SANG KIEN KINH NGHIEM DH TOAN

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (160.94 KB, 18 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Môc lôc

Néi dung Trang

A. Đặt vấn đề 2

I. Lý do chọn đề tài 2

1. C¬ së lý luËn 2

2. C¬ së thùc tiƠn 2

II. Mục đích nghiên cứu 3

III. Nhiệm vụ đề tài 3

IV. Giới hạn đề tài 3

B. Gii quyt vn 4

I. Phơng pháp nghiên cứu 4

II. Néi dung cơ thĨ 5

1. KiÕn thøc cơ bản 5

2. Bài tập minh hoạ 6

2.1 Bi tp chng minh t giỏc ni tip ng trũn 6

Phơng pháp 1 6

Phơng pháp 2 7

Phơng pháp 3 7

Phơng pháp 4 8

2.2 Bài tốn hay và khó vận dụng phơng pháp tứ giác nội tiếp 10
Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đờng tròn. 10
Chứng minh đờng tròn đi qua một điểm cố định. 11

Chứng minh quan hệ giữa các đại lợng. 13

Chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn để tìm quỹ tích một điểm. 15
Chứng minh tứ giác nội tiếp đờng trịn để dựng hình. 16

III. Kết quả thu đợc 18

IV. Bµi häc kinh nghiƯm 18

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

A - Đặt vấn đề

I. Lý do chọn đề tài

1. C¬ së lý luËn

Trong hoạt động giáo dục hiện nay, đòi hỏi học sinh cần phải tự học

tự nghiên cứu rất cao. Tức là cái đích cần phải biến q trình giáo dục thành
quá trình tự giáo dục. Nh vậy, học sinh có thể phát huy đợc năng lực sáng
tạo, t duy khoa học, từ đó xử lý linh hoạt đợc các vấn đề của đời sống xã hội.
Một trong những phơng pháp để giúp học sinh đạt đợc điều đó đối với
mơn Tốn (cụ thể mơn Hình Học 9) đó là khích lệ các em sau mỗi đơn vị
kiến thức cần khắc sâu, tìm tịi những bài tốn liên quan. Làm đợc nh vậy có
nghĩa là các em rất cần sự say mê học tập, tự nghiên cứu đào sâu kiến thức.

2. C¬ së thùc tiƠn

Đối với học sinh lớp 9 khi học các bài toán về đờng trịn thì chun
đề tứ giác nội tiếp và những bài tốn liên quan là rất quan trọng. Đóng vai trị
là đơn vị kiến thức trọng tâm của nội dung Hình Học lớp 9. Mà đa số các em
mới chỉ biết đến chứng minh một tứ giác nội tiếp đờng tròn là nh thế nào, cịn
ít biết vận dụng phơng pháp tứ giác nội tiếp để làm gì ?

Ta biết rằng có nhiều phơng pháp để chứng minh một tứ giác là nội
tiếp đờng tròn. Khi biết một tứ giác nội tiếp đờng trịn thì suy ra đợc góc
trong ở một đỉnh bằng góc ngồi ở đỉnh đối diện với nó hay vận dụng các
Định lý về mối liên hệ giữ các loại góc của đờng trịn để tìm ra những cặp
góc bằng nhau. Với phơng pháp tứ giác nội tiếp ta có thể vận dụng để giải
một số bài tốn hay và khó .

Với lý do đó, tơi đã chọn đề tài nghiên cứu cho mình là: “Phơng
pháp tứ giác nội tiếp”

II.Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu đề tài nhằm mục đích giúp giáo viên nắm rõ các
ph-ơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đồng thời vận dụng phph-ơng pháp

tứ giác nội tiếp để giải một số bài tốn hay và khó nh sau:

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Chứng minh tứ giác nội tiếp đờng trịn để tìm quỹ tích một điểm.
Chứng minh tứ giác nội tiếp đờng trịn để dựng hình.

Nh vậy, giáo viên có thể giúp học sinh nắm vững, khai thác
sâu, đầy đủ một cách có hệ thống đơn vị kiến thức “Tứ giác nội tiếp
trong một đờng trịn”.

III. Nhiệm vụ của đề tài

+ §a ra các phơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp có minh
họa.

+ Đa ra các loại bài tập vận dụng phơng pháp tứ giác nội tiếp hay
và khó có bài tËp minh häa.

IV. Giới hạn đề tài

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

B – Giải quyết vấn đề

I – Ph ơng pháp nghiên cứu

Để nghiên cứu đề tài này, tôi đã sử dụng các phơng pháp cơ bản sau:
1. Phơng pháp nghiên cứu lý thuyết

Kết hợp kinh nghiệm giảng dạy có đợc với sự nghiên cứu tài liệu, tôi đã sử

dụng các tài liệu nh:

- S¸ch gi¸o khoa Tãan 9 (tập II)
- Sách bài tập Toán 9 (tập II)

- Túan nâng cao Hình học 9 – NXB Thành phố Hồ Chí Minh
- Tóan nâng cao và các chun đề 9 – NXB Giáo dục.

- Các bài tóan hay và khó về đờng tròn – NXB Đà Nẵng.
2. Phơng pháp nghiên cứu thực tiễn.

Tôi tiến hành dạy thử nghiệm đối với học sinh lớp 9A – Trờng THCS Đại
Đồng và bồi dỡng đội tuyển học sinh Giỏi của trờng.

3. Phơng pháp đánh giá.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

II – Néi dung cơ thĨ

1 – KiÕn thức cơ bản

1.1 Khái niệm tứ giác nội tiếp

* Tứ giác nội tiếp đờng tròn là tứ giác có bốn 
đỉnh nằm trên đờng trịn đó.

* Trong h×nh 1, tứ giác ABCD nội tiếp (O) và
(O) ngoại tiếp tứ giác ABCD.

O

C
B

D
A

Hình 1
1.2.Định lý.

* Trong mt t giỏc nội tiếp tổng số đo hai góc đối diện bằng180o.

* Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng180o thì tứ giác đó

nội tiếp đợc một đờng tròn.

1.3. Một số phơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp 
- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800.

- Tứ giác có góc ngồi tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.

- Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định đợc). Điểm đó
là tâm của đờng trịn ngoại tiếp tứ giác.

- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại dới một
góc a .

1.4. Một số bài toán hay và khó vận dụng phơng pháp tứ giác nội tiếp.

Chng minh nhiu im cùng nằm trên một đờng tròn.

Chứng minh đờng tròn đi qua một điểm cố định.

Chứng minh quan hệ giữa các đại lợng.

Chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn để tìm quỹ tích một điểm.
Chứng minh tứ giác nội tiếp ng trũn dng hỡnh.

2 - Bài tập minh hoạ

2.1. Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn.

Ph

ơng pháp 1

:

Dựa vào định nghĩa.

Bµi to¸n 1:

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Cho tam giác ABC, 2 đờng cao BB’,
CC’. Chứng minh tứ giác BCB’C’ nội
tiếp.

O
C' B'

B C

A

Chøng minh:

C¸ch 1: LÊy O là trung điểm của cạnh BC.
Xét BBC có :  BB’C = 900 (GT)

OB’ là đờng trung tuyến ứng với cạnh huyền
 OB’ = OB = OC = r (1)

XÐt BC’C cã :  BC’C = 900 (GT)

Tơng tự trên OC = OB = OC = r (2)

Từ (1) và (2)  B, C’, B’, C  (O; r)
 BC’B’C nội tiếp đờng trịn.

C¸ch 2: Ta cã: BB’  AC (GT)  BB’C = 900.

CC’  AB (GT)   BC’C = 900.

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Ph

ơng pháp 2

Dựa vào định lý

Bµi to¸n 2:

Cho tam giác ABC nhọn và nội
tiếp (O), 2 đờng cao BB’, CC’.
a/ Chứng minh tứ giác BCB’C’ ni

tip.

b/ Tia AO cắt (O) ở D và cắt B’C’ ë I.
Chøng minh tø gi¸c BDIC’ néi tiÕp.

I

O
C' B'

B

A

C

D

Chứng minh:
a/ (Bài toán 1)

b/ Từ câu a  C +  BC’B’ = 1800

(Tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp)

Mµ :  C =  D (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung AB)
 D +  BC’I = 1800

 BDIC’ nội tiếp đờng trũn.

Ph

ơng pháp 3:

Dựa vào quỹ tích cung chứa

góc

Bài toán 3:

Cho  ABC cân ở A nội tiếp (O). Trên
tia đối của tia AB lấy điểm M, trên tia
đối của tia CA lấy điểm N sao cho
AM=CN.

Chøng minh  AMNO néi tiÕp.

B

O

C
M

N

A

Chøng minh:

Ta có:  ABC cân ở A và O là tâm đờng tròn ngoại tiếp  ABC
 A1 =  A2

Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn  A + C = 1800

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

AOC cân tại O (vì OA = OC)

A2 = C1 nên A1 = A2 = C1

Mà A1 + OAM = 1800 vµ C1+ OCN= 1800.
AOM = OCN

XÐt OAM vµ OCN cã : OA = OC; AOM = OCN; AM = CN
 OAM = OCN (c.g.c)

 AMO = CNO hay AMO = ANO

  AMNO nội tiếp đờng tròn (hai đỉnh kề nhau M và N cùng nhìn cạnh OA
dới cựng mt gúc).

Ph

ơng pháp 4

Dựa vào: tứ giác có góc ngoài

ti mt nh bng gúc trong ca nh i

din.

Bài toán 4:

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O),
M là điểm chính giữa của cung AB.
Nèi M víi D, M víi C c¾t AB lần lợt ở
E và P.

Chng minh tứ giác PEDC nội
tiếp đợc đờng tròn.

A E P

C
O

B

D

M

Chøng minh:

Ta có :  MEP là góc có đỉnh nằm bên trong (O)

 ®(AD  )
MEP

s MB

 

Mà   ®DM
2

s

DCP (gãc néi tiÕp)

Hay   đ(AD )
2

s MA

DCP

Lại có : AMMB

Nên : MEP = DCP

Nghĩa là:  PEDC có góc ngồi tại đỉnh E bằng góc trong tại đỉnh C
Vậy  PEDC nội tiếp đợc đờng tròn.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Cho h×nh vÏ:

BiÕt AC  BD t¹i O, OE AB
t¹i E; OF  BC t¹i F; OG  DC t¹i
G; OH AD t¹i H.

HÃy tìm các tứ giác nội tiếp
trong hình vẽ bên.

F

H
E

G
O

A C

B

D

Chứng minh:

* Các tứ giác nội tiếp vì có hai góc đối là góc vng là:

AEOH; BFOE; CGOF; DHOG

* Các tứ giác nội tiếp vì có góc ngồi tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh
đối diện

AEFC; AHGC; BEHD; BFGD
ThËt vËy: XÐt tø gi¸c AEFC

Ta cã: EAC =  EOB (cïng phơ víi  ABO)

 BFE = EOB (Hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung EB)
EAC = BFE.

Các tứ giác AHGC; BEHD; BFGD chứng minh tơng tù.

* Tứ giác EFGH nội tiếp vì có tổng hai góc đối bằng 1800
Thật vậy: Ta có :  OEH = OAH ( vì cùng chắn cung OH)

OAH = HOD (v× cïng phơ víi AOH)
HOD = HGD ( v× cïng ch¾n cung HD)
 OEH =HGD

Chứng minh tơng tự ta đợc : OEF = FGC

Từ đó :  OEH + OEF =HGD + FGC
 FEH =HGD + FGC

Mặt khác: HGD + FGC+ HGF = 1800

FEH + HGF = 1800 ( điều phải chứng minh)

2.2. Bài toán hay và khó vận dụng ph ơng pháp tứ giác nội tiếp.
Bài tóan 1. Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đ ờng tròn .

a. Phơng pháp:

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

b. Ví dụ 1: (Bài tốn về đờng trịn Euler)
Chứng minh rằng, trong một

tam giác bất kì, ba trung điểm của
các cạnh, ba chân của các đờng
cao, ba trung điểm của các đoạn
thẳng nối trực tâm với đỉnh đều ở
trên một đờng trịn.

O

N P

M

H
L

K

I D

F E

B C

A

Chøng minh:

Ta có: ME là đờng trung bình của AHC
ND là đờng trung bình của BHC
 ME = ND = HC/2

 tø giác MNDE là hình bình hành (1)

Li cú : ME // CH; MN // AB (vì MN là đờng trung bình của HAB)
Mà CH  AB (GT)

 ME  MN (2)

Từ (1) và (2) Tứ giác MNDE là hình chữ nhật

Gọi O là trung điểm của MD O cũng là trung điểm của NE
Nên hình chữ nhËt MNDE néi tiÕp (O; OM)

Chứng minh tơng tự ta đợc hình chữ nhật FMPD cũng nội tiếp (O; OM)
Vì  MID = 900 I  (O; OM)

V×  FLP = 900 ;  NKE = 900  L; K  (O; OM)

VËy ta cã : 9 ®iĨm M; K; E; P; D; I; N; F; L  (O; OM)

(§iỊu phải chứng minh)

c.Bài tập:

1. Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD cú  A nhọn. Đờng trịn tâm A bán kính AB
cắt đờng thẳng BC ở điểm thứ hai E. Đờng tròn tâm C bán kính CB cắt đờng thẳng
AB ở điểm thứ hai K. Chứng minh rằng:

a. DE = DK

b. năm điểm A, D, C, K, E cùng thuộc một đờng tròn.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

c. năm điểm O, A, M, E, H cùng thuộc một đờng trịn

Bài tóan 2. Chứng minh đ ờng trũn i qua mt im c nh.

a. Phơng pháp:

Nu ta phải chứng minh một đờng tròn (ABC) đi qua một điểm cố định, 
Cách 1: Ta có thể xét thêm một điểm D cố định nào đó rồi chứng minh tứ
giác ABCD nội tiếp đờng trịn. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Cách 2: Ta chọn một điểm nào đó trên đờng trịn (ABC) sau đó ta đi chứng
minh điểm đã chọn là điểm cố định.

b. VÝ dô 1:

Cho đờng trịn tâm O đờng kính
AB, điểm C cố định trên đờng
kính ấy (C khác O). Điểm M

chuyển động trên đờng trịn.
Đ-ờng vng góc với AB tại C cắt
MA, MB theo thứ tự ở E và F.
Chứng minh rằng đờng trịn
ngoại tiếp tam giác AEF ln đi
qua một điểm cố định khác A.

2
1

K
F
E

A

O

B
C
M

Chøng minh:

Gọi K là giao điểm của đờng tròn đi qua ba điểm A, E, F với AB.
Nối K với F

Ta cã  F1 =  A ( cïng b»ng nưa sè ®o cung KE)

 F2 =  A ( cïng phơ víi  MBA)

 F1 =  F2

 K đối xứng với B qua C

Do B và C là hai điểm cố định nên suy ra K cố định

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Từ một điểm A ở ngồi
đờng trịn (O) ta vẽ hai tiếp
tuyến AB, AC với đờng tròn.
Lấy điểm D nằm giữa B và
C. Qua D vẽ một đờng thẳng
vng góc với OD cắt AB,
AC lần lợt tại E và F.

Khi điểm D di động trên
BC, chứng minh rằng đờng
tròn (AEF) luôn đi qua một
điểm cố định khác A.

F
E

A O

C
B

D

Chøng minh:

Ta cã :  EBO = 900 (AB lµ tiÕp tun víi (O) t¹i B)
 EDO = 900 (GT)

 hai đỉnh B và D cùng nhìn đoạn OE dới một góc vng.
 EBOD nội tiếp đờng trịn

 BEO =  BDO (1) (cïng ch¾n cung OB)

Chứng minh tơng tự ta có :  ODCF nội tiếp đờng trịn

 OFC =  BDO (2) (góc trong một đỉnh bằng góc ngồi tại đỉnh đối diện)
Từ (1) và (2)  OFC =  BEO

 AEOF nội tiếp đờng tròn (theo dấu hiệu góc trong một đỉnh bằng góc
ngồi tại đỉnh đối diện)

Vậy đờng tròn (AEF) đi qua điểm O cố định.
c. Bài tập:

1. Cho tam gi¸c ABC nội tiếp (O), I là điểm chính giữa của cung BC không
chứa A. Vẽ (O1) đi qua I và tiếp xúc với AB tại B, vẽ (O2) đi qua I vµ tiÕp

xúc với AC tại C. Gọi K là giao điểm thứ hai của hai đờng tròn (O1) và

(O2).

a/ Chøng minh r»ng ba ®iĨm B, K, C thẳng hàng.

b/ Ly im D bt kỡ thuc cnh AB, điểm E thuộc tia đối của tia CA sao
cho BD = CE. Chứng minh rằng đờng tròn ngoại tiếp tam giác ADE luôn đi
qua một điểm cố định khác A.

Bài tóan 3. Chứng minh quan hệ về đại l ợng.

Một số bài toán đề cập tới quan hệ về i lng nh:

- Chứng minh các hệ thức hình häc.

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Chứng minh rằng trong một tứ giác nội tiếp, tích của hai đờng chéo bằng
tổng các tích của hai cặp cạnh đối.

Chøng minh:

Ta cã :  ABCD néi tiÕp (O)
Ta ph¶i chøng minh: AC. BD =
AB. DC + AD. BC

ThËt vËy.

LÊy E  BD sao cho  BAC =
 EAD

 DAE  CAB (g. g)
 AD DE

AC BC

C
O

B

D
A

E

 AD. BC = AC. DE (1)

T¬ng tù:  BAE  CAD (g. g)
 BE AB

CD AC

 BE. AC = CD. AB (2)

Tõ (1) vµ (2)  AD. BC + AB. CD = AC. DE + EB. AC
 AD. BC + AB. CD = AC. DB (§PCM)
c. Bµi tËp

1.Sử dụng Định lý Ptơ - lê – mê để chứng minh ( Định lý Các – nô)

Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ tâm của đờng tròn ngoại tiếp
một tam giác nhọn đến các cạnh của tam giác bằng tổng các bán kính của
đờng tròn ngoại tiếp và đờng tròn nội tiếp tam giác đó.

2. Cho  ABC nhọn với trực tâm H. Vẽ hình bình hành BHCD. Đờng thẳng
qua D và song song với BC cắt đờng thẳng AH tại E.

a.Chứng minh các điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đờng tròn.
b.Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp  ABC , chứng minh:

 BAE =  OAC vµ BE = CD.

c. Gọi M là trung điểm của BC, đờng thẳng AM cắt OH tại G. Chứng minh
G là trọng tâm của  ABC.

Bài tóan 4. Chứng minh tứ giác nội tiếp đ ờng trịn để tìm qu tớch mt im.

a. Các bớc giải bài toán q tÝch:
B

íc1 : Chøng minh phÇn thn

Chứng minh rằng những điểm M có các tính chất đã cho thuộc hình H

+ Giíi h¹n q tÝch
B

ớc 2: chứng minh phần đảo

Chứng minh mỗi điểm của hình H đề có tính chất đã cho.

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

b. VÝ dơ 1 :

Cho hình vng ABCD, tâm O.
Một đờng thẳng xy quay quanh
O cắt hai cạnh AD và BC lần lợt
tại M và N. Trên CD lấy điểm K
sao cho DK = DM. Gọi H là
hình chiếu của K trên xy. Tìm
quỹ tích điểm H.

2
1
2
1
l
K
H
N
O
B
A
D C
M
Chøng minh:
PhÇn thn:

Ta có CN = AM (tính chất đối xứng tâm)
Vì DK = DM (GT) nên CK = AM

 CK = CN

Lại có  MHKD và  NHKC nội tiếp (vì có hai góc đối vuông)
 M1 =  H1 = 450 và  N2 =  H2 = 450

 DHC = 900

Vậy H nằm trên đờng trịn đờng kính DC

Giíi h¹n:

Vì đờng thẳng xy quay quanh O nhng phải cắt hai cạnh AD và BC lần lợt
tại M và N nên điểm H chỉ nằm trên một nửa đờng trịn đờng kính CD nằm
trong hình vng.

Phần đảo:

Lấy điểm H bất kì trên nửa đờng trịn đờng kính CD.
Vẽ đờng thẳng HO cắt AD và BC lần lợt tại M và N.
Lấy điểm K trên CD sao cho DK = DM.

Ta ph¶i chøng minh H là hình chiếu của K trên MN.
Thật vậy,

Vì  DHC =900

; DOC = 900 nªn  HOCD nội tiếp
DHM = DCO = 450

Mặt khác  DKM = 450 nªn  DHM =  DKM 
 HKDM néi tiÕp  KHM = 900

 KH  NM

H là hình chiếu của K trên MN.

Kết luËn:

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

a. VÝ dô:

Cho tam giác ABC nhọn (AB <
AC), điểm D di động trên cạnh
BC. Vẽ DE  AB, DF  AC.
Xác định vị trí của điểm D để:
a/ EF có độ dài nhỏ nhất.
b/ EF có di ln nht.

M
O

F
E

B C

A

D

Chứng minh:

Gọi O là trung điểm cña AD

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

 AEDF néi tiÕp (O; OA)
VÏ OM  EF ME = MF
Đặt BAC = a

Ta có :  EOM =  EOF: 2 =  BAC = a
XÐt  MOE cã  OME = 900.

 EM = OE. sin a
 EF = 2 OE. sin a

 EF = AD. sin a (*) ( v× AD = 2OE)

a/ Do a khơng đổi nên từ (*) suy ra EF nhỏ nhất  AD nhỏ nhất  AD 
BC  D là hình chiếu của A trờn BC.

b/ Vì D BC và AB < AC nªn AD  AC
Tõ (*)  EF lín nhÊt  AD lín nhÊt

 D trïng víi C.
b. Bµi tËp:

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

III – KÕt qu¶ thu ® ỵc

Sau chun đề “Phơng pháp tứ giác nội tiếp” tôi đã tiến hành dạy cho các
đối tợng học sinh, đã thu đợc kết quả nh sau:

1. Đối với đội tuyển học sinh giỏi của trờng THCS Đại Đồng.
Kết quả bài kiểm tra cuối chuyên đề của 5 học sinh.

Ph¬ng : 9 Hoa : 8,5

TiỊn : 8,5 Hun : 6

§øc : 7

2. §èi víi học sinh lớp 9A.

Sĩ số : 42 Số lợng bài làm : 42

Điểm 9 - 10 : 11 Điểm 7 - 8 : 21

§iĨm 5 – 6 : 9 §iĨm 1 – 4 : 1

IV – bµi häc kinh nghiÖm

Qua việc nghiên cứu và tiến hành dạy thử nghiệm chun đề đồng thời tơi
có lấy ý kiến của hc sinh. Thy c:

+ Bản thân tôi nắm rõ ràng hƯ thèng kiÕn thøc vỊ tø gi¸c néi tiÕp.
+ Häc sinh hiểu rõ và khắc sâu kiến thức hơn.

Vỡ vậy, các chuyên đề tiếp theo tôi đã đa ra và yêu cầu học sinh dựa vào
cách học nh vậy tự nghiên cứu trớc ở nhà hoặc thảo luận nhóm nhỏ sau đó tơi sẽ

hồn chỉnh giúp các em trong các buổi học chuyên đề.

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>