SKKN Phuong trinh vo ti

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (170.24 KB, 14 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Phần I: Lý do nghiên cứu
1-C s lý luận:

Trong quỏ trỡnh phỏt triển ,xã hội luôn đề ra những yêu cầu mới cho sự nghiệp
đào tạo con ngời .Chính vì vậy mà dạy tốn khơng ngừng đợc bổ xung và đổi mới để
đáp ứng với sự ra đời của nó và sự địi hỏi của xã hội .Vì vậy mỗi ngời giáo viên nói
chung phải ln ln tìm tịi ,sáng tạo ,đổi mới phơng pháp dạy học để đáp ứng với
chủ trơng đổi mới của Đảng và Nhà nớc đặt ra.

Trong chơng trình mơn tốn ở các lớp THCS kiến thức về phơng trình vơ tỉ
khơng nhiều song lại rất quan trọng .đó là những tiền đề cơ bản để học sinh tiếp tục
học lên ở THPT.

Khi giải toán về phơng trình vơ tỉ địi hỏi học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về
căn thức, phơng trình, hệ phơng trình, các phộp biến đổi đại số ... Học sinh biết vận
dụng linh hoạt , sáng tạo các kiến thức , kỹ năng từ đơn giản đến phức tạp.

“Một số phơng pháp giải phơng trình vơ tỷ ”giúp học sinh phát triển t duy, phát huy
tính tích cực chủ động, sáng tạo trong giải toán.Đồng thời giáo dục t tởng, ý thức,thái
độ, lịng say mê học tốn cho học sinh.

2.C¬ së thùc tiƠn:

Ph¬ng trình vô tỉ là loại toán mà học sinh THCS coi là loại toán khó, nhiều học
sinh không biết giải phơng trình vô tỉ nh thế nào?có những phơng pháp nào?

Cỏc bi toỏn v phng trỡnh vụ t là một dạng tốn hay và khó, có nhiều trong các đề
thi học sinh giỏi các cấp, thi vào lớp 10 THPT. Tuy nhiên, các tài liệu viết về vấn đề
này rất hạn chế hoặc cha hệ thống thành các phơng pháp nhất định gây nhiều khó
khăn trong việc học tập của học sinh, cũng nh trong công tác t bi dng ca giỏo
viờn.

Mặt khác, việc tìm hiểu các phơng pháp giải phơng trình vô tỉ hiện nay còn ít
giáo viên nghiên cứu.

Vỡ vy vic nghiờn cu cỏc phng pháp giải phơng trình vơ tỉ là rất thiết thực,
giúp giáo viên nắm vững nội dung và xác định đợc phơng pháp giảng dạy phần này
đạt hiệu quả, góp phần nâng cao chất lợng dạy và học, dặc biệt là chất lợng học sinh
giỏi và giáo viên giỏi ở các trờng THCS.

II-Mục đích nghiên cứu:

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

+ Nghiên cứu vấn đề này để nắm đợc những thuận lợi, khó khăn khi dạy học phần
ph-ơng trình vơ tỉ trong bồi dỡng học sinh khá giỏi, từ đó định hớng nâng cao chất
l-ợngdạy và học mơn tốn.

+ Nghiên cứu vấn đề này cịn giúp giáo viên có t liệu tham khảo và dạy thành cơng
về phơng trình vơ tỉ.

III- NhiƯm vơ nghiªn cøu:

1. Nghiên cứu về tình hình dạy học và học vấn đề này ở nhà trờng.
2. Hệ thơng hố một số phơng pháp giải phơng trình vơ tỉ.

3. Tìm hiểu mức độ và kết quả đật đợc khi triển khai đề tài.
4. Phân tích rut ra bài học kinh nghiệm.

IV- Phạm vi và đối tợng nghiờn cu:
1. i tng nghiờn cu:

a. Các tài liệu

b. Giáo viên, học sinh khá giỏi ở trờng THCS Gia Sơn

2. Phạm vi nghiên cứu:

Cỏc phng phỏp gii phng trỡnh vụ t thng gp THCS.

V- Phơng pháp nghiên cứu:

1. Phơng pháp nghiên cứu tài liệu.
2. Phơng pháp điều tra, khảo sát.
3. Phơng pháp thử nghiệm

4. Phơng pháp ttổng kết kinh nghiệm

VI- Giả thuyết khoa học:

Nâng cao chất lợng dạy và học trong và sau khi nghiên cứu áp dụng sáng kiến
kinh nghiệm, giúp cho giáo viên dạy có hiệu quả cao hơn, học sinh ham thích học
dạng toán này hơn

PHầN II: Nội dung

A- Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ:

* Khỏi nim: Phng trình vơ tỉ là phơng trình đại số chứa ẩn trong dấu căn thức (ở đây
tôi chỉ đề cập đến những phơng trình mà ẩn nằm dới dấu căn bậc hai và căn bậc ba)
* Phơng trình vơ tỉ rất phong phú và đa dạng, hớng chung để giải quyết phơng trình
vơ tỉ là làm cho phng trỡnh c chuyn v dng hu t.

I-Phơng pháp nâng lªn l thõa: 
1. KiÕn thøc vËn dơng:

+ (AB)2 = A2  2AB + B2

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

 



















)(

0 )(

xg

xf

xg

xf

xg

xf

+ 3 A m A m3

2. Ví dụ:

Ví dụ 1: Giải phơng tr×nh sau: 2 2x1x (1)

Giải

Điều kiện căn có nghĩa: 2x 10 (2)

2
1

 x

(1) 2x1x 2 (3)

Víi ®iỊu kiƯn x 2 0 (4)

(3) 2x - 1 = (x-2)2 (5)

0
5
6
4
4
1
2
2
2









x
x
x
x
x

Giải ra ta đợc x1=1 không thoả mãn (4)

x2 = 5 thoả mÃn (2) và (4) nghiệm duy nhất của phơng trình: x = 5
Ví dụ 2: Giải phơng trình: x1 5x1 3x 2 (1)

Phơng trình (1) có nghÜa:

0

2

3

0

1

5

0

1 



























x

(2)

(1) x1 3x 2 5x1

Hai vế đều dơng, bình phơng hai vế ta đợc

)
3
(
)

7
2
(
)
2
13
15
(
4
0
7
2
2
13
15
2
7
2
)
1
5
)(
2
3
(
2
1
5
2
3

1
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

Gii (3) ta c:

7
2

x không thoả mÃn (1).

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Ví dụ 3:Giải phơng trình x1 x 21 (1)

Giải

Điều kiện: x 2 (2)

Viết PT (1) díi d¹ng

x1 x 21 (3)

Hai vế của (3) không âm, bình phơng hai vế ta đợc
x1x 212 x 2

 22 x 2 x 21 x 21 x3 thoả mÃn điều kiện (2)

Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x= 3
Lu ý:

+ Nếu để (1) bình phơng ta phải đặt ĐK
x+1x 2 (Đk này luôn đúng)

+ Nếu biến đổi (1) thành x 2 x11 rồi bình phơng hai vế ta phải đặt K
0

x

Ví dụ 4: Giải phơng trình: 3 x12 3 7 x (1)

Gi¶i:

3 3 3 3

3
3

2
)
7
1
(

2
2
7
1
)

1
(

x
x

Giải (1)

7
;
1

0
)
7
)(
1
(

x
x

Là nghiệm của phơng trình

Chú ý:

- Khi bỡnh phng hai v của phơng trình cần chú ý điều kiện hai vế cùng
dơng.-Trớc khi lên luỹ thừa cần biến đổi phơng trình về dạng thuận lợi nhất để hạn chế các
trờng hợp hoặc có lời giải ngắn gọn.

VÝ dơ5: Gi¶i pt: 2 4 4 8





 x x

x (1)

Gi¶i: (x 2)2 x8

2


 x +x 8

NÕu x2 th× x 2x8 x5

Nếu x <2 thì 2 xx8 vô nghiệm

Kết luận : x=5 lµ nghiƯm cđa pt
4- Bài tập tơng tự:

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

1/ x2-4x =8 1



x (x=4+2 2)

2/ 2 2 8 6



 x

x + 2 1



x =2x+2

3/ 2 72
x

x  + 72

x

x  =x (x=2)

4/ x1- x2= x5- x10 (x=-1)

Sö dơng phÐp lËp ph¬ng:

1/3 x 1+3 x 2=3 2 x 3 (x=4; 2)

2/3 x1+3 x 1=3 5x (x=0; 

5 )

3/3 1



x +3 3 x 1=3 1



x (x=- 1)

4/31 x

 +3 1 x =1 (x=

27
28

)

II -Phơng trình đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
1/kiến thức vận dụng :

+) f(x)2  f(x)  f(x) nếu f(x)0

 f(x) nếu f(x)0

+)phơng pháp giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối (tự tìm hiểu )
2-Ví d:

Ví dụ6 :Giải phơng trình : x2 4x x 2 + x7 6 x 2 1 (1)
Giải:

Điều kiện : x-20hay x2 (2)

1
3
2
2

1
)
3
2
(
)
2
2

( 2 2









x
x

Cách 1: Chia các trờng hợp để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

Cấch 2: Sử dụng bất đẳng thức a b ab , dấu “=” xảy ra khi a,b > 0.

Khi đó x 2 23 x 2  x 2 23 x 2 1 (3)

Dấu “=”xảy ra khi:



x 2 2



3 x 2



0 (4)

Giải (4) ta đợc: 6x11Thoả mãn (2)

Vậy nghiệm của phơng trình (1)là : 6x11

3/ Chó ý :

+ Phơng pháp này thờng đợc áp dụng khi các biểu thức trong dấu căn bậc hai viết đợc
thành bình phơng của một biểu thức.

+ Có những phơng trình cần phải biến đổi mới có dạng trên.
4/ Bài tập áp dụng: Giải các phơng trình sau:

1) 2 2 1 2 2 1 2






 x x x

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

2) 2 1 2 1 2






 x x x

x x2

3) x23 2x 5  x 2 2x 5 2 2

3
2
5
x

III- Phng phỏp t n ph:

1. Đặt ẩn phụ đa về phơng trình ẩn mới:

Ví dụ 7: Giải phơng trình 2 5 13 4 2 5 9






 x x x

x (1)

Gi¶i :
Ta cã :

4
11
2
5
9
5
2 










 x x

x > 0

Đặt: x2 5x9y0 x2  5x9y2

Khi đó (1)  y2 + 4 = 4y

0
5
5
4
5
5
2
2
2










x
x
x
x
y
  











2
5
5
2
5
5
x
x

VÝ dơ 8: Gi¶i phơng trình: 2

4
1
2
1

x x

x (1)

Giải:
Điều kiện: x4 (2)

Đặt: 0

4
1


 y
x

4
1
2

 x y

Khi đó (1) trở thành ) 2

2
1
(
4
1 2
2




 y
y
0
7
4
4 2




 y y

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Trêng hỵp

2
1
2

2 




y < 0 lo¹i

 x2 2 , thoả mÃn điều kiện (2)

Vậy nghiệm của phơng trình là : x2 2

Ví dụ 9: Giải phơng trình: 3 x13 x33 x30 (1)

Giải:
Đặt: x2 y

(1)  3 y313 y31 y

LËp ph¬ng hai vÕ ta cã : 3 3 6 1



y y

y











3 6

2 1

y
y

y

(+) NÕu: y0 3 x2 0 x2

(+) NÕu 2 3 6 1 6 6 1






 y y y

y , vô nghiệm

Vậy nghiệm của phơng trình là : x = -2
2. Đặt ẩn phụ đa về hệ phơng trình:

a. Dạng: axb r(uxv)dxe (1)

Với a,u,r 0

Đặt u.yv axb

Khi đó phơng trình (1) đa đợc về dạng :

0
)
1
2
)(

(x y ruyrux ur

u

Ví dụ 10: Giải phơng trình: 2 15 32 2 32 20

x x

x (1)

Giải:
Điều kiƯn:

2
15
0

2x   x

Khi đó: (1) 2 15 2(4 2)2 28

x x (2)

Đặt: 4y2 2x15 (3)

§iỊu kiƯn:

2
1
0

4y   y

Khi đó (2) trở thành (4x + 2)2 = 2y + 15 (4)
Từ (3) ta có : (4y + 2)2 = 2x + 15 (5)

Tõ (4) vµ (5) cã hƯ:



















)5

(

15

2 )2

4(

)4

(

15

2 )2

4(

2
2

x

y

x

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

+) Nếu: x-y = 0 x y thay vào (5) ta đợc : 16x2 + 14x-11 =0













8
11
2
1

x
x

víi

8
11



x , lo¹i

+) nÕu 8x + 8y + 9 = 0

9
8

8  

 y x , Thay vào 9 (4) ta c:

64x2 + 72x-35 =0

, loại

Vậy nghiệm của phơng trình lµ :

2
1

1 
x

16
221
9





x

b) D¹ng:

e
dx
v
ux
r
b

ax   3 

3 ( ) (1)

Đặt uyv3 axb

(1) a c v dng: ( )( 2 2 1) 0






 v rP rPQ rQ

y

u

Trong đó: Puyv Quxv

VÝ dơ 11: Giải phơng trình: 3 3x 58x3 36x2 53x 25 (1)

Gi¶i

(1) 3 3  5

 x =(2x-3)3-x+2 (2)

Đặt :2y-3=3 3 x 5
3

)
3
2
(
5

x y (3)

khi đó (2) 3

)
3
2
(
5

2    

 y x x (4)

Tõ (3),(4) cã hÖ :























3
3

)3

2(

5

2 )3

2(

5

3 x

y

x

Trừ vế với vế ta đợc :



















16
221
9

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

0
)
1
)(

( 2 2






 y P Q PQ

x (5)

Trong đó :P2 y 3

Q2 x 3

V×: 2 2 . 1 0




Q PQ

P x,y

Do đó :(5)  x y Thay vào (3) ta đợc:

(x-2)(8x2 -20+11)=0
 x1=2 ; x2 =

2
3

5  ; x

3 =

2
3
5

c. Một số dạng khác:

Ví dụ 12: Giải phơng trình: 3 x 2 x13 (1)

Giải
Điều kiÖn: x1 (2)

Đặt:

3
3 x 2y x 2y

1
0

2
2












y
z

z
x
z

x

Víi ®iỊu kiƯn (2) thì (1) đa về hệ:





















0

3

2
2

z

y

z

y

Giải hệ này ta đợc:









2

1 z

y

Từ đó suy ra: x = 3 là nghiệm của phơng trỡnh (1)

Ví dụ 13: Giải phơng trình: 2

2
1
1

x

x (1)

Giải:

Điều kiện:

2

0 x

Đặt: 2 2 0 2 2 2







</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Ta cã hÖ: (1)

2

1

2

2
2

y

x

y

x

Đặt: x +y = S ; xy = P

(1)

























1 ,

2

1

2 ,1

2 S

P

S

P

S

P

S

+Trờng hợp 1: Ta đợc x=y=1; Trờng hợp 2:





















2

3

1

2

3

1 y

x





















2

3

1

2

3

1 y

x

Từ đó ta đợc x = 1; x =

2
3
1 

 lµ nghiƯm

3. Chó ý:

* Giải phơng trình vơ tỉ bằng phơng pháp đặt ẩn phụ giúp ta giải đợc nhiều bài toán
khó, tuy nhiên để đặt cái gì làm ẩn phụ và có mấy ẩn phụ thì phải biết nhận xét và tìm
mối liên quan giữa các biểu thức trong phơng trỡnh, liờn quan gia cỏc n

* Cần phải có kỹ năng giải phơng trình và hệ phơng trình.
4. Bài tập ¸p dông:

1) x2 2x 9 6 4x 2x2







2) x2 x1 x 2 x1 4
(đặt x 1y0;x5)

3) x1 2 x  x4 4 x 1
(đặt x y;1x4)

Đặt hệ phơng trình:

1- 3 3 8 2 2 6 4





 x x

x

Đặt: x2a, x2 2x4 b

2- 5 3 1 2( 2 2)



 x

x

Đặt: )

2
37
5
(
1
;

1 2

a x x b x

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

x3 13;x3 13

3- x

x
x

x1 1 1

Đặt:

5
1
;
1
1
;

b x

x
a

x
x

4 - 3 2 x x11

Đặt 3 2 x a; x 1;2;10

5 - 3 1 4 2 13 5







 x x

x

(Đặt )

8
37
11
;
4
11
;
1
,
1
3
3

2y x x 

6 - 2 4 3 5





 x x

x

(Đặt )

2
29
5
;
1
,
2

y x

x

7 - 3 3

2
3
3

x

(Đặt 3x 2 y,x1;2)

IV- Phơng pháp bất đẳng thức:

Chứng tỏ tập giá trị ở hai vế rời nhau khi đó phơng trình vơ nghiệm:
* Phơng trình: f(x) = g(x)

NÕu tập giá trị của f(x), g(x) lần lợt là: S1, S2 mà S1 giao với S2 bằng rỗng thì phơng
trình vô nghiệm.

* Ví dụ 14: Giải phơng trình: x 3 7x 3 5x 2 (1)

Giải

Điều kiện: x3

Với điều kiện này thì: x 3 7x 3

Khi đó vế trái của (1) âm, cịn vế phải dơng do đó phơng trình (1) vơ nghiệm
2- S dng tớnh i nghch hai v:

* Phơng trình F(x) = G(x) (1)

Nếu: F(x)K, dấu đẳng thức sảy ra khi x = a

G(x)K, dấu đẳng thức sảy ra khi x=b
(k,a,b là các hằng số)

.) a = b  (1) cã nghiƯm lµ: x = a
.) a b  (1) v« nghiƯm

* Ví dụ 15: Giải phơng trình: 3x2 6x 7 5x2 10x 14 4 2x x2










 (1)

Gi¶i

VÕ tr¸i: 3( 1)2 4 5( 1)2 9 4 9 5









 x

x

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Do đó cả hai vế đều bằng 5 khi x =-1, với giá trị này cả hai bất đẳng thức trên đều là
đẳng thức.

VËy x = -1 là nghiệm của phơng trình.

* Ví dụ 16: Giải phơng trình: 6 2 2 6 13

x x x x (1)

Gi¶i

Sử dụng bất đẳng thức: 2

2
2
1
2
2
2
1
2
2

1b a b a a . b b

a    

(Với dấu = xảy ra khi )

2
2
1
1

b
a
b
a

Vế trái: 6 2 12 12. 6 2 4










 x x x x

DÊu “=” x¶y ra khi x=3

VËy phơng trình vô nghiệm.

c. S dng tớnh n iu của hàm số:

* Ta chỉ ra nghiệm cụ thể và chứng minh đợc các trờng hợp khác của ẩn không là
nghiệm của phơng trình .

* VÝ dơ 17: Gi¶i phơng trình:3 2 1 3

x

x (1)

Gi¶i

Ta thấy x = 3 nghiệm đúng phơng trình.

+ Víi x > 3 th× 3 x 2 1, x12 vế trái của (1) lớn hơn 3

+ Với -1x3 thì 3 x 2 1, x12 vÕ tr¸i cđa (1) nhá h¬n 3

VËy x = 3 là nghiệm duy nhất của phơng trình.

d. S dụng điều kiện xảy ra dấu “=” ở bất đẳng thc khụng cht.

* Ví dụ 18: Giải phơng trình: 4 1 2

4 




 x

x
x

x (1)

Giải
Điều kiện: x >

4
1

(2)

S dng bất đẳng thức:  2

a
b
b
a

Víi a,b > 0 th× dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b

Do đó: 4 1 2

4 




 x

x
x

x

DÊu “=” x¶y ra  x 4 x 1

3
2

0
1










x
x
x

Thoả mÃn (2)

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

e. Bài tËp ¸p dơng:

1) 4 6 2 10 27







 x x x

x (x = 5)

2) 3 2 12 6 2 4 13 5








 y y

x x (x = y = 2)

3) 2 6 2 2 1






 x x

x (V« nghiƯm)

4) x 1 x 3 2. (x 1)(x2 3x 5) 4 2x













5) 16 3 4 1 1225665






 y z

x

= 82 - x 3 y1 z 665 (x = 19; y = 5; z = 1890)

V- Nh÷ng chó ý:

* Khi giải phơng trình vơ tỉ cần tránh những sai lầm sau:
+ Khơng chú ý đến điều kiện có nghĩa của căn thức.
+ Khơng đặt điều kiện có nghĩa của căn thức.

* Để giải phơng trình vơ tỉ thành thạo thì các kiến thức sau cần nắm vững.

+ Các phép biến đổi căn thức.

+ Các phép biến đổi biêủ thức đại số.

+ Các kiến thức và phơng pháp giải các phơng trình và hệ phơng trình.
+ Các kiến thức về bất đẳng thức...

PHÇN III :

KÕt ln

I-Bµi häc kinh nghiƯm:

Phơng trình vơ tỷ là một dạng tốn khơng thể thiếu đợc trong chơng trình bồi dỡng
học sinh giỏi THCS. Nếu chỉ dừng lại yêu cầu trong sách giáo khoa thì cha đủ, vì vậy
địi hỏi giáo viên phải tích cực tự học, tự nghiên cứu, tìm tịi sáng tạo thờng xun bổ
xung kiến thức và tích luỹ kinh nghiệm về vấn đề này.

*Để dạy học cho học sinh hiểu và vận dụng tốt phơng pháp giải phơng trình vơ tỷ thì
bản thân mỗi giáo viên phải hiểu và nắm vững về phơng trình vvơ tỷ: các dạng phơng
trình vơ tỷ, phân biệt sự khác nhau giữa phơng trình vơ tỷ với các dạng phơng trình
khác, đồng thời phải nắm vững các phơng pháp giải phơng trình vô tỷ.

*Qua việc nghiên cứu bên cạnh việc giúp cho bản thân nâng caokiến thức nâng cao
nghiệp vụ, bồi dỡng học sinh giỏi có hiệu quả,ngồi ra cịn giúp bản thân nâng cao
phơng pháp tự học, tự nghiên cứu để có thể tiếp tục nghiên cứu các vấn đề khác tốt
hơn trong suốt quá trình dạy học của mình.

II-KÕt ln chung:

Để thực hiện tốt cơng việc giảng dạy, đặc biệt là công tác bồi dỡng học sinh
giỏi ngời thày phải thờng xuyên học, học tập, nghiên cứu.

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

thu vấn đề này, phần nào nâng cao năng lực t duy, sự sáng tạo và rèn kỹ năng giải các
phơng trình vơ tỷ cho học sinh.

</div>

SKKN Phuong trinh vo ti

PHầN II: Nội dung

 





















)(

)(

0

)(

0

)(

)(

)(

<i>xg</i>

<i>xf</i>

<i>xg</i>

<i>xf</i>

<i>xg</i>

<i>xf</i>

0

0

2

3

0

1

5

0

1





























<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>



























)5

(

15

2

)2

4(

)4

(

15

2

)2

4(

<i>x</i>