bt tich phan on TN2

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (188.65 KB, 10 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

NGUYÊN HÀM
I) Định nghóa nguyên hàm :

Cho 2 hàm số F(x) và f(x) xác định trên tập D.

F(x) gọi là 1 nguyên hàm của f(x)  F’(x) = f(x), xD

II) Định nghóa tích phân không xác ñònh :

Ta biết rằng 1 hàm số y = f(x) có nhiều nguyên hàm. Những nguyên hàm này sai khác nhau 1 hằng số.
Tập hợp các nguyên hàm này lại với nhau được gọi là tích phân khơng xác định của hàm f(x).

Ký hiệu :



f x dx F x

 



 

C. (Họ các nguyên hàm)

III) Bảng các nguyên hàm :
dx x C 







1
x

x dx C 1

1



   

 



dx ln x C

x  



x x

e dx e C



x a

a dx C

lna

 



cosxdx sin x C 



sin xdx cosx C



 



dx tan x C

cos x

 



dx cotx C

sin x

kdx kx C 

















 

     

 



1
ax b
1

ax b dx C; 1,a 0

a 1





   





ax b adx 1 ln ax b C; a 0

ax b 1 ax b

e dx e C

 

 











cos ax b dx sin ax b C

   











sin ax b dx cos ax b C

   





















dx 1 tan ax b C

a
cos ax b



















dx 1 cot ax b C

a
sin ax b

TÍCH PHÂN

I) Định nghóa tích phân xác định :

Giả sử hàm số f(x) liên tục trên tập K; a,b là 2 phần tử thuộc tập K
F(x) là 1 nguyên hàm của f(x) trên K

Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân xác định của f(x) trên [a;b]
Ký hiệu :

 

f x dx



Ta coù :

 

b
a
a

f x dxF x  F b  F a



Biểu thức f(x)dx được gọi là biểu thức dưới dấu tích phân, f(x) là hàm số dưới dấu tích phân, f(x)dx được
gọi là vi phân của mọi nguyên hàm f(x)

a là cận trên, b là cận dưới, x là biến số lấy tích phân

II) Tính chất : Giả sử f(x), g(x) liên tục trên K; a,b  K

 

f x dx 0



 

b a

a b

f x dx f x dx

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

 

b b

a a

kf x dx k f x dx



 

b b b

a a a

f x g x dx  f x dx g x dx

 

 



 





b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx c  a;b 



 





 

f x   0, x a;b 



f x dx 0

 





 

b b

a a

f x g x , x a;b  



f x dx



g x dx

 









 





m f x M, x a;b   m b a 



f x dx M b a 





 

t biến thiên trên đoạn a;b  G t 



f x dx là 1 nguyên hàm của f t và G a 0

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

1) Diện tích hình phẳng :

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong: y1 = f1(x), y2 = f2(x) và 2 đường thẳng x = a, x = b, trong
đó y1, y2 là 2 hàm số liên tục trên [a;b] được tính bởi cơng thức sau :

 

1 2

S



f x  f x dx

2) Thể tích vật thể troøn xoay :

 Cho đường cong (C) : y = f(x) liên tục trên [a;b] có đồ thị là (C). Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi
(C), Ox, x = a, x = b. Cho hình phẳng (H) quay tròn xoay 1 vòng quanh Ox ta được 1 vật thể trịn xoay có

thể tích là :

 

b b

2
Ox

a a

V 



y dx 



f x dx

 Cho đường cong (C) : x = g(y) liên tục trên [a;b] có đồ thị là (C). Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi
(C), Ox, y = a, y = b. Cho hình phẳng (H) quay trịn xoay 1 vịng quanh Oy ta được 1 vật thể trịn xoay có

thể tích laø :

 

b b

2
Oy

a a

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Chủ đề III : BÀI TẬP NGUN HÀM

I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất
1/ Tìm ngun hàm của các hàm số.

1. f(x) = 2 42 3

x
x 

ĐS. F(x) = C
x
x


 3
3
2 3

2. f(x) = 2

2
2 1)
(

x
x 

ĐS. F(x) = C
x
x
x



 2 1
3

3. f(x) = 1 32

x

x  ĐS. F(x) = x x C

3 2

3
2

4. f(x) =

2
sin

2 2 x

ĐS. F(x) = x – sinx + C
5. f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS. F(x) = tanx - cotx – 4x + C
6. 14. f(x) =

x
x

x
2
2 .cos
sin

2
cos

ĐS. F(x) = - cotx – tanx + C
7. f(x) = 2sin3xcos2x ĐS. F(x) =  cos5x cosxC

5
1
8. f(x) = ex(2 + )

cos2 x
ex

ĐS. F(x) = 2ex + tanx + C

9. f(x) = 2ax + 3x ĐS. F(x) = C

a

ax x



3
ln

3
ln
2

10. f(x) 2 2

1 x
=

- 11/ 2

5
f(x)

x 3x 2

- + ; 12/f(x)=sin7x cos5x cosx 13/

2
17x
f(x)

10x 13x 3

-2/ Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x), thoả mãn điều kiện ?

1. f(x) = 2 – x2 và F(2) = 7/3 ĐS. F(x) = 1

3
2

3

 x

x

2. f(x) = 4 x  x và F(4) = 0 ĐS. F(x) =

3
40
2
3

8 2


 x
x
x

3. f (x) = 4x3 – 3x2 + 2 và F(-1) = 3 ĐS. F(x) = x4 – x3 + 2x + 3

1
x
2
x

1
x
3
x
3
x
)
x
(

f 3 2 2







 , F(1) 31 ĐS ?

II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUN HÀM
1.Phương pháp đổi biến số.

Tính I =



f[u(x)].u'(x)dx bằng cách đặt U = u(x)

 Đặt U = u(x) dU u x dx'( )
 I =



f u x u x dx[ ( )]. '( ) 



f U dU( )

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:



(2x2 1)7xdx; 2.



(x3 5)4x2dx; 3. x2 1.xdx



 ; 4.



 dx
x

x
5

2 ; 5a.





dx
x
x

3
2
2
5

; b.



1

x

e
dx



 )2

( x

x
dx

; 7. dx

x
x



3
ln

; 8.



xex21dx

. ; 9.



dx

x
x
5
cos

sin

; 10.



cotgxdx ; 11.



x
tgxdx

cos ;12.



sindxx ;
13.



x
dx

cos ; 14.



x dx

e x

; 15.



 3
x
x

e
dx
e

; 16.



dx

x
etgx

cos ; 17.



x xdx

2
3

sin

cos ; 18.



x x 1.dx

;

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.

Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì



u(x).v'(x)dxu(x).v(x)



v(x).u'(x)dx

Hay



udvuv



vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

19.



(x2 5)sinxdx ; 20.



(x2 2x3)cosxdx ; 21.



xsin2xdx ; 22.



xcos2xdx; 23.



x.exdx; 24.



lnxdx



x lnxdx; 26.



ln2 xdx

; 27.



x

xdx
ln

; 28.



dx

x
x

cos ; 29.



sin x dx; 30.



ln(x 1)dx

; 31.



ex.cosxdx ; 32.



x3ex2dx; 33.



xln(1x2)dx; 34.



2xxdx; 35.



x lgxdx ; 36.



2xln(1x)dx ; 37.



 dx

x
x
2
)
1
ln(

; 38.



x2cos2xdx

TÍCH PHÂN VÀ ÚNG DỤNG

.

DAÏNG 1 : Tính tích phân bằng định nghóa

PP : Biến đổi hàm số dưới dấu tích phân về dạng tổng hiếu các hàm số có ngun hàm

Bài 1 : Tính các tích phân :
1/ 1 x(x2 1)dx





; 2/ x x(x2 1)dx





; 3/



x  xx dx

1 3

2 5 3

; 4/ dx

x
x
x




4
1
3
)
1
(

Bài 2 : Tính các tích phân :

1/ dx

x





1 5 3
3

; 2/ dx

x
x



 
2

11 2
1
2

; 3/ dx

x
x
x



 
5
4
2
3
5
2

; 4/ dx

x
x
x



  
5
4

2 3 2

; 5/ dx

x
x



 

2 3 2

1
6/ dx
x
x
x



  
4
3

2 3 2

; 7/ dx

x
x



 

2 6 9

; 8/ dx

x
x
x



  
5
4

2 6 9

1
2

; 9/ dx

x

x 2
2
1 3
1












; 10/

dx
x
x




1
0
2
3
1

Bài 3 : Tính các tích phân :
1/



2
0

cos
3
cos

xdx

x ; 2/



2
0
sin
2
sin

xdx

x ; 3/



2
0
3
sin
cos

xdx

x ; 4/



2
0

5
cos
2
sin

xdx
x
5/



2
0
4
cos


xdx ; 6/



3
6
2
2
cos
sin
1


dx
x

x ; 7/



3
6
2
2
cos
sin
2
cos


dx
x
x
x

; 8/ dx

x
e
e
x
x )
cos
3
(
4
0
2








DẠNG 2 : Phương pháp đổi biến dạng 2

* Aùp dụng cho những tích phân có dạng



b
a
dx
x
u
x
u

f[ ( )]. '( ) ( trong đó u(x) là hàm số biến 
x)

*Phương pháp:

+ Đặt U = u(x)  dU = u’(x)dx

+ Đổi cận : Khi x = a U = u(a), khi x = b  U= u(b)
 + Thay thế :

Khi đó



b
a
dx

x
u
x
u

f[ ( )]. '( ) =

( )

( )
( )

u b

u a

f U dU



.

*Chú ý : Thường đặt u là căn, mũ, mẫu, ...

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

1/




8
3 1
dx
x
x

; 2/




1

8
15 1 x dx

x ; 3/




1
01
dx
x
x

; 4/





2
ln

1dx
ex

; 5/





1 x 1 x2
dx
 ; 6/




2
3
2

1 x 1 x2
dx

Bài 2 : Tính các tích phân :

1/ e x xdx



 
1

; 2/2e x cosxdx

sin
2
1






; 3/ eexexdx



; 4/



e x
x
dx
e
1
ln

; 5/ dx

x
etgx



2
0
2

cos


; 6/

dx
x
etgx



2
0
2
cos


Bài 3 :Tính các tích phaân :

1/ dx

x
x





01 2cos
sin


; 2/ dx

x
x
e
e



2
ln
1

; 3/



sine dx
ex x

; 4/





1
0
dx
e
e
e

x
x
x

; 5/




27

1 (1 3 )
dx
x
x

dx

; 6/





0
4

cos xdx 7/






2
ln
0

x
x e
e
dx

; 8/



2
6
3
sin
cos

x
dx
x
x

; 9/




2
ln
2

ln ex 1
dx

; 10/




2
0
3
3
3
cos
sin
sin

dx
x
x

x ; 11/

3
2
3 3
0
cos
sin cos
x
dx
x x





DẠNG 3 : Phương pháp tích phân từng phần

* Aùp dụng cho những tích phân có dạng



b
a
dx
x
v
x

u( ). '( ) ( trong đó u(x), v’(x) là 
những hàm số biến x)

*Phương phaùp: 
 + Đặt









dx

x

v

dv

x

u

)

('

)

(

ta coù









)

(

)

('

x

v

dx

x

u

du

Khi đó



b
a
dx
x
v
x

u( ). '( ) = b
a

x
v
x

u( ) ( ) -



b
a
dx
x
v
x

u'( ). ( )

*Chú ý : - Đặt u theo thứ tự ưu tiên : Logarit(lôcNêpe), đa thức, …...

- Sau khi đặt u, tồn bộ phần cịn lại là dv( cụ thể Thầy đã dạy ở phần lý thuyết)

Bài tập : Tính các tích phân sau :
1/



2
0
cos

xdx

ex ; 2/



2
4
2
sin


dx
x
x

; 3/




0
2
cos
sin dx
x
x
x

; 4/





2)
1

ln( x dx

x ; 5/



e
dx
x
0
2
)

(ln ; 6/






61 cos

sin


dx
x
x
x

7/



2
0
2sin

xdx

x ; 8/





e
dx
x
1
2
)
ln
1

( ; 9/



e

dx
x
1

ln ; 10/



2
0
sin

xdx

ex ;11/





)
1

ln( x dx

x ; 12/

dx
x
x
e
e











2
ln
1
ln
1
2

DẠNG 3 : Phương pháp đổi biến dạng 1

* p dụng cho những tích phân có chứa các biểu thức a 2 x2 ,

2
2

1
x

a  maø không thể

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

*Phương pháp: 
 + Đặt biến mới

-Dạng chứa a 2 x2 : Đặt x = asint, t












2
;
2




- Dạng chứa 2 1 2

x

a  : Đặt x = atant, t 








2
;




+ Các bước tiếp theo : đổi cận, thay thế tương tự như phương pháp đổi biến dạng 2

Bài tập : Tính các tích phân sau :

1/





a

dx
x
a
x
0

2
2
2

( a > 0 ) 2/ dx
x

x





2
2

3/




e

x
x

dx
1 4 ln2

4/



 x  x dx

2 2 3

5/




3

0
2
9

1
dx

x 6/



 

2 2 5
1

dx
x
x

7/




3

1 2 4 2

dx
x

x 8/





2
2 1 x dx

x 9/




2

1 2 4 2
1

dx
x
x

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

BÀI TỐN 1

:

Cho hàm số

yf x

 

liên tục trên



a b;



. Khi đó diện tích hình phẳng (D) giới

hạn bởi (Chỉ Thầy Trị ta ký hiệu thế này thơi nhé !!!  )

- Đồ thị hàm số

yf x

 

- Truïc

Ox

: (

y 0

)

- Hai đường thẳng

x a x b ; 

Được xác định bởi cơng thức :

SD 



ab f x dx

 

1) Tính

S D ?

, biết

D

giới hạn bởi đồ thị:

y x 2 2x

,

x1,x2

và trục

Ox

.

2) Tính

S D ?

, biết



, 0, 1, 2



x

D y xe y  x x

3) Tính

S D ?

với





2 4 , 1, 3
D yx  x x x

4) Tính

S D ?

, với

, 0, , 0

Dy tgx x  x y 

 

5) Tính

S D ?

,

2
ln

, 0, 1, 2

x

D y y x x

x

 

     

 

6) Tính

S D ?

,

1, , 0, ln
2

x

D x x e y y

x

 

     

 

7) Tính

S D ?

3 1

, 0, 1, 0

x x

D y x x y

x

   

     



 

8) Tính

S D ?

,

2 3

sin cos , 0, 0,

Dy x x y x x

 

BÀI TỐN 2

:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi…

: (

Xem kỷ lại lý thuyết Thầy đã dạy

)

+

 

C1 :yf x

 

,



C2



:y g x

 

+ đường thẳng

x a x b , 

Được xác định bởi công thức:

S 



ab f x

 

 g x dx

 

PP giải: B1: Giải phương trình :

f x

 

g x

 

tìm nghiệm

x x1, ,...,2 xn



a b;





x1 x2 ...xn



B2: Tính

 







 



1 2

...

,...,

n

x x b

a x x

x b

a x

S f x g x dx f x g x dx f x g x dx

f x g x dx f x g x dx

      

    



</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

1) Tính

S D ?

,









1 , x, 0, 1

D y x y e x  x

2)Tính

S D ?

,

2 2

1 1

, , ,

sin cos 6 3

D y y x x

x x

 

 

     

 

3) Tính

S D ?

,









2 sin , 1 cos , 0;

D y  x y  x x 

4) Tìm

b

sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

 

2
2
:

x

C y

x





và các đường thẳng

1, 0,

y x x b

baèng

4


BÀI TỐN 3: Hình phẳng (D) giới hạn bởi đồ thị

:

yf x y g x x a

 

, 

 

, 

.

Khi đó diện tích

x0



 



a

S 



f x  g x dx

với

x0

là nghiệm duy nhất của phương trình

 

f x g x

.

1) Tính

S H ?

, với



, , 1



x x

H y e y e x

   

2) Tính

S H ?

,

H



y x 1 x Ox x2, , 1



   

3) Tính

S D ?

3 1

, ,

x

D y Ox Oy

x

 

 

  



 

4) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :

2 ;x 3 ; 0
y y  x x

5) Tính

S H ?

,

H 



x y x y,   2 0, y0



BÀI TỐN 4: Tính diện tích hình phẳng

 

D

giới hạn bởi đồ thị hai hàm số:

 

;

 

yf x y g x

PP giaûi:

B1

: Giải phương trình

f x

 

 g x

 

0

có nghiệm

x1x2 ...xn

B2: Ta có diện tích hình

 

D

:

 

n

x
D x

S 



f x  g x dx

1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

y x2 2x

 

;

yx24x

2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

y x2 2x

 

và

y3x

3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

y2 2y x 0

  

vaø

x y 0

4) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

y2 x 5 0

  

vaø

x y  3 0

5) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

y x2 4x 3

  

vaø

y x 3

6) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

4 2

x
y  

vaø

2
4 2

x
y 

:

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH

BÀI TỐN I:

“Tính thể tích của vật thể trịn xoay khi quay miền

D

giới hạn bởi các

đường:

yf x

 

;

y 0

;

x a x b a b ;  ;







xung quanh trục

Ox

”.

PP giải: Ta áp dụng công thức

VOx 



aby dx2 



ab f x dx

 

Chú ý: “Tính thể tích của vật thể trịn xoay khi quay miền

D

giới hạn bởi các đường:

 

xf y

;

x 0

;

y a y b a b ;  ;







xung quanh truïc

Oy

”.

PP giải: Ta áp dụng công thức

b 2 b

 

Oy a a

V 



x dy



f y dy

1) Cho hình phẳng

D

giới hạn bởi :

, 0, 0,

Dy tgx y  x x

 

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

b) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi

D

quay quanh trục

Ox

2) Cho hình phẳng

 

D

giới hạn bởi

 

P y: 2 8x

và đường thẳng

x 2

. Tính thể tích khối

trịn xoay khi lần lượt quay hình phẳng

 

D

quanh trục

Ox

.

BÀI TỐN II

:

“Tính thể tích của vật thể trịn xoay khi quay miền

D

giới hạn bởi các

đường:

yf x

 

;

y g x

 

;

x a x b a b ;  ;







xung quanh trục

Ox

”.

PP giải: Ta áp dụng công thức

b 2

 

Ox a

V 



f x  g x dx

1) Tính thể tích khối trịn xoay khi quay quanh

Ox

hình phẳng

D

giới hạn bởi các đường:

2 1

1; 2; ;

x x y y

x x

   

2) Cho hình phẳng

D

giới hạn bởi

y 4 x y x2; 2 2

   

. Quay

D

xung quanh

Ox

ta được một

vật thể, tính thể tích của vật thể này.

BÀI TẬP

1) Tính

VOx

bieát:

D



y x ln ,x y0,x1,x e



2) Cho

D

là miền giới hạn bởi đồ thị

2 ; 0; 0;
4

y tg x y  x x

a) Tính diện tích miền phẳng

D

b) Cho

D

quay quanh

Ox

, tính thể tích vật thể trịn xoay được tạo thành.

3) Tính

VOx

biết:

,
3

x

Dy y x 

 

4) Tính

VOx

biết:

4 4

0; 1 sin cos ; 0,

Dy y  x x x x

 

5) Tính

VOx

biết:





2 5 0; 3 0

D x  y  x y  

6) Tính

VOx

bieát:





2 ; 2 4

D y x y x

7) Tính

VOx

biết:





2 4 6; 2 2 6

D y x  x yx  x

8) Tính

VOx

biết:





2;

D y x y  x

CÁC BÀI TẬP DỄ VÀ HAY

1. y  x ex , trục Ox, x=1, x = 2 .

2. y = lnx , x =1 , x = 2 và trục Ox.
3. y = x3 + 1, Ox, Oy vaø x = 1.
4. y = 1 – x2 , y = 0.

5. y = cosx, y = 0, x = 0 vaø x =



.
6. y = tanx , y = 0, x = 0 vaø x =



.
7. y2 = x3 , y = 0, x = 1

8. y = sin2x, y = 0, x = 0 vaø x =



.

9. y = 2

x

xe , y = 0, x = 0, x = 1

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9></div>
(10)<div class='page_container' data-page=10></div>

bt tich phan on TN2

<sub></sub>

 

 























































































 



 

 

 

 



 



 

 

 

 





 

 

 

 







 

 

 











 



