SKKN hinh hoc khong gianLop 1112

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (201.24 KB, 11 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Môc lôc

Néi dung : trang
phÇn I: ĐặT VấN Đề 2-3

Phần II: nội dung

A ) quy trình giải bài toán bằng phơng pháp véc tơ 4-5
b) các bài tập minh hoạ 6-12

i) dành cho học sinh trung bình khá 6-8
ii) dµnh cho häc sinh kh¸ giái 9-11

C) BàI TậP THAM KHảO 12

D) KÕT LUËN 12

PHầN I đặt vấn đề
I ) Lý do chn ti

1) Từ thực tế giảng dạy :

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

- Chất lợng học sinh trờng thpt thấp hơn so với các trờng thpt ở miền xuôi,
học lực lại phân hố khơng đồng đều . khi học phần vectơ trong khơng gian
thì đa số học sinh còn lúng túng trong việc chọn và thực hiện các phép biến
đổi về vectơ, các em có xu thế chon phơng pháp thơng thờng ( địi hỏi phải có
t duy, trí tởng tợng cao và phải vẽ hình phức tạp ), điều này là khó đối với đa
số học sinh. nên nhiều bài toán dẫn đến phức tạp và dẫn đến các em ngại học
mơn hình. Trong khi Nhiều bài tốn hình học khơng gian, nếu giải bằng phơng

pháp vectơ thì lời giải sẽ ngắn gọn và đặc biệt tránh đợc việc phải vẽ hình
phức tạp.

2) Tõ thùc tÕ kh¸ch quan :

- Việc sử dụng thành thạo phơng pháp vectơ sẽ giúp học sinh có thể làm nhanh
một số bài tập trắc nghiệm, điều này là phù hợp víi xu thÕ häc vµ thi hiƯn nay.

- Trong các đề thi đại học những năm gần đây thì các bài tốn hình học khơng
gian, đáp án không đa ra phơng pháp giải bằng vectơ. Điều này đã làm cho
học sinh và giáo viên ít chú trọng vào phơng pháp vectơ, do đó học sinh cha
thấy đợc những u việt của phơng pháp này.

- ViÖc sử dụng thành thạo phơng pháp vectơ sẽ giúp học sinh có thể làm nhanh
một số bài tập trắc nghiệm, điều này là phù hợp với xu thế học vµ thi hiƯn nay

- Học sinh học tốt phơng pháp vectơ ở hình học lớp 11 là tiền đề để học tốt
ph-ơng pháp vectơ và tọa độ trong không gian ở hình học giải tích lớp 12.

II) tÝnh khoa häc:

- Đề tài đợc xây dựng dựa trên các khái niệm và các phép toán của vectơ, mỗi
phần đều có phơng pháp giải cụ thể,

- các ví dụ đa từ dễ đến khó học sinh có thể đọc và tự nghiên cứu .

- đè tài đợc trình bày theo một trình tự khoa học. Từ đó giúp học sinh tiếp cận
dễ dàng và sử dụng thành thạo phơng pháp này.

III) tÝnh kh¶ thi và phạm vi áp dụng:

- Đề tài có tính khả thi cao bởi vì: các khái niệm và các phép tốn về vectơ trong
khơng gian là tơng tự nh trong mặt phẳng mà học sinh đã đợc học ở lớp 10, lớp
11 do đó nó khơng xa lạ với học sinh.

- Các bài toán ở phần dành cho học sinh trung bình đợc lấy từ bài tập sgk và sbt
có thêm phần giải thích đẻ học sinh dễ đọc dễ hiểu.

- Có nhiều bài tốn ở phần dành cho học sinh khá giỏi đợc trích từ các đề thi đại
học những năm gần đây và đợc trình bày lời giải bằng phơng pháp vectơ nên
sẽ khuyến khích đợc học sinh vận dụng phơng pháp này.

- Đề tài đợc áp dụng cho học sinh lớp 11 và 12.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

PhÇn 2 - Nội dung

A quy trình giải bài toán bằng ph ơng pháp véc tơ
1) quy trình

B

c 1 : lựa chọn một bộ ba véc tơ không đồng phẳng làm hệ véc tơ gốc. Nên

- chọn bộ ba véc tơ xuất phát từ một đỉnh.

- u tiên chọn các véc tơ dã biết độ dài và góc của của hai vecf tơ tơng ứng(đặc
biệt là gúc vuụng).

B

ớc 2: chuyển các giả thiết ,kết luận hình học của bài toán sang ngôn ngữ véc tơ

và biểu diễn các véc tơ liên quan theo hƯ vÐc t¬ gèc

2) các dạng hình học chuyn i c bn:

Giả thiết hình học Ngôn ngữ véc tơ (có thể)
Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng

OA OB

OM
MB
MA

AB
AM

2
1

0
2
1

G là trọng tâm tam giác ABC

OA OB OC

OM

GC
GB
GA

3
1

G là trọng tâm tứ diện ABCD




 



 

 

 

 

 


OD

OC

OB

OA

OG

GD

GC

GB

GA

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

3)c¸c dạng bài tập cơ bản

Bi toỏn 1: Chng minh ng thẳng song song với mặt phẳng:

§Ĩ chøng minh AB//(MNP), ta chøng minh:      


xMN yMP

AB

Bài toán 2: Chứng minh hai mặt phẳng song song ta chứng minh trong mặt phẳng này
chứa hai đờng thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia.( sử dụng bài toán 1
hai lần)

Bài tốn 3: Chứng minh hai đờng thẳng vng góc :

§Ĩ chøng minh ab ta chøng minh 1. 2 0




u

u , trong đó u1,u2 lần lợt là chỉ phơng của

a vµ b.

Bài tốn 4: Chứng minh đờng thẳng vng góc với mặt phẳng :

Để chứng minh MN (ABC) ta chứng minh

0 .

AC

MN

AB

MN

Bài toán 5: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc ta chứng minh trong mặt này chứa
một vectơ vuông góc với hai vectơ không cùng phơng nằm trong mặt kia

Bài toán 6: Các bài toán về gãc

*) Gọi  là góc giữa hai đờng thẳng a v b.

2
1,u

u lần lợt là chỉ phơng của a và b.

Khi ú :

2
1

2
1
2

.
.
)
,
cos(
cos

u
u

u
u
u

u

*) Gọi  là góc giữa đờng thẳng a và mặt phẳng(P).

Cách1: Ta đa về bài tốn xác định góc của đờng thẳng a và đờng thẳng a’ là hình chiếu

của a lên (P) .sau đó thực hiện nh bài tốn xác định góc của hai đờng thẳng .

Cách2: Ta đa về bài tốn xác định góc của đờng thẳng a và đờng thẳng b là hình chiếu

cđa a lên (P) và chú ý

2
1

2
1
2

.
.
)
,
cos(
sin

u
u

u
u
u

u

( trong ú

2
1,u

u lần lợt là chỉ phơng

của a và b)

*): Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

2
1,u

u lần lợt là véc tơ chỉ phơng

ln lt nằm trên hai đờng thẳng vng góc với hai mặt phẳng (P) và (Q). .

Khi đó :  










2
1

2
1
2

.
.
)
,
cos(
cos

u
u

u
u
u

u


Bài toán7: Xác định khoảng cách(từ điểm tới mặt phẳng , giữa hai đờng thẳng chéo 
nhau ): ta đa về bài tốn tính khoảng cách giữa hai điểm, do đó ta có phơng pháp sau:

Để tính khoảng cách giữa hai điểm M và N ta biến đổi     



xa yb zc

MN (trong đó





c
b

a, , là bộ ba vectơ đôi một không cùng phơng, đợc xuất phát từ một im v

c
b

a, , , các tích vô hớng 

b

a. , ,b.c, c.a là tính đợc và

MN
c

z
b
y
a
x

MN  

2 ( )

)
(

B)Các bài tập minh hoạ:

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

VÝ dơ1

Cho tø diƯn ABCD. Gäi G lµ träng tâm tam giác ABD. M là điểm nằm trên ®o¹n
CD sao cho

2
1



MD
MC

Chøng minh : MG//(ABC)

Giải:

Đặt :     




a AC b AD c

AB , ,

Vì
2
1

MD
MC

nên CM CD

3
1

Gi I là trung điểm của BD, khi đó :

 

 

 

 





 AI AC CM

GM
3
2
( )
3

1
)
.(
2
1
.
3

2     







 a c b c b

 a b

3
2
3
1

 AB  AC 

3
2
3

 MG//(ABC).

ở ví dụ này ta đã chon hệ véc tơ gốc cùng
điểm đầu là A

Ta đã chuyển đổi các giả thuyết,kết luận
hình học sang ngụn ng vect :

Vì
2
1

MD
MC

nên CM CD 

3
1

GM   AB  AC 

3
2
3

 MG//(ABC)

VÝdơ2 (Bµi tËp 4 SGK trang 91

Cho hình hộp ABCD.A/B/C/D/ . Gọi M,N lần lợt là trung điểm của CD và DD/.

Gọi G1,G2 lần lợt là trọng tâm của các tứ diện A/D/MN vµ BCC/D/.

Chøng minh : //( / /)

1G ABB A

G .

Giải:

Đặt :    




a AD b AA c

AB , , /

G là trọng tâm của tứ diện A/D/MN nªn

)
(

1 / /
1
 

 

 

 

 





 AA AD AM AN

AG

G là trọng tâm của tứ diện BCC/D/ nªn

)

(
4

1 / /

2
 

 

 

 

 





 AB AC AC AD

AG

Từ đó: ( )

1 / / / /

1
2
2
1
 

 

 

 

 

 

 







AG AG A B D C MC ND

G
G

             /
8
1
8
5
)
5
(
8
1
)
2
1
2
1
(
4
1
AA
AB
c
a
c
c
a
c
a
c
a
 //( / /)

1G ABB A

G

N hận xét: Nếu không sử dụng phơng pháp vectơ thì bài tốn này sẽ rất khó vẽ hình 
vì xác định đợc trọng tâm cuả hai tứ diện ta phải vẽ rất nhiều đờng và đơng nhiên 
việc chứng minh củng nh vậy.

ở ví dụ này ta đã chon hệ véc tơ gốc cùng điểm đầu là A

Ta đã chuyển đổi các giả thuyết hình học sang ngụn ng vect

G là trọng tâm của tø diƯn A/D/MN nªn ( )

1 / /
1
 

 

 

 


 





 AA AD AM AN

AG

G là trọng tâm của tứ diện BCC/D/ nªn ( )

1 / /

2
 

 

 

 

 






 AB AC AC AD

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Cho h×nh hép ABCD.A/B/C/D/. Gäi M,N,P lần lợt là trung điểm của AB,CC/,A/D/

. Chứng minh: ( )//( / /)

BC
A
MNP

Giải:

Đặt :     




a AD b AA c

AB , , /

Ta co    



a c

B

A/ ,    



a b

C
A/ /

 

 

 

 




PD DC C N

PN / / / / ( )

2
1
2
1

1    /  / /







 b a c A B A C  PN//(A/BC/) (1)



 




c a

BA/ ,    



b c

BC/
 


 

 

 




MA AA A P

MP / / ( )

2
1
2

1
2

1    /  /








 a b c BA BC  MP//(A/BC/) (2)

Tõ (1) vµ (2) ta suy ra ( )//( / /)

BC
A
MNP

Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A/B/C/ có tất cả các cạnh đều bằng a.

M là trung điểm của BB/. Chứng minh AM BC/

Giải:

Đặt :  




a BC b BB c

BA , , /

Vì ABC.A/B/C/ là lăng trụ tam giác đều nên

ta cã:
2
2
1
.
,

0
.
,
0

.c b c a b a

a   









 



 c a

AM

1 ,    



b c

BC/
0
2
1
2
1
.
2
1

. 2 2

2
/









 

 


a
a
b
a
c
BC
AM

 AM BC/



VÝ dơ 5:

Cho h×nh chãp S.ABC cã SA(ABC). Gọi H,K lần lợt là trực tâm tam giác ABC vµ
SBC. Chøng minh HK (SBC).

Giải:
Ta có:






























SC

BH

SA

BH

AC

BH

Khi đó:
0
).
(
.
0
).
(
.   
 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

BC
SK
AS
HA
BC
HK
SC
BK
HB
SC
HK

c B/

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

)
(SBC
HK 


VÝ dô 6:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 4 2. SA2 và

)

(ABC

SA . Gọi M,N lần lợt là trung điểm của AB,BC. Tính góc gia hai ng 
thng SM v AN.

Giải:

Đặt :        



a AC b AS c

AB , ,

Ta cã : . 0, . 0, . 16








b
a
c
b
c
a
3
2
)
2
1
(
2
1 2















 

 

 

a
c
SM
a
c
AM
SA
SM
)
(
2

1  

 




 a b

AN vµ AN 2 6

12
.
4
1
4
1
)
(
2
1
).
2
1
(
.
2















 

 

b
a
a
b
a
a
c
AN
SM

Gọi  là góc giữa hai đờng thẳng SM và AN, thì

0
45
2
1
6
2
.
3
2
12
.
.

)
,
cos(

cos      

 

 



AN
SM
AN
SM
AN
SM

II) dành cho học sinh khá giỏi
Vídụ1

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCDcó đáy ABCD là hình vuông cạnh a. E là điểm
đối xứng của D qua trung điểm của SA. M,N lần lợt là trung điểm của AE và BC.
Chứng minh MN BD.

( trích đề thi ĐH khối B năm 2007 )

Gi¶i:

Gọi OACBD. Khi đó SO (ABCD)

Đặt : 



a OB b OS c

OA , ,

Ta cã : . 0, . 0, . 0







b
a
c
b

c
a
 

 

 

 




MA AC CN

MN
 

 

 




 SD AC CB

2
1
2

1
)
(
2
1
)
(
2

1          




 SO OD AC CO OB







 a c

2
1
2

3

 


 b
BD 2
BD
MN
b
c
a
BD

MN       




 

 

0
)
2
).(
2
1
2

3
(
.

VÝ dô 2:

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAD đều và
nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Gọi M,N,P lần lợt là trung điểm của các 
cạnh SB,BC,CD. Chứng minh: AM BP

( trích đề thi ĐH khối A năm 2007 )Giải:
Gọi H l trung im ca AD

)

(ABCD

SH

Đặt:      



a HN b HS c

HA , ,

Ta cã: . 0, . 0, . 0








b
a
c
b
c
a

)
(

2
1
)
(

1       

 








 AS AB b c a

AM



 

 

 







BC CP a b

BP

2
1
2

0
4

1
4

. 2 2 2 2









 

 


AB
HA

b

a
BP
AM

BP
AM 


VÝ dơ 3:

Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD là hình chữ nhật , AB a, AD = a 2.

)

(ABCD

SA , M là trung điểm cña AD. Chøng minh : (SAC)(SMB).

( trích đề thi H khi B nm 2006 )

Giải:

Đặt :       



a AD b AS c

AB , ,

Ta cã : . 0, . 0, . 0








b
a
c
b
c

a vµ BM  SA  (1)



 



 








 a b AC a b

BM ,

2
1

0
2

1
2

. 2 2 2 2














 

 


AD
AB

b
a
AC
BM

 

 




 BM AC (2)

Tõ (1) vµ (2)  BM (SAC)  (SAC)(SMB)

VÝ dơ 4

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang. ABC BAD  BABC a




900 , AD 2a.

Cạnh bên SA vng góc với đáy và SAa 2. Gọi H là hình chiếu vng góc của

A trên SB. Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD).

( thi i hc khi D nm 2007)

Giải

Đặt         



a AD b AS c

AB , ,

Ta cã: . 0, . 0, . 0









b
a
c
b
c
a



 




 



 










a c SC a b c SD b c

SB ,

2
1
,

Gọi I là chân đờng vuụng gúc h t H

lên mặt phẳng (SCD) d(H;(SCD))HI
8

b
a

N
M

H
S

C
A

b
c

D
M

B C

A
S

D
A

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Khi đó :      



HS SI

HI
 


 

 





 SB xSC ySD

3
2










 x a x y b x y)c

3
2
(
)
2

(
)
3
2
(































































3

1

6

5 0)

3

2 ()

2 (

0)

3

2 ()

2 (

2

1 )

3

2 (

0 .

2

y

x

cyx

by

x

cyx

by

x

ax

SDHI

SCHI

3
)
2
1
(
6
1
6
1
12
1
6

1a b c HI a b c 2 a

HI        







 


Ví dụ 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCDlà hình vng cạnh a. E

là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA. M,N lần lợt là trung điểm của AE
và BC. Tính khoảng cách giữa MN và AC . ( trích đề thi ĐH khối B năm 2007 )

Giải:

Đặt :       



a OB b OS c

OA , ,

Ta cã : . 0, . 0, . 0







b
a
c
b
c
a





 

 

 

 

CN
AC
MA
MN
 

 

 



AC CB

SD
2
1
2
1
( )
2
1

)
(
2

1          




 SO OD AC CO OB

a c

2
1
2
3

a
AC 2

Gọi PQ là đoạn vuông góc chung của MN và AC , ta cã:

 

 

 

 

 

 

 







PM MA AQ xMN SD yAO

PQ
2
1













x a c ( c b) ya

2
1
)
2
1
2
3
(









 y x a x c b

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>





















































2

3

1 0)

2

3 (2

0)

1(

4

1 )

2

3 (

2

3

0.

0 .

2 y

x

ax

y

cx

ax

y

ACPQ

MNPQ

4
2

4
1
2

1 2

2 a

PQ
a

OB
PQ

b

PQ      




 



C) Bµi tËp tham khảo :

Bài 1: cho tứ diện ABCD . Gọi G1,G2,G3 lần lợt là trọng tâm cđa c¸c tam gi¸c ABC,

ACD, ABD . Chøng minh r»ng (G1G2G3) // (BCD).

Bài 2:Cho hình chóp S.ABCDcó đáy là hình thoi cạnh a tâm O. SO(ABCD), cạnh
bên SBa. E,F lần lợt là trung điểm của SA,SC. Chứng minh (BED)(BFD)

Bài 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và

D (ABCD,BDBC), ABADa,SD(ABCD), SDa 2.

a) Tính góc giữa (SBC) và (SCD).

b) Gọi I là trung điểm của CD. Tính côsin của góc hợp bởi hai mặt phẳng(SAB)và

)
(SBI

Bài4: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A/B/C/. Gọi M, N lần lợt là trung điểm của

/,CC

AA và G là trọng tâm A/B/C/

a) Chøng minh MG//(AB/N)

Chøng minh (MGC/)//(AB/N)

Bµi 5:Cho tø diƯn S.ABC, có SCCAAB a 2, SC (ABC). Tam giác ABC
vuông tại A, các điểm M thuộc SA và N thuéc BC sao cho AM CN t.

)
2
0

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Tính độ dài đoạn thẳng MN theo a và t.

Bài 6:hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều abc cạnh 7a , có cạnh SC vng góc
với mặt phẳng đáy (ABC) và SC= 7a.

a) tÝnh gãc gi÷a SA vµ BC.

b) Tính khỏang cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau SA v BC.

Bài 7: Cho lập phơng ABCD.A/B/C/D/ có cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa hai

đ-ờng thẳng A/B và B/D.

D) Kết luận

Phơng pháp vectơ giải toán hình học không gian giúp học sinh cã thĨ chun bµi

tốn phức tạp thành bài toán đơn giản và sử dụnh các phép biển đổi vectơ để thực hiện.
Tuy nhiên, đây không phải phơng pháp tối u cho tất cả các bài tốn .Vì vậy khi giải
tốn hình học khơng gian học sinh cần lu ý lựa chọn ,kết hợp các phơng pháp khác

nhau để giải toán một cách đơn giản nhất.

Mặc dù đã có nhiều cố gắng song đề tài vẫn còn nhiều chỗ cần phải bổ sung. Vì vậy
tơi rất mong có sự góp ý của bạn đọc, đồng nghiệp và học sinh.

ngày tháng năm 2010

Giáo viên

</div>

SKKN hinh hoc khong gianLop 1112

<i>OD</i>

<i>OC</i>

<i>OB</i>

<i>OA</i>

<i>OG</i>

<i>GD</i>

<i>GC</i>

<i>GB</i>

<i>GA</i>

0

.

0

.

<i>AC</i>

<i>MN</i>

<i>AB</i>

<i>MN</i>



















<i>SC</i>

<i>BH</i>

<i>SA</i>

<i>BH</i>

<i>AC</i>

<i>BH</i>























































































3

1

6

5