Chuyen de He PT Bac 2 Toan 9

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>ƠN T</b>

<b>Ậ</b>

<b>P TỐN 9 </b>

<b>CHUN ĐẾ: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI </b>
<b>A.Kiến thức cần ghi nhớ</b>

1. Để biện luận sự có nghiệm của phương trình : ax2 + bx + c = 0 (1) trong đó a,b ,c phụ

thuộc tham số m, ta xét 2 trường hợp

a)Nếu a = 0 khi đó ta tìm được một vài giá trị nào đó của m, thay giá trịđó vào (1). Phương
trình (1) trở thành phương trình bậc nhất nên có thể :

- Có một nghiệm duy nhất

- Hoặc vô nghiệm

- Hoặc vô số nghiệm

b)Nếu a ≠0

Lập biệt số ∆= b2 – 4ac hoặc ∆/ = b/2 – ac

* ∆ < 0 (∆/ < 0 ) thì phương trình (1) vơ nghiệm

* ∆ = 0 (∆/ = 0 ) : phương trình (1) có nghiệm kép x1,2 = -

<i>a</i>
<i>b</i>

2
(hoặc x1,2 =

<i>-a</i>
<i>b</i>/ ₎

*∆ > 0 (∆/ > 0 ) : phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt:
x1 =

<i>a</i>
<i>b</i>

2
∆
−

− _{; x2 =}

<i>a</i>
<i>b</i>

2
∆
+
−
(hoặc x1 =

<i>a</i>
<i>b</i>/ − ∆/

− _{; x}
2 =

<i>a</i>
<i>b</i>/ + ∆/

− ₎

<b>2. Định lý Viét. </b>

Nếu x1 , x2 là nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì
S = x1 + x2 = -

<i>a</i>
<i>b</i>

p = x1x2 =

<i>a</i>
<i>c</i>

Đảo l¹i: Nếu cã hai số x₁,x₂ mà x₁ + x₂ = S và x₁x₂ = p th× hai số đã là nghiệm (nếu cã ) cđa
phơng trình bậc 2: x2 S x + p = 0

<b>3.DÊu cña nghiệm số của phơng trình bậc hai. </b>

Cho phơng trình bËc hai ax2_{+ bx + c = 0 (a}_{0) . Gọi x}

1 ,x2 là các nghiệm của phơng
trình .Ta có các kết quả sau:

x₁ và x₂ trái dÊu( x₁ < 0 < x₂ ) ⇔ p < 0

Hai nghiệm cùng dơng( x₁ > 0 và x₂ > 0 ) ⇔

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧

>
>
≥
∆

0
0
0

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Hai nghiệm cùng âm (x₁ < 0 và x₂ < 0) ⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧

<
>
≥
∆

0

0
0

<i>S</i>
<i>p</i>

Mét nghiÖm bằng 0 và 1 nghiệm dơng( x₂ > x₁ = 0) ⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧

>
=
>
∆

0
0
0

<i>S</i>
<i>p</i>

Mét nghiÖm b»ng 0 và 1 nghiệm âm (x₁ < x₂ = 0) ⇔
⎪
⎩
⎪
⎨

⎧

<
=
>
∆

0
0
0

<i>S</i>
<i>p</i>

<b>4. Vài bài toán ứng dụng định lý Viét </b>
<b>a) Tớnh nhm nghim. </b>

Xét phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

• NÕu a + b + c = 0 th× phơng trình có hai nghiệm x₁ = 1 , x₂ =

<i>a</i>
<i>c</i>

• NÕu a – b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm x₁ = -1 , x₂ = -

<i>a</i>
<i>c</i>

• NÕu x₁ + x₂ = m +n , x₁x₂ = mn và 0 thì phơng trình có nghiệm

x₁ = m , x₂ = n hc x₁ = n , x₂ = m

<b>b) Lập phơng trình bậc hai khi biết hai nghiệm x₁ ,x₂ của nó </b>
<i><b> Cách làm</b></i> : - LËp tæng S = x₁ + x₂

- LËp tÝch p = x₁x₂

- Phơng trình cần tìm là : x2 S x + p = 0

<b>c) Tìm điều kiện của tham số để ph−ơng trình bậc 2 có nghệm x₁ , x₂ thoả mãn điều kiện </b>
<b>cho tr−ớc</b>. (<i><b>Các điều kiện cho tr</b><b>−</b><b>ớc th</b><b>−</b><b>ờng gặp và cách biến đổi): </b></i>

*) x₁2+ x₂2 = (x₁+ x₂)2 – 2x₁x₂ = S2 – 2p
*) (x₁ – x₂)2_{= (x}

1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4p
*) x₁3_{+ x}

2
3_{= (x}

1 + x2)

3_{– 3x}

1x2(x1 + x2) = S

3_{– 3Sp}
*) x₁4 + x₂4 = (x₁2 + x₂2)2 – 2x₁2x₂2

*)

2
1

2
1
2
1

1
1

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

+
=

+ =

<i>p</i>
<i>S</i>

*)

2
1

2
2
2
1
1
2
2
1

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> +

=

+ =

<i>p</i>
<i>p</i>

<i>S</i>2 −2

*) (x₁ – a)( x₂ – a) = x₁x₂ – a(x₁ + x₂) + a2 = p – aS + a2

*) ₂

2
1

2
1
2

1

2
)

)(
(

2
1

1

<i>a</i>
<i>aS</i>
<i>p</i>

<i>a</i>
<i>S</i>
<i>a</i>

<i>x</i>
<i>a</i>
<i>x</i>

<i>a</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>a</i>
<i>x</i>
<i>a</i>

<i>x</i> − +

−
=
−
−

−
+
=
−
+
−

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>d) Tìm điều kiện của tham số để ph−ơng trình bậc hai có một nghiệm x = x₁ cho tr−ớc </b>

<b>.Tỡm nghim th 2 </b>

<i><b>Cách giải: </b></i>

ã Tỡm iu kiện để ph−ơng trình có nghiệm x= x₁ cho tr−ớc có hai cách làm
+) <i><b>Cách 1</b></i>:- Lập điều kiện để ph−ơng trình bậc 2 đã cho có 2 nghiệm:

∆≥0 (hc _∆/ _≥0

) (*)

- Thay x = x₁ vào ph−ơng trình đã cho ,tìm đ−ợc giá trị của
tham số

- Đối chiếu giá trị vừa tìm đ−ợc của tham số với điều kiện(*)
để kết luận

+) <i><b>Cách 2</b></i>: - Không cần lập điều kiện0 (hoặc / 0

) m ta thay luôn
x = x₁ vào ph−ơng trình đã cho, tìm đ−ợc giá trị của tham số
- Sau đó thay giá trị tìm đ−ợc của tham số vào ph−ơng trình và
giải ph−ơng trình

<i><b>Chú ý</b></i> : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào ph−ơng trình đã cho mà ph−ơng trình bậc
hai này có ∆ < 0 thì kết luận khơng có giá trị nào của tham số để ph−ơng trình cú nghim x₁
cho trc.

ã Đê tìm nghiệm thứ 2 ta có 3 cách làm

+) <i><b>Cách 1</b></i>: Thay giá trị của tham số tìm đợc vào phơng trình rồi giải phơng trình (nh
cách 2 trình bầy ở trên)

+) <i><b>Cách 2</b></i> :Thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tổng 2 nghiệm sẽ tìm ®−ỵc
nghiƯm thø 2

+) <i><b>Cách 3</b></i>: thay giá trị của tham số tìm đ−ợc vào cơng thức tích hai nghiệm ,từ đó tìm
đ−ợc nghiệm thứ 2

<b>Bµi tËp mẫu : </b>

<b>Bài 1</b>: Giải và biện luận phơng trình : x2 – 2(m + 1) +2m+10 = 0

<b>Gi¶i. </b>

Ta cã ∆/ = (m + 1)2 – 2m + 10 = m2 – 9

+ Nếu ∆/ > 0 ⇔ m2_{– 9 > 0}_⇔_{m < - 3 hoặc m > 3 .Ph}₋_{ơng trình đã cho có 2 nghiệm}
phân biệt:

x₁ = m + 1 - 2 ₋9

<i>m</i> x₂ = m + 1 + 2 ₋9

<i>m</i>
+ NÕu ∆/ = 0 m = 3

- Với m =3 thì phơng trình cã nghiƯm lµ x_1.2 = 4
- Víi m = -3 thì phơng trình có nghiệm là x_1.2 = -2
+ NÕu ∆/ < 0 -3 < m < 3 thì phơng trình vô nghiệm

Kết kuận:

ã Với m = 3 thì phơng trình có nghiệm x = 4
ã Với m = - 3 thì phơng trình có nghiệm x = -2

ã Với m < - 3 hoặc m > 3 thì phơng trình có 2 nghiệm phân biÖt
x₁ = m + 1 - 2 ₋9

<i>m</i> x₂ = m + 1 + 2 ₋9

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

ã Với -3< m < 3 thì phơng trình vô nghiệm

<b>Bài 2: </b>Giải và biện luận phơng trình: (m- 3) x2_{2mx + m 6 = 0}

<i><b>H</b><b>−</b><b>íng dÉn </b></i>

• Nếu m – 3 = 0 ⇔ m = 3 thì ph−ơng trình đã cho có dạng

- 6x – 3 = 0 ⇔ x = -
2
1

* Nếu m – 3 ≠0 ⇔ m ≠ 3 .Ph−ơng trình đã cho là ph−ơng trình bậc hai có biệt số ∆/ =
m2 – (m – 3)(m – 6) = 9m – 18

- NÕu ∆/ = 0 ⇔9m – 18 = 0 m = 2 .phơng trình có nghiệm kép
x₁ = x₂ = -

3

2

2

/

−
=

<i>a</i>
<i>b</i>

= - 2

- NÕu ∆/ > 0 m >2 .Phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x_1,2 =

3
2
3

−
−
±

<i>m</i>
<i>m</i>
<i>m</i>

- NÕu ∆/ < 0 ⇔ m < 2 .Phơng trình vô nghiệm

Kết luận:

Với m = 3 phơng trình có nghiệm x = -
2
1
Với m = 2 phơng trình có nghiệm x₁ = x₂ = -2
Víi m > 2 vµ m ≠ 3 phơng trình có nghiệm x_1,2 =

3
2
3

<i>m</i>
<i>m</i>
<i>m</i>

Với m < 2 phơng trình vô nghiệm

<b>Bài 3</b>: Giải các phơng trình sau b»ng c¸ch nhÈm nhanh nhÊt
a) 2x2 + 2007x – 2009 = 0

b) 17x2_{+ 221x + 204 = 0}
c) x2 + ( 3− 5)x - 15 = 0
d) x2 –(3 - 2 7)x - 6 7 = 0

<b>Gi¶i </b>

a) 2x2 + 2007x – 2009 = 0 cã a + b + c = 2 + 2007 +(-2009) = 0
Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x₁ = 1 , x₂ =

2
2009
−
=

<i>a</i>
<i>c</i>

b) 17x2 + 221x + 204 = 0 cã a – b + c = 17 221 + 204 = 0
Vậy phơng trình cã hai nghiƯm ph©n biƯt: x₁ = -1 ,

x₂ = -

17
204
−
=

<i>a</i>
<i>c</i>

= - 12
c) x2 + ( 3− 5)x - 15 = 0 cã: ac = - 15 < 0 .

Do đó ph−ơng trình có hai nghiệm phân biệt x₁ , x₂ .áp dụng hệ thức Viet ta có :
x₁ + x₂ = -( 3− 5) = - 3 + 5

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

VËy ph−¬ng trình có 2 nghiệm là x₁ = - 3 , x₂= 5
(hc x₁ = 5 , x₂ = - 3)
d ) x2_{–(3 - 2} ₇_{)x - 6} ₇_{= 0 cã : ac = - 6} ₇_{< 0}

Do đó ph−ơng trình có hai nghiệm phân biệt x₁ , x₂ .áp dụng hệ thức Viét ,ta có

⎪⎩
⎪
⎨
⎧

=
=

=
+

)
7
3(-2
7
6


x
x

7

2

-3
x
x

2
1

2
1

Vậy phơng trình có 2 nghiệm x₁ = 3 , x₂ = - 2 7

<b>Bµi 4</b> : Giải các phơng trình sau bằng cánh nhẩm nhanh nhất (m lµ tham sè)
a) x2_{+ (3m – 5)x – 3m + 4 = 0}

b) (m – 3)x2_{– (m + 1)x – 2m + 2 = 0}

<i>H−íng dÉn : </i>

a) x2 + (3m – 5)x – 3m + 4 = 0 cã a + b + c = 1 + 3m – 5 – 3m + 4 = 0
Suy ra : x₁ = 2

Hc x₂ =
3

1

+

<i>m</i>

b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + 2 = 0 (*)

* m- 3 = 0 ⇔ m = 3 (*) trë thµnh – 4x – 4 = 0 ⇔ x = - 1
* m – 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 3 (*)

=

=

3
2
2

1

2

1

<i>m</i>
<i>m</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

<b>Bài 5</b>: Gọi x₁ , x₂ là các nghịêm của phơng trình : x2 3x 7 = 0
a) TÝnh:

A = x₁2 + x₂2 B = <i>x</i>1−<i>x</i>2
C=

1
1
1
1

2

1 −

+
− <i>x</i>

<i>x</i> D = (3x1 + x2)(3x2 + x1)

b) lập phơng trình bậc 2 có các nghiệm là
1

1

1

<i>x</i> và 1

1

2

<i>x</i>

<b>Giải ; </b>

Phơng trình b©c hai x2 – 3x – 7 = 0 cã tÝch ac = - 7 < 0 , suy ra phơng trình có hai
nghiệm phân biệt x₁ , x₂ .

Theo hÖ thøc ViÐt ,ta cã : S = x₁ + x₂ = 3 vµ p = x₁x₂ = -7
a)Ta cã

+ A = x₁2 + x₂2 = (x₁ + x₂)2 – 2x₁x₂ = S2 – 2p = 9 – 2(-7) = 23
+ (x₁ – x₂)2 = S2 – 4p => B = <i>x</i>₁ −<i>x</i>₂ = 2 ₋4 ₌ 37

<i>p</i>

<i>S</i>

+ C =

1

1
1
1

2

1 −

+
− <i>x</i>

<i>x</i> = 9

1
1
2
)

1
)(
1
(

2
)
(

2
1

2

1 ₌₋

+
−

−
=
−
−

−
+

<i>S</i>
<i>p</i>

<i>S</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

= 10p + 3(S2 – 2p) = 3S2 + 4p = - 1

b)Ta cã :
S =

9
1
1
1
1
1

2
1

−
=
−
+
− <i>x</i>

<i>x</i> (theo c©u a)

p =

9
1
1
1
)

1
)(
1
(

1

2
1

−
=
+
−
=
−

− <i>x</i> <i>p</i> <i>S</i>

<i>x</i>

VËy
1
1

1 −

<i>x</i> vµ 1

1

2 −

<i>x</i> là nghiệm của hơng trình :

X2 – SX + p = 0 ⇔X2 +
9
1

X -
9
1

= 0 ⇔9X2 + X - 1 = 0

<b>Bài 6</b> : Cho phơng trình :

x2_{– ( k – 1)x - k}2_{+ k – 2 = 0 (1) (k lµ tham sè)}

1. Chứng minh ph−ơng trình (1 ) ln có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k
2. Tìm những giá trị của k để ph−ơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
3. Gọi x₁ , x₂ là nghệm của ph−ơng trình (1) .Tìm k : x₁3 + x₂3 > 0

<b>Giải</b>.
1. Phơng trình (1) là phơng trình bậc hai có:

∆ = (k -1)2 – 4(- k2 + k – 2) = 5k2 – 6k + 9 = 5(k2 -
5
6

k +
5
9

)
= 5(k2 – 2.

5
3

k +
25

9
+

25
36

) = 5(k -
5
3

) +
5
36

> 0 với mọi giá trị của k. Vậy phơng
trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

2. Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu p < 0
⇔- k2 + k – 2 < 0 ⇔ - ( k2 – 2.

2

1

k +
4
1

+
4
7

) < 0
⇔ -(k -

2
1

)2 -
4
7

< 0 ln đúng với mọi k.Vậy ph−ơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái
dấu với mọi k

3. Ta cã x₁3 + x₂3 = (x₁ + x₂)3 – 3x₁x₂(x₁ + x₂)

Vì phơng trình có nghiệm với mọi k .Theo hÖ thøc viÐt ta cã
x₁ + x₂ = k – 1 vµ x₁x₂ = - k2_{+ k – 2}

Ö x₁3 + x₂3 = (k – 1)3 – 3(- k2 + k – 2)( k – 1)
= (k – 1) [(k – 1)2 - 3(- k2 + k – 2)]

= (k – 1) (4k2_{– 5k + 7)}

= (k – 1)[(2k -
4
5

)2₊

16
87

]
Do đó x₁3 + x₂3 > 0 ⇔ (k – 1)[(2k -

4
5

)2 +
16
87

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

⇔ k – 1 > 0 ( v× (2k -
4
5

)2 +
16
87

> 0 víi mäi k)

⇔k > 1

VËy k > 1 là giá trị cần tìm

<b>Bài 7: </b>

Cho phơng tr×nh : x2 – 2( m + 1) x + m – 4 = 0 (1) (m là tham số)
1. Giải phơng trình (1) với m = -5

2. Chứng minh rằng ph−ơng trình (1) ln có hai nghiệm x₁ , x₂ phân biệt với mọi m
3. Tìm m để <i>x</i>₁ −<i>x</i>₂ đạt giá trị nhỏ nhất (x₁ , x₂ là hai nghim ca phng trỡnh (1) núi

trong phần 2.)

<b>Giải </b>

1. Với m = - 5 phơng trình (1) trë thµnh x2 + 8x – 9 = 0 vµ cã 2 nghiƯm lµ x₁ = 1 , x₂
= - 9

2. Cã ∆/ = (m + 1)2_{– (m – 4) = m}2_{+ 2m + 1 – m + 4 = m}2_{+ m + 5}
= m2_{+ 2.m.}

2
1

+
4
1

+

4
19

= (m +
2
1

)2₊

4
19

> 0 víi mäi m
Vậy phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x₁ , x₂

3. Vì phơng trình cã nghiƯm víi mäi m ,theo hƯ thøc ViÐt ta cã:
x₁ + x₂ = 2( m + 1) vµ x₁x₂ = m – 4

Ta cã (x₁ – x₂)2 = (x₁ + x₂)2 – 4x₁x₂ = 4( m + 1)2 – 4 (m – 4)
= 4m2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m +

2
1

)2 +
4
19

]
=> <i>x</i>1−<i>x</i>2 = 2

4
19
)
2
1
( ₊ 2 ₊

<i>m</i>

4
19
2

≥ = 19 khi m +
2
1

= 0 ⇔m = -
2
1
Vậy <i>x</i>1 −<i>x</i>2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 19 khi m = -

2
1

<b>Bµi 8</b> : Cho phơng trình (m + 2) x2 + (1 2m)x + m – 3 = 0 (m là tham số)
1) Giải phơng trình khi m = -

2

9

2) Chứng minh rằng ph−ơng trình đã cho cú nghim vi mi m.

3) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt và
nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia.

<b>Gi¶i: </b>

1) Thay m = -
2
9

vào ph−ơng trình đã cho và thu gọn ta đ−ợc
5x2_{- 20 x + 15 = 0}

phơng trình có hai nghiÖm x₁ = 1 , x₂= 3

2) + Nếu: m + 2 = 0 => m = - 2 khi đó ph−ơng trình đã cho trở thành;
5x – 5 = 0 ⇔ x = 1

+ Nếu : m + 2 ≠ 0 => m ≠ - 2 .Khi đó ph−ơng trình đã cho là ph−ơng trình bậc hai có
biệt số :

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Do đó ph−ơng trình có hai nghiệm phân biệt
x₁ =

)
2
(

2

5
1
2

+
+
−

<i>m</i>
<i>m</i>

= 1

4
2

4

2 ₌

+
+

<i>m</i>
<i>m</i>

x₂ =

2
3
)

2
(
2

)
3
(
2
)
2
(
2

5
1
2

+
−
=
+
−
=
+

−

−

<i>m</i>
<i>m</i>
<i>m</i>

<i>m</i>
<i>m</i>

<i>m</i>

Tóm lại ph−ơng trình đã cho ln có nghiệm với mọi m

3)Theo câu 2 ta có m ≠ - 2 thì ph−ơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm
này gấp 3 lần nghiệm kia ta sét 2 tr−ờng hợp

<i><b>Tr</b><b>−</b><b>êng hỵp 1</b></i> : 3x₁ = x₂ ⇔ 3 =
2
3
+

<i>m</i>
<i>m</i>

giải ra ta đợc m = -
2
9

(ó giải ở câu 1)

<i><b>Tr</b><b>−</b><b>êng hỵp 2</b></i>: x₁ = 3x₂ ⇔ 1= 3.
2
3
+
−

<i>m</i>

<i>m</i> _⇔

m + 2 = 3m 9 m =
2
11

(thoả mÃn điều
kiện m ≠ - 2)

KiĨm tra l¹i: Thay m =
2
11

vào ph−ơng trình đã cho ta đ−ợc ph−ơng trình :
15x2_{– 20x + 5 = 0 ph}₋_{ơng trình này có hai nghiệm}

x₁ = 1 , x₂=
15

5
=

3
1

(tho¶ mÃn đầu bài)

<b>Bài 9:</b> Cho phơng trình : mx2 _{– 2(m-2)x + m – 3 = 0 (1) víi m lµ tham sè .}
1. BiƯn ln theo m sự có nghiệm của phơng trình (1)

2. Tỡm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu.

3. Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm th hai.

<b>Giải </b>

1.+ Nếu m = 0 thay vào (1) ta cã : 4x – 3 = 0 ⇔ x =
4
3
+ NÕu m ≠0 .LËp biÖt sè ∆/= (m – 2)2 – m(m-3)
= m2_{- 4m + 4 – m}2_{+ 3m}
= - m + 4

/

∆ < 0 ⇔ - m + 4 < 0 ⇔ m > 4 : (1) v« nghiƯm
/

∆ = 0 ⇔ - m + 4 = 0 ⇔ m = 4 : (1) cã nghiÖm kÐp
x₁ = x₂ =

-2
1
2

2
4
2

/

=
−
=
−
=

<i>m</i>
<i>m</i>
<i>a</i>
<i>b</i>

/

∆ > 0 ⇔ - m + 4 > 0 ⇔ m < 4: (1) cã 2 nghiƯm ph©n biƯt
x₁ =

<i>m</i>
<i>m</i>

<i>m</i>−2− − +4

; x₂ =

<i>m</i>
<i>m</i>

<i>m</i>−2+ − +4

VËy : m > 4 : ph−¬ng trình (1) vô nghiệm

m = 4 : phơng trình (1) Cã nghiÖm kÐp x =
2
1

0 ≠ m < 4 : phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

x₁ =

<i>m</i>
<i>m</i>

<i>m</i>−2− − +4

; x₂ =

<i>m</i>
<i>m</i>

<i>m</i>−2+ − +4

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

2. (1) cã nghiƯm tr¸i dÊu ⇔

<i>a</i>
<i>c</i>

< 0 ⇔

<i>m</i>

<i>m</i>−3

< 0
⇔
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎩
⎨
⎧
>
<
−
⎩
⎨
⎧

<
>
−
0
0
3
0
0
3
<i>m</i>
<i>m</i>
<i>m</i>
<i>m</i>
⇔
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎩
⎨
⎧
>
<
⎩
⎨
⎧
<

>
0
3
0
3
<i>m</i>
<i>m</i>
<i>m</i>
<i>m</i>

Tr−êng hỵp
⎩
⎨
⎧
<
>
0
3
<i>m</i>
<i>m</i>

không thoả mÃn

Trờng hợp



>
<
0

3
<i>m</i>
<i>m</i>

0 < m < 3

3. *)Cách 1: Lập điều kiện để ph−ơng trình (1) có hai nghiệm
/

∆ ≥ 0 ⇔ 0 ≠m ≤ 4 (*) (ở câu a đã có)
- Thay x = 3 vào ph−ơng trình (1) ta có :

9m – 6(m – 2) + m -3 = 0 ⇔ 4m = -9 m =
-4
9
Đối chiếu với điều kiện (*), giá trị m =

-4
9

thoả mÃn

*) Cỏch 2: Không cần lập điều kiện ∆/ ≥ 0 mà thay x = 3 vào (1) để tìm đ−ợc m =
-4

9

.Sau đó thay m =
-4
9

vµo phơng trình (1) :

-4
9

x2 –
2(-4
9

- 2)x -
4
9

- 3 = 0 ⇔ -9x2 +34x – 21 = 0

cã ∆/ = 289 – 189 = 100 > 0 =>
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
=
9
7
3
2
1

<i>x</i>
<i>x</i>

VËy víi m =
-4
9

thì phơng trình (1) có một nghiệm x= 3
*)Để tìm nghiệm thứ 2 ,ta có 3 cách làm

<i><b>C¸ch 1</b></i>: Thay m = -
4
9

vào ph−ơng trình đã cho rồi giải ph−ơng trình để tìm đ−ợc x₂ =
9
7
(Nh− phần trên đã làm)

<i><b>C¸ch 2</b></i>: Thay m =
-4
9

vào công thức tính tổng 2 nghiệm:

x₁ + x₂ =

9
34
4

9
)
2
4
9
(
2
)
2
(
2
=
−
−
−
=
−
<i>m</i>
<i>m</i>

Ö x₂ =
9
34

- x₁ =
9
34

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<i><b>C¸ch 3</b></i>: Thay m = -
4

9

vào công trức tính tích hai nghiệm

x₁x₂ =

9
21
4

9
3
4
9
3

=
−

−
−
=
−

<i>m</i>
<i>m</i>

=> x₂ =
9
21

: x₁ =
9
21

: 3 =
9
7

<b>Bài 10:</b> Cho ph−ơng trình : x2 + 2kx + 2 – 5k = 0 (1) với k là tham số
1.Tìm k để ph−ơng trình (1) có nghiệm kép

2. Tim k để ph−ơng trình (1) có 2 nghiệm x₁ , x₂ thoả mãn điều kiện :
x₁2 + x₂2 = 10

<b>Giải. </b>

1.Phơng tr×nh (1) cã nghiƯm kÐp ⇔ ∆/ = 0 ⇔ k2 – (2 – 5k) = 0
⇔ k2 + 5k – 2 = 0 ( cã ∆ = 25 + 8 = 33 > 0 )

Ö k₁ =
2

33
5−
−

; k₂ =
2

33
5+
−
VËy cã 2 gi¸ trị k₁ =

2
33
5

hoặc k₂ =
2

33
5+

thì phơng trình (1) Có nghiệm kép.
2.Có 2 cách giải.

<i><b>Cỏch 1</b></i>: Lp iu kin phng trỡnh (1) có nghiệm:
/

∆ ≥ 0 ⇔ k2_{+ 5k – 2}_≥_{0 (*)}
Ta cã x₁2 + x₂2 = (x₁ + x₂)2 – 2x₁x₂
Theo bµi ra ta cã (x₁ + x₂)2 – 2x₁x₂ = 10

Với điều kiện(*) , áp dụng hệ trức vi Ðt: x₁ + x₂ = - =

<i>a</i>

<i>b</i>

- 2k vµ x₁x₂ = 2 – 5k
VËy (-2k)2 – 2(2 – 5k) = 10 ⇔ 2k2 + 5k – 7 = 0

(Cã a + b + c = 2+ 5 – 7 = 0 ) => k₁ = 1 , k₂ = -
2
7

Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần l−ợt k₁ , k₂ vào ∆/ = k2 + 5k – 2
+ k₁ = 1 => ∆/ = 1 + 5 – 2 = 4 > 0 ; thoả mãn

+ k₂ = -
2
7

=> ∆/=

8
29
4

8
70
49
2
2
35
4

49₋ ₋ ₌ ₌

không thoả mÃn
Vậy k = 1 là giá trị cần tìm

<i><b>Cách 2</b></i> : Không cần lập điều kiện / 0 . Cách giải là:
Từ điều kiện x₁2_{+ x}

22 = 10 ta tìm đợc k1 = 1 ; k2 = -

2
7

(cách tìm nh trên)
Thay lần lợt k₁ , k₂ vào phơng trình (1)

+ Với k₁ = 1 : (1) => x2 + 2x – 3 = 0 cã x₁ = 1 , x₂ = 3
+ Víi k₂ = -

2
7

(1) => x2_{- 7x +}

2
39

</div>

<!--links-->