Nghiên cứu một lớp bất đẳng thức biến phân chứa số hạng phi tuyến dạng logistic

.

BỘ Y TẾ
ĐẠI HỌC Y DƢỢC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

CHƢƠNG TRÌNH KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ CẤP CƠ SỞ

BÁO CÁO TỔNG HỢP
KẾT QUẢ ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC

NGHIÊN CỨU MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC
BIẾN PHÂN CHỨA SỐ HẠNG PHI TUYẾN
DẠNG LOGISTIC

Cơ quan chủ trì nhiệm vụ: Khoa Khoa Học Cơ Bản
Chủ trì nhiệm vụ: TS.Trần Đình Thanh

Thành phố Hồ Chí Minh - 2019

1

.


.

ĐẠI HỌC Y DƯỢC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

CHƢƠNG TRÌNH KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP CƠ SỞ

BÁO CÁO TỔNG HỢP

KẾT QUẢ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

NGHIÊN CỨU MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC
BIẾN PHÂN CHỨA SỐ HẠNG PHI TUYẾN
DẠNG LOGISTIC

Cơ quan chủ quản

Chủ trì nhiệm vụ

Cơ quan chủ trì nhiệm vụ

2

.

Nguyễn Văn B


.

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Tp.Hồ Chí Minh, ngày 03 tháng 05 năm 2019.
BÁO CÁO THỐNG KÊ
KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
I. THÔNG TIN CHUNG
1. Tên đề tài: Nghiên cứu một lớp bất đẳng thức biến phân chứa
số hạng phi tuyến dạng logistic
Thuộc lĩnh vực : Nghiên cứu cơ bản

2. Chủ nhiệm nhiệm vụ:
Họ và tên: ..Trần Đình Thanh..................................................................
Ngày, tháng, năm sinh: 01-07-1956.................. Nam/ Nữ: .Nam..................
Học hàm, học vị: .Tiến sĩ........................................................
Chức danh khoa học: .Giảng viên chính...................Chức vụ..Giảng viên....
Điện thoại: Tổ chức: ................. Nhà riêng: ................ Mobile:0903639060
Fax: ....................................... E-mail:
Tên tổ chức đang công tác: Đại Học Y Dược Tp.Hồ Chí Minh.........................
Địa chỉ tổ chức: 217 Hồng Bàng, Phường 11, Quận , Tp.Hồ Chí Minh................
Địa chỉ nhà riêng: 47/19 Trần Hưng Đạo, Phường 6, Quận 5.............................
3. Tổ chức chủ trì nhiệm vụ(1):
Tên tổ chức chủ trì nhiệm vụ: Khoa Khoa Học cơ bản.......................................
Điện thoại: . 02839509762....................... Fax: ..................................................
E-mail: ....................................................................................................
Website: .................................................................................................
1

Tên Khoa hoặc Trung tâm, đơn vị - nơi quản lý trực tiếp cá nhân làm chủ nhiệm đề tài.

3

.


.

Địa chỉ: 217 Hồng Bàng, Phường 11, Quận , Tp.Hồ Chí Minh...........
4. Tên cơ quan chủ quản đề tài: Đại học Y Dược thành phố Hồ Chí Minh
II. TÌNH HÌNH THỰC HIỆN
1. Thời gian thực hiện nhiệm vụ:

- Theo Hợp đồng đã ký kết: từ tháng 6 năm 2017 đến tháng 6 năm 2019
- Thực tế thực hiện: từ tháng 6 năm 2017 .đến tháng 6 năm 2019
- Được gia hạn (nếu có): Khơng gia hạn
Từ tháng…. năm…. đến tháng…. năm….
2. Kinh phí và sử dụng kinh phí:
a) Tổng số kinh phí thực hiện: 0 đồng………………, trong đó:
+ Kính phí hỗ trợ từ ngân sách khoa học của nhà trường: ………………….tr.đ.
+ Kinh phí từ các nguồn khác: ……………….tr.đ.
b) Tình hình cấp và sử dụng kinh phí từ nguồn ngân sách khoa học:
Số
TT

Theo kế hoạch
Thời gian
Kinh phí
(Tháng,
(Tr.đ)
năm)

Thực tế đạt được
Thời gian
Kinh phí
(Tháng, năm)
(Tr.đ)

Ghi chú
(Số đề nghị
quyết tốn)

1

2
…
c) Kết quả sử dụng kinh phí theo các khoản chi:
Đơn vị tính: Triệu đồng
Theo kế hoạch

Số
TT

Nội dung
các khoản chi

1

Trả công lao động
(khoa học, phổ
thông)
Nguyên, vật liệu,
năng lượng
Thiết bị, máy móc
Xây dựng, sửa
chữa nhỏ

2
3
4

Tổng

NSKH Nguồn

khác

4

.

Thực tế đạt được
Tổng

NSKH Nguồn
khác


.

5

Chi khác
Tổng cộng

- Lý do thay đổi (nếu có):
3. Tổ chức phối hợp thực hiện nhiệm vụ:
Số
TT

Tên tổ chức Tên tổ chức đã
đăng ký theo tham gia thực
Thuyết minh
hiện

Nội dung
tham gia
chủ yếu

Sản phẩm
chủ yếu
đạt được

Ghi
chú*

1
2
...
- Lý do thay đổi (nếu có):
4. Cá nhân tham gia thực hiện nhiệm vụ:
(Người tham gia thực hiện đề tài thuộc tổ chức chủ trì và cơ quan phối hợp, không quá 10
người kể cả chủ nhiệm)
Số
TT

Tên cá nhân
đăng ký theo
Thuyết minh

Tên cá nhân
đã tham gia
thực hiện

Nội dung

tham gia
chính

Sản phẩm
chủ yếu đạt
được

Ghi
chú*

1
2
...
- Lý do thay đổi ( nếu có):
5. Tình hình hợp tác quốc tế:
Số
TT

Theo kế hoạch
(Nội dung, thời gian, kinh
phí, địa điểm, tên tổ chức
hợp tác, số đoàn, số lượng
người tham gia...)

Thực tế đạt được
(Nội dung, thời gian, kinh
phí, địa điểm, tên tổ chức
hợp tác, số đoàn, số lượng
người tham gia...)

Ghi
chú*

1
2
...
- Lý do thay đổi (nếu có):
6. Tình hình tổ chức hội thảo, hội nghị:
Theo kế hoạch
Thực tế đạt được
Số
(Nội dung, thời gian, kinh
(Nội dung, thời gian,
TT
phí, địa điểm )
kinh phí, địa điểm )
5

.

Ghi chú*


.

1
2
...
- Lý do thay đổi (nếu có):
7. Tóm tắt các nội dung, công việc chủ yếu:

(Nêu tại mục .....của đề cương, không bao gồm: Hội thảo khoa học, điều tra khảo sát trong
nước và nước ngồi)
Số
TT

Các nội dung, cơng việc
chủ yếu
(Các mốc đánh giá chủ yếu)

Thời gian
(Bắt đầu, kết thúc
- tháng … năm)
Theo kế
Thực tế
hoạch
đạt được

Người,
cơ quan
thực hiện

1
2
...
- Lý do thay đổi (nếu có):
III. SẢN PHẨM KH&CN CỦA ĐỀ TÀI
1. Sản phẩm KH&CN đã tạo ra:
a) Sản phẩm Dạng I:
Tên sản phẩm và
Số

chỉ tiêu chất lượng
TT
chủ yếu
1
2
...

Đơn
vị đo

Số lượng

Theo kế
hoạch

Thực tế
đạt được

- Lý do thay đổi (nếu có):
b) Sản phẩm Dạng II:
Số
TT

Tên sản phẩm

Yêu cầu khoa học
cần đạt
Theo kế
Thực tế
hoạch

đạt được

1
2
...
6

.

Ghi chú


.

- Lý do thay đổi (nếu có):
c) Sản phẩm Dạng III:
Số
TT

Tên sản phẩm

Yêu cầu khoa học
cần đạt
Theo
Thực tế
kế hoạch
đạt được

Số lượng,
nơi cơng bố

(Tạp chí, nhà
xuất bản)

1
2
...
- Lý do thay đổi (nếu có):
d) Kết quả đào tạo:
Số
TT

Cấp đào tạo, Chuyên
ngành đào tạo

1
2

Tiến sỹ

Số lượng
Theo kế
Thực tế đạt
hoạch
được
01
01

Ghi chú
(Thời gian
kết thúc)

2018

- Lý do thay đổi (nếu có):
đ) Tình hình đăng ký bảo hộ quyền sở hữu công nghiệp:
Số
TT

Tên sản phẩm
đăng ký

Kết quả
Theo
Thực tế
kế hoạch
đạt được

Ghi chú
(Thời gian
kết thúc)

1
2
...
- Lý do thay đổi (nếu có):
e) Thống kê danh mục sản phẩm KHCN đã được ứng dụng vào thực tế
Số
TT

Tên kết quả
đã được ứng dụng

Thời gian

Địa điểm
(Ghi rõ tên, địa
chỉ nơi ứng
dụng)

1
2
7

.

Kết quả
sơ bộ


.

2. Đánh giá về hiệu quả do đề tài mang lại:
a) Hiệu quả về khoa học và công nghệ:
Bất đẳng thức biến phân chứa số hạng phi tuyến dạng Logistic có ý nghĩa khoa học và
thực tiển nó kết hợp hai bài quan trọng là phương trình Logistic suy rộng và các bất đẳng
thức biến phân . Kết quả đề tài có được là tiếp tục và mở rộng một số nghiên cứu của các
nhà toán học trên thế giới.
b) Hiệu quả về kinh tế xã hội:
Đây là một kết quả mang ý nghĩa nghiên cứu khoa học, học tập và đào tạo, trước mắt
chưa thấy đem đế lợi ích về tiền bạc.
3. Tình hình thực hiện chế độ báo cáo, kiểm tra của đề tài:

Số
TT
I

II

Nội dung
Báo cáo tiến độ
Lần 1
Báo cáo giám định giữa kỳ
Lần 1

Thời gian
thực hiện

Ghi chú
(Tóm tắt kết quả, kết luận
chính, người chủ trì…)

01/06/2017→
30/12/2017

Thu thập tài liệu liên
quan đến đề tài, kiến thức
chuẩn bị

01/01/2018→
30/12/2018

Hoàn thành nội dung đề

tài về khâu viết

….
Chủ nhiệm đề tài

Thủ trƣởng tổ chức chủ trì
(Họ tên, chữ ký và đóng dấu)

Trần Đình Thanh

8

.


.

Mục lục
Trang bìa

1

Trang phụ bìa

2

Báo cáo thống kê

3

Mục lục

9

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt

10

Đặt vấn đề

12

Chương 1: Tổng quan

12

Chương 2: Đối tượng và phương pháp nghiên cứu

13

Chương 3: Kết quả

14

Kết luận

20

Tài liệu tham khảo

21

9

.


.

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắc
Các chữ viết tắc
đpcm

Điều phải chứng minh.

e.g

Ví dụ như.

i.e

Nghĩa là.

h.k.n

Hầu khắp nơi.

Ký hiệu tập hợp
N
R

Tập hợp các số tự nhiên.
Tập hợp các số thực.

R+ = [0, +∞)

Tập hợp các số thực không âm.

Ω

Tập mở, bị chận có biên trơn
trong Rn.

Ký hiệu các không gian hàm
E
Ej

Không gian Banach.
Đối ngẫu của không gian Banach E.

K

Nón dương trong khơng gian Banach.

Lp(Ω)

Khơng gian các hàm f đo
được và |f |p khả tích trên Ω.

L+p (Ω)

Tập các hàm không âm trong Lp(Ω).

L∞(Ω)

Không gian các hàm đo được,
thực chất bị chận trên Ω.

10

.


.

W 1,p(Ω) = {f : Ω → R : f, Df ∈ Lp(Ω)} Khơng gian các hàm thuộc Lp(Ω)
có đạo hàm suy rộng thuộc Lp(Ω).

C0∞ (Ω)

Không gian các hàm khả vi vơ
hạn có giá compact trong Ω..

∆pu = div(|∇u|p−2∇u)

Tốn tử p-Laplace.

(·, ·)

Tích đối ngẫu trong Ej và E.

B(a, r) = {x ∈ E : "x − a" < r}

Quả cầu mở tâm a bán kính r trong
E.

θ

Phần tử khơng của các không gian
Banach

11
.


.

ĐẶT VẤN ĐỀ
Chƣơng 1: TỔNG QUAN
Phương trình Logistic
u  a  x  u  b  x  u  trong , u  o

trên

.

(0.0.1)

được M.Gutin và R.MacCamy đưa vào nghiên cứu năm 1977 nhằm mô tả sự phát triển của
các quần thể sinh học trong tự nhiên. Sau này, phương trình (0.0.1) cịn được ứng dụng

trong nhiều vấn đề của y học, trong bài tốn vận tải.
Vì những ứng dụng quan trọng của nó mà phương trình (0.0.1) được sự quan tâm nghiên
cứu của nhiều nhà toán học và được mở rộng theo nhiều hướng khác nhau. Gần đây,
phương trình (0.0.1) đã được mở rộng thành dạng
_  pu   f  x, u, u   g  x, u  trong , u  0 trên .



trong đó  pu  div u

p 2

(0.0.2)



u là tốn tử p-Laplace.

Trong đề tài này chúng tơi nghiên cứu sự tồn tại nghiệm không âm, không tầm thường
của bất phương trình biến phân sau đây

( p ) /
( p ) /
u

K
,
g
x,
u


L

,
f
x,
u
,

u

L









 Au, v  u    f  x, u , u   g  x, u    v  u  dx, v  K ,



trong đó Ω là miền bị chặn có biên trơn trong

N

(0.0.3)

; f, g là các hàm Carotheodory thỏa mãn

các điều kiện bổ sung, A là toán tử p – Laplace Au,   u

p 2

u , K là nón các hàm



khơng âm trong W01, p   . Các tác giả trong [9] xét bài toán sau
u  K , F  x, u, u   L( p )/    ,


 Au, v  u   F  x, u, u  v  u  dx, v  K ,



12

.

(0.0.4)


.

trong đó F là hàm tăng theo biến thứ hai, giảm theo biến thứ ba, nên (0.0.4) có dạng (0.0.3)
với g  x, u   F  x, u, o  là hàm tăng.

Các tác giả đã sử dụng một kết quả trong [2] để xây dựng toán tử giải cho một bất
đẳng thức biến phân phụ để đưa (0.0.4) về bài tốn điểm bất động. Sau đó xây dụng nghiệm
dưới và sử dụng một định lý điểm bất động của ánh xạ tăng để chứng minh sự tồn tại
nghiệm không tầm thường.
Trong dề tài chúng tôi cũng áp dụng phương pháp của [9] để đưa (0.0.3) về bài tốn
điểm bất động, nhưng áp dụng bậc tơ pơ trong nón kết hợp với việc đánh giá nghiệm và lý
luận về thứ tự để thu được nghiệm không tầm thường. Các kết quả chính của bài tốn
(0.0.3) là:
• Chứng minh bài tốn có nghiệm khơng tầm thường trong trường hợp (p-1) – dưới
tuyến tính.
• Trong trường hợp (p-1) – tuyến tính bài tốn có nghiệm khơng tầm thường khi

0  1 trong đó 0 là giá trị riêng của tốn tử  p với hàm trọng được xác định trong bài
toán.
Chƣơng 2: ĐỐI TƢỢNG VÀ PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
2.1. Bản chất nghiên cứu: Định tính
2.2. Phương pháp nghiên cứu:
- Nghiên cứu khác

Đưa về bài tốn tìm điểm bất động

2.3. Đối tượng nghiên cứu:
- Dân số nghiên cứu

Bất phương trình biến phân

- Tiêu chuẩn chọn vào

Số hạng phi tuyến dạng Logistic

- Tiêu chuẩn chọn ra

Nghiệm dương của bài toán
Khoảng giá trị tham số

2.4. Công cụ và vật liệu nghiên cứu:
2.4.1. Phạm vi nghiên cứu
- Sự tồn tại nghiệm dương.
13

.


.

- Số hạng f là (p-1)-tuyến tính hoặc dưới (p-1) - tuyến tính.
- Khoảng giá trị tham số để bài tốn có nghiệm.
2.4.2 Cách tiếp cận
- Phân tích đánh giá các kết quả và phương pháp nghiên cứu bài
toán (2) và bàitốn (3), cải tiến thích hợp để tìm ra phương pháp
nghiên cứu (4).
2.4.3. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dựng một kết quả về bất đẳng thức biến phân để đưa (4) vể bài
toán điểm bất động.
- Sử dụng và đánh giá nghiệm.
- Sử dụng phương pháp bậc tôpô kết hợp với phương pháp sử dụng
thứ tự để chứng minh tồn tại điểm bất động.
2.5 Các bước tiến hành nghiên cứu (yêu cầu ít nhất 1 bước):
- Bước 1 Thu thập tài liệu có liên quan đề tài
- Bước 2 Phân tích dự đốn kết quả

- Bước 3 Xây dựng và chứng minh các kết quả.
2.6 Quản lý và phân tích số liệu:
- Khơng có phân tích số liệu
Chƣơng 3: KẾT QUẢ

3.1 Giới thiệu bài toán
Trong chương này ta xét bài tốn bất phương trình biến phân
sau. Tìm hàm u thỏa mãn

( p ) /
( p ) /
u

K
,
g
.,
u

L

,
f
.,
u
,

u

L










 Au, v  u   g ., u  v  u    f ., u , u  v  u  , u  K ,



14

.

(3.1.1)


.

trong đó Ω là một miền bị chặn với biên trơn trong RN , f, g là các hàm Caratheodory thỏa
các điều kiện được chỉ ra sau, và
Au,   u

p 2

u. là tốn tử p– Laplace, K là nón các hàm không âm



trong không gian W01, p    .
Với các điều kiện dưới đây về hàm f và g thì bài tốn đã có nghiệm u(x) ≡ 0

và ta cần tìm nghiệm khơng âm, khơng đồng nhất bằng 0. Trường hợp đặc biệt của
3.1.1 khi g là hàm tăng, f không phu thuộc ∇u và là hàm tăng, bài toán đã được
nghiên cứu trong [9]. Các tác giả của [9] đã xây dựng toán tử giải của một bất
đẳng thức biến phân phụ để đưa bài toán về bài tốn điểm bất động, sau đó xây
dựng nghiệm dưới và sử dụng một định lý điểm bất động của ánh xạ tăng để chứng
minh sự tồn tại của nghiệm khơng tầm thưịng.
Chúng tơi cũng sử dụng phương pháp trong [9] để đưa bài toán 3.1.1 về bài toán
điểm bất động và sử dụng bậc tơpơ trong nón để chứng minh sự tồn tại của nghiệm
u ≥ θ, u ≠ θ. Cụ thể bài tốn 3.1.1 có ít nhất một nghiệm trong trường hợp (p − 1) dưới tuyến tính và với λ0 < 1 trong trường hợp (p − 1) – tuyến tính, trong đó λ0 là
giá trị riêng chính tương ứng với bài tốn giá trị riêng có trọng. Đây cũng là
kết qủa chính của chương.

3.2 Đƣa bài toán về bài toán điểm bất động
Để đưa bài toán bất đẳng thức biến phân trên về bài toán điểm bất động, ta
sử dụng các định lý sau (xem [2])

Định lý 3.2.1 Giả sủ hàm Caratheodory g : Ω × R → R thỏa mãn các điều kiện
sau
1. g(x, 0) = 0, u → g(x, u) là hàm tăng, vói x ∈ Ω h.k.n;
2. với mọi t > 0 tồn tại hàm ϕt ∈ L1(Ω) sao cho sup u t g  x, u   t  x  .
,

Khi đó, với mọi z W 1, p    , bài toán
15

.


.

u  K , g ., u   L1    ,ug ., u   L1   



 Au, v  u   g ., u  v  u   z , v  u , v  K  L   



(3.2.2)

có duy nhất nghiệm u thỏa
Au, u   g ., u  u  z, u

(3.2.3)



Hơn nữa, nếu u1, u2 là hai nghiệm tương ứng với z1, z2 trong (3.2.2) thì
u1g(x, u2), u2g(x, u1) ∈ L1(Ω) và
Au1  Au2 , u1  u2    g  x, u1   g  x, u2   z1  z2 ,u1  u2

(3.2.4)



Định lý 3.2.2 [9] Cho u0 W01, p    và µ là một độ đo Radon dương. Giả sử rằng
h ∈ L1(Ω) thỏa mãn

  h W01, p    , u0   , hu0  v  L1   .
/

Khi đó, ta có hu0  L1    , u0  L1  ,   và

  h, u0   u0d    hu0dx.




Bổ đề 3.2.3 Giả sử u là nghiệm của bài tốn (3.2.2) thì với v ∈ K, ta có
1.
2.

Au  z,  tu  v 



Au  z,  tu  v 



  g  x, u  tu  v   0, t  0;




  g  x, u  tv  u   0 nếu vg  x, u   L1    ;




3. Au  z, v u   g  x, u  v  u   0 và vg  x, u   L1    ;


Bổ đề 3.2.4 Giả sử hàm Caratheodory g thỏa mãn các điều kiện sau

 g1 g  x,0  0, và

g(x,u) là hàm tăng đối với biến u với h.k.n x ;
16

.


.

 g 2

tôn tại

  p  1

và

 )/

b  L( p

   sao cho



g  x, u   a u  b  x .

Khi đó, với mọi z W 1, p    , bài toán
/

u  K , g x, u  L( p )/ 
 
 


 Au, v  u   g  x, u  v  u   z, v  u , v  K .



(3.2.5)

có nghiệm duy nhất.
Bổ đề 3.2.5 Giả sử hàm g thỏa mãn các điều kiện (g1), (g2) của Bổ đề
3.2.4, P : W 1, p     W01, p    là ánh xạ cho tương ứng mỗi z W 1, p    với
/

/

P  z   u là nghiệm duy nhất của bài toán (3.2.5). Khi đó, các phát biểu sau là

đúng:

1. P là ánh xạ tăng.
2. P liên tục và P(M) bị chặn nếu M bị chặn.

 

3. Nếu   p

/

thì P : L     W01, p    là compact.

Hệ quả 3.2.6


1. Giả sử rằng   p  1,  


p

p 

 /

/

 p 
và m  L    với q  
 sao cho

1




q



f  x, u, v   m  x  u  c v . Khi đó, tốn tử Nemytskij N f từ W01, p    đến L    là
 p qp 
liên tục và bị chặn với   min  ;
 p

  q  p 

 

/

 1  
p
2. Giả sử tồn tại   p  1,   p 1    và m  Lq    với q 
 1 
p 

p 1     
p 


17

.


.

Sao cho f  x, u, v   m  x  u



1  c v . Khi đó, toán tử Nemytskij N


ppq
L    là liên tục và bị chặn với   
 p

pp   pq   p q

 



f

từ W01, p    đến

/

Nhận xét 3.2.7 Nếu điều kiện (g1) – (g2) và một trong các điều kiện (1) và (2) của
hệ quả 3.2.6 được thỏa thì tốn tử P N f là hoàn toàn liên tục từ W01, p    đến
W01, p    . Do đó,bài tốn (3.1.1) được đưa về bài toán điểm bất động
u  P N f  u  của ánh xạ hoàn tồn liên tục.

3.3 Các kết quả chính
3.3.1 Trƣờng hợp dƣới tuyến tính
Định lý 3.3.1 Giả sử hàm Caratheodory g thỏa điều kiện (g1) – (g2) và hàm
Caratheodory f :  R  R   R thỏa mãn các điều kiện sau
/

 p 
q
(H0) Tồn tại   p  1, m  x   L    , q  
 sao cho
1




0  f  x, u, v   m  x  u  cv .

(H1) Ít nhất mợt trong hai điều kiện sau được thỏa
a.   p  1.
 1

b. ug  x, u   a u 1 ,   1
p.

1

(H2) Tồn tại một tập con mở 0   và các số   0, m0  0, m1  0,1  p  1, 2  1
sao cho
f  x, u, v   m0u1 , x 0 , u  0,  , v  R N ,

g  x, u   m1u 2 .

Khi đó, bài tốn (3.1.1) có ít nhất một nghiệm khơng tầm thường.
3.3.2 Trƣờng hợp tuyến tính
Trong phần nay ta xét tốn tử p- Laplace

 p với N  1  p  N
18

.


.

Định lý 3.3.2 Giả sử điều kiện (g1) – (g2) và các điều kiện dưới đây được thỏa
(H3) a. ug  x, u   au 2  b  x  với 2  p, b  L1    ,
b. g  x, u   au p1 và lim

u 0

g  x, u 
 0, x .
u p1


(H4) 0  f  x, u, v   m  x  u p1  C v , u  0, v  R N với p  1   

2  1
p
2

 p 
và m  Lq    , q    .
 p

(H5) Tồn tại hàm m1  Lr    , m1  x   0, m1  x   0, r 

Np

 p  1 p  1  N 

sao cho

a. Với mọi dãy số tn  0 , un  u1 và mọi dãy bị chặn vn  , thì
lim

f  x, tnun , tnvn 
tnp1

n

 m1  x .u p1.

b. Giá trị riêng chính 0 của bài tốn
p 2


u trong ,
 pu   m1  x  u

tren ,

u  0

thỏa 0  1.

Khi đó, bài tốn (3.1.1) có ít nhất một nghiệm dương.
Định lý 3.3.3 Giả sử các điều kiện (g1) – (g2), (H3) và (H5) trong định lý 3.3.2 được thỏa,
và điều kiện (H4) được thay thế bởi điều kiện sau



(H4’) 0  f  x, u, v   m  x  u p1 1  c v



 với   p 1  p  , m  x   L  ,
q

2

q



p p

.
p  p     p2


Khi đó, bài tốn (3.1.1) có ít nhất một nghiệm dương.
19

.


.

Kết luận
I. Đề tài khảo sát bốn lớp phương trình hoặc bất phương trình chứa số hạng phi

tuyến dạng logistic và áp dụng một phương pháp thống nhất để nghiên cứu
chúng. Đó là xây dựng tốn tử giải của một bài toán phụ để đưa bài toán ban đầu
về bài

toán điểm bất động, sau đó sử dụng bậc tơ pơ trong nón, các đánh giá

nghiệm và các lý luận về thứ tự để chứng minh sự tồn tại của một hoặc hai nghiệm
khơng âm, khơng tầm thường của bài tốn.
Các kết qủa chính của đề tài

1.Đối với phương trình logistic suy rộng chứa đạo hàm, các kết qủa thu được là
– Trong trường hợp (p−1)- dưới tuyến tính, bài tốn có nghiệm với mọi λ > 0.
– Trong trường hợp (p − 1)-tuyến tính, bài tốn có nghiệm khi λ > λ0, trong

đó λ0 được xác định từ các giá trị riêng chính của bài tốn giá trị riêng có

trọng liên kết.
– Trong trường hợp (p − 1)- trên tuyến tính thì bài tốn có ít nhất hai

nghiệm khi λ đủ lớn.
2.Đối với bất phương trình logistic, đề tài chứng minh được rằng
– Bài toán (p − 1)- dưới tuyến tính ln có nghiệm.
– Bài tốn (p − 1)- tuyến tính có nghiệm khi λ0 < 1 vói λ0 là giá trị riêng

chính của bài tốn giá trị riêng có trọng liên kết.
II. Các bài tốn trong đề tài có thể được nghiên cứu tiếp theo các hướng
1. Hệ phương trình logistic
2. Xét sự duy nhất nghiệm.
2. Xét dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi tham số λ tiến tới 0 hoặc ∞.
20

.


.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]D. Arcoya, J. Carmona, P. J. Martinez - Aparicio, Elliptic obstacle problems
with natural growth on the gradient and singular nonlinear terms, Adv.
Nonl. Stud. 7(2007) 299–317.
[2]L. Boccardo, D. Giachetti, F. Murat, A generalization of a theorem of H.
Brezis and F. Browder and applications to some unilateral problems, Pubb.
Lab. Anal. Numer., Univ. Pièrre et Marie Curie, R89014, 1989.
[3]S. Carl, V. K. Le and D. Montreanu, Nonsmooth Variational Problems
and Their Inequalities, Springer, New York, 2007.
[4]P. Magrone, D. Mugnai, R. Servadei,Multiplicity of solutions for semilinear

varia- tional inequalities via linking and ∇-theorems, J. Diff. Equa., 228(2006)
191—225
[5]M. Matzeu, R. Servadei, Semilinear elliptic variational inequalities with
depen- dence on the gradient via Mountain Pass techniques, Nonl. Anal.,
72(2010) 4347– 4359.
[6]M. Matzeu, R. Servadei, Stability for semilinear elliptic variational inequalities
depending on the gradient, Nonl. Anal., 74(2011) 5161—5170.
[7] M. Matzeu, R. Servadei, A linking type method to solve a class of semilinear
elliptic variational inequalities, Advanced Nonlinear studies2(2002), 1 – 17.
[8]K. Schmitt, V. K, Le, Global Bifurcation in Variational Inequalities:
Applications to Obstacle and Unilateral Problems, Springer - Verlag,1997.
[9]N. B. Huy, N. D. Thanh and T. D. Thanh, Extremal solutions for a class of
unilateral problems, Zeitschrift fur Analysis und ihre Anwendungen,
21(2002), 371–380.
[10] Nguyen Bich Huy, Bui The Quan, Nguyen Huu Khanh, Existence and multiplicity results for generalized logistic equations, Nonl. Anal., 144(2016) , 77–92.

21

.


Bản quyền tài liệu thuộc về Thư viện Đại học Y Dược TP.Hồ Chí Minh.

.

22