Gián án Tích phân đổi biến

PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN VÀ
Ứng dụng

Phương pháp đổi biến số
Phương pháp đổi biến số

Đổi biến số dạng 1:
Đổi biến số dạng 1:


+Quy tắc:
+Quy tắc:


Bước 1: Chọn ( một cách thích hợp )
Bước 1: Chọn ( một cách thích hợp )


Bước 2: - Lấy vi phân
Bước 2: - Lấy vi phân


- Đổi cận : Giả sử
- Đổi cận : Giả sử




Khi đó
Khi đó

Bước 3: Tính
Bước 3: Tính
( )x u t=
'( )dx u t dt=
x a t
x b t
α
β
= ⇒ =
= ⇒ =
( ). '( )I f ut u t dt
β
α
=
∫
( ). '( )I f ut u t dt
β
α
=
∫
( )
b
a
I f x dx=

∫
Tính
Tính

Đổi biến số dạng 1
Đổi biến số dạng 1

Một số dấu hiệu dẫn tới việc lựa chon
Một số dấu hiệu dẫn tới việc lựa chon
u(t)
u(t)
2 2
a x−
[ ]
sin , - ;
2 2
cos , 0;
x a t t
x a t t
π π
π

 
= ∈

 
 


= ∈


2 2
a x+
( )
tan , - ;
2 2
cot , 0;
x a t t
x a t t
π π
π

 
= ∈
 ÷

 


= ∈

2 2
( )a x+
Dấu hiệu Cách chọn
Bài 1: Tính các tích phân sau
Bài 1: Tính các tích phân sau
1
2
3
1

0
1I x x dx= −
∫
2
3
2
1
2 2
dx
I
x x
=
− +
∫
I. Phương pháp đổi biến số
2
2
2
1

4
dx
I
x
=
−
∫
1
2
4

0
1I x x dx= +
∫
2
3
( 1 )t x= −
( 2sin )x t=
( )x tgt=
( 1 )x tgt− =
2
2
1
( 1) 1
dx
x
=
− +
∫
2
( 1)t x= +

Bài giải
Bài giải


Đặt:
Đặt:
2 3 2 2 3
3
1 1 1t x t x x t= − ⇒ = − ⇒ = −

Ta có:
2
2 3xdx t dt= −
0 1
1 0
x t
x t
= ⇒ =
= ⇒ =
Vậy:
0
2
1
1
3
( )
2
I t t dt= −
∫
1
2
3
1
0
1I x x dx= −
∫
1
3
0
3

2
t dt=
∫
4 1
0
3
8
t=
2
3
2
xdx t dt⇒ = −
3
8
=

Cách 2
Cách 2
1
2
3
1
0
1I x x dx= −
∫
1
1
2 2
3
0

1
(1 ) (1 )
2
x d x= − − −
∫
4
2 1
3
0
3
(1 )
8
x= − −
3
8
=

2
2
2
1
dx

4
I
x
=
−
∫
2sin , t - ;

2 2
x t
π π
 
= ∈
 
 
2
6
2
2
2cos
4 4sin

tdt
I
t
π
π
=
−
∫
1 ; 2
6 2
2cos
x t x t
dx tdt
π π
= ⇒ = = ⇒ =
=

Đặt:
Ta
có:
Vậy:
2
2
6
2cos
2 1 sin
tdt
t
π
π
=
−
∫
2
6
2cos
=
2cos
tdt
t
π
π
∫
2
2
6
6

2 6 3
dt t
π
π
π
π
π π π
= = = − =
∫

1 , t ;
2 2
x tgt
π π
 
− = ∈ −
 ÷
 
( )
2
2
1 0
1
1
co
; 2
4
s
dx dt tg t dt
x

x t x t
π
= = +
= ⇒ = = ⇒ =
Đặt:
Ta có:
Vậy
:
2
2
4 4
4
0
2 2
1 0 0
(1 )
( 1) 1 1 4
dx tg t
dt dt t
x tg t
π π
π
π
+
= = = =
− + +
∫ ∫ ∫
2 2
3
2 2

1 1

2 2 ( 1) 1
dx dx
I
x x x
= =
− + − +
∫ ∫

1
2
4
0
1I x x dx= +
∫
, ;
2 2
x tgt t
π π
 
= ∈ −
 ÷
 
0 0
1
4
x t
x t
π

= ⇒ =
= ⇒ =
2
1
cos
dx dt
t
=
Đặt:
Ta có:
Vậy:
4
2
4
2
0
1
1
cos

I tgt tg t dt
t
π
= +
∫
4
4
0
(cos )

cos
d t
t
π
= −
∫
2
4
0
sin
cos
xdx
x
π
=
∫
4
0
3
1
3cos t
π
=
2 2 1
3
−
=

1
2

4
0
1I x x dx= +
∫
2
1t x= +
2 2
1t x⇒ = +
2 2tdt xdx=
Đặt:
Ta có:
xdx tdt⇒ =
0 1
1 2
x t
x t
= ⇒ =
= ⇒ =
Vậy:
2
4
1
.I t tdt=
∫
2
2
1
t dt=
∫
3 2

1
1
3
t=
1
(2 2 1)
3
= −
Bài 2: Tính các tích phân sau
Bài 2: Tính các tích phân sau
1
5 3
0
1, 1x x dx−
∫
3
2
2
0
sin cos
3,
1 cos
x x
dx
x
π
+
∫
1
3 2

0
5, 1x x dx−
∫
3
2 3
0
1
6,
(1 )
dx
x+
∫
1
1 3ln .ln
4,
e
x x
dx
x
+
∫
3
2
0
1
2,
1
x
dx
x

+
+
∫
3
( 1 )t x= −
( 1)t x= +
2
( cos 1)t x= +
( 1 3ln )t x= +
( sin )x t=
2
( 1 )t x= −
( )x tgt=

Phương pháp tích phân từng phần
Phương pháp tích phân từng phần

Sử dụng công
Sử dụng công
thức:
thức:


b b
b
a
a a
udv uv vdu= −
∫ ∫
Bước

1:
Biến đổi tích phân ban đầu về
dạng:
1 2
( ) ( ). ( )
b b
a a
I f x dx f x f x dx= =
∫ ∫
Bước
2:
Đặt:
1
2
( )
( )
u f x
du
dv f x dx v
=
=


⇒
 
= =


Bước
3:

¸p dụng (1) ta
có:
b
b
a
a
I uv vdu= −
∫
(1)