không gian compact không gian compact bài 1 số lebesgue cho không gian metric xd và là một họ phủ mở của nó ta nói số là số lebesgue của họ phủ mở nếu chứng minh rằng trong một khong gian metri

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Không gian compact</b>

<b>---Bài 1 ( Số Lebesgue ) :</b>

Cho không gian metric (X,d) và



G_{i i I}



_ là một họ phủ mở của nó . Ta nói số

 

0

là số Lebesgue của họ phủ
mở



G_{i i I}



_ nếu :

i

A X, diamA iG I : A G

        .

Chứng minh rằng trong một khong gian metric compact , mọi bao phủ mở đều có một số Lebesgue .

<b>Chú ý :</b>

Từ đề bài ta suy ra :

Họ phủ mở



G_{i i I}



_ của (X,d) có số Lebesgue nếu và chỉ nếu :

i

0 : A X,diamA i I : A G

          .

Giải

Cho (X,d) là không gian metric compact và



G_{i i I}



_ là một họ phủ mở của nó .

Giả sử họ



G_{i i I}



_ khơng có số Lesgue thì :

n
n

n i
1
d iamA

n , A X : n

A G , i I








    _

 _ _{ }



 (1)

Với mỗi _n_{ }_{, ta chọn ra một}a_n_A_n_{thì được dãy}

_

a

_n

_

_{trong không gian compact X nên tồn tại dãy con}



ank



_khội tụ về một phần tử

a X



.

Vì i

i I

X G



  _{nên tồn tại}

0

i Isao cho :

a G



i₀.

Do

G

i₀mở trong X nên :  ra 0 : B a, 2r



a



Gi₀.

Vì _k

lim a

_{ } nk



a

nên tồn tại một số tự nhiên k0đủ lớn sao cho :

a
0
1

r

k  và

a

nk0



B a, r



a



.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Vì :





k 0
0

k₀ k₀

k0

n a

k 0

n n

n a

1

1

diamA

r

n

k

a

A

a

B a, r





























nên : _k





₀

0

n a i

A



B a, 2r



G

_.

Điều này mâu thuẫn với (2) .

Vậy , họ phủ mở



G_{i i I}



_ có số Lebesgue .

<b>Bài 2 :</b>

(i) Chứng minh rằng mọi không gian compact đều tiền compact .

(ii) Từ (i) và bài tập 1 , hãy suy ra rằng : Để không gian metric (X,d) compact , ĐKCVĐ là mọi bao phủ mở của
X đều có một bao phủ con hữu hạn .

Giải

(i) Giả sử (X,d) là khơng gian compact .

Nếu (X,d) khơng tiền compact thì tồn tại

 

0

sao cho không thể phủ được X bằng một số hữu hạn hình cầu
bán kính



.

Lấy x₁Xthì

X



B x ,

_

₁



_

nên có

x

2



B x ,



1

 



d x , x



2 1





.
Vì :

X



B x ,



1







B x ,



2





Nên có

x

3



B x ,



1







B x ,



2

 



d x , x ,d x , x



3 1

 

3 2





.

Tiếp tục quá trình trên theo hướng quy nạp , ta tìm được một dãy



x_{n n}



X sao cho

d x , x

_

_m _n

_

 

, m n



.

Như vậy , mọi dãy con của dãy



x_{n n}



không phải là dãy Cauchy nên không thể hội tụ và như vậy thì (X,d)
khơng compact ( mâu thuẫn ) .

<b>(ii) a/ Phần thuận :</b>

Giả sử (X,d) compact .

Cho



G_{i i I}



_ là một phủ mở của (X,d) thì tồn tại một số Lebesgue

3

 

0

sao cho :

 

i

A

X,diam A

3

i I : A

G

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Do (i) nên : ₁ ₂ _n n

_

_i

_

i 1

x , x ,..., x

X : X

B x ,







 



. (1)

Vì :

diamB x ,

_

_k

      

_

2

3 , k 1, 2,..., n

Nên :  k 1, 2,..., n, i k I : B x ,



k  



Gi_k (2)

   

n i_k
k 1

1 2

X

G





 

Như vậy : từ phủ mở



G_{i i I}



_ của X , ta đã trích ra được phủ con hữu hạn



G_{i 1 k n}_k



  .

<b>b) Phần đảo :</b>

Gỉả sử từ mọi phủ mở của (X,d) ta đều trích ra được một phủ con hữu hạn .

Cho



x_{n n}



X tùy ý .

Nếu

A





x / n 1

n





hữu hạn thì có dãy con hội tụ là một dãy hằng.
Nếu A vơ hạn và nếu A khơng có điểm tụ nào cả thì :



  

x x

x X, r

0 : B x, r \ x

A

 







_



_





Suy ra :

 

x X, r



x



0 : B x, r



x





A



 

x

Không gian compact nhận họ



B x, r



x





_{x X}_ làm một phủ mở nên tồn tại một phủ con hữu hạn







B x, r

xi



_{1 i n}_ .

Vậy :



i





i



n n

i x i x

i 1 i 1

A A X A

B x , r

A B x , r

 









 

  

_

_













  



n

i 1 2 n

i 1

x

x , x ,..., x

 



 A hữu hạn ( vô lý ) .

Vậy , A phải có một điểm tụ x X và do đó tồn tại một dãy con



xnk



_k Ahội tụ về x X .

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Vậy : X là không gian compact .

<b>---Bài 3 :</b>

Chứng minh hợp của một số hữu hạn các tập compact khác rỗng cũng là một tập compact .
Giải

Giả sử : K , K ,..., K₁ ₂ _n là các tập com pact .

Ta chứng minh tập n _i
i 1

K

K





compact .

Giả sử K có phủ mở

 

G

_{j j J}_ .
Với mỗi i = 1 , 2 , … , n , vì

 

G

_{j j J}

 là phủ mở của tập compact Ki nên tồn tại phủ con hữu hạn

 

 

p

i

i
j

1 p n
G

  .

Do đó : i

 

p

n

n n _i

i _j

i 1 i 1p 1

K

K

G

  



  

K có phủ con hữu hạn

 

 

_p

i

i
j 1 i n

1 p n

G


 

trich ra từ phủ mở

 

G

_{j j J}

 .

Vậy , n _i
i 1

K

K





compact .

<b>---Bài 4 :</b>

Cho



K_{n n}



_ là dãy giảm các tập compact khác rỗng của không gian metric X . Chứng minh tập
n

n

K

K



 

 là tập compact không rỗng của X .

Giải

Với mỗi

n





, K

_n



, ta chọn ra một x_nK_n.

Ta được dãy



x_{n n}



trong tập compact K₀nên tồn tại dãy con



xnk



_k_ hội tụ về một x K 0.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>



xnm



_{m k}_ Kmhội tụ về x .

Vậy ,x K , m _m   .

n n

n n

x K

K

K

 











 





_.

Ta chứng minh K compact .

Cho dãy



x_{m m}



K tùy ý và cố định một n tùy ý.

Vì



xm



_mKncompact nên tồn tại dãy con hội tụ :

 

 

k

k
n

n
m

k

x  x K .

Vì : x K , n _n    nên : n
n

x

K

K











_.

Vậy : K compact .

<b>Bài 5 :</b>

Trong không gian metric E , cho dãy

_

_

n
n n

x

 



a

.

Chứng minh tập

K



 

a





x / n

n

 



compact .

<b>Giải</b>
<b>Cách 1 :</b>

Mọi dãy trong K đều là dãy con của dãy



x_{n n}



_.

Vì

_

_

n
n n

x



 

a

nên mọi dãy con trong K đều hội tụ về

a K



.

Vậy : mọi dãy trong K đều chứa một dãy con hội tụ về a .
Vậy : K compact .

<b>Cách 2 :</b>

Gỉa sử



G_{i i I}



_ là một phủ mở của K .

Ta có : i

i I

a K G



   _{nên :}

0

0 i

i

I : a G

 



_.

Vì n

nlim x  a

 _{nên :}

0

0 n i 0

n

: x

G , n n .

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Với mỗi n 1, 2,..., n ₀, ta có :xnGi_n 



G_{i i I}



_ .
Vậy :

 



n



n

K a x



 

 _{ } _

  



 





0





₀ 0 _i 0 _n

n
0

n n n

n n i i

n 0

n n n 1 n 1

a

x

x

G

G

G



  

























_



_





_





_





_





_

 



























Vậy , từ phủ mở



G_{i i I}



_ bất kỳ của K ta trích ra đươc phủ con hữu hạn



_n



0

i _{0 n n}
G

  .

Vậy : K compact .

<b>---Bài 6 :</b>

Cho X,Y là các không gian metric và ánh xạ

f : X



Y

sao cho với mọi tập compact KX, ta có

f

|K
liên tục .

Chứng minh f liên tục trên X .
Giải

Trong X , cho một dãy



x_{n n}



tùy ý hội tụ về phần tử x X .

Theo bài 5 thì tập

K



 

x





x / n

n

 



compact .
Vì

f

|Kliên tục trên tập compact K nên :

 

 

|K

 

 

|K



n



 

n n

f x

f

x

lim f

x

lim f x

   







_.

Suy ra : f liên tục tại x tùy ý thuộc X .
Vậy : f liên tục trên X .

<b>---Bài 7 :</b>

Cho X là không gian metric compact , Y là khơng gian metric và tập A đóng trong XxY . Chứng minh rằng

 

2

pr A

đóng trong Y , trong đó

pr : XxY

2



Y, pr x, y

2







y

là <b>phép chiếu trên Y</b> .
Giải

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Cho một dãy



yn



_n pr A2

 

hội tụ về một y Y .

Ta phải chứng minh :

y pr A



₂

_{ }



y pr x, y , x, y



₂

_

_{ }

_



A

Vì



yn



_n pr A2

 

nên :









n _{n n}
n

n 2 n n

x , y

A

n, x

X :

y

pr x , y







 



_







.

Vì



x_{n n}



Xcompact nên có dãy con hội tụ :

_

_

k

k
n _k

x   x X .

Vì





n_k n_k





k

x , y

là dãy trong t<b>ập đóng</b> A hội tụ về (x,y) nên



x, y





A



y pr x, y



2







pr A

2

 



pr A

2

 

đóng trong Y .

<b>Cách 2 :</b> ( Cách hướng dẫn trong tài liệu )

Điều phải chứng minh 

Y \ pr A

₂

_{ }

mở trong Y .

Lấy tùy ý

y Y \ pr A



2

 

thì

y pr A



2

 

nên :



x, y





A, x X

 

Vậy : Với mọi x X thì (x,y) thuộc tập (XxY) \ A <b>mở </b>trong XxY.

Do đó , tồn tại các tập V_xmở trong X và W_xmở trong Y sao cho



x, y





V xW

x x





XxY \ A



. (*)

<b>Ghi chú :</b> Đây là tính chất cơ bản của <b>không gian metric tich</b> :

Nếu <b>W là mở trong khơng gian metric tích XxY</b> thì tồn tại các tập <b>U mở trong X</b> và <b>V mở trong Y</b> sao cho :

UxV



W

.

( Xem phần chứng minh tính chất này ở cuối bài giải ) .

Vì



V_{x x X}



_ là phủ mở của tập X compact nên tồn tại phủ con hữu hạn :

i

n
x
i 1

X V



  .

Đặt :

i

n
x
i 1

W W



  mở trong Y thì do (*) , ta có :

W pr A



₂

 



.
y W

  mở



Y \ pr A , y Y \ pr A

2

 

 

2

 

.

Vậy :

Y \ pr A

2

 

mở trong Y , tức :

pr A

2

 

đóng trong Y .(đpcm)

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Ta chứng minh tính chất của khơng gian metric tích đã giới thiệu ở phần ghi chú :
Cho XxY là khơng gian metric tích của các khơng gian metric X,Y thì :

Với mọi W mở trong XxY , tồn tại U mở trong X và V mở trong Y sao cho :

UxV



W

.

<b>Chứng minh</b>

Có thể giả sử :



X,d

X

 

, Y, d

Y

 

, XxY,d

XxY



với metric



 















XxY 1 1 2 2 X 1 2 Y 1 2

d

x , y , x , y



d

x , x



d

y , y

.

Lấy một phần tử



x , y

0 0





W

thì do



x , y

0 0



là một điểm trong của W nên :









XxY 0 0

r 0 : B x , y , 2r W

   .

Đặt :

U B



X



x , r , W B

0





Y



y , r

0



là các mở trong X , Y .

Với mọi



x, y





UxV

, ta có :



 















XxY 0 0 X 0 Y 0

d x , y , x, y d x , x d y , y   r r 2r



x, y



BXxY





x , y , 2r0 0





  .

Vậy : UxVBXxY





x , y , 2r0 0





W. ( đpcm ) .

<b>---Bài 8 :</b>

Cho ánh xạ f từ không gian metric X vào không gian metric Y . Ta gọi :

 





x,f x

 





XxY / x X





là đồ
thị của f .

a) Chứng minh nếu f liên tục trên X thì  đóng trong XxY .

b) Cho Y là không gian compact . Chứng minh nếu  đóng trong XxY thì f liên tục trên X .

Giải

a) Giả sử f liên tục trên X .

Giả sử





x , f xn



n







_n là một dãy tùy ý trong  hội tụ về (x,y) thuộc XxY .

Vì : n
n

x



 

x

và f liên tục tại x nên ta có :





 

n

n

f x  f x .

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Vậy :

_

_

_n

_

_n

_

_

_

n

_

_{ }

_

n

x ,f x   x, f x  .

Vậy :  đóng trong XxY .

b) Giả sử Y compact và  đóng trong XxY .

Ta phải chứng minh f liên tục trên X .

<b>Cách 1 :</b> ( Cách giải tự nhiên nhất ) Ta phải chứng minh :
Với mọi B đóng trong Y thì f1

_{ }

B _{đóng trong X .}
Thật vậy , cho B đóng trong Y .

Giả sử



x_{n n}



là một dãy trong f1

_{ }

B _{hội tụ về một}_{x X}

 .

Vì :

_

x

_{n n}

_

f

1

_{ }

B



nên :



f x



n





_n B.
Vì B đóng trong tập compact Y nên B compact .

Do



f x



n





_n B nên có dãy con





k





k

n _n

f x

_{hội tụ về}y B .

Vậy , ta có dãy



n_k



n_k





k

x ,f x

trong <b>tập đóng </b> hội tụ về (x,y) nên phải có :



x, y



f x

 

y B x f1

 

B

       .

Vậy : f1

_{ }

B _{đóng trong X .}
Tóm lại , f liên tục trên X .

<b>Cách 2 :</b> Nếu <b>f không liên tục tại một</b> x₀X <b>nào đó</b> thì :











k



*

k n 0

0 : k

, n

k : d f x

,f x

 

 









. (1)

Vì





_n_k





k

f x

là dãy trong không gian Y compact nên tồn tại dãy con hội tụ :

 

k j

j

n 0

j

f x

 

y

Y

















. (2)

Trong tập đóng , dãy

   

_k _k





j j

j

n n 0 0

j

x

,f x

 

x , y

XxY





_

_









Vì  đóng nên :



x , y

0 0



  

y

0



f x



0



. (3)

   

 

n_{k j}



0



j

2 3

lim f x

f x

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

 

1



d f x





 

n_{k j}

,f x



0







  

, j

*







.

Điều này mâu thuẫn với (4) .
Vậy , f liên tuc trên X .

<b>Cách 3 :</b> ( Cách được hướng dẫn trong tài liệu )

Cho B đóng trong Y , ta phải chứng minh f1

_{ }

B _{đóng trong X .}

Đặt :   B



XxB









x,f x

 



XxY / x X,f x

 

B



.
Vì và XxB đều đóng trong XxY nên _B đóng trong XxY .

Xét phép chiếu trên X :

pr : XxY

₁



X, x, y

_

_



pr x, y

₁

_

_



x

Vì pr₁

_

__B

_

_f1

_{ }

B _{nên đpcm trở thành chứng minh}

_

_

1 B

pr



đóng trong X . ( Đây chính là kết quả của câu
b) bài 8 nhưng ở đây ta thực hiện lại một cách tương tự ) .

Thật vậy :

Xét một dãy tùy ý



xn



_n pr1



B



hội tụ về x X . (i)

Ta phải chứng minh :

x pr



1





B



, tức :









1
B

x pr x, y

x, y









 





Với mỗi n , vì

x

n



pr

1





B



nên :









n 1 n n
n

n n B

x

pr x , y

y :

x , y









_

 





.

Vì



y_{n n}



Ycompact nên có dãy con



yn_k



_k hội tụ về y Y .
Vậy , ta có dãy



x , yn_k n_k



_k  Bhội tụ về (x,y) .

Vì _B đóng nên



x, y



  

B

x pr



1





B



.

Vậy :

pr

₁

_



_B

_

đóng trong X , mà pr₁

_

__B

_

_f1

_{ }

B _nên_f1

_{ }

_B _{đóng trong X .}

</div>

<!--links-->