chuyªn ®ò ph­¬ng tr×nh bëc hai chuyªn ®ò ph­¬ng tr×nh bëc hai ph­¬ng tr×nh bëc hai ax2 bx c 0 a ≠ 0 1 c¸ch gi¶i a d¹ng khuyõt b 0 c 0 b c 0 ax2 c 0 x2 x ± nõu ac 0 nõu ac

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Chuyên đề: Phơng trình bậc hai</b>
<b>Phơng trình bậc hai: ax2_{+ bx + c = 0 (a}₀₎</b>

1. Cách giải:

<i>a. Dạng khuyết: </i> b = 0 c = 0 b = c = 0

ax2_{+ c = 0}__x2₌ <i>c</i>
<i>a</i>



 x = ± <i>c</i>
<i>a</i>

 _{nÕu ac < 0}

NÕu ac > 0 => pt VN

ax2_{+ bx = 0}

 x(ax + b) = 0



0

<i>x</i>
<i>b</i>
<i>x</i>

<i>a</i>






 


ax2_{= 0}

 x = 0

<i>b. Dạng đầy đủ</i>: +) Tính a + c và so sánh với b.

* NÕu a + c = b ta cã: a - b + c = 0 => x1 = -1; x2 = - c/a.
* NÕu a + c = - b ta cã: a + b + c = 0 => x1 = 1; x2 = c/a.

* NÕu a + c ≠ ± b => xÐt b chia cho 2. NÕu b = 2m (m€ R) => tÝnh ‘
NÕu b 2m => tÝnh ±

<i>Chú ý: Nếu a.c < 0 thì PTB2 ln có hai nghiệm và đó là hai nghiệm trái dấu.</i>

<b>2. HƯ thức Vi-et.</b> Nếu phơng trình bậc hai ax2_{+ bx + c = 0 (a}≠_{0) cã hai nghiÖm th× ta cã:}
S = x1 + x2 = - b/a; P = x1x2 = c/a

Ngợc lại: nếu có hai số u, v tho¶ m·n: S = u + v; P = u.v thì u, v là hai nghiệm của phơng
trình: X2_{+ SX + P = 0. (Tồn tại hai sè u, v khi S}2_{– 4 P}≥₀₎

<b>3. Bài tập.</b>

<i>Bài 1. Giải các phơng trình sau: (Không dùng máy tính; dùng công thức nghiệm)</i>

a. x2_{+ 3x - 4 = 0; b.}

2

1 1

0

<i>x</i>  <i>x</i>  (Thi vµo 10/ 2000 – 2001).
c. x2_{+ 7x - 17 = 0; (Thi vµo 10/ 2001 – 2002).}

d. y2_{– 8y - 1998 = 0; e. x}2_{+ 64 = 0. (Thi vµo 10/ 1998 – 1999).}
f. 6x2_{+ x + 5 = 0;} _{g. y}2_{– 8y - 16 = 0; (06 – 07)}
i. 4x2_{– x – 6 = 0 (07-08). k.}1 2 3 11 ₀

3<i>x</i>  5<i>x</i> 15 (08 09)

<i>Bài 2. Giải các phơng trình sau: </i>

a. 9(3t + 2)2_{– 4(7 – 2t) = 0 (98 – 99); b. (2x -} ₃_{)(3x -} ₂_{) = 0 (01 – 02)}
c. (x + 3)(2x – 5) = 6; d. 2(x +3)2_{+ 5(x+3) + 3 = 0.}

Bài 3. Giải các phơng tr×nh sau:

a. 3x2_{– 2x} ₃_{- 3 = 0} _{b. x}2_{– x(1 +}

2) + ₂ = 0
c. x2_{+ x(}

2 + 3) + 6 = 0 d. x2_{– 2(} ₃_{- 1)x - 2} ₃_{= 0}
e. 3x2 _{– 19x – 22 = 0} _{f. 5x}2_{– 17x + 12 = 0}

<i>Bài 4. Giải các phơng trình sau:</i>

a. 9x4_{+ 6x}2_{+ 1 = 0} _{b. 2x}4_{– 7x}2_{– 4 = 0}
c. x4_{– 13x}2_{+ 36 = 0} _{d. x}6_{+ 8x}3_{+ 15 = 0}

<i>Bài 4. Giải các hệ phơng trình sau.</i>

a.

2

2( ) 3( ) 5 0

5 0

<i>x y</i> <i>x y</i>

<i>x y</i>

     



  



b.

2

5( ) 3( ) 8

2 3 12

<i>x y</i> <i>x y</i>

<i>x</i> <i>y</i>

    



 



c.

2 2
2

2 3 5 0

5 6

<i>x</i> <i>xy</i> <i>y</i>

<i>x</i> <i>y</i>

   




 




d.

2 ₀

2 0

<i>x</i> <i>y</i>
<i>x y</i>

  



  



<i>Bµi 5. LËp mét phơng trình bạc hai với hệ số nguyên có hai nghiƯm lµ:</i>

a. 1

10 72 vµ
1

10 6 2 (06 – 07) b.

1

2 3 vµ
1
2 3

c. 1 + 5 vµ 1 - 5 _d.2

5 và
3
7

<i>Bài 6. Cho phơng trình x2_{+ x}</i> ₃<i>_-</i> ₅<i>_{= 0 và gọi hai nghiệm của phơng trình là x1 và x2.}</i>

Không giải phơng trình, hÃy tính giá trị của các biÓu thøc sau:
a.

1 2

1 1

<i>x</i> <i>x</i> b. 2 2

1 2

1 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

e. x1 - x2 f. x12_{- x2}2

<i>Bài 7. Cho phơng trình x2_{+ 5x - 1 = 0 (1) vµ gọi hai nghiệm của phơng trình là x1 và x2.}</i>

Không giải phơng trình (1), hÃy lập một phơng trình bậc hai có các nghiệm bằng:
a. - x1 và - x2 b. x12_{vµ x2}2 _{c. 1/x1 vµ 1/x2}
c. 2x1 vµ 2x2 d. x1x2 vµ x1 + x2 e. x1x2 và x12_{+ x2}2

<i>Bài 8. Cho phơng tr×nh bËc hai</i>: x2 _{- 2(m + 1) + m 4 = 0 (1)}
a. Giải phơng trình (1) với m = 1.

b. CMR phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
c. Tìm một hệ thức giữa hai nghiệm của phơng trình không phụ thuộc vào m.

<i>Bài 9. Cho phơng tr×nh</i> : x2_{– 2(m – 3)x – 2(m – 1) = 0 (1).}

a. CMR phơng trình luôn có hai nghiêm phân biệt với mọi giá trị của m.

b. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của (1). Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc x12_{+ x2}2_.

<i>Bµi 10. Cho phơng trình: </i> x2_{+ 2x + k = 0. Tìm giá trị của k sao cho phơng trình:}

a. Vô nghiƯm.

b. Cã nghiƯm duy nhÊt.
c. Cã hai nghiƯm ph©n biƯt.

d. Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiệm phân biệt, tìm k sao hai nghiệm thoả mÃn:
d1. 3x1 + 2x2 = 1; d2. x12_{- x2}2_{= 12; d3. x1}2_{+ x2}2_{= 1}

Bài 11. Không giải phơng trình, xác định dấu các nghiệm nếu có:
a. 4x2_{+ 2x – 1 = 0} _{b. 7x}2_{– 13 x + 2 = 0}
c. ( 2 + 3)x2_{– (1 +} ₅_{)x + 1 -} ₅_{= 0} d. x2 – x + 1 = 0

<i>Bài 12. Xác định số k để phơng trình:</i>

a. x2_{– 3x + k = 0 có 2 nghiệm cùng dấu} _{b. x}2_{– 2kx + 2k – 3 = 0 có 2 nghiệm cùng dấu}
c. 3x2_{– (k + 1)x + k = 0 có 2 nghiệm đối}

nhau d. 3x

2_{– (k + 1)x + k = 0 có 2 nghiệm là hai số}
nghch o ca nhau

<i>Bài 13. Giải các phơng trình sau:</i>

a. (x2_{+ 2x)}2_{– 5(x}2_{+ 2x) + 6 = 0}

b. x2_- <i>_x</i> _{- 2 = 0}
c. <i>x</i> 5 = x - 7 d. x2₊ <i>_x</i>2 ₃<i>_x</i> ₅

  = 3x + 7

<i>Bµi 14. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thøc</i>: 2

3 4

1

<i>x</i>
<i>x</i>



 (Thi vµo 10 / 2000 2001)

<i>Bài 15. Cho hai phơng trình</i>: ax2_{+ bx + c = 0 vµ cx}2_{+ bx + a = 0 (víi a.c < 0)}
Gäi _; lµ hai nghiệm dơng của hai phơng trình. CMR: ₊ ≥ 2

<i>Bài 16.</i> Cho Parabol (P): y = ax2_{và đờng thẳng (d): y = mx - 3.}
a. Biết (P) đi qua điểm A(2;8). Tìm a ?

b. Với giá trị của a ở trên, tìm m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

c. Với giá trị của a ở trên, tìm m để (P) và (d) tiếp xúc nhau. Xác định toạ độ tiếp điểm.

<i>Bài 17</i>. Tìm hai số là nghịch đảo của nhau có tng bng 2,05.

<i>Bài 18</i>. Giải hệ phơng trình sau:

a. 5

14

<i>x y</i>
<i>xy</i>

 







b. 2 3 5

6

<i>x</i> <i>y</i>
<i>xy</i>

 







c. ( 3)( 1) 5

4

<i>x</i> <i>y</i>

<i>x y</i>

  




</div>

<!--links-->