Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2016 - 2017 tỉnh Quảng Trị có đáp án chi tiết | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (473.09 KB, 4 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

UBND TỈNH QUẢNG TRỊ
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HĨA LỚP 12 
NĂM HỌC 2016 – 2017

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 01 trang)

Mơn thi: TỐN

Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1. (4,0 điểm)

1. Tìm số nguyên dương n biết     


0 1 1 1 2 ... 1 2047

2 3 1 11

n

n n n n

C C C C

n .

2. Một vật chuyển động theo quy luật 1 3 9 2

s  t  t , với t (giây) là khoảng thời gian tính lúc bắt 
đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi khoảng thời 
gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?
Câu 2. (6,0 điểm)

1. Cho hàm số

 

x 2x

f x e e . Tìm x để f '

 

x 2f x

 

3.

2. Giải bất phương trình 4x 1 6x 4 2x2 2x3.

3. Tìm tham số m để hệ sau có nghiệm









3 2

2 2

,
1 2

x y x xy m
x y

x x y m

    

 



   


Câu 3. (6,0 điểm)

1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a BC , a 3. Hai mặt phẳng
(SAC) và (SBD) cùng vng góc với mặt phẳng đáy; gọi I là điểm nằm trên cạnh SC sao cho 
SC = 3IC. Biết AI vng góc SC.

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SB.

2. Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C.   , đáy ABC là tam giác đều. Gọi  là góc tạo bởi A B với
mặt phẳng



ACC A 



và  là góc giữa mặt phẳng



A BC 



với mặt phẳng



ACC A 



Chứng minh rằng: 600 và cot2 cot2 1

   .

Câu 4. (2,0 điểm)

Cho các số x x x y y y1, 2, 3, 1, 2, 3 thỏa mãn:

2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 0; 1 2 3 0; 1 2 3 0
x x x y y y x y x y x y  x x x  y y y 
Chứng minh rằng:

2 2

1 1

2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3

2
3

x y

x x x y y y  .
Câu 5. (2,0 điểm)

Cho các số thực dương x, y, z, t có tích bằng 1. Chứng minh:

2 2 2 2

1 1 1 1

1
(1x) (1y) (1z) (1t)  .
---Hết---

Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

UBND TỈNH QUẢNG TRỊ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HĨA LỚP 12 
NĂM HỌC 2016 – 2017

HƯỚNG DẪN CHẤM (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) Mơn thi: TỐN

Câu Đáp án (trang 01) Điểm

C1

Ý1
2,0
đ

Xét khai triển





0 1 2 2

1x nCnC x C xn  n  ... C xnn n 0, 5

nên









1 1

0 1 2 2

0 0

1 n ... n n

n n n n

x dx C xC x C x C dx

     



0, 5

suy ra

0 1 1 1 2 1 2 1

...

2 3 1 1

n
n

n n n n

C C C C

n n

 

    

 

0, 5

Từ đề ra, ta có 2 1 1 210 1 1 10

1 10 1

n

n
n

   

  

 

0, 5

C1

Ý2
2,0
đ

Ta có 3 2

( ) '( ) 18

v t s t   t  t 0,5

Xét hàm v t( )với t



0;10



;v t'( )  3t 18; '( ) 0v t   t 6

Lập bảng biến thiên v t( )

1,0

Vận tốc lớn nhất trong khoảng 10 giây kể từ lúc xuất phát là (6) 54 /v  m s 0,5

C2

Ý1
1,0
đ

Ta có f'

 

x ex 2e2x 0,5

 

2 2

' 2 3 2 2( ) 3

1 0

 

      

   

x x x x

x

f x f x e e e e

e x

0,5

C2

Ý2
3,0
đ

Điều kiện 1

x  0,5

Với điều kiện trên bất phương trình tương đương với





































2 2

4 1 1 6 4 2 2 2 0

2 2

2 2 0

4 1 1 6 4 2

1 1

2 2 0

4 1 1 6 4 2

x x x x x x

x x x x

x x

x x x x

x x

x x x x

         

 

    

     

 

 

    

       

 

0,5

0.5

[

2x x 0 x 0; 2]

     . Đối chiếu điều kiện, tập nghiệm S[0;2] 1,0

C2

Ý3
2,0
đ

Đặt 2 1

, (*); 2

u x x u v x y . Hệ trở thành





2 2 1 0(1)

1 2 1 2

u m u m

uv m

u v m v m u

    

  

    

  


 

0,5

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

từ (1) 2
2 1

u u

m

u
 
 


Xét hàm

 

2
2 1

u u
f u

u
 


 với điều kiện (*), ta có

 





 

2
2

2 2 1 1 3

' ; ' 0

2 1

u u

f u f u u

u

   

   



0,5

Lập bảng biến thiên suy ra giá trị cần tìm là ;2 3
2
m   

  0,5

C3

Ý1
4,0

O

D
B

C
A

S

I

a) Ta cóSO(ABCD);SOC,AIC đồng dạng với nhau
suy ra IC IS. OC AC. SCa 6 SOa 5

1,0

Thể tích khối S.ABCD là

. 15

3 3

ABCD

S SO a

V 

1,0

b) Xét hệ tọa độ Oxyz, sao cho O là giao điểm 2 đường chéo của ABCD,





3 3 3

; ;0 , ; ;0 ; ; ;0 , 0;0; 5

2 2 2 2 2 2

a a a a a a

A     B     C  S a

     

0,5

Khi đó ; 3; 5 ,



5;5 3;2 5





1; 3;2 5



3 3 3 6 6 2 2

a a a a a a a

I  AI   u BS    v

  0,5





, 4 33

33
,

 [ ]. 

[ ]

u v AB a
d SB AI

u v

Lưu ý: thí sinh có thể tính trức tiếp khoảng cách giữa hai đường chéo nhau.

1,0

C3

Ý2
2đ

J

I A

C

C'

A'
B

B'

Gọi I, J lần lượt trung điểm AC và A’C’ và đặt 
AB=a, BB’=b.

0,25

Ta có BI



ACC A' '



  BA I' .

 

BJI A C' ' 



(BA C' '),(ACC A' ')



0,5

tam giác BIA’ vuông tại I nên 
2 2

' 4

cot ;

3
3

cot ,( 0) 60

A I b a
IB a

b


 



 

    

0,5

Tam giác BIJ vuông tại I nên cot 2
3
JI b
IB a

   0,25

Do đó 2 2 2 2 2

4 4 1

cot cot

3
3

b a b
a

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

C4

2,0đ

Trong không gian Oxyz, lấy v1 



x x x1; 2; 3



,v2 



y y y1; 2; 3



,v3 



1;1;1 ,



v



1; 0; 0



.
Từ giả thiết ta có v v v1, 2, 3 đơi một vng góc.

0,5

Gọi u u u1, 2, 3lần lượt là hình chiếu của v trên giá các vec tơ v v v1, 2, 3 0,5

2 2

2 2 2

1 1

1 2 2 2 2 2 2 2 3

1 2 3 1 2 3

; ,

x y

u u u

x x x y y y

  

    và

2 2 2 2

1 2 3

v u u u 0,5
Từ hai đẳng thức trên suy ra điều phải chứng minh. 0,5

C5

2đ

Đặt x bc2 ,y cd2 ,z da2 ,t ab2

a b c d

    với a,b, c,d là các số thực dương. 0.25
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành



 



4 4 4 4

2 2 2 2

2 2 2 1

a b c d

d ab

a bc b cd c da

   



  

0.25

Theo BĐT Cauchy-Schwarz



 



 





4 4 4 4 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

a c a c a c

a b c d

a b a c c a c d

a bc c da



   

  

   

 

0.5

Tương tự



 



4 4 2 2

2 2 2 2 2 2

b d b d

a b c d

d ab
b cd



 

  




0.5

</div>

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2016 - 2017 tỉnh Quảng Trị có đáp án chi tiết | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

 

 

 









































 

 

 





























<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>





 

 





 





















 























 

 

 





 