
<i>c</i>
<i>a</i>
0,5
Cộng ba bất đẳng thức trên theo vế ta có:
2 2 2
1 1 1 2
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>ab bc ac</i>
<i>a b c</i>
<i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>
<sub> </sub> <sub></sub>
2 2 2 3
1 1 1 2
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>ab bc ac</i>
<i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>
<sub> </sub> <sub></sub>
1,0
<b>Câu</b> <b>NỘI DUNG</b> <b>Điểm</b>
<b>2</b> Ta có các cơng thức tính diện tích:
2<i>S<sub>a</sub></i> <i>AC AB</i>'. 'sin ; 2<i>A</i> <i>S</i><i>AB AC</i>. sin<i>A</i>
Suy ra
' ' 1 ' '
2
<i>a</i>
<i>S</i> <i>AC AB</i> <i>AC</i> <i>AB</i>
<i>S</i> <i>AB AC</i> <i>AB</i> <i>AC</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub> (BĐT Cauchy)</sub>
Tương tự ta cũng có:
1 ' '
2
<i>b</i>
<i>S</i> <i>BA</i> <i>BC</i>
<i>S</i> <i>BC</i> <i>BA</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub> và</sub>
1 ' '
2
<i>c</i>
<i>S</i> <i>CB</i> <i>CA</i>
<i>S</i> <i>CA</i> <i>CB</i>
<sub></sub> <sub></sub>
1,0
Do đó:
1 ' ' ' ' ' ' 3
2 2
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>S</i> <i>S</i> <i>S</i> <i>AC</i> <i>BC</i> <i>BA</i> <i>CA</i> <i>CB</i> <i>AB</i>
<i>S</i> <i>S</i> <i>S</i> <i>AB</i> <i>BA</i> <i>BC</i> <i>CB</i> <i>CA</i> <i>AC</i>
<sub></sub> <sub></sub>
(đpcm)
1,0
Dấu bằng xảy ra
' '
' '
' '
<i>AC</i> <i>AB</i>
<i>AB</i> <i>AC</i>
<i>BA</i> <i>BC</i>
<i>BC</i> <i>BA</i>
<i>CB</i> <i>CA</i>
<i>CA</i> <i>CB</i>
<sub> </sub>
' ' //
' '//
' ' //
<i>C B BC</i>
<i>A C CA</i>
<i>B A AB</i>
<i><sub> A’, B’, C’ là trung</sub></i>
<i>điểm của BC, CA, AB.</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>
Mặt khác , ta chứng minh được :
2
( )
3
3
<i>a b c</i>
<i>ab bc ca</i> 0,5
Do đó 2 2 2
3
1 1 1 2
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>
0,5
Dầu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1.
0,5
<b>Câu 4 ( 3 điểm)</b>
Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 9<i>n </i>16 và 16<i>n </i>9 đều là số chính phương.
<b>Đáp án câu 4:</b>
<b>Câu</b> <b>NỘI DUNG</b> <b>Điểm</b>
<b>4</b> <sub>Giải sử có số nguyên dương n sao cho </sub>9<i>n </i>16<sub> và </sub>16<i>n </i>9<sub> đều là số</sub>
chính phương. Khi đó:
2 2
9<i>n</i>16<i>a</i> ,16<i>n</i> 9 <i>b</i>
Suy ra (9<i>n</i>16)(16<i>n</i>9) ( ) <i>ab</i> 2 cũng là số chính phương.
0,5
Đặt
2 2 2
2 2 2 2
(9 16)(16 9) 144 (9 16 ) 144
(12 ) (9 16 ) 12
<i>n</i>
<i>T</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
Ta có (12<i>n</i>12)2 (12 )<i>n</i> 2(9216 )2 <i>n</i>122 (12<i>n</i>15)2
Vậy <i>Tn</i> (12<i>n</i>13)2 hoặc
2
(12 14)
<i>n</i>
<i>T</i> <i>n</i>
1,0
Với <i>Tn</i> (12<i>n</i>13)2ta có
2 2 2 2 2
(12 ) (9 16 ) 12 (12 13)
337 144 321 169
1
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i>
Khi n = 1 thì <i>T n</i> 52
0,5
Với <i>Tn</i> (12<i>n</i>14)2ta có
2 2 2 2 2
(12 ) (9 16 ) 12 (12 14)
337 144 336 196
52
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i>
Khi n = 52 thì <i>T n</i> 292
Vậy n = 1, n = 52 thỏa mãn yêu cầu bài toán
1,0
<b>Câu 5 ( 3 điểm)</b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>
<b>Đáp án câu 5:</b>
<b>Câu</b> <b>NỘI DUNG</b> <b>Điểm</b>
<b>5</b> Khi chia một số nguyên bất kì cho 4034 thì các số dư phải thuộc tập
hợp
0;1;2;3...;4033
0,5Trong các số trên ta có thể chia thành các nhóm như sau:
+ Nhóm thứ nhất gồm những số khi chia cho 4034 có số dư là 0
+ Nhóm thứ hai gồm những số khi chia cho 4034 có số dư là 1 hoặc
4033
+ Nhóm thứ ba gồm những số khi chia cho 4034 có số dư là 2 hoặc
4032
……
+ Nhóm thứ 2017 gồm những số khi chia cho 4034 có số dư là 2016
hoặc 2018
+ Nhóm thứ 2018 gồm những số khi chia cho 4034 có số dư là 2017
1,0
Như vậy ta có 2019 số có thể xếp vào 2018 nhóm. Vậy theo ngun
lí Dirichlet trong 2019 số đó phải có 2 số khi chia cho 4034 mà số
dư thuộc cùng một nhóm. 1,0
Do đó đây là 2 số cần tìm vì nếu hai số này có số dư bằng nhau thì
hiệu của chúng sẽ chia hết cho 4034, cịn nếu chúng có số dư khác
nhau thì tổng của chúng sẽ chia hết cho 4034.
0,5
<i><b> Câu 6 (3 điểm). Tìm tất cả các hàm số </b></i> <i>f</i> :* * thỏa mãn:
<i>f m f n</i>( ( )) <i>n f m</i>( 2019) <i>m n</i>, *
<b>Đáp án câu 6:</b>
<b>Câu</b> <b>NỘI DUNG</b> <b>Điểm</b>
<b>6</b> <sub>Giả sử tồn tại các hàm số </sub> <i><sub>f</sub></i> <sub>:</sub> * *
<sub> thỏa mãn:</sub>
<i>f m f n</i>( ( )) <i>n f m</i>( 2019) <i>m n</i>, *
Ta chứng minh f là đơn ánh. Thật vậy
Giả sử <i>f n</i>( )1 <i>f n</i>( )2 <i>n n</i>1, 2 *
Khi đó
1 2
1 2
1 2
1 2
( ) ( )
( ( )) ( ( ))
( 2019) ( 2019)
<i>m f n</i> <i>m f n</i>
<i>f m f n</i> <i>f m f n</i>
<i>n</i> <i>f m</i> <i>n</i> <i>f m</i>
<i>n</i> <i>n</i>
Vậy f là đơn ánh
</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>
Thay m = 2019, n = 1 ta được
(2019 (1)) 1 (2019 2019)
<i>f</i> <i>f</i> <i>f</i>
Thay m = 2019, n bởi n + 1 ta được
(2019 ( 1)) 1 (2019 2019)
<i>f</i> <i>f n</i> <i>n</i> <i>f</i>
Suy ra <i>f</i>(2019 <i>f n</i>( 1)) <i>n</i> <i>f</i>(2019<i>f</i>(1))
Mặt khác thay m bởi f(1) ta được
( (1) ( )) ( (1) 2019) (2019 ( 1))
<i>f f</i> <i>f n</i> <i>n</i> <i>f f</i> <i>f</i> <i>f n</i>
Do f là đơn ánh nên
(1) ( ) 2019 ( 1)
( 1) ( ) (1) 2019
<i>f</i> <i>f n</i> <i>f n</i>
<i>f n</i> <i>f n</i> <i>f</i> <i>a</i>
1,0
Do đó <i>f n</i>( )<i>f</i>(1) ( <i>n</i>1)<i>a</i><sub> Suy ra </sub><i>m f n</i> ( ) <i>m f</i>(1) ( <i>n</i>1)<i>a</i>
2
2019 ( 2019 1) 2019 ( 2019 ( 1) 1)
1
1
<i>n a</i> <i>m</i> <i>a a</i> <i>m a</i> <i>n</i> <i>a</i> <i>a</i>
<i>n na</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<sub></sub>
1,0
Với a = 1. <i>f n</i>( ) <i>n</i> 2019
</div>
<!--links-->
