Xấp xỉ nghiệm của một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian banach (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

TRẦN HỌC TOÀN

XẤP XỈ NGHIỆM CỦA MỘT LỚP
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG
KHÔNG GIAN BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN, 10/2018


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

TRẦN HỌC TOÀN

XẤP XỈ NGHIỆM CỦA MỘT LỚP
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG
KHÔNG GIAN BANACH

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 8460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

PGS.TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY
THÁI NGUYÊN, 10/2018


iii

Mục lục
Bảng ký hiệu

1

Mở đầu

2

1 Bất đẳng thức biến phân và một số bài toán liên quan

4

1.1

Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian hữu
hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1

Điểm bất động và phép chiếu mêtric . . . . . . . . .

4

1.1.2

Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian
RN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2

Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert

15

1.2.1

Toán tử chiếu trong không gian Hilbert . . . . . . . . 15

1.2.2

Bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . 16

1.2.3

Một số bài toán mô tả được dưới dạng bài toán bất
đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.4
1.3

Nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . 18

Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach

20

1.3.1

Ánh xạ j-đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3.2

Bài toán bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu . . . . 23

2 Xấp xỉ nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập
điểm bất động của nửa nhóm không giãn
2.1

25

Nửa nhóm không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.1

Định nghĩa. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.2

Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

iv

2.2

Xấp xỉ nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập
điểm bất động của nửa nhóm không giãn . . . . . . . . . . . 29
2.2.1

Nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . 30

2.2.2

Phương pháp lặp và sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.3

Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Kết luận

43

Tài liệu tham khảo

44


1

Bảng ký hiệu

H

không gian Hilbert thực

E

không gian Banach

E∗

không gian đối ngẫu của E

SE

mặt cầu đơn vị của E

R

tập các số thực

R+

tập các số thực không âm

∀x

với mọi x

D(A)

miền xác định của toán tử A

R(A)

miền ảnh của toán tử A

A−1

toán tử ngược của toán tử A

I

toán tử đồng nhất

C[a, b]

không gian các hàm liên tục trên đoạn [a, b]

lp , 1 ≤ p < ∞

không gian các dãy số khả tổng bậc p

Lp [a, b], 1 ≤ p < ∞

không gian các hàm khả tích bậc p trên đoạn [a, b]

d(x, C)

khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp C

lim supn→∞ xn

giới hạn trên của dãy số {xn }

lim inf n→∞ xn

giới hạn dưới của dãy số {xn }

xn → x0

dãy {xn } hội tụ mạnh về x0

xn

dãy {xn } hội tụ yếu về x0

x0

J

ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc

j

ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị

Fix(T )

tập điểm bất động của ánh xạ T

2

Mở đầu
Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian vô hạn chiều được
nhà toán học người Italia là G. Stampacchia và các đồng sự đưa ra lần đầu
tiên vào những năm đầu của thập niên 60 thế kỉ XX trong khi nghiên cứu
về bài toán biên tự do (xem [7], [9], [10] và [11]). Bài toán bất đẳng thức
biến phân có vai trò quan trọng trong nghiên cứu toán học lý thuyết về
bài toán tối ưu, bài toán điều khiển, bài toán cân bằng, bài toán bù, bài
toán giá trị biên v.v... Bên cạnh đó, bài toán bất đẳng thức biến phân còn
có nhiều ứng dụng trong các bài toán thực tế như mô hình cân bằng trong
kinh tế, giao thông, bài toán khôi phục tín hiệu, bài toán công nghệ lọc
không gian, bài toán phân phối băng thông v.v... Do đó, việc nghiên cứu
các phương pháp giải bất đẳng thức biến phân đang là một trong những
đề tài thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong
và ngoài nước và nhiều kết quả sâu sắc đã được thiết lập.
Đề tài luận văn giới thiệu và trình bày lại hai phương pháp lặp hiện giải
bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của nửa nhóm ánh
xạ không giãn trong trong không gian Banach trong bài báo [6] công bố
năm 2017.
Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1 giới
thiệu về bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian hữu hạn chiều,
không gian Hilbert và không gian Banach, trình bày mối liên hệ giữa bài
toán bất đẳng thức biến phân với một số bài toán liên quan. Chương 2
trình bày hai phương pháp lặp xấp xỉ nghiệm bài toán bất đẳng thức biến
phân trên tập điểm bất động chung của nửa nhóm không giãn trong không
gian Banach, trình bày sự hội tụ mạnh của các phương pháp và đưa ra ví

3

dụ minh họa.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học–Đại học Thái
Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Cô.
Trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Đại học Khoa học–Đại
học Thái Nguyên tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ và động
viên của các thầy cô trong khoa Toán–Tin và các thầy cô trong trường.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Cô.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Trung tâm GDNN – GDTX
Đan Phượng và các anh chị em đồng nghiệp đã tạo điều kiện tốt nhất cho
tác giả trong thời gian đi học Cao học.
Xin cảm ơn các anh chị học viên lớp Cao học Toán K10 và bạn bè đồng
nghiệp đã trao đổi, động viên và khích lệ tác giả trong quá trình học tập
và làm luận văn tại trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên.
Thái Nguyên, tháng 10 năm 2018
Tác giả luận văn

Trần Học Toàn


4

Chương 1

Bất đẳng thức biến phân và một số
bài toán liên quan
Chương này giới thiệu bài toán bất đẳng thức biến phân trong không
gian hữu hạn chiều và vô hạn chiều cùng một số bài toán liên quan đến

bất đẳng thức biến phân. Nội dung của chương được tổng hợp từ các tài
liệu [1], [2], [3], [5] và [8].

1.1

Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian
hữu hạn chiều

1.1.1

Điểm bất động và phép chiếu mêtric

Ký hiệu RN là không gian Euclid N chiều có tích vô hướng và chuẩn
tương ứng ký hiệu là ., . và . .
Định nghĩa 1.1.1 Cho C là một tập hợp khác rỗng, F là một ánh xạ từ
C vào C. Một điểm x ∈ C được gọi là điểm bất động của ánh xạ F nếu
F (x) = x.
Tập tất cả các điểm bất động của F được ký hiệu là Fix(F ), nghĩa là
Fix(F ) = x ∈ C : F (x) = x .
Nhận xét 1.1.2 Điểm bất động của ánh xạ F là nghiệm của phương trình
toán tử F (x) − x = 0.


5

Định nghĩa 1.1.3 Cho X là một không gian mêtric với khoảng cách d.
Ánh xạ F : X → X được gọi là một ánh xạ co nếu
d(F (x), F (y)) ≤ θd(x, y) x, y ∈ X,

(1.1)

ở đây θ là hằng số thỏa mãn 0 ≤ θ < 1.
Nếu θ = 1, F được gọi là ánh xạ không giãn.
1
x (hoặc
2
F (x) = cos x) là ánh xạ co (tương ứng, là ánh xạ không giãn).

Ví dụ 1.1.4 (a) Ánh xạ F : R → R xác định bởi F (x) =

1
1
(b) Ánh xạ F : R2 → R2 xác định bởi F (x) = Ax (hoặc F (x) = √ Ax)
3
2
1 1
x1
với A =
và x =
là ánh xạ co (tương ứng, là ánh xạ
−1 1
x2
không giãn).
Định lý 1.1.5 (Nguyên lý ánh xạ co Banach) (xem [2]) Nếu X là không
gian mêtric đầy đủ và nếu F : X → X là ánh xạ co, thì tồn tại duy nhất
một điểm bất động của ánh xạ F .
Nhận xét 1.1.6 (a) Định lý 1.1.5 nói chung không đúng khi F là ánh xạ
không giãn. Chẳng hạn F : RN → RN xác định bởi F (x) = x, là ánh
xạ không giãn và Fix(F ) = RN .
(b) Điều kiện ánh xạ co chỉ là điều kiện cần, chẳng hạn F : R → R xác

định bởi F (x) = sin x là ánh xạ không giãn và F có duy nhất điểm
bất động Fix(F ) = {0}.
Định lý 1.1.7 (Định lý điểm bất động Brouwer) (xem [3]) Nếu F là
ánh xạ liên tục từ hình cầu đóng B ⊂ RN vào chính nó thì F có ít nhất
một điểm bất động.
Chú ý 1.1.8 (a) Nếu F không liên tục thì F vẫn có thể có điểm bất động.
Chẳng hạn F : [0, 1] → [0, 1] xác định bởi F (x) = 0 nếu −1 ≤ x < 1
và F (x) = 1 nếu x = 1 là ánh xạ không liên tục trên [0, 1] và Fix(F ) =
{0, 1}.


6

(b) Trong Định lý 1.1.7 ta có thể thay hình cầu đóng B bởi một tập con
lồi compact của RN .
Sau đây ta nhắc lại một số khái niệm về tập lồi và hàm lồi.
Cho hai điểm a, b ∈ RN . Tập tất cả các điểm x = (1 − λ)a + λb với
0 ≤ λ ≤ 1 gọi là đoạn thẳng (đóng) nối a và b, và được ký hiệu là [a, b].
Định nghĩa 1.1.9 Tập C ⊆ RN được gọi là tập hợp lồi nếu với mọi
x, y ∈ C và với mọi λ ∈ [0, 1] ta có
λx + (1 − λ)y ∈ C.
Nói cách khác, tập C ⊆ RN là tập lồi nếu nó chứa mọi đoạn thẳng nối hai
điểm bất kì thuộc nó.
Ví dụ 1.1.10 Trong không gian RN , các tập hợp sau đây là các tập lồi:
(a) hình cầu đóng tâm x0 bán kính r: B(x0 , r) = {x = (x1 , x2 , . . . , xN ) ∈
RN : x − x0 ≤ r};
(b) nửa không gian đóng Hα = {x = (x1 , x2 , . . . , xN ) ∈ RN : a, x ≤ α};
(c) hình đa diện ∆ = {x = (x1 , x2 , . . . , xN ) ∈ RN : A, x ≤ b},
trong đó x0 ∈ RN , r là số thực dương, a ∈ RN , α ∈ R, A là ma trận thực
cỡ M × N , b ∈ RM .

Định nghĩa 1.1.11 Cho C là tập con của không gian RN , f : C →
[−∞, +∞] là hàm tùy ý.
(a) Miền hữu hiệu của hàm f , ký hiệu và định nghĩa bởi:
domf = x ∈ C : f (x) < +∞ .

(1.2)

(b) Tập trên đồ thị của hàm f ký hiệu và định nghĩa bởi:
epif := (x, α) ∈ C × R : f (x) ≤ α

(1.3)

(c) Nếu domf khác rỗng và f (x) > −∞ với mọi x ∈ C thì ta nói rằng
hàm f là chính thường.


7

Định nghĩa 1.1.12 Cho C ⊆ RN là một tập con lồi và khác rỗng. Hàm
f : C → R được gọi là
(a) hàm lồi trên C nếu với mọi x, y ∈ C và với mọi λ ∈ [0, 1] ta có
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y);
(b) hàm lồi chặt trên C nếu với mọi x, y ∈ C và với mọi λ ∈ [0, 1] ta có
f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y) ∀x = y.
Định nghĩa 1.1.12(a) có thể phát biểu tương đương, thể hiện ý nghĩa
hình học của hàm lồi như sau.
Định nghĩa 1.1.13 Cho C là tập lồi khác rỗng trong không gian RN ,
hàm f : C → R là hàm lồi nếu tập trên đồ thị epif của f là tập lồi trong
C × RN .
Ví dụ 1.1.14 (a) Xét C = RN , hàm số f : RN → R xác định bởi f (x) =

x là một hàm lồi.
(b) Xét C = R, hàm số f : R → R xác định bởi f (x) = x2 là một hàm lồi
và cũng là hàm lồi chặt.
(c) Xét C = R, hàm số

0 nếu x < 0,
f (x) =
x nếu x ≥ 0
là một hàm lồi nhưng không là hàm lồi chặt.
Định nghĩa 1.1.15 Cho C là một tập con lồi, khác rỗng trong không gian
RN . Với mỗi x ∈ RN , ánh xạ PC : RN → C thỏa mãn
x − PC (x) = inf x − u
u∈C

được gọi là phép chiếu mêtric chiếu RN lên C và y = PC (x) được gọi là
hình chiếu của x lên C. Nếu x ∈ C thì PC (x) = x.


8

Bổ đề 1.1.16 (xem [3]) Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của
không gian RN . Khi đó, với mỗi x ∈ RN , tồn tại duy nhất phần tử y ∈ C
sao cho
x − y = inf x − u .

(1.4)

u∈C

Chứng minh. (a) Chứng minh tồn tại y ∈ C để x − y = inf u∈C x − u .

Giả sử {uk } là một dãy cực tiểu thuộc C, nghĩa là
lim uk − x = d = inf u − x .

(1.5)

u∈C

k→∞

Ta có đẳng thức:
x+y

2

+ x−y

2

=2 x

2

+ 2 y 2.

(1.6)

Áp dụng đẳng thức này, với {uk }, {uh } ∈ C, ta tính được uk − uh 2 :
uk − uh

2

= (uk − x) − (x − uh )

2

(1.7)
1
− 4 x − (uk + uh ) 2 .
2
1
1
Vì tập C lồi, {uk }, {uh } ∈ C nên (uk +uh ) ∈ C và d2 ≤ x− (uk −uh ) 2 .
2
2
Do đó,
= 2 uk − x

uk − uh

2

2

+ 2 x − uh

≤ 2 x − uk

2

2

+ 2 x − uh

2

− 4d2 .

Kết hợp với (1.5) suy ra
lim

k,h→∞

uk − uh = 0.

(1.8)

Vì RN là không gian đủ nên tồn tại phần tử y ∈ C sao cho
lim uk = y ∈ C.

(1.9)

k→∞

Hơn nữa
x − y = lim x − uk = d = inf u − x .
u∈C

k→∞

(b) Chứng minh y duy nhất. Thật vậy, giả sử tồn tại y, y ∈ C thỏa mãn

(1.4). Như (1.7) ta có
y−y

2

=2 x−y

2

+2 x−y

≤ 2d2 + 2d2 − 4d2 = 0.
Suy ra y = y .

2

1
− 4 x − (y + y )
2

2


9

Định lý 1.1.17 (Đặc trưng của phép chiếu) (xem [3]) Cho C là một
tập con lồi đóng khác rỗng của không gian RN . Khi đó y = PC (x), hình
chiếu của x trên C, khi và chỉ khi
y∈C:

y, u − y ≥ x, u − y

∀u ∈ C.

(1.10)

Bất đẳng thức (1.10) có thể viết là
y∈C:

y − x, u − y ≥ 0 ∀u ∈ C.

(1.11)

Chứng minh. (a) Giả sử x ∈ RN và y = PC (x) ∈ C, ta chứng minh bất
đẳng thức (1.10). Thật vậy, vì C là tập lồi, y ∈ C nên
(1 − t)y + tu = y + t(u − y) ∈ C

∀u ∈ C,

0 ≤ t ≤ 1.

Vì y = PC (x), từ (1.4) hàm
Φ(t) = x − y − t(u − y)

2

= x−y

2

− 2t x − y, u − y + t2 u − y

2

đạt cực tiểu tại t = 0. Do đó, Φ (0) ≥ 0, nghĩa là
y − x, u − y ≥ 0 ∀u ∈ C,
ta có (1.11) hay (1.10).
(b) Giả sử có (1.10), ta chứng minh y = PC (x). Thật vậy từ (1.10) suy
ra
0 ≤ y − x, (u − x) + (x − y) = − y − x

2

+ y − x, u − x .

Do đó,
y−x

2

≤ y − x, u − x ≤ y − x

u−x ,

nên
y−x ≤ u−x

u ∈ C,

hay y = PC (x).

Hệ quả 1.1.18 (xem [3]) Nếu C là tập con lồi đóng khác rỗng của không
gian RN thì toán tử chiếu PC là toán tử không giãn, nghĩa là
PC (x) − PC (x ) ≤ x − x

x, x ∈ RN .

(1.12)


10

Chứng minh. Lấy x, x ∈ RN . Giả sử y = PC (x) và y = PC (x ). Khi đó
theo Định lý 1.1.17,
y∈C:

y, u − y ≥ x, u − y

y ∈C:

y ,u − y ≥ x ,u − y

u∈C
u ∈ C.

Cho u = y trong bất đẳng thức thứ nhất, u = y trong bất đẳng thức thứ
hai, rồi cộng hai bất đẳng thức ta được
y−y

2

= y − y ,y − y
≤ x − x ,y − y ≤ x − x

Hay y − y

y−y .

≤ x−x .

Định lý 1.1.19 (xem [3]) Cho C ⊂ RN là tập compact và lồi và F : C →
C là ánh xạ liên tục. Khi đó, F có điểm bất động.
Chứng minh. Giả sử B là một hình cầu đóng trong RN sao cho C ⊂ B.
Từ Hệ quả 1.1.18, PC là ánh xạ không giãn, do đó liên tục, suy ra ánh xạ:
F ◦ PC : B → C ⊂ B
cũng là ánh xạ liên tục từ B vào B. Theo Định lý 1.1.7, ánh xạ này có
điểm bất động, nghĩa là
F ◦ PC (x) = x ∈ C.
Đặc biệt PC (x) = x nên F (x) = x.
1.1.2

Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian RN

Trong mục này ta luôn giả thiết RN là không gian Euclid với tích vô
hướng và chuẩn lần lượt được ký hiệu bởi ., . và . .
Định nghĩa 1.1.20 Cho C là tập con lồi đóng trong RN và F : C → RN
là một ánh xạ đơn trị, còn gọi là ánh xạ giá. Bài toán bất đẳng thức biến
phân với ánh xạ giá F trong không gian RN , ký hiệu là VI(F, C), được
phát biểu như sau:
Tìm p∗ ∈ C sao cho

F (p∗ ), p − p∗ ≥ 0 ∀p ∈ C.

(1.13)


11

Tập hợp những điểm p∗ ∈ C thỏa mãn (1.13) được gọi là tập nghiệm
của bài toán bất đẳng thức biến phân, ký hiệu là S.
Ví dụ 1.1.21 Cho hàm một biến thực f khả vi trên [a, b] ⊂ R. Tìm phần
tử x∗ ∈ [a, b] thỏa mãn
f (x∗ ) = min f (x).
x∈[a,b]

Ba tình huống sau đây có thể xảy ra:
(i) Nếu x∗ ∈ (a, b) thì f (x∗ ) = 0.
(ii) Nếu x∗ = a thì f (x∗ ) ≥ 0.
(iii) Nếu x∗ = b thì f (x∗ ) ≤ 0.
Những phát biểu trên được tổng hợp thành
f (x∗ )(x − x∗ ) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b],
đây là một bài toán bất đẳng thức biến phân.
Ví dụ 1.1.22 Cho f là một hàm số thực khả vi trên một tập con lồi đóng
C của không gian Euclid N chiều RN . Tìm phần tử x∗ ∈ C thỏa mãn
f (x∗ ) = min f (x).
x∈C

Giả sử x∗ là điểm cực tiểu cần tìm và x là phần tử tùy ý thuộc C. Vì C
là tập hợp lồi nên (1 − t)x∗ + tx = x∗ + t(x − x∗ ) ∈ C, 0 ≤ t ≤ 1. Hàm
Φ(t) = f (x∗ + t(x − x∗ )),

0≤t≤1

đạt cực tiểu tại t = 0. Do đó, từ Ví dụ 1.1.21,
Φ (0) =

f (x∗ ), x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ C.

Như vậy điểm x∗ thỏa mãn bài toán bất đẳng thức biến phân
x∗ ∈ C :

f (x∗ ), x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ C.

Nếu tập C bị chặn thì điểm x∗ tồn tại duy nhất.


12

Bài toán bất đẳng thức biến phân không phải luôn có nghiệm. Chẳng
hạn, nếu C = R, f (x)(y − x) ≥ 0 với mọi y ∈ R không có nghiệm nếu
f (x) = ex . Định lý sau đây cho ta điều kiện tồn tại nghiệm của bài toán
bất đẳng thức biến phân.
Định lý 1.1.23 (xem [8]) Giả sử C là tập con lồi và compact của không
gian RN và F : C → RN là một ánh xạ liên tục trên C. Khi đó, tồn tại ít
nhất một điểm x∗ ∈ C thỏa mãn (1.13).
Chứng minh. Xét ánh xạ PC (I−F ) : C → C, ở đây I là ánh xạ đơn vị trên
C, tức là I(x) = x. Vì PC (I −F ) : C → C là ánh xạ liên tục, nên theo Định
lý 1.1.19 nó tồn tại điểm bất động x∗ ∈ C, nghĩa là x∗ = PC (I − F )(x∗ ).
Theo Định lý 1.1.17 về đặc trưng của phép chiếu,
x∗ , x − x∗ ≥ x∗ − F (x∗ ), x − x∗

∀x ∈ C,

tức là ta nhận được bài toán bất đẳng thức biến phân (1.13).

Nhận xét 1.1.24 Cho C là tập con khác rỗng lồi đóng trong RN . Đặt
Cr = C ∩ B(0, r),
trong đó B(0, r) := {u ∈ RN :

u ≤ r} là hình cầu đóng tâm 0 ∈ RN ,

bán kính r > 0 trong RN . Tập Cr là compact. Nếu Cr = ∅ và F : Cr → RN
là ánh xạ liên tục, khi đó tồn tại ít nhất một phần tử xr ∈ Cr thỏa mãn
F (xr ), x − xr ≥ 0 ∀x ∈ Cr ,

(1.14)

hay xr ∈ S. Từ nhận xét trên, ta có các định lý sau đây về sự tồn tại
nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân VI(F, C) trong trường hợp
tập C không compact.
Định lý 1.1.25 (xem [8]) Cho C là một tập con lồi đóng của không gian
Euclid RN và F : C → RN là một ánh xạ liên tục trên C. Điều kiện cần
và đủ để bài toán bất đẳng thức biến phân (1.13) có nghiệm là tồn tại một


13

số thực r > 0 và một nghiệm xr ∈ Cr của bài toán bất đẳng thức biến phân
(1.14) thỏa mãn điều kiện
xr < r.
Chứng minh. (a) Điều kiện cần: Giả sử p∗ ∈ S, tức là p∗ thỏa mãn (1.13)

với mọi p ∈ C. Lấy một số r > 0 sao cho p∗ < r. Khi đó,
F (p∗ ), p − p∗ ≥ 0 ∀p ∈ Cr ,
tức là p∗ thỏa mãn (1.14).
(b) Điều kiện đủ: Giả sử xr ∈ Cr thỏa mãn xr < r và (1.14). Ta sẽ chứng
minh xr là nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân VI(F, C). Thật vậy,
lấy bất kỳ p ∈ C, ta có
y = xr + ε(p − xr ) ∈ CR với mọi ε > 0 đủ bé
vì y ≤ xr + ε p − xr ≤ r do xr < r. Khi đó, từ (1.14) suy ra
0 ≤ F (xr ), [xr + ε(p − xr )] − xr = ε F (xr ), p − xr

∀p ∈ C,

tức là
F (xr ), p − xr ≥ 0 ∀p ∈ C.
Vậy xr ∈ S với xr ∈ Cr ⊂ C.
Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân còn dựa trên
tính đơn điệu của ánh xạ F .
Định nghĩa 1.1.26 Cho C là một tập con lồi trong không gian RN và F
là một ánh xạ từ C vào RN . Ánh xạ F được gọi là
(i) η-đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại một hằng số η > 0 sao cho
F (u) − F (v), u − v ≥ η u − v

2

∀u, v ∈ C;

(ii) đơn điệu chặt trên C nếu
F (u) − F (v), u − v > 0 ∀u, v ∈ C, u = v;

14

(iii) đơn điệu trên C nếu
F (u) − F (v), u − v ≥ 0 ∀u, v ∈ C.
Bổ đề 1.1.27 (xem [8]) Cho C là một tập con lồi đóng trong không gian
RN và F : C → RN là ánh xạ đơn điệu, liên tục trên C. Khi đó, x∗ ∈ C
là nghiệm của bài toán VI(F, C) khi và chỉ khi
F (x), x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ C.

(1.15)

Chứng minh. (a) Giả sử x∗ là nghiệm của bài toán VI(F, C). Do ánh xạ
F đơn điệu nên
F (x) − F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ C.
Từ đó suy ra
F (x), x − x∗ ≥ F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ C.
(b) Ngược lại, giả sử ta có (1.15). Vì C là tập lồi nên với mọi x ∈ C,
t ∈ [0, 1] ta có zt = x∗ + t(x − x∗ ) ∈ C. Do đó,
0 ≤ F (zt ), zt − x∗ = t F (x∗ + t(x − x∗ )), x − x∗ .
Từ đây suy ra F (x∗ + t(x − x∗ )), x − x∗ ≥ 0 với mọi x ∈ C, t ∈ [0, 1].
Cho t → 0 và kết hợp với tính liên tục của ánh xạ F ta nhận được
F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ C.

Tính chất của tập nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân cho trong
mệnh đề dưới đây.
Mệnh đề 1.1.28 (xem [8]) Cho C là một tập con lồi đóng trong không
gian RN và F : C → RN là ánh xạ xác định trên C. Khi đó, nếu F là ánh
xạ đơn điệu và liên tục trên C thì tập nghiệm S của bất đẳng thức biến
phân VI(F, C) là tập lồi, đóng (có thể là tập rỗng).
Nghiệm của bất đẳng thức biến phân nói chung không duy nhất nếu

không có thêm các điều kiện đặt lên ánh xạ F . Tính duy nhất nghiệm của


15

bất đẳng thức biến phân phụ thuộc vào tính chất đơn điệu chặt của ánh
xạ F .
Định lý 1.1.29 (xem [8]) Nghiệm của bất đẳng thức biến phân VI(F, C)
là duy nhất nếu F : C → RN là ánh xạ đơn điệu chặt.
Chứng minh. Thật vậy, giả sử x1 ∈ C và x2 ∈ C là hai nghiệm khác
nhau của VI(F, C). Khi đó,
F (x1 ), x − x1 ≥ 0 ∀x ∈ C

(1.16)

F (x2 ), x − x2 ≥ 0 ∀x ∈ C.

(1.17)

và

Lần lượt thay x = x2 trong (1.16) và x = x1 trong (1.17), sau đó cộng hai
vế tương ứng của hai bất đẳng thức thu được ta có:
F (x1 ) − F (x2 ), x1 − x2 ≤ 0.
Điều này vô lý vì giả thiết F là đơn điệu chặt. Suy ra x1 = x2 .

1.2

Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian
Hilbert

1.2.1

Toán tử chiếu trong không gian Hilbert

Cho H là không gian Hilbert thực với tích vô hướng và chuẩn được ký
hiệu lần lượt là ., . và . . Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong
không gian Hilbert thực H, ta xét hình chiếu của một phần tử x ∈ H trên
C.
Định lý 1.2.1 (xem [3]) Cho C là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian
Hilbert thực H. Khi đó với mọi x ∈ H, tồn tại duy nhất y ∈ C sao cho
x − y = min x − z .
z∈C

Điểm y ∈ C được gọi là hình chiếu của x trên C và được ký hiệu là PC (x).


16

Định nghĩa 1.2.2 Cho C là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian
Hilbert thực H, ánh xạ PC : H → C xác định bởi
x − PC (x) = min x − z
z∈C

được gọi là toán tử chiếu trên C.
Sau đây là một số tính chất của toán tử chiếu lên tập lồi đóng khác rỗng
C trong không gian Hilbert thực H.
Bổ đề 1.2.3 (xem [3]) Cho C là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian
Hilbert thực H. Cho x ∈ H và y ∈ C. Khi đó,
(i) y = PC (x) khi và chỉ khi x − y, z − y ≤ 0 với mọi z ∈ C.

(ii) PC (x) − PC (y)

2

≤ PC (x) − PC (y), x − y với mọi x, y ∈ H. Do đó

PC (.) là ánh xạ không giãn, nghĩa là
PC (x) − PC (y) ≤ x − y
1.2.2

∀x, y ∈ H.

Bài toán bất đẳng thức biến phân

Cho H là không gian Hilbert thực, C là tập con lồi, đóng, khác rỗng
của H và A : C → H là một ánh xạ. Bài toán bất đẳng thức biến phân
trong không gian Hilbert H được phát biểu như sau:
Tìm x∗ ∈ C sao cho

A(x∗ ), x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ C.

(1.18)

Ký hiệu bài toán bất đẳng thức biến phân (1.18) là CVI(A, C). Tập nghiệm
của bài toán bất đẳng thức biến phân CVI(A, C) trong không gian Hilbert
H được ký hiệu là S H . Nếu ánh xạ A có dạng
A(x) = x − x0

∀x ∈ C, x0 ∈ H

(1.19)

thì từ Bổ đề 1.2.3 và (1.19),
A(x∗ ), x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ C ⇔ x∗ − x0 , x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ C
⇔ x∗ = PC (x0 ).
Do đó S H = {PC (x0 )}.


17

1.2.3

Một số bài toán mô tả được dưới dạng bài toán bất đẳng
thức biến phân

Bài toán cực trị
Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert H và
f : C → R là phiếm hàm lồi trên C. Bài toán cực trị được phát biểu như
sau:
Tìm x∗ ∈ C sao cho: f (x∗ ) = min{f (x) | x ∈ C}.

(1.20)

Mối quan hệ giữa bài toán cực trị (1.20) và bất đẳng thức biến phân
CVI(A, C) được khẳng định trong mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.2.4 (xem [8]) Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng trong
không gian Hilbert H và f : C → R là phiếm hàm lồi khả vi trên C. Khi
đó, x∗ ∈ C là nghiệm của (1.20) khi và chỉ khi x∗ là nghiệm của bài toán
CVI(A, C) với A =

f.

Bài toán điểm bất động
Cho C là một tập khác rỗng trong không gian Hilbert H và T : C → C
là một ánh xạ. Bài toán điểm bất động được phát biểu như sau:
Tìm x∗ ∈ C thỏa mãn

x∗ = T (x∗ ).

(1.21)

Xét ánh xạ A : C → H cho bởi
A(x) = x − T (x) ∀x ∈ C.
Mối quan hệ giữa bài toán điểm bất động và bất đẳng thức biến phân được
phát biểu trong định lý sau đây.
Định lý 1.2.5 (xem [5]) Nếu ánh xạ A trong không gian Hilbert H xác
định bởi A = I − T , ở đây I là ánh xạ đơn vị, thì bài toán điểm bất động
(1.21) tương đương với bài toán bất đẳng thức biến phân CVI(A, C).
Chứng minh. (a) Thật vậy, nếu T (x∗ ) = x∗ thì A(x∗ ) = 0 và bất đẳng
thức ở (1.18) xảy ra dấu đẳng thức, do đó x∗ ∈ S H .


18

(b) Ngược lại nếu x∗ ∈ S H thì
A(x∗ ), x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ C.
Chọn x = T (x∗ ) ta được
x∗ − T (x∗ ), T (x∗ ) − x∗ ≥ 0 hay

− T (x∗ ) − x∗

2

≥ 0.

Do đó T (x∗ ) = x∗ .
Định lý 1.2.6 (xem [5]) Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không
gian Hilbert thực H và ánh xạ A : C → H. Khi đó x∗ ∈ C là nghiệm của
bất đẳng thức biến phân CVI(A, C) khi và chỉ khi với mỗi λ > 0 cố định,
x∗ là điểm bất động của ánh xạ PC (I − λA), tức là
x∗ = PC (I − λA)(x∗ ).

(1.22)

Bài toán giải hệ phương trình
Xét H = RN , C = RN và ánh xạ A : RN → RN . Khi đó x∗ ∈ RN là
nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân VI(A, RN ) khi và chỉ khi x∗
là nghiệm của hệ phương trình A(x∗ ) = 0.
Thật vậy, nếu A(x∗ ) = 0 thì bất đẳng thức ở (1.18) xảy ra dấu bằng.
Do đó ta có x∗ ∈ S.
Ngược lại, nếu x∗ là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân
VI(A, RN ) thì
A(x∗ ), x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ RN .
Chọn x = x∗ − A(x∗ ) ta được
A(x∗ ), −A(x∗ ) ≥ 0 hay

− A(x∗ )

2

≥ 0.

Do đó A(x∗ ) = 0.
1.2.4

Nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bất đẳng thức biến phân (1.18) phụ
thuộc vào tính chất của ánh xạ A và miền ràng buộc C. Kết quả này được


19

chứng minh trong không gian RN . Ở đây ta sẽ chứng minh lại trong không
gian Hilbert H.
Định nghĩa 1.2.7 Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian
Hilbert thực H. Ánh xạ A : C → H được gọi là
(a) đơn điệu mạnh trên C với hệ số η > 0 (gọi tắt là η-đơn điệu mạnh
trên C) nếu
A(x) − A(y), x − y ≥ η x − y

2

∀x, y ∈ C;

(b) đơn điệu trên C nếu
A(x) − A(y), x − y ≥ 0 ∀x, y ∈ C;
(c) liên tục Lipschitz trên C với hệ số L > 0 (gọi tắt là L-liên tục Lipschitz
trên C) nếu
A(x) − A(y) ≤ L x − y

∀x, y ∈ C.

Nếu ánh xạ A đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz trên C thì bài toán
CVI(A, C) có nghiệm duy nhất.
Định lý 1.2.8 (xem [8]) Cho C là tập con khác rỗng, lồi, đóng của không
gian Hilbert H. Nếu A : C → H là một ánh xạ η-đơn điệu mạnh trên C
và L-liên tục Lipschitz trên C thì bài toán (1.18) có nghiệm duy nhất.
Chứng minh. Chọn 0 < µ <

2η
và xét ánh xạ T : C → C xác định bởi
L2

T (x) = PC (x − µA(x)),

∀x ∈ C.

Khi đó với mọi x, y ∈ C ta có
T (x) − T (y)

2

= PC (x − µA(x)) − PC (y − µA(y))
≤ x − µA(x) − (y − µA(y))
= x−y

2

2

2

− 2µ A(x) − A(y), x − y + µ2 A(x) − A(y) 2 .


20

Sử dụng tính η-đơn điệu mạnh trên C và L-liên tục Lipschitz trên C của
A,
T (x) − T (y)

2

≤ x−y

2

− 2µη x − y

2

+ µ 2 L2 x − y

2

= (1 − 2µη + µ2 L2 ) x − y 2 .
Do đó
T (x) − T (y) ≤

1 − µ(2η − µL2 ) x − y ,

trong đó
ρ=

1 − µ(2η − muL2 ) ∈ [0, 1).

Vậy T : C → C là ánh xạ co. Theo nguyên lý ánh xạ co, tồn tại duy nhất
x∗ ∈ C sao cho T (x∗ ) = x∗ . Do đó theo Bổ đề 1.2.6 x∗ ∈ S H .
Chú ý rằng, nếu S H khác rỗng thì S H là tập lồi đóng nếu ánh xạ A đơn
điệu và liên tục Lipschitz trên C (xem [8]).

1.3

Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian
Banach

Cho E là không gian Banach với không gian đối ngẫu ký hiệu là E ∗ . Ta
dùng ký hiệu . cho chuẩn trong E và E ∗ và viết tích đối ngẫu x∗ , x
thay cho giá trị của phiếm hàm tuyến tính x∗ ∈ E ∗ tại điểm x ∈ E, tức là
x∗ , x = x∗ (x).
1.3.1

Ánh xạ j-đơn điệu

Trước hết ta trình bày các khái niệm về không gian Banach trơn, lồi
đều, có chuẩn khả vi Gâteaux đều. Ký hiệu SE := {x ∈ E : x = 1} là
mặt cầu đơn vị của không gian Banach E.
Định nghĩa 1.3.1 Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu với mọi
điểm x, y ∈ SE , x = y, suy ra

(1 − λ)x + λy < 1 ∀λ ∈ (0, 1).


21

Định nghĩa 1.3.2 Không gian Banach E được gọi là lồi đều nếu với mọi
ε ∈ (0, 2] và các bất đẳng thức x ≤ 1,

y ≤ 1, x − y ≥ ε thỏa mãn

thì tồn tại δ = δ(ε) > 0 sao cho (x + y)/2 ≤ 1 − δ.
Định nghĩa 1.3.3 Không gian Banach E được gọi là trơn nếu với mỗi
điểm x nằm trên mặt cầu đơn vị SE tồn tại duy nhất một phiếm hàm
gx ∈ E ∗ sao cho x, gx = x và gx = 1, ở đây E ∗ là không gian liên
hợp của E.
Định nghĩa 1.3.4
(i) Chuẩn của không gian Banach E được gọi là khả vi Gâteaux nếu với
mỗi y ∈ SE giới hạn
lim
t→0

x + ty − x
t

tồn tại với x ∈ SE , ký hiệu y,

x . Khi đó

(1.23)
x được gọi là đạo hàm

Gâteaux của chuẩn.
(ii) Chuẩn của E được gọi là khả vi Gâteaux đều nếu với mỗi y ∈ SE , giới
hạn (1.23) đạt được đều với mọi x ∈ SE .
(iii) Chuẩn của E được gọi là khả vi Fréchet nếu với mỗi x ∈ SE , giới hạn
(1.23) tồn tại đều với mọi y ∈ SE .
(iv) Chuẩn của E được gọi là khả vi Fréchet đều nếu giới hạn (1.23) tồn
tại đều với mọi x, y ∈ SE .
∗

Định nghĩa 1.3.5 Ánh xạ Jq : E → 2E , q > 1 (nói chung là đa trị) xác
định bởi
Jq x = {uq ∈ E ∗ :

x, uq = x

uq , uq = x

q−1

},

được gọi là ánh xạ đối ngẫu tổng quát của không gian Banach E. Khi
q = 2, ánh xạ J2 được ký hiệu là J và được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn
tắc của E. Tức là
Jx = {u ∈ E ∗ :

x, u = x u , u = x }.

Định nghĩa 1.3.6 Ánh xạ A : E → E được gọi là