Luận văn tốt nghiệp định lý giới hạn trung tâm điều kiện lindeberg

Luận văn tốt nghiệp
(Chuyên ngành: Toán Ứng Dụng)
ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM - ĐIỀU
KIỆN LINDEBERG
Giáo viên hướng dẫn: Lâm Hoàng Chương
Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Thúy Diễm
MSSV: 1066261
Ngày 6 tháng 6 năm 2010


2


LỜI CẢM ƠN
Suốt bốn năm dài miệt mài học tập với sự nhiệt tình hướng dẫn, dạy bảo của các Thầy
Cô đã trang bị cho em rất nhiều kiến thức bổ ích giúp em có thể làm tốt luận văn tốt nghiệp.
Vì vậy, luận văn này được hồn thành ngồi sự nổ lực hết mình của cá nhân em, cịn là sự
giúp đỡ tận tình của tất cả quý Thầy Cơ, gia đình và bạn bè.
Em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại Học Cần Thơ, Ban chủ nhiệm
Khoa Khoa Học Tự Nhiên, cùng quý Thầy Cô thuộc Bộ mơn Tốn đã tạo điều kiện thuận
lợi cho em trong suốt thời gian học tập vừa qua.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Lâm Hồng Chương đã tận tình chỉ bảo,
giúp đỡ và hướng dẫn em hoàn thành luận văn này.
Em xin chân thành cảm ơn cô cố vấn học tập Dương Thị Tuyền và Thầy Trần Phước Lộc
đã đọc phản biện.
Sau cùng, em xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, giúp đỡ em trong suốt thời
gian qua.
Vì kiến thức của em cịn rất hạn hẹp nên khơng tránh khỏi sai sót trong lúc làm luận văn.
Mong q Thầy Cơ thông cảm và giúp em khắc phục để luận văn của em được hồn thiện hơn.
Kính chúc q Thầy Cơ được nhiều sức khỏe để tiếp tục dìu dắt chúng em vững bước
trên con đường học tập.

Xin chân thành cảm ơn!

Cần Thơ, ngày 01 tháng 05 năm 2010
Nguyễn Thị Thúy Diễm


2


PHẦN MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài và mục đích nghiên cứu
Giống như tên gọi "Xác suất thống kê", mơn học này dùng để tính tốn xác suất xảy ra
của một biến cố nào đó. Thống kê là để thống kê số liệu và dự báo.
Vì vậy, xác suất thống kê được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực như: tốn học, hóa học,
vật lí, y học, báo chí . . . cho tới cuộc sống hằng ngày.
Và trong xác suất, định lí giới hạn trung tâm là định lí cốt yếu có vai trị quan trọng. Nó
là kết quả về sự hội tụ yếu của một dãy các biến ngẫu nhiên.
Với định lí giới hạn trung tâm, ta có kết quả là tổng của các biến ngẫu nhiên độc lập và
phân phối đồng nhất theo cùng một phân phối xác suất, sẽ hội tụ về một biến ngẫu nhiên
nào đó.
Trường hợp đơn giản nhất của định lí giới hạn trung tâm là ta xét sự hội tụ của các biến
ngẫu nhiên độc lập, có cùng kì vọng và phương sai.
Tuy nhiên, cũng tồn tại sự hội tụ trong trường hợp các đại lượng ngẫu nhiên không cùng
phân phối, nhưng vẫn phải đảm bảo điều kiện khơng có biến ngẫu nhiên nào có phân phối trội
hơn hoặc gây ảnh hưởng đến phân phối của các biến ngẫu nhiên khác. Điều này được đảm
bảo bởi điều kiện Lindeberg do nhà toán học Phần Lan Lindeberg (04/08/1876 - 12/12/1932)
xây dựng nên, đây là công cụ hỗ trợ hiệu quả nhất cho việc chứng minh.
II. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Trong phần đầu của luận văn này, chúng ta sẽ chứng minh tổng một dãy các biến ngẫu
nhiên độc lập có cùng hay không cùng phân phối hội tụ theo phân phối đến một biến ngẫu

nhiên có phân phối chuẩn Gauss. Vì phân phối chuẩn (phân phối Gauss) là một phân phối
xác suất cực kì quan trọng trong nhiều lĩnh vực. Nó là họ phân phối có dạng tổng quát giống
nhau, chỉ khác giá trị trung bình µ và phương sai σ 2 .
Ở đây ta sử dụng phân phối chuẩn hóa là phân phối chuẩn với µ = 0 và σ 2 = 1.
Ngồi ra, trong thực tế có rất nhiều dãy các biến ngẫu nhiên (quá trình ngẫu nhiên) phụ
thuộc nhau ở 1 khía cạnh nào đó. Chẳng hạn như quá trình Martingale hay quá trình Markov
(xem thêm trong mục tài liệu tham khảo). Một câu hỏi rất tự nhiên được đặt ra là: Liệu
dãy các đại lượng ngẫu nhiên phụ thuộc đó có hội tụ yếu (theo phân phối) về một biến ngẫu
nhiên nào đó khơng ? Nó có cần thêm điều kiện gì khơng ? Để giải quyết vấn đề này, Brown
(1971) dựa vào điều kiện Lindeberg đã chứng minh được một dạng hội tụ của dãy các biến
ngẫu nhiên phụ thuộc mà ý nghĩa nó vẫn cịn có rất nhiều giá trị cho đến ngày nay. Về phần
này chúng ta sẽ nghiên cứu kỹ hơn ở chương 3.


2
III. Phương pháp nghiên cứu
Để thực hiện luận văn này, em đã sưu tầm và đọc các tài liệu chuyên ngành có liên quan
từ internet, sách tham khảo. Thơng qua sự giúp đỡ của giáo viên hướng dẫn, em đã sắp xếp,
chứng minh lại tất cả các phần trong luận văn này; đồng thời cũng có một vài nhận xét, lưu
ý rất xác đáng.
IV. Cấu trúc của luận văn
Luận văn chia làm ba chương:
∗ Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Nội dung của chương này bao gồm: không gian xác suất, tích phân Lebesgue, một số
bất đẳng thức, các định lí hội tụ và các dạng hội tụ trong xác suất.
∗ Chương 2: Sử dụng toán tử Trotter trong chứng minh các định lí giới hạn trung tâm.
Trong chương này, ta sẽ đi chứng minh: định lí giới hạn trung tâm cho các đại lượng
ngẫu nhiên có cùng phân phối và định lí giới hạn trung tâm cho các đại lượng ngẫu
nhiên khơng cùng phân phối bằng tốn tử Trotter.
∗ Chương 3: Chứng minh lại các định lí giới hạn trung tâm dựa theo phương pháp Trotter

nhưng khơng dùng tốn tử.
Trong phần này, ta chứng minh lại hai dạng hội tụ ở chương 2 và đặc biệt là định lí giới
hạn trung tâm điều kiện Brown cho dãy các đại lượng ngẫu nhiên phụ thuộc vào một
dạng nào đó.
Nguyễn Thị Thúy Diễm


Mục lục

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
1.1. Không gian xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. Đại số và σ đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Hàm tập và độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2.1. Hàm tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2.2. Độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3. Không gian xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3.1. Định nghĩa không gian xác suất . . . . . . . . . . . .
1.1.3.2. Đại lượng ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3.3. σ - trường được sinh ra bởi các đại lượng ngẫu nhiên
1.1.3.4. Phân phối xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3.5. Các đại lượng ngẫu nhiên độc lập . . . . . . . . . . .
1.2. Tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Hàm bậc thang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2. Tích phân của hàm bậc thang . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3. Tích phân của hàm thực không âm đo được . . . . . . . . . .
1.2.4. Tích phân của hàm đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5. Tích phân của hàm thực µ - đo được . . . . . . . . . . . . . .
1.2.6. Tích phân Lebesgue trên tập đo được bất kỳ . . . . . . . . . .
1.2.7. Không gian Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.7.1. Bất đẳng thức Cauchy-Buniakowski . . . . . . . . .

1.2.7.2. Bất đẳng thức Holder . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.7.3. Bất đẳng thức Minkowski . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.7.4. Bất đẳng thức Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.7.5. Bất đẳng thức Liapounov . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Các định lý hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1. Các định lý hội tụ đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2. Bổ đề Fatou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3. Định lý hội tụ bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Các dạng hội tụ trong xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1. Hội tụ hầu chắc chắn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2. Hội tụ theo xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3. Hội tụ trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

5

5
5
6
6
9
10
10
11
12
13
14
15
15
16
17
19
20
20
21
22
22
23
24
25
27
27
28
29
29
29

30
33


4

Mục lục

Chương 2. Sử dụng toán tử Trotter trong chứng minh các định lý giới hạn
trung tâm
37
2.1. Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.2. Định lý giới hạn trung tâm cho các đại lượng ngẫu nhiên độc lập có cùng phân
phối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.3. Định lý giới hạn trung tâm cho các đại lượng ngẫu nhiên không cùng phân phối: 48
Chương 3. Phát triển phương pháp Trotter mà khơng sử dụng tốn tử

55

3.1. Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

3.2. Định lý giới hạn trung tâm của các đại lượng ngẫu nhiên cùng phân phối: . . .

55

3.3. Định lý giới hạn trung tâm của các đại lượng ngẫu nhiên không cùng phân phối 59
3.4. Định lý giới hạn trung tâm của các đại lượng ngẫu nhiên phụ thuộc . . . . . .
Tài liệu tham khảo

62
3


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị

1.1.

Không gian xác suất

1.1.1.

Đại số và σ đại số

Giả sử A là một lớp bất kỳ các tập con của Ω.
Định nghĩa 1.1. A được gọi là một đại số (hay một trường) nếu thỏa các điều kiện sau:
1. Ω ∈ A;
2. A ∈ A =⇒ A¯ = Ω/A ∈ A;
n

n

Ak ∈ A

Ak ∈ A,

3. Ak ∈ A, k = 1, 2, 3, ..., n =⇒

k=1

k=1

n

Ak ∈ A hoặc

Nhận xét 1.1. : Trong điều kiện thứ 3 chỉ cần một trong hai điều kiện
k=1
n

n

Ak ∈ A là đủ vì
k=1

n

n

Ak =
k=1

Ak ,
k=1

n

Ak =
k=1

Ak .
k=1

Định nghĩa 1.2. A được gọi là một σ - đại số (hay một σ - trường) nếu thỏa các điều kiện
sau:
1. Ω ∈ A;
2. A ∈ A =⇒ A¯ = Ω/A ∈ A;
∞

3. Ak ∈ A, k = 1, 2, 3, ... =⇒

∞

Ak ∈ A,
k=1

Ak ∈ A.
k=1

Nhận xét 1.2. Trong điều kiện thứ 3 chỉ cần một trong hai hệ thức được thỏa là được. Hệ
thức kia tự động được thỏa. Chẳng hạn từ:
∞

{An } ⊂ A =⇒

∞

An ∈ A,
n=1

An ∈ A.
n=1

5


6

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

thì cũng có
∞

∞

An ∈ A.

An =
n=1

n=1

Định nghĩa 1.3. Lớp M được gọi là đơn điệu nếu nó chứa giới hạn của tất cả các dãy đơn
điệu. Tức là, nếu An ∈ M và An ↑ thì limAn ∈ M.
Mệnh đề 1.1. σ - đại số là đại số đơn điệu và ngược lại.
n

Chứng minh. Giả sử A là đại số đơn điệu và Ak , k = 1, 2, 3, . . . Khi đó
∞

các tập thuộc A. Do đó,

Ak là dãy đơn điệu
k=1

Ak ∈ A. Phần còn lại là hiển nhiên.
k=1

Giả sử C là lớp các tập con của Ω, tồn tại và duy nhất một σ - đại số bé nhất chứa C.
Ký hiệu: σ(C) và nói rằng C sinh ra σ(C) hay σ(C) được sinh ra từ C.
Mệnh đề 1.2. Nếu C là đại số thì σ(C) = M(C).
Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh M(C) là một đại số (đây là phần cơ bản của chứng
minh). Lấy A ∈ M(C) và đặt:
MA = {B ∈ M(C) : A \ B ∈ M(C), B \ A ∈ M(C), A ∪ B ∈ M(C)}
Rõ ràng MA đơn điệu và theo giả thiết C là đại số, nên khi A ∈ C thì C ⊂ MA ⊂ M(C).
Từ đó suy ra MA = M(C) với A ∈ C.
Thật ra, MB = M(C) với B ∈ C.
Với các điều kiện đặt lên A và B là đối xứng nên từ B ⊂ M(C) (=MA với A ⊂ C) suy ra
A ∈ MB với A ∈ C tức là, C ⊂ MB và do đó MB = M(C). Vậy M(C) là đại số.
Theo mệnh đề trước và kết luận vừa chứng minh ta có: M(C) là σ - đại số và do đó
M(C) ⊃ σ(C). Mặt khác, σ(C) là lớp đơn điệu chứa C. Vậy σ(C) = M(C). Tức M(C) là lớp
đơn điệu bé nhất chứa C.

1.1.2.
1.1.2.1.

Hàm tập và độ đo
Hàm tập

Giả sử C là lớp các tập con của Ω.
Hàm
ϕ : C −→ R
được gọi là hàm tập.


1.1. Khơng gian xác suất

7

• ϕ khơng âm nếu ϕ(A) ≥ 0, ∀A ∈ C.
• ϕ hữu hạn nếu |ϕ(A)| < ∞, ∀A ∈ C.
Trong phần tiếp theo, ta chỉ xét đến các hàm tập ϕ không nhận giá trị −∞
Định nghĩa 1.4. Hàm tập ϕ được gọi là cộng tính hữu hạn nếu
ϕ(A + B) = ϕ(A) + ϕ(B)
với A ∈ C, B ∈ C, AB = ∅ và A + B ∈ C.
Hàm tập ϕ được gọi là σ - cộng tính hay cộng tính đếm được nếu:
∞

∞

ϕ

ϕ(Ak )

=

Ak

k=1

k=1

∞

với mỗi dãy {Ak ⊂ C} sao cho Ak Aj = ∅ với k = j và

Ak ∈ C.
k=1

Khi các thành phần từng đôi một không giao nhau ta dùng ký hiệu
Một vài tính chất cơ bản của hàm tập ϕ cộng tính hữu hạn:
1. ϕ(∅) = 0;
n

n

Ak

2. ϕ

ϕ(Ak )

=

k=1

k=1

3. Nếu B ⊂ A và ϕ(B) hữu hạn thì ϕ(A \ B) = ϕ(A) − ϕ(B).
Chứng minh.

1. Ta có:
ϕ(∅ + ∅) = ϕ(∅) + ϕ(∅), vì ∅ × ∅ = ∅
=⇒ ϕ(∅) = ϕ(∅) + ϕ(∅)
=⇒ ϕ(∅) = 0

2. Vì Ak Aj = ∅, ∀1 ≤ k = j ≤ n. Ta có:
n

ϕ

n

Ak
k=1

= ϕ A1 +

Ak
k=2
n

= ϕ(A1 ) + ϕ

Ak
k=2
n

= ϕ(A1 ) + ϕ(A2 ) + ϕ

Ak
k=3

thay cho

.


8

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
n

= ϕ(A1 ) + ϕ(A2 ) + . . . + ϕ(An−1 ) + ϕ

Ak
k=n

= ϕ(A1 ) + ϕ(A2 ) + . . . + ϕ(An−1 ) + ϕ(An )
n

=

ϕ(Ak )
k=1

3. Ta có:
A = B + (A \ B)
=⇒ ϕ(A) = ϕ(B) + ϕ(A \ B)
=⇒ ϕ(A \ B) = ϕ(A) − ϕ(B), (nếu ϕ(B) hữu hạn)
Nếu ϕ cộng tính đếm được thì ϕ cộng tính hữu hạn ( vì ∅ ∈ C và ϕ(∅) = 0). Điều ngược
lại là khơng đúng. Tính σ - cộng tính của hàm tập liên hệ mật thiết với tính liên tục của nó.
Định nghĩa 1.5. Nói rằng ϕ liên tục tại ∅, nếu với mỗi dãy An ↓ ∅, An ∈ C
lim ϕ(An ) = 0.

n→∞

Mệnh đề 1.3. Nếu ϕ hữu hạn (hoặc khơng âm), cộng tính hữu hạn và liên tục tại ∅ thì ϕ σ
- cộng tính. Ngược lại, nếu ϕ hữu hạn và σ - cộng tính thì ϕ liên tục tại ∅.
∞

∞

Ak ↓↓ ∅. Vì vậy, nếu ϕ

Ak , (Ak , A ∈ C). Khi đó Bn = A \

Chứng minh. Giả sử A =

k=1

k=1

cộng tính hữu hạn và liên tục tại ∅ thì
∞

n

ϕ(Ak ) →

ϕ(A) = ϕ(Bn ) +

ϕ(Ak )
k=1

k=1

(chuỗi hội tụ nếu ϕ hữu hạn hoặc không âm). Vậy, điều khẳng định thứ nhất của mệnh đề
được chứng minh.
Ngược lại, giả sử Bn ↓ ∅, Bn ∈ C. Đặt A = B1 , An = Bn − Bn+1 . Khi đó, ta có
∞

n

Ak , Bn = A \

A=
k=1

Ak .
k=1

Nếu ϕ hữu hạn và σ - cộng tính thì theo tính chất thứ 3 ta có:

n

ϕ(Bn ) = ϕ(A) − ϕ

n

Ak
k=1

= ϕ(A) −

ϕ(Ak ) → 0.
k=1

Chú ý 1.1. Mệnh đề vừa chứng minh cho phép ta kết luận: Nếu ϕ hữu hạn thì tính σ - cộng
tính của ϕ tương đương với tính liên tục tại ∅ của nó.
Ví dụ 1.1. Lấy Ω = N (tập các số tự nhiên). C là lớp gồm tất cả các tập con của Ω và ϕ(A)
là số các phần tử của A, A ∈ C. Khi đó rõ ràng ϕ là σ - cộng tính nhưng ϕ khơng liên tục tại
∅, vì dãy Bn = {k ∈ N : k n} ↓ ∅ nhưng ϕ(Bn ) = +∞
0.


1.1. Không gian xác suất
1.1.2.2.

9

Độ đo

Giả sử (Ω, A) là khơng gian đo được nào đó.

Định nghĩa 1.6. Ta gọi hàm tập µ là độ đo trong khơng gian đo được (Ω, A) nếu:
1. Miền xác định của µ là σ - đại số A.
2. µ khơng âm và σ - cộng tính.
Với A ∈ A, µ(A) được gọi là độ đo (hay số đo) của tập A. Nói rằng µ là độ đo hữu
hạn, nếu nó là hàm tập hữu hạn, tức là 0 ≤ µ(A) < +∞, ∀A ∈ A. Dễ dàng thấy rằng,
µ hữu hạn khi và chỉ khi µ(Ω) < +∞. Bộ ba (Ω, A, µ) được gọi là khơng gian có độ đo.
(Ω là khơng gian, A là σ - đại số các tập con của Ω, µ là độ đo xác định trên A).
Các tính chất cơ bản của độ đo:
1. µ(∅) = 0.
2. A, B ∈ A, B ⊂ A và µ(B) < +∞ =⇒ µ(A \ B) = µ(A) − µ(B).
3. Tính đơn điệu: A, B ∈ A và B ⊂ A thì µ(B) ≤ µ(A).
4. Tính nửa σ - cộng tính dưới:
∞

∞

Ak =⇒ µ(A) ≤

Ak ∈ A, A ∈ A, A ⊂

µ(Ak )
k=1

k=1

Đặc biệt, nếu thêm điều kiện µ(Ak ) = 0, ∀k = 1, 2, 3, ... thì µ(A) = 0.
∞

5. Ak ∈ A, Ak ∩ Aj = ∅(k = j), A ∈ A, A ⊃

∞

Ak =⇒ µ(A) ≥
k=1

µ(Ak ).
k=1

Tính σ - cộng tính
Đối với độ đo, tính σ - cộng tính là quan trọng nhất. Vì vậy, cần tìm những điều kiện
tương đương khác để sau này dễ vận dụng.
Định lý 1.1. Giả sử A là σ - đại số, µ là hàm tập khơng âm, cộng tính hữu hạn trên A. Khi
đó các điều kiện sau tương đương:
(a) µ là độ đo (tức là µ σ - cộng tính);
(b) µ nửa σ - cộng tính dưới;
(c) µ liên tục dưới, tức là nếu An ↑ A thì µ(An ) ↑ µ(A).
Nếu thêm điều kiện µ hữu hạn thì các điều kiện trên tương đương với một trong các
điều kiện sau:
(d) µ liên tục trên, tức là nếu An ↓ A thì µ(An ) ↓ µ(A).


10

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

(e) µ liên tục tại ∅, tức là nếu An ↓ ∅ thì µ(An ) ↓ 0.
Chứng minh. (a) =⇒ (b): là nội dung của tính chất thứ 4.
(b) =⇒ (a): là vì tính chất thứ 5 đúng với giả thiết µ - cộng tính hữu hạn.
(a) =⇒ (c): Giả sử An ↑ A, đặt A0 = ∅, Bn = An \ An−1 , n = 1, 2, 3, .... Khi đó ta có:
∞

∞

Bn =
n=1
∞

µ(A) = µ

An = A,
n=1

∞

Bn
n=1

n

=

Bk = An,
k=1

n

µn (Bn ) = lim
n=1

n→∞ k=1

n

µ (Bk ) = lim µ
n→∞

Bk
k=1

= lim µ (An )
n→∞

(c) =⇒ (a): dễ dàng chứng minh được.
(c) =⇒ (d): Rút ra từ nhận xét nếu An ↓ A thì A¯n ↑ A¯ và
¯
µ(An ) = µ(Ω) − µ(A¯n ), µ(A) = µ(Ω) − µ(A).
(d)=⇒ (e): là hiển nhiên.
(e)=⇒ (a): là nội dung của mệnh đề: Nếu ϕ hữu hạn (hoặc khơng âm), cộng tính hữu hạn
và liên tục tại ∅ thì ϕ σ-cộng tính. Ngược lại, nếu ϕ hữu hạn và σ - cộng tính thì ϕ liên tục
tại ∅.
1.1.3.
1.1.3.1.

Khơng gian xác suất
Định nghĩa không gian xác suất

Định nghĩa 1.7. Độ đo µ trong khơng gian đo (Ω, A) được gọi là độ đo xác suất nếu µ(Ω) = 1.
Trong phần tiếp theo, ta sẽ dùng kí hiệu P để chỉ độ đo xác suất thay cho µ.
Bộ ba (Ω, A, P ) được gọi là một không gian xác suất.
Trong đó:

• Ω là khơng gian mẫu.
• A ∈ A được gọi là một biến cố.
– ∅ là biến cố không thể.
– Ω là biến cố chắc chắn.


1.1. Khơng gian xác suất

11

Từ tính chất cơ bản của độ đo, ta có các tính của độ đo xác suất.
Tính chất:
• 0 ≤ P (A) ≤ 1, ∀A ∈ A
• P (∅) = 0, P (Ω) = 1
• A ⊂ B =⇒ P (A) ≤ P (B), (⊂: quan hệ thuận lợi)
¯ với A¯ = Ω/A
• P (A) = 1 − P (A),
Ví dụ 1.2. Giả sử Ω là không gian đếm được Ω = {ω1 , ω2 , . . .}. Khi đó lớp A gồm tất cả các
tập con của Ω là σ - đại số. Ta lấy dãy số không âm bất kỳ pn và đặt:
P {ωn } = pn , n = 1, 2, ..., P (A) =

P {ωk } ∀A ∈ A.
ωk ∈A

({ω} là tập chỉ gồm có một điểm duy nhất ωn ). Dễ dàng thử lại P là một độ đo. Nếu pn =
∞

1, ∀n ∈ N thì ta gọi P là độ đo đếm. Nếu

pn = 1 thì ta gọi P là độ đo xác suất rời rạc, và

n=1

nó sẽ là một công cụ quan trọng để nghiên cứu lý thuyết xác suất trên không gian các biến cố
sơ cấp rời rạc.

1.1.3.2.

Đại lượng ngẫu nhiên

Trong trường hợp đặc biệt của không gian xác suất ta dùng cụm từ đại lượng ngẫu nhiên với
nghĩa là một hàm đo được.
Tức là, nếu (Ω, F, P ) là một khơng gian xác suất, thì X : Ω → R là một đại lượng ngẫu
nhiên.
Nếu ∀a ∈ R thì tập X −1 ([a, ∞)) ∈ F :
{ω ∈ Ω : X(ω) ≥ a} ∈ F
Trường hợp Ω ⊂ R là tập đo được và F = B là σ - trường tập con Borel của Ω, thì đại
lượng ngẫu nhiên chính là hàm Borel R → R.
Được ứng dụng trong xác suất, tập Ω biễu diễn kết cục của một phép thử ngẫu nhiên có
thể quan sát bằng trung bình của những phép đo khác nhau. Kết cục của những phép đo này
là những con số và như vậy ta có khái niệm của đại lượng ngẫu nhiên.


12

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

1.1.3.3.

σ - trường được sinh ra bởi các đại lượng ngẫu nhiên

Như đã chỉ ra trước đo, các đại lượng ngẫu nhiên ta gặp thật sự là hàm Borel đo được.
Giá trị của đại lượng ngẫu nhiên X không dẫn tới tập không Borel; thật vậy, chúng có
khả năng đưa ra nhiều sự phân biệt giữa các tập hơn là các giá trị phức tạp bên trong tập
Borel σ - trường B.
Vì thế, ta nên xét những σ - trường khác được chứa trong F để xác định họ của những
tập hợp
X −1 (B) = {S ⊂ F : S = X −1 (B); B ∈ B}
là một σ - trường.
Nếu X là một đại lượng ngẫu nhiên, thì X −1 (B) ⊂ F nhưng nó có thể là một tập con
nhỏ hơn nhiều phụ thuộc vào mức độ phức tạp của X
Ta kí hiệu σ - trường bằng FX và gọi là σ - trường được sinh ra bởi X.
Trường hợp đơn giản nhất là X là hằng số, X ≡ a khi đó X −1 (B) là Ω hay ∅ phụ thuộc
vào a ∈ B hay không và σ - trường được sinh ra là nghiệm tầm thường:
F = {∅, Ω}
1. Nếu X nhận hai giá trị a = b, thì FX chứa bốn phần tử:
FX = {∅, Ω, X −1 ({a}), X −1 ({b})}
2. Nếu X nhận nhiều giá trị hữu hạn, thì FX là hữu hạn.
3. Nếu X nhận nhiều giá trị đếm được, thì FX là khơng đếm được (nó có thể được đồng
nhất với σ - trường của tất cả những tập con của một tập đếm được).
Ta có thể thấy FX tăng theo mức phức tạp của X.
∗ Khái niệm của FX được giải thích sau:
Giá trị của phép đo X ta có thể quan sát. Từ điều này ta kết luận một vài thông tin trên
mức độ phức tạp của phép thử ngẫu nhiên, tức là kích thước của Ω và FX , và ta có thể ước
lượng xác suất của tập hợp trong FX bằng phương pháp thống kê.
σ - trường được sinh ra biểu diễn lượng thơng tin có từ đại lượng ngẫu nhiên.


1.1. Khơng gian xác suất

13

Ví dụ 1.3. Giả sử ném một con xúc xắc và dựa vào số chấm xuất hiện là chẵn hay lẻ mà ta
có hai giá trị là 0 và 1
Ta không thể phân biệt được như phép thử này từ việc tung đồng xu.
Thông tin được cung cấp bởi phép đo là khơng đủ để tìm ra mức phức tạp của phép thử
(có 6 kết cục có thể, ở đó phân phối được nhóm lại với nhau trong 2 tập hợp).
1.1.3.4.

Phân phối xác suất

Cho bất kì đại lượng ngẫu nhiên X, ta có thể đưa vào một độ đo trên σ- trường Borel tập B
bằng cách đặt:
PX (B) = P (X −1 (B))
Ta gọi PX là phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X.
Định lý 1.2. Hàm tập PX là cộng tính đếm được.
Chứng minh. Cho tập Borel Bi độc lập từng đôi rời nhau, nghịch ảnh của chúng X −1 (Bi ) là
độc lập từng đôi rời nhau và X −1 (∪i Bi ) = ∪i X −1 (Bi ), cho nên:
PX = P (X −1 (
= P(

X

i
−1

Bi ))
(Bi ))

i

P (X −1 (Bi ))

=
i

=

PX (Bi )
i

Do đó, (R, B, PX ) là một không gian xác suất, điều này đủ để cho thấy:
PX (R) = P (Ω) = 1
Ví dụ 1.4. Giả sử X là hằng số, tức là X ≡ a.
Khi đó, ta gọi PX là độ đo Dirac tập trung tại a và kí hiệu: δa .
Rõ ràng:
δa (B) =
Đặc biệt, δa ({a}) = 1

1
0

nếu a ∈ B
nếu a ∈
/B


14

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Nếu X nhận hai giá trị

X(ω) =

a
b

với xác suất p
với xác suất 1 − p

Khi đó:

1
nếu a, b ∈ B



p
nếu a ∈ B, b ∈
/B
PX (B) =
1 − p
nếu b ∈ B, a ∈
/B



0
trường hợp khác
và như thế
PX (B) = pδa (B) + (1 − p)δb (B)
Phân phối của đại lượng ngẫu nhiên tổng quát rời rạc có dạng: "Nếu giá trị của Xi là ai

với xác suất pi > 0, i = 1, 2, 3, . . . thì
pi = 1”
Khi đó,
∞

PX (B) =

pi δai (B)
i=1

Ví dụ 1.5. (i) Phân phối hình học (xác suất là những số hạng của một cấp số nhân), trong
đó pi = (1 − p)q i , q ∈ (0, 1)
(ii) Phân phối Poisson, trong đó pi =

λi −λ
e
i!

Bây giờ, xét không gian xác suất cổ điển với Ω = [0, 1], F = B, P = m|[0,1] - độ đo
Lebesgue trên [0, 1]
Ví dụ 1.6. Giả sử X(ω) = aω + b.
Khi đó ảnh của [0, 1] là đoạn [b, a + b] và PX = a1 m|[b,a+b] ; tức là cho B Borel
PX (B) =

1.1.3.5.

m(B ∩ [b, a + b])
a

Các đại lượng ngẫu nhiên độc lập

Định nghĩa 1.8. X, Y là độc lập nếu σ - trường mà chúng sinh ra là độc lập.
Nói cách khác, cho bất kì tập B, C Borel trong R
P (X −1 (B) ∩ Y −1 (C)) = P (X −1 (B))P (Y −1 (C))


1.2. Tích phân Lebesgue

15

Ví dụ 1.7. Giả sử (Ω = [0, 1], µ) có độ đo Lebesgue.
Xét:
X = 1[0, 1 ] , Y = 1[ 1 , 3 ]
2

4 4

Khi đó,
1 1
FX = {∅, [0, 1], [0, ], ( , 1]}
2 2
1 3
1
3
FY = {∅, [0, 1], [ , ], [0, ) ∪ ( , 1]}
4 4
4
4
Rõ ràng FX , FY là độc lập.
=⇒ X, Y độc lập.

1.2.

Tích phân Lebesgue

1.2.1.

Hàm bậc thang

Định nghĩa 1.9. Hàm thực f : Ω → R được gọi là hàm bậc thang, nếu f (Ω) là tập gồm hữu
hạn phần tử.
Giả sử f là hàm bậc thang và f (Ω) = {x1 , x2 , . . . , xn } là tất cả các giá trị khác nhau
(xj = xk với k = j) có thể có của f . Khi đó ta có thể viết f dưới dạng
n

xk 1Ak , Ak = {ω : f (ω) = xk } = f −1 ({xk }).

f=
k=1

Ak là phân hoạch của Ω, và f ∈ L0 khi và chỉ khi {Ak } ⊂ A
Định lý 1.3. Để hàm thực không âm f ∈ L0 cần và đủ là tồn tại một dãy hàm bậc thang
không giảm, không âm {fn } ∈ L0 sao cho
fn ↑ f : lim fn (ω) = f (ω), ∀ω ∈ Ω.
Chứng minh. Điều kiện đủ là mệnh đề sau đây:
1. L0 là khơng gian tuyến tính (với phép cộng và phép nhân với lượng vơ hướng thơng
thường);
2. L0 kín đối với phép nhân và phép chia (mẫu số khác không);
3. Nếu f ∈ L0 thì f + = max(f, 0), f − = −min(f, 0) và |f | = f + + f − ∈ L0
4. Nếu {fn } ⊂ L0 thì inf fn , sup fn , limfn và lim fn ∈ L0 .

n

n


16

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
5. {ω ∈ Ω : fn → .} ∈ A
Điều kiện cần là ta phải chứng minh:
0 ≤ fn ↑ f,
trong đó,
n2n −1

fn =
k=1

1.2.2.

k
k
k+1
1{ω : n ≤ f (ω) <
} + n1{ω : f (ω) ≥ n}
n
2
2
2n

Tích phân của hàm bậc thang

Giả sử (Ω, A, µ) là không gian xác suất và ký hiệu S là tập gồm tất cả các hàm bậc thang
đo được f : Ω → R.
Định nghĩa 1.10. Ta gọi tích phân Lebesgue của hàm f ∈ S là số thực được tính theo biểu
thức:
ˆ
f dµ =
xk µ{ω : f (ω) = xk }.
Ω

xk ∈f (Ω)

Rõ ràng, nếu biểu diễn f dưới dạng
n

f =

xk 1Ak
k=1

Ak = {ω : f (ω) = xk }
thì

ˆ

n

f dµ =
Ω

xk µ(Ak ).
k=1

Để đơn giản cách viết, ta ký´ hiệu I(f ) là tích phân Lebesgue của f . Khi
´ cần phân biệt rõ
ta thêm vào ký hiệu, ví dụ (L) Ω f dµ - tích phân Lebesgue của f ; (L − S) Ω f dF - tích phân
´
Lebesgue - Stieltjes của f ; (R) Ω f dF - tích phân Riemann của f, . . .
Mệnh đề 1.4. Ánh xạ I : S → R có các tính chất sau:
1. Tuyến tính tức là, I(af + bg) = aI(f ) + bI(g) với f, g ∈ S và a, b ∈ R;
2. Không giảm tức là, nếu f ≤ g thì I(f ) ≤ I(g) với f, g ∈ S.


1.2. Tích phân Lebesgue
Chứng minh.

17

1. Rõ ràng I(af ) = aI(f ).

Vì vậy để chứng minh tính chất thứ nhất ta chỉ cần chỉ ra rằng
I(f + g) = I(f ) + I(g)
Ta giả sử f lấy các giá trị {x1 , . . . , xn } và g lấy các giá trị {y1 , . . . , ym }. Đặt
Ak = {ω : f (ω) = xk },
Bj = {ω : g(ω) = yj }
Khi đó ta có Ak , Bj là các phân hoạch của Ω và do đó
µ(Ak ) =

µ(Ak Bj )
j

µ(Bj ) =

µ(Ak Bj )
k

I(f + g) =

(xk + yj )µ(Ak Bj )
j

k

=

xk
k

µ(Ak Bj ) +
j

yj
j

µ(Ak Bj )
k

= I(f ) + I(g)
2. Tất nhiên, nếu f ≥ 0 thì I(f ) ≥ 0. Do đó, nếu f ≤ g và f, g ∈ S thì g − f ∈ S và
I(g − f ) = I(g) − I(f ) ≥ 0.

1.2.3.

Tích phân của hàm thực khơng âm đo được

Giả sử (Ω, A, µ) là không gian xác suất.
Ký hiệu S + là tập gồm tất cả các hàm bậc thang đo được, không âm và L+
0 là tập gồm
tất cả các hàm đo được không âm f : Ω → R.
+
Giả sử f ∈ L+
sao cho gn ↑ f . Vì vậy có thể đưa
0 , từ định lý 1.3 ta có dãy hàm gn ∈ S
ra định nghĩa sau đây.

Định nghĩa 1.11. Ta gọi số thực (có thể vơ hạn)
I(f ) = sup{I(g) : g ∈ S + , g ≤ f }
là tích phân Lebesgue của hàm f ∈ L+
0
Mệnh đề sau thường được sử dụng


18

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Mệnh đề 1.5. Giả sử fn ↑ và {fn } ⊂ S + , g ∈ S +
Khi đó, nếu g ≤ lim(fn ) thì I(g) ≤ lim I(fn ). Hơn nữa, nếu lim fn ∈ S + , thì I(lim fn ) =
lim I(fn ).
m

Chứng minh. Giả sử g =

yj 1Bj .
j=1

Chọn c ∈ (0, 1) và đặt An = {ω : fn (ω) ≥ c.g(ω)}.
∞

Ta có An ↑ và Ω =

An . Từ đó và từ bất đẳng thức fn ≥ c.g1An ta có
n=1

lim I(fn ) ≥ lim cI(g1An )
n

n

m

= c lim
n

yj µ(Bj An )
j=1

m

= c

yj µ(Bj )
j=1

= cI(g)
Do đó, khi cho c ↑ 1 ta được limn I(fn ) ≥ I(g).
Bây giờ, giả sử lim fn ∈ S + . Theo trên ta có
lim I(fn ) ≥ I(lim fn ).
Bất đẳng thức ngược lại là hiển nhiên, vì ∀k ∈ N, lim fn ≥ fk .
Một số tác giả thường lấy nội dung của mệnh đề sau làm định nghĩa tích phân Lebesgue
cho f ∈ L+
0
+
là dãy bất kỳ sao cho fn ↑ f . Khi đó, ta có
Mệnh đề 1.6. Giả sử f ∈ L+
0 và {fn } ⊂ S
I(f ) = lim I(fn ).

Chứng minh. Vì fn ≤ f nên I(fn ) ≤ I(f ) và do lim I(fn ) ≤ I(f ).
(Chú ý rằng I(fn ) là dãy số không giảm, nên lim I(fn ) tồn tại.)
Mặt khác, theo định nghĩa của I(f ) (để đơn giản ta xem I(f ) hữu hạn), ∀ε > 0, ∃g ∈ S +
sao cho f ≥ g và I(f ) − ε < I(g).
Theo mệnh đề trước, ta có
I(f ) − ε < I(g) ≤ lim I(fn ).
Cho ε ↓ 0 ta được I(f ) ≤ lim I(fn ).


1.2. Tích phân Lebesgue

19

Mệnh đề 1.7. Ánh xạ I : L+
0 → R+ = [0, +∞] có các tính chất sau:
1. Bán tuyến tính: I(af + bg) = aI(f ) + bI(g) với f, g ∈ L+
0 và a, b ∈ R+ ;
2. Đơn điệu: nếu f ≤ g; f, g ∈ L+
0 thì I(f ) ≤ I(g).
1.2.4.

Tích phân của hàm đo được

+
−
Giả sử (Ω, A, µ) là khơng gian xác suất. Nếu f ∈ L0 = L0 (Ω, A) thì f + ∈ L+
0 và f ∈ L0 và
do đó I(f + ), I(f − ) là những số đã được định nghĩa.

Định nghĩa 1.12. Ta nói rằng f ∈ L0 có tích phân (Lebesgue) nếu một trong hai số
I(f + ), I(f − ) hữu hạn. Khi đó, ta gọi I(f ) = I(f + ) − I(f − ) là tích phân (Lebesgue) của
f . Ta ký hiệu:
L1 = L1 (Ω, A, µ) = {f ∈ L0 : I(f )hữu hạn}
và gọi L1 là không gian các hàm khả tích, mỗi f ∈ L1 được gọi là hàm khả tích (Lebesgue).
Mệnh đề 1.8.
1. L1 là khơng gian tuyến tính và với f, g ∈ L1 , a, b ∈ R ta cóI(af + bg) =
aI(f ) + bI(g);
2. Nếu f ∈ L1 và f ≥ 0 thì I(f ) ≥ 0;
3. Nếu f ∈ L0 , g ∈ L1 và|f | ≤ g thì f ∈ L1 ;
4. f ∈ L1 khi và chỉ khi |f | ∈ L1 , ngoài ra |I(f )| ≤ I(|f |).
Chứng minh. : (Ta chứng minh mục 1 của mệnh đề)
1. Rõ ràng, nếu f ∈ L1 thì af ∈ L1 và I(af ) = aI(f ).

Từ bất đẳng thức |f + g| ≤ |f | + |g| rút ra L1 là khơng gian tuyến tính.
Hơn nữa, ta có:
f + g = (f + g)+ − (f + g)−
= (f + + g + ) − (f − + g − )
Do đó
(f + g)+ + f − + g − = (f + g)− + f + + g +
Vì vậy
I (f + g)+ + I f − + I g − = I (f + g)− + I f + + I g +
Từ đó suy ra
I (f + g) = I (f + g)+ − (f + g)−
= I (f ) + I (g)


20

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

1.2.5.

Tích phân của hàm thực µ - đo được

Khi lấy σ - đại số bổ sung Aµ của A theo độ đo µ thay cho A ta sẽ lần lượt có tích phân
Lebesgue I(f ) của f ∈ L0 (µ) và khơng gian L1 (µ) = L1 (Ω, Aµ , µ). Mỗi f ∈ L1 (µ) được gọi là
hàm µ - khả tích. Tất nhiên I(.) và L1 có tất cả các tính chất vừa trình bày ở trên. Ngồi ra,
trong trường hợp này, (Ω, Aµ , µ) là khơng gian có độ đo đủ, nên I(.) và L1 (µ) cịn có thêm
một số tính chất đáng chú ý khác nữa.
Đầu tiên, nếu N là tập µ - khơng, thì hiển nhiên I(1N ) = 0. Do đó, nếu f là hàm bậc
thang µ - đo được và f ∼ 0 thì I(f ) = 0. Từ đó suy ra nếu f ∈ L0 (µ) và f ∼ 0 thì f ∈ L1 (µ)
và I(f ) = 0.
Mệnh đề 1.9. Nếu f ∈ L1 (µ) và g ∈ L0 (µ) và I(g) = I(f ).

Chứng minh. Ta đặt N = {ω : f (ω) = g(ω)}.
Như đã biết, g ∈ L0 (ω) và g + ∼ f + , g − ∼ f − .
Vì vậy, ta lần lượt có:
I g+ − f + = I g− − f − = 0
I(g + ) = I(f + ) + I(g + − f + )
= I(f + )
I(g − ) = I(f − ) + I(g − − f − )
= I(f − )
Từ đó rút ra điều phải chứng minh.
Cần đặc biệt chú ý rằng, kết luận của mệnh đề trên cho phép ta khẳng định: tính khả tích
của hàm f và giá trị tích phân I(f ) của nó khơng phụ thuộc vào giá trị của f trên tập hợp
có độ đo khơng.
Mệnh đề 1.10. Để f ∈ L1 (ω) cần và đủ là ∃g1 , g2 ∈ L1 sao cho g1 ≤ f ≤ g2 , g1 ∼ g2 và khi
đó I(g1 ) = I(f ) = I(g2 ).
1.2.6.

Tích phân Lebesgue trên tập đo được bất kỳ

Bây giờ ta định nghĩa tích phân (Lebesgue) trên tập A ∈ Aµ bằng biểu thức sau đây:
ˆ
f dµ = I(f.1A ).
A

Nếu I(f.1A ) hữu hạn thì ta nói f khả tích trên tập A. Ở đây, A đóng vai trị Ω. Vì thế,
khi "đóng khung" trong phạm vi của tập A thì tình hình đang xét hoàn toàn giống như ở
trên. Tuy nhiên, cũng cần chú ý một vài tình huống đặc biệt, chẳng hạn, nếu µ(A) < +∞ thì
L1 (A, Aµ \A, µ) (Aµ \A = {BA : B ∈ Aµ }, đó là σ - đại số trên A) chứa tất cả các hằng số
và chứa tất cả các hàm số bị chặn hầu khắp nơi.

1.2. Tích phân Lebesgue

21

Mệnh đề 1.11. f ∼ 0 ⇔ I(f.1A ) = 0, ∀A ∈ Aµ .
Chứng minh. Nếu f ∼ 0 thì (f.1A ) = 0 và do đó I(f.1A ) = 0.
Ngược lại, nếu I(f.1A ) = 0, ∀A ∈ Aµ thì đặc biệt I(f + ) = 0 = I(f − ), và do đó I(|f |) = 0.
Hơn nữa, từ bất đẳng thức
1
1{ω:|f (ω)|>a} ≤ |f |, ∀a > 0
a
ta có

1
µ{ω : |f (ω)| > a} ≤ I(|f |) = 0, ∀a > 0.
a

Vậy
µ{ω : f (ω) = 0} = lim µ{ω : |f (ω)| >

1
} = 0.
n

Hệ quả 1.1. f ∼ 0 ⇔ I(|f |) = 0.
Mệnh đề 1.12. Nếu I(f.1A ) hữu hạn thì f hầu khắp nơi trên A, tức là,
µ{ω ∈ A : |f (ω)| = +∞} = 0.
Cuối cùng, ta dễ dàng chứng minh cơng thức "phân đoạn" của tích phân Lebesgue:
Mệnh đề 1.13. Giả sử A ∈ Aµ và f ∈ L0 (µ). Để f ∈ L1 (µ) cần và đủ là f.1A ∈ L1 (µ) và
f.1A¯ ∈ L1 (µ).. Ngồi ra, ta có:

I(f ) = I(f.1A ) + I(f.1A¯ ).
1.2.7.

Không gian Lp

Với p > 0, ký hiệu
Lp = Lp (Ω, F, P )
là tập hợp các biến ngẫu nhiên X (xác định trên (Ω, F, P ) sao cho E|X|p < ∞
Khi X ∈ Lp , p > 0, ta ký hiệu
X

1

p

= (E|X|p ) p

Được gọi là chuẩn bậc p của X
Trong lý thuyết xác suất, một số bất đẳng thức sau thường được sử dụng.